Kurz 4st210 cvičení č. 5

Transkript

1 CVIČENÍ Č. 5 některá rzdělení nespjitých náhdných veličin binmické, hypergemetrické, Pissnv rzdělení nrmální rzdělení jak rzdělení spjitých náhdných veličin některá speciální rzdělení spjitých náhdných veličin Binmické rzdělení pčet výskytů sledvanéh jevu v n nezávislých pkusech (pravděpdbnst nastupení jevu je ve všech pkusech stejná) výběr s vracením 2 parametry pčet nezávislých náhdných pkusů (n), pravděpdbnst výskytu sledvanéh jevu v jednm pkusu (p) pr mdus platí vztah, přičemž jsu-li hranice intervalu celá čísla, pak jsu bě mdem; jsu-li hranice necelá čísla, pak mezi nimi leží právě jedn celé čísl, které je mdem Př. 5.1 Na stůl bude vlně vysypán 10 kstek. Jaká je pravděpdbnst, že a) na 8 z nich padne šestka; b) šestka padne nejvýše na 3 z nich? Určete čekávaný pčet kstek, na kterých padne šestka. Jaký je rzptyl pčtu kstek, na kterých padne 6? Hypergemetrické rzdělení pčet výskytů sledvanéh jevu v n závislých pkusech (pravděpdbnst nastupení jevu není při každém pkusu stejná) výběr bez vracení 3 parametry velikst základníh subru, ze kteréh vybíráme (N), pčet prvků v základním subru, které mají sledvanu vlastnst (M), velikst výběru = pčet závislých náhdných pkusů (n) za jistých pdmínek lze aprximvat binmickým rzdělením (n/n 0,05) 1

2 Př. 5.2 Na plicejní stanici je třeba vyměnit 3 žárvky. 30 žárvek leží na skladu, ale 5 z nich byl prstřelen při psledním plicejním cvičení. Jaká je pravděpdbnst, že budu vybrány puze žárvky, které nebyly prstřeleny? Klik průměrně můžeme čekávat prstřelených žárvek mezi 3 náhdně vybranými a s jakým rzptylem? Pissnv rzdělení pčet výskytů sledvanéh jevu v určitém intervalu (interval může být časvý i prstrvý), známe-li průměrný pčet jevů, které v tmt intervalu nastanu, přičemž jevy musejí nastupvat nezávisle d kamžiku (příp. místa výskytu) pslední událsti jeden parametr průměrný pčet výskytů sledvanéh jevu za daný interval (λ) = střední hdnta = rzptyl za určitých pdmínek dbře aprximuje binmické (n>30, p 0,1) i hypergemetrické rzdělení Př. 5.3 D bchdu přijde během hdiny průměrně 30 zákazníků. Jaká je pravděpdbnst, že během 4 minut přijdu: a) právě 2 zákazníci; b) nejméně 3 zákazníci; c) nejméně 3 a maximálně 5 zákazníků? Nrmální rzdělení pužitelné všude, kde klísání náhdné veličiny je způsben sučtem velkéh pčtu nepatrných a vzájemně nezávislých vlivů tzv. rzdělení náhdných chyb, nrmálním rzdělením se řídí spusta přírdních a technických jevů 2 parametry střední hdnta (μ), rzptyl (σ 2 ) hlavní význam v tm, že za určitých pdmínek (frmulvaných centrální limitní větu) jím lze aprximvat spusta jiných, a t i nespjitých rzdělení pravděpdbnsti z důvdu výpčetní nárčnsti stanvvání hdnt distribuční funkce se náhdná veličina s nrmálním rzdělením převádí (tzv. nrmuje ) na náhdnu veličinu s nrmvaným nrmálním rzdělením, která má nulvu střední hdntu a jedntkvý rzptyl (tabelvané hdnty kvantilů a distribuční funkce) 2

3 pkud X je náhdná veličina s nrmálním rzdělením N(μ; σ 2 ), ptm s rzdělením N(0; 1), které se nazývá nrmvané nrmální rzdělení a platí: je náhdná veličina Př. 5.4 Náhdná veličina U má rzdělení N(0; 1). Určete: a) P(U < 2,31); b) P(U < -1,1); c) P(-1,1 < U < 2,31); d) u0,975 Př. 5.5 Časvý limit pr vypracvání testu je 30 minut. Dba vypracvání testu studenty má nrmální rzdělení se střední hdntu 30 minut a směrdatnu dchylku 5 minut. a) Klik prcent studentů stihne test vypracvat d 29 minut? b) Klik prcent studentů test nestihne? c) Jaká dba pr vypracvání by měla být stanvena tak, aby test stihl dknčit 95% studentů? Speciální rzdělení spjitých náhdných veličin využití při řešení matematick-statistických úlh, tabelvané hdnty kvantilů Studentv (t) rzdělení, Chí-kvadrát (χ 2 ) rzdělení jeden parametr F rzdělení 2 parametry Př. 5.6 Určete hdnty následujících kvantilů: a) χ 2 0,95(8) b) t0,975(10) c) F0,995(2;15) Další příklady Př. 5.7 Krektura 500 stránek bsahuje 500 nalezených tiskvých chyb. Najděte pravděpdbnst th, že na stránce jsu nejvýše tři chyby. 3

4 Př. 5.8 V subru lidí je 100 leváků. Pkud náhdně bez vracení vybereme 50 lidí, jaká je pravděpdbnst, že mezi nimi: a) nebude žádný levák; b) budu právě 3 leváci; c) budu alespň 3 leváci? Výpčet prveďte na základě všech mžných aprximací. Př. 5.9 Pdle úmrtnstních tabulek je pravděpdbnst th, že 25letý muž přežije další rk, rvna přibližně 0,998. Pjišťvna nabízí mužům tht věku, že při rčním pjistném 50 Kč vyplatí pzůstalým v případě úmrtí pjištěnce Kč. Je pjištěn letých mužů. Jaká je pravděpdbnst, že ke knci rku zisk pjišťvny bude alespň Kč? Nápvěda: Náhdná veličina X udává pčet zemřelých pjištěnců během jednh rku. Zisk za jeden rk je dvzen d pčtu zemřelých jedinců (tj. nezemře-li nikd, pjišťvna vydělá ). Př Pravděpdbnst vypěstvání zdravé rstliny ze semena je 0,4. Zasadíme 12 semen. Za náhdnu veličinu X budeme pvažvat pčet zdravých rstlin vypěstvaných z těcht semen a určíme: a) pravděpdbnstní funkci náhdné veličiny X, b) jaký je nejpravděpdbnější pčet zdravých rstlin, které vypěstujeme a jaká je pravděpdbnst tht pčtu, c) střední hdntu a rzptyl náhdné veličiny X. Př Při sázení Sprtky značíme na sázence 6 ze 49 mžných čísel a při Matesu značíme 5 z 35 mžných čísel. Při lsvání je náhdně (bez vracení) vybrán 6 vyhrávacích čísel (Sprtka), ppř. 5 vyhrávajících čísel (Mates). Spčtěte: a) pravděpdbnst výhry ve Sprtce a Matesu; b) pravděpdbnst nějaké výhry ve Sprtce (uhdnutí alespň 3 čísel); c) střední hdntu a rzptyl náhdné veličiny X, kteru je pčet vyhrávajících čísel na jedné sázence ve Sprtce. Př Předpkládejme, že zisk z phybu cen akcií je nrmálně rzdělen. Střední zisk je při daném prtfliu (skupina kupených akcií) rven USD ; rizik prtflia (měřené směrdatnu dchylku) je rvn USD a) S jaku pravděpdbnstí bude zisk přesahvat USD ? b) Jaká bude 200-letá ztráta? Nápvěda: 200-letá ztráta = zisk dsažený jednu za 200 let, tj. zisk dsažený s pravděpdbnstí 0,5%. 4

5 Př Je křížen bělkvětý hrách s fialvkvětým, přičemž předpkládáme, že rstliny, na nichž je pkus prváděn, nebyly dsud kříženy. Pdle pravidel dědičnsti je mžn čekávat, že ¾ nvě vzniklých rstlin (ptmků) pkvetu fialvě a ¼ bíle. Zatím vzklíčil 10 nvých rstlin. Jaká je pravděpdbnst, že: a) žádná nepkvete bíle; b) fialvě pkvetu alespň 3; c) fialvě pkvete alespň 6 a nejvýše 8 rstlin. Nápvěda: Náhdná veličina je pčet fialvě kvetucích ptmků. Vzhledem k tmu, že v předchzích generacích neprběhl křížení, nvé rstliny kvetu fialvě neb bíle nezávisle na sbě. Př Náhdná veličina X, představující chybu měření, má rzdělení N(0,2; 0,64). Vypčtěte: a) pravděpdbnst, že abslutní hdnta veličiny X bude menší než 0,1; b) hrní hranici chyby měření, které se můžeme dpustit s pravděpdbnstí 0,95. 5