Pružnost a plasticita II 3. ročník bakalářského studia. doc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechaniky

Transkript

1 Pružnst a plasticita II 3. rčník bakalářskéh studia dc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Katedra stavební mechanik

2 Základní infrmace cvičení Předmět: 8-0/0 - Pružnst a plasticita II Přednášející: dc. Ing. Martin Krejsa, Ph.D. Cvičící: Ing. Petr Lehner Kntakt: tel: místnst: LPH40 petr.lehner@vsb.c Studijní materiál ke stažení:

3 3 Osnva cvičení. Slžk tenru napětí a jejich transfrmace.. Řešení stěn pmcí Airh funkce napětí.. písemka transfrmace napětí 3. Řešení pravúhlých stěn metdu sítí. adání. prgramu 4. Řešení pravúhlých stěn metdu sítí. 5. Řešení pravúhlých desek metdu sítí. adání. prgramu 6. Řešení pravúhlých desek metdu sítí. 7. Řešení kruhvých desek. 8. Řešení meikruhvých desek. 9. Skřepinvé knstrukce, membránvý stav.. písemka, kruhvé a meikruhvé desk 0. Nsník na pružném pdkladu, numerické řešení.. Mení plastická únsnst prutvých knstrukcí.. Stabilita prutvých knstrukcí, numerické řešení. 3. písemka, mení únsnst nsníků 3. Řešení nsníku Ritvu metdu.

4 Hdncení ápčtu Předpklad pr ískání ápčtu: Unaný ápčet předmětu SSKI 70% účast na cvičení, neúčast musí být řádně mluvená Zvládnutí 3 písemných prací Zvládnutí prgramů Získání minimálně 8 bdů 35 mžných 4 Bdvání na cvičení: 3 písemk 7 až 4 bdů první pravná - 6 až 4 bd další pravné ma. 4 bd prgram včas a správně 7 bdů, včas a chbně p první správné pravě 5 bdů, p druhé správné pravě 4 bd, p další správné pravě 3 bd pdě a správně 5 bdů, p první správní pravě 4 bd, p další správné pravě 3 bd

5 Transfrmace slžek napětí 5

6 6 Transfrmační vtah pr rvinný stav napjatsti T L L Pr rvinnu napjatst le jedndušit: cs sin sin cs L cs 0 sin 0 0 sin 0 cs s s s m m m n n n L [ ] a [] jsu matice tenru napětí v suřadném sstému,, a,, [L] je matice ptčení

7 Transfrmační vtah pr rvinný stav napjatsti Vjde-li se rvnice: L L T cs sin sin cs cs sin sin cs c s s c c s s c c s s c c sc sc s sc c s sc sc s c s s sc sc c kde s=sina a c=csa 7

8 P úpravě: Transfrmační vtah pr rvinný stav napjatsti c sc sc s sc c s sc sc s c sc s sc sc c cs sin sin cs cs sin sin sin s le dvdit e vrce pr s je-li ptčení b=a+p/ 8

9 9 Hlavní nrmálvá napětí Je-li nám tenr neb vektr napětí v suřadném sstému,, pak je čast nutné určit směr a hdnt etrémních nrmálvých napětí. Le vjít e vrce: cs sin sin d Platí: cs sin sin cs cs 0 dα cs sin 0 cs sin Největší nrmálvé napětí je v rvině, v níž je smkvé napětí nulvé - hlavní rvina s příslušným hlavním nrmálvým napětím. 0 Úhel ptčení a e rvin d hlavní rvin neurčuje jednnačně směr maimálníh a minimálníh napětí: tg e

10 Hlavní nrmálvá napětí e hlavní nrmálvé napětí Z rvnic rvnváh ve směru a vplývá: Hlavním napětím přiřaujeme pravidla inde > p p e e e cs α sin α e e cs α sin α e e τ τ sin α cs α Řešení těcht dvu rvnic vede ke kvadratické rvnici s řešením:, 4 e e 0 Směr a, a hlavních napětí a le jednnačně určit e vtahů: τ tan α tan α τ

11 Maimální smkvá napětí Pkud jsu maimální nrmálvá napětí, nám, le nrmálvé napětí a smkvé napětí τ ź vjádřit: cs sin sin Hlavní rvin Maimální (etrémní) smkvá napětí budu na plchách hlavních smků při hdntách d vplývajících rvnice: d 0 cs 0 cs 0, d 4 4 Na těcht plchách budu půsbit maimální smkvá napětí τ etr a nrmálvé napětí s : τ etr s

12 Mhrva kružnice tan α τ tan α τ

13 Mhrva kružnice Orientace pdle směru táčení. Suřadný sstém vlit tak, že sa dpvídá, sa τ pak se. Vnést bd A (, τ ) - τ má stejnu rientaci jak τ, je prt kladné (nahru). 3. Vnést bd B (, τ ) - τ má pačnu rientaci jak τ, je prt áprné (dlů). 3 Pnámka: pr rientaci je rhdující směr táčení! Pr na vlbu s případně. 4. Střed kružnice S je průsečík spjnice AB s su s, plměr dpvídá úsečce AS a BS, maimální napětí je v bdě X(, 0) kružnice, minimální v bdě Y(, 0) kružnice. Etrémní hdnt smkvých napětí určují bd C a D. 5. Pól Mhrv kružnice P je průsečík kružnice a rvnběžk s su () vedenu bdem A, respektive průsečík kružnice s přímku rvnběžnu s su (τ) vedenu bdem B. 6. Spjnice PX určuje směr hlavníh napětí, spjnice PY směr hlavníh napětí s. 7. V případě určení napětí na plšce s nrmálu ptčenu d a, nutn vést rvnběžk s sami a pólu P bd M a N.

14 Příklad Napěťvý stav v klí bdu je definván tenrem napětí: τ τ Vpčtěte a určete i grafick pmcí Mhrv kružnice:. Napjatst na plšce, jejíž nrmála síla svírá s su rientvaný úhel a =-30.. Velikst a směr hlavních nrmálvých napětí a maimální smkvé napětí. 4

15 Příklad, řešení Výpčet nrmálvéh a smkvéh napětí pr a=30 : 80cs 80cs cs 3000sin 30 35sin 30 cs sin Výpčet nrmálvéh napětí pr b=60 : 80cs sin sin 4,69kPa sin 30 95,44kPa cs sin 60 00sin sin 60 35sin 60 4,69kPa 5

16 6 Příklad, pkračvání řešení Výpčet hlavních nrmálvých napětí:, Úhel směru hlavních napětí d s : arctan 35 arctan 06, arctan 35 arctan 86, ,375 0,65 06,566kPa 86,566kPa

17 Příklad, pkračvání řešení Výpčet maimálních smkvých napětí: τ 96, 566kPa Úhel směru hlavních nrmálvých napětí a maimálních smkvých napětí: Úhel směru maimálních smkvých napětí d s : 45, 55,65 34,375 Nrmálvé napětí na plškách maimálníh smkvéh napětí 06,566 86,566 0kPa s 7

18 Příklad, Mhrva kružnice =-80 MPa, =00 MPa, =-35 MPa směr 06,566kPa 86,566kPa τ 96, 566kPa ma, min α 79, 375 α 0, 65 τ min S τ ma směr

19 Příklad Určete veliksti a směr hlavních napětí vlev d průřeu a-a pr =-0,, -0,, 0, 0, a 0,. 9

20 Příklad řešení. Reakce R A : 4 R A, , 5kN 4. Vnitřní síl v řeu a a : M RA 5, q 5, V R q 5, 45kN, A 7, 5kNm 3. Výpčet nrmálvých a smkvých napětí v řeu a a : 0 τ M I I V b S 7, 5 0, 30, , 0, 30, , 5 S 86458, 33 S 3 0, 3

21 Příklad řešení, pkračvání 3. Výpčet nrmálvých a smkvých napětí v řeu a a : 0, 0, 0 0, 0, ( ) ( ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) 4453, 5( 4453, 5( 4453, 50 0; τ 0, ) 8906, 5kPa; 0, ) 44533kPa;, ( 3 ) 4453, 5( 0, ) 44533kPa;, τ 4453, 5( 0, ) 8906, 5kPa; τ 86458, 330, 30, 0, 58, 78kPa ( 4 ) 4. Výpčet hlavních napětí a jejich směrů: ( 5 ) τ () ( ) 86458, , 330, 30, 05, 389, 06kPa 86458, 330, 30, 05, 389, 06kPa 86458, , 0, 0 0, 0, ( 3 ) ( 4 ) ( ) ( ) 0; 33, 75kPa; 58, 75kPa; ( 5 ) ( ) 4486, 855kPa; 8906, 5kPa; 8906, 5kPa; α ( 3 ) ( ) 4486, 855kPa; α 58, 75kPa; α ( 4 ) ( 5 ) 33, 75kPa; α 0; α ( 5 ) ( ) 90 0 ( 3 ) ; α ; α ( 4 ) ( 5 ) ( ) ( ) , 05 ; α ( 3 ) 4, ; α ; α ( 4 ) ( ) 45 4, 95 85, 05

22 Příklad, řešení

23 Příklad 3, řešení. Určete největší nrmálvé a smkvé napětí u dřevěnéh nsníku bdélníkvéh průřeu v místě vetknutí.. Určete velikst a směr hlavníh napětí v hrní čtvrtině průřeu v místě vetknutí (pčetně a grafick). l = m P =6kN a b P =0kN + N 0 h=50mm b=00mm, M, N M I N A V S I b M W V + 6 M -6 -

24 h=50mm Příklad 3, maimální nrmálvé a smkvé napětí, ma l = m M,ma, hrní,ma P =6kN P =0kN N N knst 0, 67MPa A V bh /8 3 bh / b b=00mm M M M e 6MPa I W bh / 6 bh h S,ma Ačásti T 4 bh 8 3V A 0,6MPa N hr,m cel τ ma =0,67MPa =6MPa =6,67MPa =0,6MPa ma, d ln í dl,m = -6MPa =-5,33MPa, M, N M I V S I b N A Neutr.sa = 0 M W

25 h=50mm Příklad 3, nrmálvé a smkvé napětí /4h S (/ 4) l = m M A části M I V T h 4 MPa I 8 M, / 4 (neb pdbnsti trjúhelníků) 3bh 9V /4 /4 0,45MPa / P =6kN M 3 bh / = b.h/4.3h/8 bh / 3 3 P =0kN N N knst 0, 67MPa A b h 4 8A b=00mm /4,N /4,M all,/4 τ /4 =0,67MPa = 8MPa =8,67MPa =0,45MPa,M, N M I V S I b N A

26 0 V sil 8,69MPa =8,67 MPa, =0 MPa, =0,45 MPa 0 0,0MPa ma, min 4,35MPa α,96deg směr α 87,04deg τ min - 0,45 S =0,45 =0 τ ma směr = 8,67

27 7 Výpčet napětí - Ecel