CHARAKTERISTIKY STOCHASTICKÝCH PROCESŮ ZATÍŽENÍ, NAMÁHÁNÍ A KMITÁNÍ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BRNĚ FAKULA SROJNÍHO INŽENÝRSVÍ ÚSAV MECHANIKY ĚLES, MECHARONIKY A BIOMECHANIKY CHARAKERISIKY SOCHASICKÝCH PROCESŮ ZAÍŽENÍ, NAMÁHÁNÍ A KMIÁNÍ doc. Ing. Miloš Vlk, CSc.

2 . Procesy v mechanických systémech a jejich analýza. Druhy procesů. Frekvenční analýza.. Fourierova řada.. Fourierova transormace. Deterministické procesy. Rozdělení deterministických procesů. Periodické procesy.. Harmonické procesy.. Neharmonické procesy.3 Neperiodické procesy.3. Kvaziperiodické procesy.3. Přechodové procesy 3. Stochastické procesy 3. Základní pojmy 3. Charakteristiky souboru realizací 4. Stacionární náhodné procesy 4. Pojem stacionarity 4. Charakteristiky stacionárních procesů druhého řádu 5. Ergodické náhodné procesy 5. Pojem ergodicita procesu 5. Hustota pravděpodobnosti 5.3 Časové hodnoty momentů 5.4 Časová autokorelační a autokovarianční unkce 5.5 Výkonová spektrální hustota 5.5. Fyzikální představa VSH 5.5. VSH a periodogram VSH a Fourierova transormace Různé způsoby prezentace spektra Cepstrum echnický význam VSH 5.6 Počet překročení úrovně 5.7 Rozdělení etrémů 6. Systémy stacionárních ergodických náhodných procesů 6. Vzájemná korelační a vzájemná kovarianční unkce 6. Vzájemná výkonová spektrální hustota 6.3 Koherenční unkce 6.4 Frekvenční přenos 7. Nestacionární procesy D- Procesy v mechanických systémech a jejich analýza D-. Druhy procesů Analýza dynamické soustavy zahrnuje jednak analýzu dynamických vlastností jako celku, jednak analýzu vstupních a výstupních veličin. V problematice zajímající strojního inženýra jsou vstupními veličinami síly, dvojice sil, tlaky atp., výstupními veličinami nejčastěji namáhání, deormace, výchylky, zrychlení přičemž všechny tyto veličiny jsou

3 v naprosté většině unkcemi času. Všechny tyto jevy v čase proměnné je možno shrnout pod společný pojem proces. V zásadě je možno rozdělit procesy na (obr. ): a) deterministické, b) stochastické (náhodné), c) smíšené, d) nehomogenní. 3 Obr. ad a) U deterministických procesů můžeme jejich velikost v libovolném okamžiku určit obecně ze soustavy dierenciálních rovnic a známých počátečních podmínek. Při opakování eperimentu za stejných podmínek probíhá deterministický proces vždy stejně. ad b) U stochastických procesů není možno přesně předpovědět jejich velikost; lze je pouze popsat pomocí charakteristik matematické statistiky. I při opakování eperimentu za stejných podmínek poskytuje stochastický proces navzájem se lišící průběhy. Příklad: namáhání podvozku automobilu při jízdě terénem. ad c) V prai se často setkáváme s procesy, které obsahují deterministickou i stochastickou složku ve zhruba stejném poměru. ento charakter má např. celá řada zatěžujících sil působících na stroje a zařízení v provozních podmínkách. ad d) Posuzování a analýzu strukturně nehomogenního procesu lze uskutečnit pouze pro jeho homogenní části navzájem spojené úseky přechodového charakteru. Některé procesy mohou být natolik nestacionární (resp. nehomogenní), že je obtížné je matematicky jednoduše popsat. Představu o charakteru namáhání v konstrukcích poskytují výsledky průzkumu americké irmy MS: konstantní amplituda harmonického průběhu %, konstantní amplituda trojúhelníkového průběhu 5 %, spektrum konstantních amplitud %, náhodné stacionární 9 %, náhodné nestacionární 3 %, náhodné kvazistacionární (stacionární ve střední hodnotě a rozptylu) 4 %, přechodové 3 %,

4 speciální 5 %. Jak je z tohoto přehledu zřejmé, zahrnují náhodné procesy téměř /3 všech procesů, procesy s konstantní amplitudou pak asi /5. Přitom při pevnostním posuzování se vychází výhradně z materiálových charakteristik získaných při zkouškách s konstantní amplitudou napětí nebo deormace, tedy za podmínek výrazně se lišících od provozních. Obdobně se dosud převážná většina ověřovacích laboratorních zkoušek životnosti uskutečňuje při konstantní amplitudě zatížení (případně při takovémto vícestupňovém zatížení). D-. Frekvenční analýza Pro řešení řady úloh je účelné transormovat časový průběh procesu (v našem případě mechanických soustav ať již buzení nebo odezvy) do rekvenční oblasti, tedy nahradit jej posloupností jeho rekvenčních složek. ato operace se nazývá rekvenční (kmitočtová) analýza. akto získané rekvenční složky poskytují důležité inormace především o zdrojích kmitání. Buzení libovolného časového průběhu (včetně rázů) je možno nahradit posloupností elementárních pulzů různých rekvencí a amplitud. o potom umožní vyšetřit u lineárních soustav odezvu na libovolné buzení. Z porovnání rekvenční analýzy buzení a odezvy je možno posoudit možnosti vzniku nebezpečných rezonančních stavů za různých provozních poměrů. Ze změny rekvenčních složek v průběhu používání konstrukce je možno usuzovat též na vznik a rozvoj porušení; této skutečnosti se využívá pro provozní diagnostiku. U periodických procesů se určení amplitud a ázových úhlů jednotlivých harmonických složek nazývá harmonickou analýzou; užívá se k tomu rozvoje do Fourierovy řady. Získaná spektra (amplitudová a ázová) jsou diskrétní. U náhodných procesů se ke stejnému účelu provádí Fourierova integrální transormace; získaná spektra jsou spojitá. Pro zjištění působení jednotlivých zdrojů mechanického kmitání na mechanickou soustavu jsou důležitá výkonová spektra, vyjádřená výkonovou spektrální hustotou. D-.. Fourierova řada Každy periodický proces je možno interpretovat jako superpozici nekonečně mnoha elementárních průběhů sinového nebo kosinového tvaru. Fourierova řada k dané unkci (t) (která splňuje Dirichletovy podmínky o spojitosti unkce v uvažovaném časovém intervalu) je nekonečná řada a t akcos kt bksin kt k k kde základní perioda ak tcosktdt bk tsinktdt. základní úhlová (kruhová) rekvence Vhodnější je vyjádření Fourierovy řady ve tvaru k =,,, k =,, 4

5 a A cos t A A k t k k k k k A a b k k =,, bk k arctg a Určování koeicientů Ak a k se nazývá harmonickou analýzou. Jednotlivé elementární průběhy Ak cos (kt + k) jsou nazývány harmonickými složkami nebo jen harmonickými. Veličina Ak je pak amplitudou a k ází harmonické složky. Přiřazení amplitud ke kmitočtu se nazývá spektrum amplitud; přiřazení ázových úhlů ke kmitočtu je pak spektrum ázových úhlů. Vzhledem k tomu, že koeicienty Ak jsou určeny jen hodnotami unkce v intervalu periodicity (, ), je možno sestrojit Fourierovu řadu i k unkci, která není periodická, ale která je buď deinována jen na intervalu (, ) nebo která je různá od nuly jen na konečném intervalu. Výkonové spektrum periodického signálu představuje výkony jednotlivých harmonických složek na odporu, čili posloupnost hodnot Ak /, kde Ak jsou amplitudy jednotlivých harmonických složek. oto spektrum popisuje rekvenční rozložení výkonu periodického signálu; součet všech jeho složek dává celkový výkon signálu. U jednorázových (neperiodických) průběhů mluvíme o energetickém spektru, které je popsáno spojitou unkcí, tzv. energetickou spektrální hustotou. D-.. Fourierova transormace U Fourierovy transormace (zkráceně F) se nahrazuje původní signál (originál) posloupností harmonických unkcí rozdílných rekvencí a ází tak, aby součet těchto jednoduchých vln dal originál. ato přímá F je deinována vztahem j t.ep X F t t e dt t j t dt Komplení unkce X() se potom nazývá Fourierovou transormací nebo obrazem komplení nebo reálné unkce (t). Originály je pak možno získat z obrazů zpětnou (inverzní) F deinovanou vztahem Ve složkovém tvaru t X ep j t d cos sin F t X t t dt j t t dt X Re X j.im X Je-li unkce (t) sudá, tj. platí-li (-t) = (t), pak unkce (t).cos(t) je také sudá a unkce (t).sin(t) je lichá; na na uvedeném intervalu potom je k 5

6 a tedy t sin t dt X t cos t dt t cos t dt Analogicky by se určila inverzní Fourierova transormace sudé unkce (t) cos t X t d Mají-li být celkové energie v časové a rekvenční oblasti stejné (Parsevalův teorém), musí platit t dt X d Při zpracování náhodných procesů na počítači se vychází z navzorkovaných dějů. Zde se potom využívá diskrétní Fourierova transormace (DF). V tomto případě má tedy jak originál tak i obraz diskrétní průběh. Výpočet DF je časově náročný předpokládá provést N kompleních násobení a N kompleních sčítání (N je počet vzorků). uto činnost eektivně zkracují algoritmy rychlé Fourierovy transormace (FF). D- Deterministické procesy a jejich charakteristiky D-. Rozdělení deterministických procesů Stručný přehled deterministických procesů je uveden na obr.. Z hlediska nebezpečí únavového porušení jsou důležité procesy periodické a kvaziperiodické. Do skupiny jiných procesů je možno zahrnout procesy s konstantní úrovní, procesy po částech konstantní. Obr. D-. Periodické procesy Proces charakterizovaný jednou skalární proměnnou t t, kde je perioda procesu, / Jeho střední hodnota v intervalu, je t je periodický, jestliže platí jeho rekvence. 6

7 t dt Z praktických důvodů je užitečnější eektivní hodnota e t dt RMS (RMS = root mean square) Dalšími charakteristickými veličinami jsou součinitel tvaru a součinitel výkmitu F c F t e výkmit (Výkmit je maimální hodnota veličiny v daném časovém intervalu.) D-.. Harmonické procesy Jsou základním případem periodických procesů; lze je popsat unkcí e cos t A t t. kde A je amplituda a je počáteční ázové posunutí proměnné v čase Amplitudové spektrum je diskrétní; znázorňuje se jako oboustranné nebo jako jednostranné (obr. 3) 7 Obr. 3 Střední hodnota harmonického procesu za půlperiodu je Eektivní hodnota Součinitel tvaru Součinitel výkmitu / Asintdt A,636 A / / e RMS A sin tdt A,77 A / e Ft, Fc,44

8 Všimněme si ještě výkonu u harmonického procesu. Okamžitý výkon procesu je úměrný čtvrci okamžité hodnoty procesu: tak např. u mechanického kmitání je úměrný čtvrci výchylky, u elektrického proudu čtvrci napětí atd., tedy Střední výkon za jednu periodu je P c t c c A Pstř t dt Acost dt Výkonové spektrum se vyjadřuje jako oboustranné nebo jako jednostranné (obr. 4) - obdobně jako dříve uvedené amplitudové spektrum. D-.. Neharmonické procesy Obr. 4 ento druh procesů může vzniknout z jednoduchých harmonických procesů, jejichž periody (a tedy i kmitočty) jsou v poměrech, které jsou racionálními čísly. Je-li alespoň jdden z těchto poměrů iracionální číslo, jedná se o neperiodický proces. o tedy též znamená, že neharmonický periodický proces je možno rozložit na řadu harmonických procesů, jejich periody jsou vůči sobě v poměrech, které jsou racionálními čísly. Mohou být popsány unkcí kde p,,3... t t p v Základní rekvence v odpovídá největšímu společnému děliteli rekvencí dílčích harmonických procesů. v je základní perioda; je rovna společnému násobku dílčích period. v 8

9 ak např. na obr. 5 je znázorněn proces Zde je : :, : : 3 3 základní perioda b, b,5, b,5 3 Obr. 5 sin,5cos 4,5sin 6 t t t t 3 s v 3, což jsou racionální čísla. Základní rekvence v Hz. Nenulové koeicienty Fourierovy řady jsou. Základní rekvence se nemusí vždy ve vyšetřovaném procesu objevit jako jedna z jeho složek. ak např. u procesu s Hz, Hz, Hz je základní rekvence v 5 Protože Hz, základní perioda / v, v 6, v / 5 chybět všechny složky s výjimkou Příklad 75 s, takže v tomto případě, s t t m, / 3 v k, k 5, k 3, budou při rozkladu do Fourierovy řady Určete prvé čtyři harmonické složky periodického pohybu znázorněného na obr. 6, jeli, s s.., Výsledek: Obr. 6 a b ω (s - ) -,383 -,6 3,4,59 6,83 3,6,5 9,45 4 -,796,566 Příklad Periodickou unkci podle obr. 7 rozveďte do Fourierovy řady. Perioda s. 9

10 Obr. 7 Řešení se zjednoduší vhodnou volbou počátku podle obr. 7b). Fukce se stane sudou, takže. Je tedy nyní b k t A t Výsledek: Pro sudá k jsou ak t pro / 4 pro / 4 t 3 / 4, pro lichá k jsou a k střídavě kladné a záporné. a ω (s - ),6366 3,4 3 -, 9,45 5,73 5,78 7 -,99,99 Na obr. 7c) je naznačen průběh unkce vzniklé superpozicí., 3. a 5. harmonické. D-.3 Neperiodické procesy D-.3. Kvaziperiodické procesy Jsou to takové procesy, u nichž poměry rekvencí jednotlivých složek nejsou racionálními čísly např. sin cos 3 t A t A t Protože každé iracionální číslo je možno přibližně nahradit blízkým racionálním číslem, jedná se zde tedy o přibližnou periodicitu se základní periodou (obecně) nekonečně dlouhou. D-.3. Přechodové procesy Přechodové procesy se mohou vztahovat k různým yzikálním jevům. ak např. (obr. 8)

11 a) b) c) t Aep at t t Aep at cosbt t t A Obr. 8 pro pro pro pro t t t t pro t c pro t c ypickou vlastností přechodových procesů je krátká doba trvání. Charakteristickým rysem ve srovnání s dosud uvedenými procesy je, že nemají diskrétní, ale spojité rekvenční spektrum. D-3 Stochastické procesy Využití teorie náhodných procesů v oblasti dynamiky, pevnosti a životnosti konstrukcí je zvláště významné, neboť převážná většina veličin, které se zde uplatňují má náhodný charakter. o se týká především procesů zatížení a odezvy na toto zatížení. Rovněž náhodný charakter ve struktuře a složení materiálu vyžaduje statistický přístup při hodnocení výchozích charakteristik únosnosti materiálu. Ale též proces nukleace a růstu únavových trhlin má stochastický charakter - a to i při deterministickém (např. harmonickém) zatěžování. D-3. Základní pojmy Klasická teorie pravděpodobnosti studuje vlastnosti náhodně proměnných; v rámci pokusu nabývá tato proměnná předem neznámou jedinou hodnotu. Náhodný jev je statický. V prai se ale často setkáváme s proměnnými, které se v průběhu pokusu (tedy v závislosti na čase) mění (obvykle spojitě). Výsledkem náhodného pokusu je potom časová unkce, která nabývá náhodných hodnot. Náhodný proces potom můžeme charakterizovat jako množinu možných rozdílných unkcí času, tzv. realizací náhodného procesu. U náhodného procesu je čas t spojitý parametr; nabývá-li pouze diskrétnách hodnot, mluvíme o náhodné posloupnosti. D-3. Charakteristiky souboru realizací Uvažujme řez stochastickým procesem X(t) v čase t = t (obr. 9).

12 Potom je možno deinovat pravděpodobnost, P X t F t ato unkce dvou proměnných, t se nazývá jednorozměrná distribuční unkce. Z ní plyne jednorozměrná hustota pravděpodobnosti, t F, t Obr. 9 Dále je možno deinovat první pravděpodobnostní element náhodného procesu, který vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina leží v nekonečně malém intervalu mezi a, t d d pro hodnotu parametru t t. X t Uvedené charakteristiky popisují náhodný proces pouze v jediném časovém okamžiku. Ani zvětšený počet těchto okamžiků mepřispívá výraznhě k dokonalejšímu poznání procesu. Pro získání představy o vývoji procesu v čase je vhodné zabývat se charakteristikami vztahujícími se ke dvěma hodnotám parametru t (obr. ). Dvojrozměrná distribuční unkce (distribuční unkce druhého řádu) je pak deinována ;, ;, P t t F t t Analogicky jako v předchozím též eistuje dvojrozměrná hustota pravděpodobnosti,t ;,t F,t ;,t

13 Obr. Podobně by bylo možno postupovat k dalším, vícerozměrnějším charakteristikám. Rozdělení pravděpodobnosti též určují číselné charakteristiky momenty. Z jediného řezu náhodným procesem X(t) v čase t je možno určit: a) obecný moment s-tého řádu deinovaný vztahem s ms t,td Z nich nejdůležitější je obecný moment prvního řádu střední hodnota náhodného procesu v čase t b) centrální moment s-tého řádu m t a t,t d s s t a t,t d Z nich nejvýznamnější je centrální moment druhého řádu rozptyl (disperze) náhod;ného procesu v čase t t a t,t d Na obr. jsou uvedeny ukázky náhodných procesů, z nichž je zřejmé, že jak střední hodnota tak ani rozptyl nepostihují vnitřní stav procesů. K tomuto napomáhají momenty získané ze dvou řezů v časových okamžicích t a a to: t 3

14 X t X t Obr. a) smíšený obecný moment druhého řádu systému dvou náhodných proměnných a - korelační unkce, daná vztahem X t R t, t m t t,, t, t d d b) smíšený centrální moment druhého řádu systému dvou náhodných proměnných a - kovarianční unkce, pro níž platí X t, K t t m t a t t a t,,,, K t t a t a t t t d d Pro t t t je, R t t m t, K t t t m t m t Poznámka a část teorie náhodných procesů, která využívá jen momentů prvých dvou řádů, se nazývá korelační teorie náhodných procesů. V rámci korelační teorie není třeba znát hustotu pravděpodobnosti vyšší než dvourozměrnou. Je však zřejmé, že dvourozměrné rozdělení ani korelační unkce nemohou popsat náhodný proces tak podrobně jako vícerozměrné rozdělení. Mimo to mohou různým procesům odpovídat stejné korelační unkce, neboť rovnost korelačních unkcí ještě neznamená identitu procesů. Do dnešní doby je však rozpracována pouze korelační teorie do té míry, že ji lze využívat v inženýrských aplikacích. Proto také další výklad bude probíhat v rámci korelační teorie (neboli náhodných procesů druhého řádu). 4

15 D-4 Stacionární náhodné procesy D-4. Pojem stacionarity Užší kategorií náhodných procesů jsou stacionární procesy. Podmínku stacionarity je možno klást různě: a) za stacionární náhodný proces se považuje takový proces, jehož hustoty pravděpodobnosti libovolného řádu (tj. prvého, druhého atd. až n-tého) se nemění při změně počátku, od něhož počítáme čas. ak např. pro n-tý řád,,... ;t,t,...t,,... ;t,t,...t n n n n yto hustoty pravděpodobnosti jsou tedy časově invariantní. Procesy splňující tuto podmínku se nazývají stacionární v úzkém smyslu nebo též silně (striktně) stacionární. b) za stacionární stochastický proces se považuje takový proces, jehož jednorozměrné a dvourozměrné hustoty pravděpodobnosti jsou časově invariantní (hustoty pravděpodobnosti vyšších řádů mohou být časově závislé). akového procesy se nazývají stacionární v širším smyslu nebo slabě stacionární nebo též stacionární procesy druhého řádu. ěmito procesy se budeme v dalším zabývat, neboť se vztahují na oblast platnosti korelační teorie. Je tedy u nich: jednorozměrná hustota pravděpodobnosti nezávislá na argumentu t, dvourozměrná hustota pravděpodobnosti je kromě argumentů a unkcí pouze rozdílu proměnných, tj. unkcí pouze jedné další spojité proměnné. t t Praktický význam korelační teorie stacionárních náhodných procesů je zdůrazněn ještě tou skutečností, že největší třída stacionárních náhodných procesů normální (gaussovy) procesy jsou úplně deinovány pouze korelační ukcí. D-4. Charakteristiky stacionárních procesů druhého řádu Střední hodnota a rozptyl stacionárního procesu jsou v čase konstantní: m t a d t a d m t a Korelační a kovarianční unkce (a to jak auto- tak i vzájemné) jsou unkcemi časové dierence (zpoždění) : t t R m t t,, dd K m t a t a a a,, dd 5

16 přičemž platí (obr. ) K R a Obr. Odchylky procesu od jeho střední hodnoty, tj. X t a, se též nazývají luktuacemi procesu. O kovarianční unkci je potom možno hovořit jako o korelační unkci luktuací. Na obr. jsou naznačeny některé další vlastnosti korelační unkce: lim R R m lim R R a R R R R Jestliže obsahuje stacionární proces periodickou složku, projeví se to charakteristickým způsobem na průběhu korelační unkce: lze na něm odečíst periodu této periodické složky (obr. 3), které jsou nenulové i pro. Obr. 3 Na obr. je patrný pokles R k a a K k nule pro. Prakticky je však možno hovořit o nekorelovatelnosti náhodných proměnných ze dvou řezů, jestliže je časový rozdíl dostatečně velký. ato doba se potom nazývá interval korelace (obr. 4). 6

17 Interval korelace je deinován Obr. 4 a) buď jako doba, při níž hodnota korelační unkce poklesne pod zvolenou hodnotu, tj. R b) nebo jako délka, jehož plocha je rovna ploše pod křivkou R, pro : obdélníka s výškou R R d R O některých dalších vlastnostech korelační unkce je pojednáno v následující kapitole o ergodických procesech. Ukažme si nyní na několika příkladech tvar autokorelační (resp. autokovarianční) unkce procesu obsahujícího periodickou složku. Příklad 3 Je dána unkce náhodného procesu kde A, sin t A t jsou deterministické veličiny (kladné hodnoty), je náhodná veličina s rovnoměrným rozdělením v intervalu Jedná se o stacionární proces? Řešení. Střední hodnota procesu je m t d Hustota pravděpodobnosti rovnoměrného rozdělení je Potom dostaneme. 7

18 A m t sin t d Je tedy střední hodnota konstantní, nezávislá na čase proces je potom stacionární ve střední hodnotě. Autokorelační unkce V našem případě, R t t m t t t t Asin t takže Rozptyl t t Asin t,,,, R t t R t t K t t K t t A K t t t t d K, cos A K je rovněž na čase nezávislý. Jedná se tedy o stacionární proces. Příklad 4 Uvažujme náhodnou unkci harmonického kmitání kde,t jsou konstanty cos t A t A je náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti Jedná se o stacionární proces? Řešení. Střední hodnota procesu je deinována V našem případě je A m t d. 8

19 Po integraci m t Acos t A da cos t A A da cos m t t m A Střední hodnota je závislá na čase, jedná se tedy o nestacionární proces. Příklad 5 V náhodné unkci harmonického kmitání je konstantou, A, cos t A t A, jsou náhodné veličiny. Předpokládejte, že ázový posuv nezávisí na amplitudě A a má v daném intervalu rovnoměrné rozdělení. Je tato unkce stacionární? Řešení. Jak plyne ze zadání, je tato unkce popsána dvourozměrnou hustotou pravděpodobnosti Střední hodnota procesu je A A, Po dosazení a integraci m t d m t Acos t A d da Proces je stacionární ve střední hodnotě. Autokorelační unkce je v tomto případě pak rovna autokovarianční unkci, neboť se jedná o centrovaný proces (střední hodnota je nulová). Potom je,, K t t d d K t, t Acost Acost AdAd 9

20 K t, t A AdA cost cost d K t t m A t t A K, cos cos Autokovarianční unkce rovněž nezávisí na čase. Jedná se tedy o stacionární proces. Rozptyl procesu je D-5 Ergodické náhodné procesy D-5. Pojem ergodicita procesu K A Ergodické procesy jsou významnou podskupinou stacionárních procesů. Zjednodušeně je možno říci, že proces je ergodický, jestliže každá samostatná realizace náhodné unkce se jeví jako zplnomocněný představitel celého souhrnu možných realizací. Jedna realizace při dostatečné délce může při zpracování nahradit množinu realizací téže délky (tak je tomu na obr. 5a, nikoliv však na obr. 5b). Obr. 5 Podle přesnější deinice nazýváme náhodný proces ergodickým, jestliže každou statistickou charakteristiku, kterou jsme získali jako střední hodnotu na množině možných realizací, můžeme (s pravděpodobností blízkou jedné) získat z jediné realizace náhodného procesu za dostatečně dlouhý časový interval. V tomto případě se jedná o striktně (silně) ergodický proces. Pokud se uvedené vlastnosti vztahují pouze na střední hodnotu a korelační (nebo kovarianční) unkci, jedná se o proces slabě ergodický (ergodický v širším smyslu). Ergodicita a stacionarita náhodného procesu jsou dvě nezávislé vlastnosti. Nutnou podmínkou ergodicity je stacionarita; není to však podmínka postačující. Prakticky je náhodný proces ergodický (v širším smyslu), když je stacionární v širším smyslu a jeho střední hodnota v čase (časová střední hodnota) a korelační unkce v čase (časová korelační unkce) jsou pro všechny realizace stejné. Výsledky rozborů ukazují, že převážnou většinu procesů je možno pokládat za ergodické.

21 Při řešení konkrétní úlohy však předem obvykle nevíme, zda vyšetřovaný proces vyhovuje podmínkce stacionarity a jsme-li tedy oprávněni použít vztahy založené na ergodických vlastnostech. Potom se často postupuje následujícím způsobem (obr. 6): Obr. 6. předpokládáme stacionárnost a ergodičnost analyzovaného procesu,. rozdělíme celý záznam na několik dílčích souborů, 3. každý soubor považujeme za ergodický a vyhodnotíme jejich charakteristiky, 4. jsou-li rozdíly středních hodnot a rozptylů u jednotlivých souborů statisticky nevýznamné, jedná se o stacionární proces a u něhu uszujeme na oprávněnost ergodicity. Ukáže-li se, že se jedná o nestacionární proces, je nutno použít zvláštních vyhodnocovacích postupů. D-5. Hustota pravděpodobnosti Hustota pravděpodobnosti náhodného procesu udává pravděpodobnost, s níž lze předpokládat, že hodnota tohoto procesu leží v určitém intervalu a to v libovolném časovém okamžiku. Uvažujme záznam realizace procesu (obr. 7). je dána poměrem Potom pravděpodobnost, že /, kde, po celou dobu měření Obr. 7. t bude ležet v mezích od do je součet ti, tj. celková doba, v níž i : P t lim Hustota pravděpodobnosti potom je t je v intervalu

22 Pro malé je lim P t lim Na obr. 8 jsou ukázány některé příklady procesů a jim odpovídající hustoty pravděpodobnosti: a) harmonický proces, b) harmonický proces se superponovaným náhodným šumem, c) úzkopásmový náhodný proces, d) širokopásmový náhodný proces Obr. 8 Analyticky je možno popsat hustotu pravděpodobnosti harmonického procesu X pro X pro X Hustota pravděpodobnosti náhodných procesů (obr. 8 c, d) odpovídá velmi často Gaussovu rozdělení, pro něž platí

23 ep Příklady některých dalších, často se vyskytujících rozdělení, jsou uvedeny na obr.9. Obr. 9 Hustota pravděpodobnosti pro Rayleighovo rizdělení je ep pro Pro eponenciální rozdělení platí ep c c pro Příklad 6 Určete hustotu pravděpodobnosti harmonického kmitání kde A, jsou konstanty sin t A t, je náhodná veličina s rovnoměrným rozdělením v intervalu Řešení Hustota pravděpodobnosti ázového úhlu je tedy pro pro jiné Lze ji vyjádřit jako P 3

24 Pro hustotu pravděpodobnosti unkce t Protože unkce je dvouznačná, platí Z toho plyne pro d d Derivací Potom pro A.. platí P P d d d d d Acos t A sin t A d A A Pro A je. D-5.3 Časové hodnoty momentů Budou zde uvedeny pouze ty nejužívanější. Pro rozlišení od charakteristik souboru realizací budou časové charakteristiky jedné realizace označeny vlnovkou. První obecný moment v čase (časová střední hodnota) je deinována vztahem 4 lim m t t dt uto hodnotu je možno chápat jako stejnosměrnou složku průběhu t. U ergodických procesů platí Druhý obecný moment v čase je Z něho plyne eektivní hodnota m t m t a m t lim t dt e m t

25 Pro ergodické procesy je m X t m X t Časový rozptyl (druhý centrální moment v čase) Pro ergodické procesy platí t lim t dt t t a Velikosti těchto momentů jsou navzájem vázány vztahem t m t m t Při praktickém zpracování náhodných procesů na počítači je spojitý průběh nahrazen diskrétními hodnotami, získanými vzorkováním v časových okamžicích tk, kde k =,, m (obr. ). Obr. D-5.4 Časová autokorelační a autokovarianční unkce Časová autokorelační unkce je deinována vztahem R lim t t dt Geometrický význam této unkce je znázorněn na obr., kde je vedle průběhu reali- nakreslen též její průběh posunutý o časový interval. zace t 5

26 6 Obr. Obě křivky se od sebe více (vpravo) nebo méně (vlevo) liší, Mírou jejich rozdílu vlivem časového posunutí je plocha pod novou křivkou, vzniklou součinem ; t t výška obdélníka o stejné ploše odpovídá časové korelační unkci. Korelační a kovarianční unkce tak udávají míru podobnosti mezi dvěma časovými průběhy jako unkci časového posunutí (vzájemná korelace) nebo míru s níž unkce koreluje sama se sebou jako unkce časového zpoždění (autokorelace). U ergodických procesů je R R Při určování autokorelační unkce z navzorkovaných hodnot se vychází z výrazu mn R lim t t k k m n k Požadavek nekonečného časového intervalu není ovšem prakticky splnitelný; je však třeba, aby tento interval byl dostatečně dlouhý. o je jedn z nezbytných předpokladů dosažení téměř stejných výsledků při opakovaném měření za stejných podmínek. Obdobně platí pro autokovarianční unkci u centrovaných procesů K t a t a dt K R a lim. Odchylky procesu od jeho střední hodnoty se nazývají luktuacemi procesu. O autokovarianční unkci je pak možno hovořit jako o korelační unkci luktuací. t přičteme deterministickou unkci t, získáme náhodnou unkci Jestliže k náhodné unkci Pro autokovarianční unkci pak platí yt t t K yy K

27 o plyne přímo z deinice K, neboť v tomto případě t m t y t m y t Pro vzájemné porovnání stacionárních procesů se používá normovaná autokorelační unkce (součinitel autokorelace) pro níž platí R R m t R Příklady autokorelačních unkcí deterministických procesů jsou uvedeny na obr.. Zde je: a) konstantní unkce, b) harmonický proces. Obr. 7 Obr. 3 Na obr. 3 jsou potom ukázky stacionárních náhodných procesů:. a) úzkopásmový proces, b) náhodný proces s rekvenčním omezením střední velikosti,

28 c) širokopásmový proces, d) teoretický bílý šum Závěrem tedy můžeme shrnout technický význam určování korelační unkce:. inormuje nás o rekvenčních složkách procesu; názorněji však tuto službu poskytne průběh výkonové spektrální hustoty. Dříve se výkonová spektrální hustota získávala Fourierovou transormací korelační unkce;. normovaná autokorelační (nebo autokovarianční) unkce umožňuje porovnání dvou nebo více náhodných procesů vzhledem k typu korelační unkce; 3. autokorelační unkce umožňuje analyzovat náhodné procesy obsahující periodické složky. Příklad 7 Je náhodný proces z příkladu 3 též egodický? Řešení Časová střední hodnota Po integraci 8 m t lim t dt lim Acos t dt m t m t Náhodná unkce je tedy ergodická vzhledem ke střední hodnotě. Autokovarianční časová unkce je K lim t t dt lim Acost Acos t dt Po integraci K A cos K Náhodná unkce je ergodická i vzhledem k autokorelační unkci. Příklad 8 Jedná se v příkladu 5 též o ergodický proces? Řešení Časová střední hodnota je m t lim tdt lim Acost dt Náhodná unkce je ergodická vzhledem ke střední hodnotě neboť je m t m t Autokovarianční unkce byla určena v příkladu 7 a je A K cos Funkce není ergodická vzhledem ke korelační unkci, neboť je

29 a tedy K A cos K K Příklad 9 V prai se často vyskytuje stacionární proces typu t t Acos t kterýje složen z harmonického procesu (majícího konstantní šum představovaný náhodným procesem, jehož střední hodnota je nulová a auokovarianční unkce je t A,, na němž je superponován K ep Jaký tvar bude mít autokovarianční unkce procesu Řešení t? (Procesy jsou nekoherentní.) Autokovarianční unkce harmonického procesu byla určena v příkladu 7 ve tvaru Autokovarianční unkce procesu A K cos t A K K K ep cos je () () Hodnota autokovarianční unkce šumu klesá k nule a pro dostatečně velké ji lze zanedbat. Potom je prakticky A K cos Z této unkce je pak možno určit úhlovou rekvenci, amplitudu A a rozptyl harmonického procesu A A K D-5.5 Výkonová spektrální hustota (VSH) ato charakteristika popisuje náhodný proces ve rekvenční oblasti. (U dvou náhodných procesů to je potom vzájemná výkonová spektrální hustota.) D-5.5. Fyzikální představa VSH Uvažujme ergodický centrovaný proces v intervalu,. Jeho kovarianční unkce K je sudá unkce s periodou /, ji rozvineme do Fourierovy řady. V intervalu 9

30 kde (pro k,, atd.) K D.cos k k k k k k nebo též (pro k =,, atd.) ento výraz využijeme v dalším. edy celkový rozptyl stacionárního náhodného procesu je roven součtu dílčích rozpty- způsobených úhlovými rekvencemi pro lů D k k Pro je Dk K.cosk d Dk K.cosk d K K t D k k Vzdálenost mezi jednotlivými rekvencemi je o též znamená, že /, / k k k, k k D k. Čím bude je rozptyl tvořený rekvencemi v intervalu větší, tím bude rozklad celkového rozptylu procesu vzhledem k rekvencím. Vytvoříme podíly (obr. 4) Dk S k menší a tím jemnější bude Potom Obr. 4. 3

31 a z toho Je tedy Pro jednotlivá k (a tedy odpovídající úhlové rekvence) lze určit hodnoty unkce G k.cos k k. k D K d S S k k k k.cos.cos S K d K d G G k k k k G K.cos d je rozpojitá unkce výkonové spektrální hustoty pro k,, 3...atd. a jim příslušné rozptyly. yto dílčí rozptyly jsou způsobeny úhlovými rekvencemi, které leží v intervalech a tedy též k k D k /, /. Uvážíme dále, že pro rozptyl harmonického procesu (s amplitudou A) platí t A což je amplituda harmonického procesu k k k A D G. A sin t k k k A. t rekvenčnímu intervalu, přičemž rozptyly tohoto harmonického procesu a jsou stejné. Velikosti amplitud A k rekvenční interval Pro rostoucí, takže jednostranná spektrální výkonová hustota bude, který lze přiřadit ke každému D k charakterizují to, jak významně je v náhodném procesu obsažen příslušný /, / k bude k G. k G G K.cos d Obdobně pro - bychom dostali i oboustrannou výkonovou spektrální hustotu.cos.cos S K d K d G Rozměr výkonové spektrální hustoty je tedy [U / rad]. Připomeňme, že jednostranná spektrální hustota je deinována v oblasti kladných rekvencí (tedy rekvencí yzikálně reálných), zatím co oboustranná spektrální hustota se vztahuje na oblast kladných i záporných rekvencí (obr. 5). 3

32 dostaneme Podobným postupem dosazením Obr. 5 k k. D S k.cos k k..cos k K D S Po přechodu na integrál k k.cos.cos.cos K S d S d G d Poznámka Kromě shora uvedených vztahů se užívají i některé jiné vztahy, které se liší konstantami před znakem integrálu. Zde uvedené vztahy se užívají přednostně, neboť a S G znamenají přímo rozklad rozptylu ve správných yzikálních veličinách, bez nutnosti úpravy násobnou konstantou. V technických aplikacích se pracuje spíše s rekvencí Protože pro musí platit K rozptyl G d G d plocha plyne z toho s uváženímd d a tedy též. G G 4.cos G K d S Rozměr výkonové spektrální hustoty je potom [U / Hz]., : než s kruhovou rekvencí. Výkonová spektrální hustota umožňuje stanovit výkon v určitém rekvenčním pásmu 3

33 Pro Pro Platí též P, G d.cos.cos K G d S d Pro necentrovaný proces nahradíme K autokorelační unkcí R G 4 R.cos d S R G.cos d S.cos d S R d R m t S d G d Uvedené souvislosti jsou graicky znázorněny na obr. 6., takže např. 33 Obr. 6 Pro vzájemné porovnání unkcí spektrálních hustot se užívá normovaná unkce spektrální hustoty nor S S R

34 G nor G R D-5.5. VSH a periodogram Je-li doba měření, pak lze pro každou realizaci vypočítat rekvenční spektrum Funkce Z j t j t X t. e dt t. e dt Z X se nazývá periodogram. Střední hodnota těchto souboru unkcí dává pro výkonovou spektrální hustotu náhodného procesu S lim E X Pomocí jedné realizace je možno výkonovou spektrální hustotu deinovat Přitom S lim lim X d a odtud S lim X D VSH a Fourierova transormace R Původní signál = originál. Výkonová spektrální hustota náhodného procesu (t) je Fourierovou transormací jeho autokorelační unkce S F R R.ep j d Protože R() je reálná sudá unkce, je (viz odst. o Fourierově transormaci) a rovněž.cos.cos S R d R d 34

35 G S 4 R.cos d Podobným způsobem bychom dostali korelační unkci zpětnou Fourierovou transormací výkonové spektrální hustoty R S.cos d S.cos d G.cos d yto vztahy odvodili N. Wiener a A.J. Chinčin. D Různé způsoby prezentace spektra G U / Hz Nejčastějši se rekvenční spektrum prezentuje pomocí jednostranné výkonové spektrální hustoty s yzikálním rozměrem [ ] kde U rozměr vyšetřované náhodné veličiny. Protože pro centrovaný náhodný proces platí G A je možno určit ekvivalentní amplitudu harmonického procesu A G kde je rozdíl rekvencí sousedních složek spektra (krok v odhadu výkonové spektrální hustoty při číslicovém zpracování signálu); odpovídá rozlišovací schopnosti analýzy: vz N N Zde je vz vzorkovací rekvence ( vz / vz ), N je počet vzorků, je délka vyhodnocovaného úseku. Maimální možná vyhodnocovaná rekvence je potom vz vz /. Pro spektra s významnými izolovanými složkami je vhodnější používat přímo výkonové spektrum, jehož složky mají jednotky výkonu [ U ]. Výkonové spektrum se získá násobením složek výkonové spektrální hustoty rozdílem rekvencí složek spektra. Další možností je prezentace spektra s eektivními hodnotami složek; jednotlivé složky, mající rozměr [U ], se získají odmocněním složek výkonového spektra. U procesů představujících přechodový děj je vhodné uvádět energetickou spektrální hustotu. Její složky, vzniknou vynásobením složek výkonové spektrální hustoty dobou trvání záznamu. Mají rozměr [ D Cepstrum U s/hz ]. Je vhodné pro určení harmonických složek ve rekvenčním spektru. 35

36 Cepstrum (výkonové autospektrum) C Fourierova transormace logaritmu výkonové spektrální hustoty : log C F S je nejčastěji deinováno jako inverzní Soubor harmonických je potom v cepstru vyjádřen jediným maimem. Pro deinice veličin takovéto úpravy se ujalo speciické názvosloví, vycházející z označení určité veličiny uplatněním přesmyčky: spektrum cepstrum harmonické rahmonické rekvence querence iltrování litrování atd. D echnický význam VSH Závěrem stručně shrňme technický význam výkonové spektrální hustoty:. Pro jednotlivé rekvenční intervaly /, / udává příslušné hodnoty k k k k dílčích rozptylů (u centrovaného procesu) resp. druhých obecných momentů, tj. výkonů (u necentrovaného procesu). yto údaje ukazují na významnost podílů rekvenčních intervalů v uvažovaném procesu.. Názorným způsobem ukazují vlastní rekvence a rekvence budicích sil studované dynamické soustavy. 3. Pomocí výkonové spektrální hustoty je možno stanovit amplitudy jednoduchých harmonických procesů s náhodnou ází, jimiž můžeme aproimovat náhodný proces. yto amplitudy jsou měřítkem významnosti jednotlivých rekvencí obsažených v náhodném procesu. 4. Je jedním ze základních vstupních veličin při posuzování životnosti v oblasti vibrační únavy (Vibration Fatigue). ato metoda posuzování přichází v úvahu v těch případech, kdy nelze určit časový průběh napěťově deormační odezvy a posouzení je nutno uskutečnit ve rekvenční oblasti. Příklad Pro kovarianční unkci ergodického náhodného procesu K ep (naznačené na obr. 7 a) určete unkci výkonové spektrální hustoty. 36 Obr. 7

37 Řešení Pro tuto unkci platí Po integraci.cos.cos S K d K d G S ep cos d S D-5.6 Počet překročení úrovně V problematice dynamické pevnosti a životnosti je důležité znát, zda zatížení nebo napěťově-deormační odezva nepřekročily jistou úroveň (hladinu) v průběhu provozování konstrukce. Pokud došlo k tomuto jevu, je pak třeba určit četnost jeho výskytu. Řešení této úlohy pro obecné případy je značně obtížné; zde uvedené výsledky se týkají jen zvláštních případů procesů. Obr. 8 K překročení úrovně (k průchodu touto hladinou) může dojít dvěma způsoby (obr. 8): v kladném smyslu, kdy derivace je kladná (na uvedeném obrázku to je naznačeno t kroužky), v záporném smylu při záporné hodnotě této derivace. omu odpovídají kladné jednotku. Pro stacionární procesy lze odvodit n c a záporné n c nc nc c, d počty překročení úrovně c za časovou 37

38 Zde c, je sdružená hustota pravděpodobnosti procesu t d / dt t, přičemž za Střední počet kladných překročení v čase t je dosazena daná úroveň c. je N c t n c U stacionárních normálních centrovaných procesů platí, že t a t a jeho první derivace t jsou ve stejný časový okamžik nekorelovány, takže sdruženou hustotu pravděpodobnosti lze vyjádřit přičemž platí kde D D..rozptyl procesu..rozptyl derivace Po dosazení a integraci n c t t, ep ep c D c ep ep D D Po zavedení tzv. eektivní rekvence e deinované potom dostaneme n e c D D e c ep D Z toho též plyne, že střední počet překročení nulové hladiny n D D e c edy eektivní rekvence udává průměrnou rekvenci kladných průchodů nulovou hladinou procesu. Další užitečnou charakteristikou je střední počet lokálních maim procesu n m za časovou jednotku. Odpovídá střednímu počtu průchodů derivace náhodného procesu t nulovou hodnotou. Obdobně jako v předchozím lze vyjádřit 38

39 Po dosazení a integraci dostaneme nm, d n m D D Uvedené rozptyly náhodného procesu a rozptyly jeho derivací se vyjadřují pomocí spektrálních momentů k-tých řádů deinovaných buď jako nebo jako Mezi nimi platí vztah Lze odvodit k k k M S d G d k mk G d M k k m D M m k D M m D M m Potom střední počet překročení nulové hladiny je a střední počet lokálních maim D M m n D M m e Jejich poměr n m D M m D M m 4 4 n M m n M M m m m 4 4 je vhodným ukazatelem rekvenční struktury náhodného procesu (jak bude ukázáno v následující podkapitole). 39

40 D-5.7 Rozdělení etrémů Zajímavá je rovněž otázka charakteru rozdělení lokálních etrémů (lokálních maim nebo lokálních minim) vyskytujících se nad (nebo pod) určitou úrovní (hladinou). Podrobné odvození překračuje rámec tohoto tetu; budou zde proto uvedeny pouze výsledky vztahující se k náhodnému procesu s normálním rozdělením se stručným komentářem. Pro takovýto případ odvodil Rice výraz pro hustotu pravděpodobnosti lokálních ma- ; vzhledem k délce tohoto vztahu jej rozdělíme na dvě části: im Zde m... m m m m m ep m m m m ep je distribuční unkce normovaného normálního rozdělení, parametr byl deinován v předchozí podkapitole. Funkci m lze též vyjádřit pomocí chybové unkce jako Po zavedení normované veličiny dostaneme m m m er M m M M M M ep M ep Průběh této unkce hustoty pravděpodobnosti je znázorněn na obr. 9. Je z něho patrné, že můžeme rozlišit dva krajní případy: případ, kdy ; potom druhý člen shora uvedeného výrazu je nulový a dostáváme M M ep což je hustota pravděpodobnosti normálního (Gaussova) rozdělení. Jedná se o případ širokopásmového procesu. 4

41 případ, kdy a pro pro M M je Obr. 9 ; potom prvá část výrazu je nulová, ve druhé potom je M M M ep M, takže. V tomto případě se jedná o Rayleighovo rozdělení, které popisuje hustotu pravděpodobnosti lokálních etrémů úzkopásmového procesu. Reálné provozní procesy leží mezi těmito dvěma krajními případy. Příklady těchto dvou procesů jsou ukázány na obr. 3 Obr.3 4

42 D-6 Systémy stacionárních ergodických náhodných procesů Budeme tím rozumět dva náhodné procesy, které jsou navzájem v určitém vztahu ať již geometrickém (např. složky rypných sil) nebo yzikálním (např. závislost mezi vstupembuzením a výstupem-odezvou mechanické soustavy). Může se dokonce jednat i o procesy, mezi nimiž není na první pohled zřejmá souvislost. Uvažujme v dalším systém dvou stacionárních ergodických procesů K vyjádření vzájemných statistických vazeb mezi těmito dvěma procesy se používá vzájemná korelační (resp. kovarianční) unkce a vzájemná výkonová spektrální hustota (oboustranná nebo jednostranná). D-6. Vzájemná korelační a vzájemná kovarianční unkce yto unkce jsou deinovány vztahy (obr. 3). Ry lim t y t dt t Ky lim t m t y t m y t dt Ky Ry m t m y t a y t. Ry Obr. 3 je reálná unkce, která však může nabývat jak kladných, tak i záporných hodnot. Na rozdíl od autokorelační unkce však vzájemná korelační unkce nemusí nabývat svého maima pro a nemusí být sudou unkcí. Platí pro ni: R y R y y y R R R Ry R Ry Nejsou-li uvažované náhodné procesy korelované, je jejich vzájemná kovarianční unkce nulová pro všechna posunutí a vzájemná korelační unkce 4

43 R y m t m y t pro všechna. Jsou-li oba náhodné procesy korelované, je unkce alespoň pro některá nenulová a pro určité dosahuje maima. K y Osahuje-li.y periodickou část, má vzájemná korelační unkce pro větší posunutí periodický průběh. Vzájemná korelační unkce náhodných procesů transormací jejich vzájemné výkonové spektrální hustoty t a Sy Příklad vzájemné korelační unkce je uveden na obr. 3. yt je inverzní Fourierovou. Obr. 3 Pro porovnání procesů lze užít normovanou vzájemnou kovarianční unkci y K y K K yy D-6. Vzájemná výkonová spektrální hustota ato unkce je dána Fourierovou transormací vzájemné korelační unkce 43 Sy Ry.ep j d Jednostranná vzájemná výkonová spektrální hustota y G S pro y y G pro ostatní Protože vzájemná korelační unkce není sudou unkcí, je vzájemná výkonová spektrální hustota obvykle komplení veličinou, tj. tvaru

44 kde C y Qy G C jq y y y je koincidenční nebo synázní spektrum; je to sudá unkce je kvadraturní spektrum; je to lichá unkce Vzájemnou výkonovou spektrální hustotu je možno též vyjádřit ve tvaru kde absolutní velikost (modul) je.ep Gy Gy j y a áze G C Q y y y y arctg Q C y y Příklad těchto závislostí je na obr. 33. D-6.3 Koherenční unkce je deinována y Obr. 33 Gy G G yy Je-li při některé rekvenci y, potom jsou při ní unkce t a yt nekoherentní, nebo jinými slovy jsou nekorelovány. Jestliže jsou unkce yt statisticky ne- závislé, je potom při všech rekvencích je y y t a. Naopak, jestliže při všech rekvencích, jsou tyto unkce plně koherentní. Jsou-li unkce t a yt unkcemi buzení a odezvy, jedná se potom o lineární mechanickou soustavu s konstantními koeicienty. V praktických případech se těchto krajních mezí dosahuje spíše zřídka; pro vynesení soudu se spokojujeme s podmínkou, že se koherentní unkce blíží jedničce nebo nule. 44

45 D-6.4 Frekvenční přenos U lineární soustavy s konstantními koeicienty s jedním vstupem (který je realizací stacionárního procesu) a s jedním výstupem yy yt platí G H G y G H G o umožňuje stanovit amplitudu a ázi rekvenčního přenosu. t D-7 Nestacionární náhodné procesy Výsledky rozborů naměřených náhodných procesů ukazují, že jsou většinou do určité míry nestacionární. Není-li tato nestacionarita příliš výrazná, nahrazuje se obvykle takovýto proces procesem po úsecích kvazistacionárním. Nestacionarita se obvykle vyjadřuje časovou závislostí první a druhé hustoty pravděpodobnosti na čase nebo též závislostí střední hodnoty a rozptylu na čase. Sledujme případ náhodného procesu kde je deterministická složka X t t Y t t Acos t ay t je centrovaný stacionární náhodný proces s hustotou pravděpodobnosti y. Hustota pravděpodobnosti procesu Xt je t, jak je znázorněno na obr. 34. Obr. 34 oto vyjádření, vystihující deterministckou a stochastickou složku, vyjadřuje plně strukturu procesu a je tedy vhodné z metodického hlediska. Méně vhodný je druhý způsob, kdy se proces pokládá za stacionární a vyjadřuje se hustota pravděpodobnosti sice zbavíme nestacionárnosti, avšak v hustotě pravděpodobnosti * * ; takto se jsou též zahrnuty inormace o deterministické složce. o však není výhodné především pro případy simulace 45

46 takovéhoto procesu na zkušebním stroji v laboratoři, neboť stejný průběh i řada procesů výrazně odlišných. * může mít Z uvedeného je zřejmá důležitost otázky rozboru nebo převodu nestacionárního procesu na kvazistacionární. Příslušné postupy závisejí na typu nestacionárního procesu (obr. 35). Obr. 35 a) proces po úsecích stacionární (kdy zanedbáváme přechodové části, pokud je jejich podíl na době trvání realizace zanedbatelný). Úseky záznamu se stejnými statistickými charakteristikami se slučují do větších kvazistacionárních celků; b) aditivní nestacionární proces je typu kde je stacionární náhodný proces s nulovou střední hodnotou a známou korelační unkcí, Y t t X t Y t t je deterministická unkce. Lze dokázat, že m X t t, K t t K yy kde Jiný typ aditivního procesu je tvaru (obr. 36) Y t, Z t X t Y t Z t jsou stacionární procesy (přitom proces Y t je centrovaný). Obr

47 Jsou-li charakteristiky druhého řádu obou dílčích procesů od sebe výrazně odlišné (jeli na proces s povlovnými změnami v čase superponován podstatně rychleji se měnící proces Y t Z t ), ukazuje se důležitost délky časového úseku, na němž je posuzována stacionarita: při dlouhém úseku, kdy se uspokojivě zprůměruje i povlovný proces sumární proces Xt Zt lze považovat za stacionární (tj. ve velkém ). Při kratších úsecích např. délky daných třeba omezenými možnostmi měření se projeví proces Xt jako nestacionární (nestacionarita v malém ). Pro tento typ procesu je c) multiplikativní nestacionární proces je typu kde Y t m X t m Y t m Z t K K K K K yy zz yz zy X t Y t t je stacionární proces s nulovou střední hodnotou, je deterministická konstanta. Vztah mezi kovarianční unkcí K a K yy t v předchozích případech. U procesů, které se vyskytují v prai platí často, K t t K o tedy znamená, že poměrné rozložení rekvenčních složek je u procesů a rozdíl je pouze v jejich rozptylech. yy je podstatně komplikovanější než Xt a Y t stejné d) aditivně-multiplikativní nestacionární proces vznikne superpozicí multiplikativního nestacionárního procesu a deterministické střední hodnoty. akto lze popsat prakticky každý, v prai se vyskytující zatěžovací proces. Shora uvedené způsoby zpracování nestacionárních procesů vyžadují především značné zkušenosti a znalosti jak yzikální podstaty řešeného problému, tak i příčin nestacionarity; nezbytná je rovněž možnost ověření výsledků zpracování procesu. Druhý možný způsob zpracování nepředpokládá (na rozdíl od předchozích metod) žádné apriorní vlastnosti procesu. Je založen na využití tzv. evolučních charakteristik nestacionárního náhodného procesu, tj. na statistických charakteristikách pouze jedné realizace daného nestacionárního procesu. yto statistické charakteristiky obsahují implicitně čas jako parametr. Prakticky to znamená, že nejsou invariantní a tedy závisejí na počátku vyhodnocování. 47

48 Literatura [] Bendat, J.S. Piersol, A.G.: Random Data: Analysis and Measurement Procedures. J.Wiley, New York 97 [] Bendat J.S. Piersol A.G.: Engineering Applications o Correlation and Spectral Analysis. J. Wiley, New York 98 [3] Kropáč, O.: Statistické vyhodnocování eperimentálních podkladů pro pevnostní výpočty částí strojů a konstrukcí, část II. Přednáškový cyklus Stavba strojů XXIX, Praha 974 [4] Kropáč, O.: Náhodné jevy v mechanických soustavách. SNL Praha 987 [5] Lalanne, Ch.: Mechanical Vibration and Shock Analysis, Vol. 3 Random Vibration, J. Wiley, New York 9 [6] Matyáš, V.: Měření, analýza a vytváření náhodných procesů. SNL Praha 976 [7] Sedláček, M.: Zpracování signálů v měřicí technice. ČVU Praha 996 [8] ůma, J.: Zpracování signálů získaných z mechanických systémů užitím FF. Sdělovací technika