Aplikace matematiky. Václav Doležal O použití distribucí v teorii lineárních dynamických soustav. Terms of use:
|
|
- Přemysl Kučera
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikace matematiky Václav Dležal O pužití distribucí v terii lineárních dynamických sustav Aplikace matematiky, Vl. 4 (1959), N. 6, Persistent URL: Terms f use: Institute f Mathematics AS CR, 1959 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library
2 SVAZEK 4 (1959) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 6 ČLÁNKY O POUŽITÍ DISTRIBUCÍ V TEORII LINEÁRNÍCH SOUSTAV DYNAMICKÝCH VÁCLAV DOLEŽAL (Dšl dne 28. října 1958.) DT: 517,948.34: První část článku je věnvána některým základním skutečnstem terie distribucí, zejména vlastnstem distribucí, které mají Laplaceův braz. Druhá část zabývá se systémem integrdiferenciálních rvnic s knstantními keficienty, jehž pravé strany jsu distribuce. (Takvým systémem je ppsána dynamika každé lineární fysikami sustavy se sustředěnými parametry.) Je definván distributivní řešení takvéh systému rvnic při dané pčáteční pdmínce, stanveny pdmínky existence a unicity a vyšetřeny některé jeh další vlastnsti. Je prveden zevrubné fysikami zhdncení dsažených výsledků a udán návd na knstrukci řešení v knkrétních případech. Pužití terie je ilustrván dvěma praktickými příklady. Tat práce navazuje na článek [I], který je věnván vyšetření vlastnstí systémů lineárních integrdiferenciálních rvnic, na které vede frmulace prblémů dynamiky lineárních fysikálních sustav se sustředěnými parametry. Systém, který byl v [1] uvažván, měl tvar r t 2 KvAÍO + /-tó(0 + Vik f B*(T) dr} + q t = f t (t), i = 1, 2,..., r, (1) k = 1 0 kde x ik, (í ik, y ik, q A značí reálné knstanty. Tam byly též definvány pjmy zbecněnéh a klasickéh řešení sustavy (1) v případě, kdy f { (t) byly libvlné lebesguevsky integrvatelné funkce, které nerstu příliš rychle. Mim t byly dvzeny pstačující pdmínky pr existenci a unicitu těcht řešení. Otázky, kterými se hdláme zabývat v tmt článku, bjasníme nejlépe na příkladě. Uvažujme nějaku lineární sustavu, na kteru půsbí nějaké síly fi(t), jejíž chvání je ppsán systémem (1). Stane-li se, že keficienty (1) nesplňují jistu pdmínku (tat byla v [1] značena P2 a je pstačující pdmínku pr existenci jedinéh zbecněnéh řešení), neumíme rzhdnut, jak vypa- 405
3 dá a zda vůbec existuje v systému funkcí řešení sustavy (1). Následující triviální případ,,systému" í fx(r) át = 1, t > 0, (2) (který ppisuje prud kndensátrem kapacitě 1, na který byl náhle připjen jedntkvé napětí) ukazuje, že neexistuje funkce x(t), která by splňvala (2), ačkli příklad má jistu fysikální realitu. Další tázka, kteru nedvedeme na základě [1] řešit, je tat: Dejme tmu, že třeba je splněna pdmínka P2, avšak vnější síly bsahují nějaké impulsy. Neznáme-li přesně tvar impulsů, ale jen jejich,,plchu", neb chceme-li si řešení zjedndušit, je pak mžn nějakým způsbem tyt impulsy charakter! - svat a přisudit (1) nějaké řešení, které by vystihval fysikální skutečnst? Jak znám, v technické literatuře se bvykle takvé impulsy vyjadřují,,diracvu funkcí", pmcí které se pak na základě matematicky neprávněných pchdů dspěje k jakémusi řešení. Zárveň se ukazuje, že ty představy, které máme impulsu, nelze pmcí Diracvy funkce zachvat, a že tedy nebude asi zbývat nic jinéh; než zavést nějaké becnější bytsti než jsu funkce, které by zat měly lepší vlastnsti. Pznamenejme, že pr fysikální prblém není pdstatné, jakými matematickými bjekty jej ppíšeme, nýbrž t, d jaké míry tyt bjekty vystihují skutečnst. Přirzeně budeme pžadvat, aby v případě, kdy fysikální veličiny je mžn ppsat pmcí funkcí, byl mžn becnější bjekty s těmit funkcemi zttžňvat. Jak uvidíme dále, budu t distribuce, které uvedené pžadavky splní a dvlí dpvědět na bě právě diskutvané tázky dynamiky fysikální sustavy. Pznamenejme zárveň, že tímt způsbem dsáhneme pdstatnéh zbecnění výsledků z [1] a mim t se celá terie systému (1) zjednduší a stane se velmi průzračnu. Dále dspějeme k jistému becnému frmalismu v pužití Laplacevy transfrmace, který je užitečnu pmůcku při řešení knkrétních prblémů. Je přirzené, že k tmut cíli budeme ptřebvat některých výsledků terie distribucí; ježt nechceme tyt znalsti u čtenáře předpkládat a zatěžvat jej sháněním různých vět v příslušné (a někdy svými nárky dsti nepřístupné) literatuře, uvedeme na začátku první části článku elementárním způsbem nejzákladnější fakta tét terie. (K. hlubšímu studiu psluží [2] a [3].) Zat všimneme si zde blíže některých speciálních pjmů, jak laplacevských distribucí, brazu, knvluce apd., nebt je budeme ptřebvat ve druhé části k řešení vlastníh prblému. (Tyt pjmy, zavedené jinu cestu a pr speciálnější případy nalezne čtenář v [4].) Tím čtenář zárveň získá znalsti, kterých bude mci pužít i pr řešení jiných tázek než dynamiky sustav. 400 *
4 Ve druhé části článku budeme se pak zabývat systémem (I) ze stanviska terie distribucí. Zárveň ukážeme na suvislst tht pjetí s pjmy práce.[1], na fysikální význam výsledků a knečně na některé závěry, vyplývající z terie pr praktické pužití. ČÁST I. Přistupme tedy ke stručnému výkladu základů terie distribucí. Distribuce zavedeme jak jisté lineární a spjité funkcinály. Jak znám, funkcinálem se nazývá předpis, kterým je každé funkci z nějakéh systému K přiřazen právě jedn čísl. Funkcinály budeme značvat latinskými písmeny /, g, h,... Symbl (/, <p) bude značit hdntu funkcinálu / pr argument" rvný cp, tj. čísl, přiřazené funkci cp. Systém funkcí K, na kterém budeme distribuce definvat, nedhť je tvřen všemi reálnými funkcemi <p(t), definvanými na (, ), které mají tyt vlastnsti: 1. <p(t) mají v (, ) všechny derivace; 2. každá funkce <p(t) je rvna nule vně některéh knečnéh intervalu, (který becně závisí na <p(t))., Přitm zavedeme tut terminlgii. Řekneme, že pslupnst cp k (t) e K, Je = 1, 2, 3,... knverguje k nule v prstru K (cž značíme <p k (t) -> 0), existuje-li knečný interval (t v t 2 } tak, že cp k (t) 0 vně (t v t 2 } pr všechna k y přičemž <p k (t) -> 0, y k n \t) -> 0 stejnměrně na (t v ř 2 > pr všechna n. Příkladem takvé funkce z K je <p aj (t) = exp I - -~~ - \ pr t e (a, 0), a < 0, = 0 vně (a, /?). (3) Všimněme si na tmt místě, že platí tt zřejmé tvrzení: Nechť <p x (t), <p 2 (t) e e K, a(t) je libvlná reálná funkce, mající v ( c, ) všechny derivace. Jsu-Ii a x, a 2 reálná čísla, n přirzené čísl a x > 0, pak platí a(t) cp x (t) e K, a x c Px (t) -f a 2 cp 2 (t) e K, qj[ n) (t) e K, \<p x (t)f e K. Je tedy systém K pměrně hdně bhatý". Distribuce zavedeme nyní takt: Řekneme, že funkcinál / je distribuce, jeli / definván na K a splňuje-li tyt pdmínky: 1. pr libvlná reálná čísla a x, a 2 a funkce <Pi(t), ^(O e K je (linearita funkcinálu); (/, a x <p x + a 2 cp 2 ) = a x (f, <p x ) + *a(/» <P») ( 4 ) 2. pr libvlnu pslupnst q, k (t) -> 0 v K knverguje pslupnst čísel (/> <Pk) ~~ y 0 (spjitst funkcinálu). 407-
5 Přitm pd rvnstí distribucí / = g budeme rzumět, že (/, <p) ~ (g, <p) pr všechny <p(ť) e K. (Upzrněme, že v symblu (/, 93) bude zásadně první písmen značvat funkcinál, druhé funkci zk.) Uveďme si přiklad distribuce! Plžíme-li (g,<p) = /(0) + 2gp(l) /rv(r)dt, q je tímt předpisem zřejmě definvána distribuce. (Lehk zjistíme, že (g, <p) splňuje pdmínky 1. a 2. Ukažme nyní, kterak je mžn lkálně integrvatelnu funkci f(t) vyjádřit jak distribuci. 1 ) Klademe-li 1 (t,9)= S f(r) <p(t) dr, (5) 00 lehk vidíme, že (/, <p) splňuje pdmínky 1., 2. a je tedy distribucí 2 ). Mžn tedy předpisem (5) pjímat každu lkálně integrvatelnu funkci jak distribuci. Každu distribuci, kteru lze vyjádřit pmcí (5), nazveme regulární. Není-li takvé vyjádření mžné, budeme ji nazývat singulární (uvidíme za kamžik, že takvé distribuce existují). Pznamenejme, že vyjádření regulární distribuce integrálem (5) je jednznačné, tj. že různým funkcím f(t), g(t) dpvídají různé distribuce. Vskutku, jsu-li /, g regulární a je-li f g, znamená t, že (/, <p) (g, <p) = 0 pr každu <p(t) e K, tj, že 00 / [/(T) - g(t)l (pit) dt =. 00 Budemedi za <p(t) pstupně klást funkce [<p aj (t)f (pdle (3)), dstaneme, že lim f[f(r) - g(r)]. [<p aj (r)f dr = 0 ; (6) n +00 a 1 avšak [<p x fi(t)] n -> 1 na (a, /3), a t dknce mntónně. Mžn tedy v (6) přehdit f> přadí limitvání a integrace, čímž dstaneme J[f(r) g(r)] át = 0 pr všea chna OÍ < ft. Z th však vyplývá, že/(í) = g(t) skr všude, a jednznačnst je dkázána. x ) Funkci f(t) nazveme lkálně integrvatelnu, existuje-li Lebsgueův integrál t 2 / /(T) dr pr všechna" knečná t x, t 2. Pznamenejme, že jidstatnó je t, že existuje kh necný integrál z abslutní hdnty funkce f(t), nikli t, že jde Lebesgueův integrál. Čtenář, který terii Lebesgueva integrálu nezná, může si všude představvat integrál Riemannův. Lebesgueův integrál užíváme zde prt, že má lepší vlastnsti než Riemannův. ž ) Zde užíváme té licence v značení, že funkci,,f(t) il přiřazujeme funkcinál,,/". v 408
6 tu", tj. funkcinál (C, <p) = C -00 Distribuci S T, definvanu rvnicí Budeme-li v (5) speciálně klást f(t) =. C, dstaneme distributivní knstan f <p(r) dr. (<5 T, <P) = <p(t), (7) budeme nazývat Diracvu distribucí". Snadn lze dkázat, že S T je singulární distribuce, tj., že ji nelze vyjádřit ve tvaru (5). Pzději seznáme, v jakém vztahu je ó T k inženýrské představě neknečně krátkém impulsu plše 1." Jsu-li /, g distribuce, zavedeme jejich sučet / + g rvnicí (/ + g, <P) = (/, 9) + (fc <P) ( 8 ) Pdbně, je-li a čísl, pak násbkem af budeme rzumět distribuci («/, <p) = (/, wp). (9) Z (8) a (9) je ihned vidět, že definice mají smysl, tj. že funkcinály / -f- g, af splňují pdmínky 1., 2. Mim t je zřejmé, že platí / -f- g g -f- /, (a/?) / = = <x(pf) apd., tj. stejná pravidla jak pr funkce, a že v případě, kdy /, g jsu regulární, dpvídá distributivní sučet (násbek) byčejnému sučtu (násbku). Z th, c jsme dsud distribucích řekli, vyplývá, že nelze becně mluvit hdntě distribuce v daném bdě č 0 ", jak je tmu u byčejných funkcí. Je však už mžn dát přesný smysl výrku, že distribuce / je rvna nule v klí bdu t 0 ". Tím budeme rzumět, že existuje interval (t 0 e, t 0 -f- e) (klí bdu t 0 ) tak, že pr každu funkci <p(t) e K, která je rvna nule vně (t 0 s, t 0 -j- e), je (/, <p) 0. Odtud vyplývá, že tímt je dán smysl rčení distribuce / je rvna nule na tevřené mnžině M", cž značí, že / = 0 v klí každéh bdu t e M. Tak na příklad distribuce 6 T pdle definice (7) je rvna nule v klí každéh bdu t > T neb t < T, tj. ó T = 0 na (, T) u (T, c). Pmcí těcht pjmů můžeme pak definvat rvnst dvu distribucí /, g na nějaké tevřené mnžině M; řekneme, že / = g na M, jeli / g 0 na M. Uveďme si příklad! Je-li / = < (3 3 e _ť cs 2t, pak zřejmě / je rvna regulární distribuci e -ť cs 2t na mnžině (, 0) U (0, 3) U (3, ). Všimněme si, jaký je praktický význam těcht pjmů! Przraďme napřed, že řešení x t rvnic (1) (cž bude distribuce), bude mžn v převážné většině případů psát ve tvaru x t = u t -f- v u kde v { je regulární distribuce, u t pak distribuce rvná nule na mnžině M tvaru M= U (*«,**«), ( 10 ) i= - h < h+i pr všechna k. T znamená, že x t ~ v t na M. Ústy fysika řečen, 409
7 dezvu Xi bude mžn na intervalech (t {, t i+l ) v bdech t { pak budu nějaké impulsy. zttžnit s byčejnu funkcí, Přistupme nyní k zaveílení limitníh přechdu pr distribuce. Řekneme, že pslupnst distribucí /, n = 1,2,... knverguje k distribuci / a značíme t symblem / -> /, jestliže pr každu <p(t) e K pslupnst čísel (fn,<p)~»(f,<p)- (12) Analgicky, závisí-li distribuce / A na parametru ),, ptm symbl f x -> / když X -> Á 0 značí, že pr každu qj(t) e K je (/ A, <p) -> (/, 99) když A -> Á 0. Z těcht definic je ihned zřejmé, že knvergentní pslupnst distribucí má právě jednu limitu. Dále z (12) vyplývá, že jsu-ii a v c 2 čísla a f n -> /, g n -> g, pak platí cj n + + ^2g«-> <*if + <* 2 - Stejným způsbem, jak se definuje sučet neknečné řady funkcí, je defi- 00 nván sučet neknečné řady distribucí. Řekneme, že řada ^ fi m & sučet s, n je-ii ^ fi -^ 5 P r n -^ c. i = l Všimněme si nyní th, jaká je suvislst mezi knvergencí distributivní a byčejnu (tj. nějaku knvergencí funkcí). Jsu-Ii f n (ť), f(t) lkálně integrvatelné funkce a pjímáme-li je jak distribuce, pak pdle (12) knvergence / -> / značí, že pr libvlnu <p(t) e K je T j7«(t)<ř(t)dt-> ff( t )<p(t)dr. (13) znamená, že bude-ii pslupnst funkcí f n (t) knvergvat k funkci f(t) pdle některéh z dále uvedenéh knvergenčníh principu I. III., pak bude v distributivním smyslu / -> /. I- f n (t) -> f(t) stejnměrně v každém knečném intervalu (t l3 t 2 }. II. f n (t) -> f(t) skr všude, přičemž existuje lkálně integrvatelná funkce h(t) tak, že \f n (t)\ S. h(ť) pr všechna n a i. III. knvergence f n (t) -> f(t) je mntónní, přičemž f(t) je lkálně integrvatelná (srv. [5]). Uveďme si příklad! Uvažujme pslupnst funkcí h n (t) ~ n na (O, n t 0 všude jinde. Zřejmě h n (t) ~> 0 v každém bdě. V distributivním smyslu však je (h n, <p) = 1 n = nf<p(r) dr > <p(0)- (Stačí si ttiž uvědmit, že <p(t) je v bdě t = 0 spjitá 410
8 a pužít větu střední hdntě.) Platí tedy (h n, <p) -> (d 0, <p) pr každé <p(t) e K, tj- K-+ó Q. Obraťme nyní pzrnst k důležitému pjmu derivaci distribuce. Uvažme nejdříve případ, kdy nějaká spjitá funkce f(t) má skr všude lkálně integrvatelnu derivaci f'(t). Pr příslušný funkcinál (/', <p) pak platí: CO (/', 9) = / ť(r) cp(r) dt = [/(T) ^ T ) ] ^ - / /(T) ^'(T) dr = (/, - <p'). - c - c Bude tedy přirzené, becně definvat derivaci /' distribuce / rvnicí c (/,?)-(/,-?') (I 4 ) Ze (14) je lehk vidět, že funkcinál (/, <p') je lineární, a vezmeme-ii v úvahu ten fakt, že k pslupnsti <p k (t) -> 0 v K je též <p' k (t) -^OvK (srvnej s definici!), že (/, cp') je též spjitý. Je tedy definice (14) právněná, tj. (/, cp') je distribuce. Z th vyplývá, že platí: Věta 1. KaMá distribuce má derivace všech řádů. Pstupným pužitím rvnice (14) dstaneme becně (/< fc), 9) = (A(- 1)*^) (I 5 ) Všimněme si, že přím z definice derivace vyplývá, že pr libvlná čísla a x, a 2 a distribuce f 1} / 2 platí K/i + «a / a )' = ají + cc/ 2. (16) c Stane-li se, že / = O (distributivní knstanta), máme (C, 9?) = / C<P'(T). c. dt = 0. Dkažme, že t platí i bráceně: jeli /' = 0, pak / = C. Vskutku, nechť /' = 0, tj. (/', <p) = (/, <p') = 0 pr každé <p(t) e K. Tat rvnice značí, že funkcinál (/, ip) je rven nule pr všechny y>{t) e K, které jsu derivací nějaké funkce <p(t) e K. Zvlme pevně nějaku funkci <p x (t) e K, pr kteru je / <p x (r) dr = 1, a buď C = (f, <p x ). Je-li nyní <p(t) e K, mžn ji vyjádřit ve tvaru - 00 c <p(t) = <p x (ť) f <p(r) ár + <p'(t), kde ^(ř) e K. (Zřejmě tut rvnicí definvaná -c t c í funkce ^(í) e K; plžíme-li ttiž <p(t) = f <p(r) Ar ( / <p(r) ár) / ^(T) dt, - c - - c vidíme, že pr dstatečně velká \t\ je <p(t) = 0, takže skutečn <p(t) e K.) Pdle předpkladu linearitě funkcinálu (/, 9) tedy platí (/,?) = ( /v(t)dt).(/, Vl )+(/,í / ) s = C ' /r/'(t)dt, tj./ = O «Pstupným pužitím právě dkázanéh tvrzení vyplývá, že je-li /(*) = 0, pak / je plynmem nejvýše k 1-h stupně. (Pzději tét věty pdstatně využijeme.) 411
9 Uveďme si nyní příklady! Pdle definice (7) je (d T, (p) = cp(t); pmcí (15) tedy platí (d ( T \ y) = (- l)v/c >(T). Uvažujme dále funkci (Heavisideův jedntkvý skk") H T (t) = 1 pr t > T, = 0 pr t < T. 00 Pr její distributivní derivaci H T nalezneme (H' T, (p) = (H T, <p') = f<p'( r ) T. dr = <p(t), takže platí H т = ð т. (17) Obг. 1. Tent výsledek můžeme snadn zbecnit na následující, pr aplikace velmi důležitý případ: necht funkce f(t) je v každém knečném intervalu spjitá vyjma knečný pčet bdů, kde má nespjitsti prvníh druhu (tj. v těcht bdech existují knečné limity zleva i zprava), a necht má všude vyjma tyt bdy derivaci (v bvyklém smyslu), která je lkálně integrvatelnu funkcí. Příklad takvé funkce je uveden na br. 1. Máme stanvit distributivní derivaci /'. Buďte tedy ^ bdy nespjitsti,... t~ 2 <. t^ < t 0 < ř x < t 2 <... a značme skky" Si lim/(í) lim/(ř). Zavedeme-li funkci h(t) předpisem h(t) = t->ti + t-^ti - c = 2 s t H t (t), ptm zřejmě funkce i 00 g(t) = f(t) - h(t) (18) bude všude spjitá, a bude mít skr všude lkálně integrvatelnu derivaci g'(t). T znamená, že distributivní derivace g' bude rvna g'(t). Distributivním derivváním rvnice (18) nalezneme g' = /' h', tj. /' = 9' + I «Д (19) 412
10 Platí tedy, že /' = g'(t) na mnžině \J (t i} t i+l ). i= -00 Všimněme si na tmt místě, že platí následující zřejmé tvrzení: Je-li distribuce / = C na M, pak /' = O na ill. Na příklad H T = 1 na (T, ) a tudíž H' T = d T = O na (T, ). Věnujme nyní něklik slv tázce sučinu distribucí. Řekněme rvnu, že sučin dvu neregulárních distribucí nelze becně definvat tak, aby měl,,rzumné" vlastnsti, ba dknce t není mžné ani pr sučin funkce a distribuce. T je všem jistá nevýhda. Má-li však funkce všechny derivace, pak je mžn sučin jednduše zavést. Je-li / distribuce, a(t) funkce, mající v ( c, ) derivace všech řádů, pak sučin af je distribuce, pr kteru je (af, <p) = (/, kp) (*) Z (*) je lehk vidět, že funkcinál (/, a<p) je lineární a spjitý. Pr t stačí si puze uvědmit, že je-li <p k (t) -> O v K, že též a(t) <p lc (t) -> O v K. Je tedy definice v přádku. Všimněme si pět, že je-li / regulární, pak distribuce af dpvídá byčejnému sučinu a(t) f(t). Jak příklad stanvme sučin ad T. Pdle (*) a (7) máme (ad T, <p) = (d T, a<p) = = a(t) <p(t), cž pdle (4) můžeme psát (ad T, <p) = a(t). (d T, <p), takže platí ad T = a(t) <5 T, Snadn lze dále dkázat, že platí tt tvrzení: Má-li a(t) všechny derivace a je-li / -> /, pak platí af n -> af. Vskutku, je-li f n -> /, značí t, že (/, <p) > (/, 9?) pr každu <p(t). Avšak pr každu <p(t) e K je též a(t) <p(t) e K a tedy platí též (/, acp) -> (/, a<p), tj. (af n, <p) -> (af, <p), čili af n -> af, c. b. d. c c Odtud vyplývá, že platí a^g { = 2 a í/íi=l i=l Pr derivaci sučinu distribuce a funkce, která má všechny derivace, lze dkázat stejné pravidl, jak pr byčejné funkce, tj. Vskutku, pdle (14), (*) a (4) lze pr (af)' psát: (af)' = a'f + af. (20) ((af)', <p) = (af, - <p') = (/, - acp') = (/, ď<p - (a<p)') = (/, a'<p) + + (/, - W) = («7, 9) + (/'» a( P) = = (a'f, <p) + (af, <p) = (a'f + af, <p), c. b. d. Na příklad (ad T )' = a'ó T + ad' T. Avšak aó T = a(t) d T a stejně ďó T = a'(t) Ó T, cž pmcí (16) dá dsazením ad T = a(t) 6 T - a'(t) d T. Na rzdíl d funkcí platí pr distribuce následující důležitá věta: 413
11 Věta 2. Je-li f n -> /, pale platí f n ->/'. Vskutku, je-li f n -> f, značí t, že (/, 99) -> (/, 9?) každu <p(í) p r e - cp'(t) K, je (/, - <p') ~> (/, - cp'), tj. /: -> /', c. b. d. K, a ježt Tak na příklad pslupnst funkcí f n (t) = - sin nt knverguje k nule stejnměrně na každém knečném intervalu. T znamená, že v distributivním smyslu je / > 0, a tedy pdle věty 2 platí f' n ~ cs nt -> 0, /* = n sin nt -> -> 0 atd., prest, že pslupnsti funkcí f n (t), /*( ) v byčejném smyslu vůbec neknvergují. c 00 Z věty 2 dále plyne, že kdj^ž s = 2tji, P a^ s' ~ 2 &*> TCl^n tedy knveri -1 i = 1 gentní řadu derivvat člen p členu. Uveďme si nyní příklad (jehž bsah je pr aplikace velmi důležitý) na užití věty 2! Uvažme pslupnst funkcí f n (t),n = 1, 2,... která má následující vlastnsti: a) ke každému N > 0 existuje čísl C N > 0 tak, že pr všechna a, b splňu"* 6 jící nervnsti \a\ < N, 6 < N je // (T) dr < C N pr všechna n; a t b) je-li F n (t) =- ff n (r) dj, knverguje F n (t) -> 1 pr t > 0, i^f)) -> 0 pr -1 i < 0. Takvu pslupnst funkcí budeme též nazývat ó-pslupnstí. Pdle b) knverguje F n (t) -> H Q (t) skr všude, pdle a) jsu členy \F n (t)\ hraničené lkálně integrvatelnu funkcí, a tudíž je splněna pdmínka II. pr knvergenci příslušných distribucí. Je tedy F n > H 0. Pněvadž F n (t) = f n (t) skr všude, je F' n f n (v distributivním smyslu), takže derivváním dstáváme ' F'n fn ~> H' Q Ó 0, ] n Lehk zjistíme, že například pslupnst f n (ť) = je ^-pslupnstí, 2 nh takže f n ~> Ó 0 a dtud - -> 6 0 atd. TI (1 -j- n L t l Y JL J- I IV v Všimněme si blíže fysikálníh významu prvedené úvahy! Uvažme nějaký člen f n (t) dsti vyskéh indexu ó-pslupnsti. Z pdmínky b) vyplývá, že f n (t) má tvar impulsu, půsbícíh v klí bdu t = 0. Jeví se tedy pdmínky a), b) precisací té představy, že impuls je blízký Diracvě distribuci". Pznamenejme, že z a), b) je zárveň vidět, že není tak pdstatné, jaký má takvý impuls tvar, nýbrž jen t, jaká je jeh plcha". Pznamenejme zárveň, že právě prvedené úvahy nelze brátit; platí-li ttiž pr nějaku pslupnst funkcí f n (t), n = 1, 2,..., že / > d 0, neplyne z th, že f n (t) je (5-pslupnst. Vskutku, vezmeme-li nějaku <5-pslupnst g n (t) a plžíme-li f n (t) = g n (r) + n r a(t) sin nt, kde a(t) má derivace všech 414
12 řádů, r Si O, pak zřejmě f n.> d 0 a f n (t) není ó-pslupnstí. Je tedy třída ó- pslupnstí užší než třída všech pslupnstí f n > 6 0. Přistupme nyní k vyšetření vlastnstí důležité třídy distribucí, tzv. distribucí knečnéh řádu. Řekneme, že distribuce / je knečnéh řádu, existuje-ii pr ni celé čísl k ^ 0 a v (, ) spjitá funkce F(t) (kteru nazveme vytvřující funkcí) tak, že je FW = /. Nejmenší takvé čísl k budeme nazývat řádem distribuce. Tak speciálně každá lkálně integrvatelná funkce je distribucí knečnéh řádu. Stejně j tmu u ó T a jejich derivací. Vskutku, značíme-li K T (t) t = jh T (x) dr, je K T (t) spjitá v (, ) a platí K" T = d T. CO Pznamenejme, že existují 00 distribuce, které nejsu knečnéh řádu. Pří- kladem th je q = ]T <5«"\ kde zřejmé čísl k a funkce F(t) n = 0 neexistují. Pr naše účely budu nejdůležitější ty distribuce knečnéh řádu, které budeme nazývat laplacevské. Řekneme, že / j laplacevská, existuje-li pr ni celé čísl k Ss O, funkce F(t) a čísla, C ^ O tak, že 1. F(t) je spjitá na ( c, c), 2. F(t) = O pr l/< O, 3. \F(t)\ ^ LV ť pr t ^ O, 4. FW =- /. Čísl t budeme též nazývat,,růstem" distribuce /. Mim t zavedeme ještě tut terminlgii: Řekneme, že systém distribucí {f /t } je nrmální, existují-li pr něj pevná čísla k 5í O,, C ^ O tak, že pr každu distribuci f jt existuje funkce F^(t) splňující pdmínky Čísl nazveme růstem" systému. Z definice kamžitě vyplývá následující důležité tvrzení: Je-li / laplacevská, pak při pevném k ;> O je vytvřující funkce F(t) určena jednznačně. Důkaz: Nechť tedy pr nějaké k Ss O existuje ještě funkce F(t), splňující pdmínky Ptm EW E<*> = (F #)<*> = O, a tedy pdle výše dkázanéh tvrzeni je F F = P, kde P je plynm nejvýše k 1-h. stupně. Pdle 2. však P je rven nule pr t < O, takže P(t) = O, tj. P(í) ss P(l), c. b. d. Z definice laplacevské distribuce vyplývá dále zejména t, že takvá distribuce / = O na (, 0). Dále je lehk vidět, že každá laplacevsky transfrmvatelná funkce je zárveň laplacevsku distribucí. (Přirzeně, že tut funkci pkládáme rvnu nule pr t < 0.) T znamená zejména, že systém funkcí 8, který jsme zavedli v [1], je částí systému všech laplacevských distribucí." Knečně je zřejmé, že je-li / laplacevská, pak /("> je rvněž laplacevská 415
13 pr každé celé n > 0. T znamená například, že ó^ pr T 0 je laplacevská. í (Je ttiž 4"> _= K + 2 >, kde T (ř) -= /B T (r) d T ; dtud je též vidět, prč musí být T ^.) Z pdmínky 3. definice dále vyplývá, že pr čísla p, splňující pdmínku Re p > existuje Laplaceův integrál funkce T(0, tj. v kmplexní plrvině Re p > je definván braz J_? {T(0}- Tat klnst umžňuje definvat jednduše braz distribuce /. Je-li / laplacevská distribuce s růstem, pak funkci <_?(/) -= p 7í J_? {77(0} prměnné p, definvanu v plrvině Rep > nazveme brazem /. Z tét definice brazu a z výše dkázané jednznačnsti 7/(0 plyne, že při pevném k je braz určen jednznačně. Ukažme dále, že braz je vůči vlbě k invariantní, tj. že k může být nahrazen větším číslem. Vskutku, je-li / laplacevská a F(t) splňuje pdmínky 1. 4., pak pdle det finice je _?(/) = p k S {F(t)}. Avšak funkce E ( " 1} (0 jf{t)ár zřejmě splní rvněž pdmínky 1. 3., pdmínku 4. pak pr k -f- 1. Ježt však Jž? {E (_1) (0} = = - < {77(0}, je P k+1 & {^_1) (0} = T- fc =^ {T(0} = ^(/), c. b. d. p Z tét úvahy zárveň vyplývá, že pr každu funkci f(t) e S (tj. laplacevsky transfrmvatelnu funkci, srv. [1]) platí <_?(/) =» «Sř {/(O}- (Pdtrhněme, že klademe f(t) = 0 pr í < 0.) Snadn se dkáže následující Veta 3. Nechť /,, g jsu laplacevská; je-li Jť(f) = ^(g), pa f = g. Důkaz: Nechť 77(0, <2(0 J su příslušné vytvřující funkce, k, l dpvídající čísla, pr něž / = F( k ), g G( l ). Budiž k ^ l. V plrvině Re p > max [ l5 1 2 ], kde Ij a 2 je růst distribuce / resp. gr tedy platí p*j2ř {77(0} == p ^ W)}, tj. J_> {<?(.)} = ^ f c ^ {-?(«)}, čili J2ř {<-(«)} = & {P(*-')(ř)}3) Pdle známé věty (srv. [6]) pak platí O(0 = F( k ~ l )(t). (G(t), F(t) jsu spjité!) Derivujeme-li tut rvnici distributivně Lkrát, máme G( l ) = F( k ) tj. g = /, c. b. d. Z definice brazu přím plyne tvrzení: Jsu-li c, (í čísla, /, g laplacevské, pak - W + fig) = cjť(f) + 0&(g). Triviálním důsledkem definice brazu je 416 t T n _, T 2 3 ) Zde i nadále značí F(~ n )(t) _- /d- B _- / dt M _ 2... / F(r t ) dt 1? t»>0.
14 Věta 4. Je-li f laplacevská, (Důkaz je zřejmý.) platí Sf(f) = psf(f). (21) Speciálně nalezneme: Ježt pr T ^ 0 je Sf(Hr) = Sf {Hr(t)} = a d T = Hý, máme Sf(ó T ) = psf(ii T ) = e -3,r a dtud becně Sf(dp) = 2> fc e- pt. Všimněme si na tmt míst případu, kdy / je regulární laplacevská distribuce a v <0, c) má (byčejnu) derivaci, která má braz. (Na první phled se ttiž zdá, že (21) nějak nesuhlasí" s bvyklým pravidlem pr braz derivace funkce.) Ježt / předpkládáme, že je laplacevská, značí t, že f(t) = 0 pr / < 0. Označme pr určitst f(t) = /'(/) pr t > 0, f(t) _ 0 pr t < 0. (V bdě t = 0 přirzeně rzumíme derivaci zprava.) Pr distribuci /' však platí takže (/',?)-=-- / /(t)?'(t) dt = - //(T) <//(T) dt - - [/(T) ^T)]? + - Ó _ + / /'(T) ^(T) dt _ /(O)?;(0) + / /'(T) (p(t) dt, Ó -00 /' = /(O) t3 0 + /'. (23) (Tut rvnici mhli jsme statně napsat přím na základě (19).) Pněvadž však Sf(f) = Sf {/(/)}, Sf(f) = Sf (f(t)}, dstáváme dsazením (23) d (21) /(O) + Sf (f(t)} = psf {f(t)}, tj. známé pravidl. Pr další úvahy bude účelná znalst následujícíh lemmatu: Lemma. Buďk celé Čísl, k ^ 0, a(t) funkce, mající v ( c, ) derivace všech řádů. Pak pr každé T > 0, h > 0 existuje <p(t) e K tak, ze platí: 1. y (*)(ř) =_ «(ř) pr ře <0, T>, 2. ^( ft >(ř) c(t)\ < max «(<;) pr t e <T, T + h}, a (T,T+h) 3. 9>( fc )(ř) _ 0 pr t > T + h. Důkaz: Pr k = 0 je věc jasná. Stačí ttiž zvlit funkci $(/) e K tak, že 0 < 0(t) < 1 pr t e (- 1, 0) u (T, T + 70, 0(t) = 1 pr ř e <0, T> a 0(í) = 0 vně ( 1, T + 70, (takvá funkce zřejmě existuje) a plžit <p(t) = <x(t) 0(t). Pr A; > 0 prveďme důkaz indukcí. Nechť tedy pr některé k Sg 0 existuje <p(t) e K tak, že jsu splněny pdmínky a pr t > T + h je <p( ) = 0. Zvlme nějaku funkci 99(0 e K tak, že 9?(í) je rvna nule vně intervalu ( 1, 0) 0 T+h a platí pr ni j <p(x) dr = / <^(T) dt. Plžme nyní V(í)_ /<ř(t)dt- /ř(t)dt. (24)
15 Předně je z (24) zřejmé, že ip(t) = O pr t ^ T + h, a že y>( ) má derivace všech řádů, takže y(l) K. Dále pr l > 0 je y/(!) = q>(t), tj. ip( k+1 )(t) = qá k )(t), čímž je lemma dkázán. Nyní můžeme snadn dkázat následující větu: Věta 5. Nechť distribuce f, f n, n = I, 2,... fcw* nrmální systém s růstem I;?'e-Zi / ~> /, pa/í?; plrvině Re > > přáti =5ř(/ M ) > J?(/). Důkaz: Buďte F n (t), F(t) vytvřující funkce k distribucím f n, f, pr které F& = / B. ^(7l) = / J e ž t /«-> /> J e F n k) CO 00 ->.E< 7 + cž značí, že /" P n (T)?><*>(T) dt -> / E(T) qa k )(r) dt (25) 6 pr každu cp(t) e K. (F n (ť), F(t) jsu rvny nule pr t < O!) Zvlme nyní některé kmplexní čísl p = x + i?y, pr které ÍC > ; značíme-li y(l) nějaku spjitu funkci, T, A > O libvlná čísla, můžeme psát: c P,e Se {F(ť)} - Re Se {F n (t)} -= / (#(T) E" ři (r)) e-»" cs?/t dt =-- = / (E(r) - T n (T)) (T) dt + /(E(T) - E (r)). (e-«* cs yr - y>(r)) d^ + V n T +h + / (T(T).^(T)) (e~»- cs Ž/T y)(r)) dr + /" (#(T) F n (r)) e""" cs «/T dt, T T+/i takže Re JSf {T(ř)} - Re & {F n (t)}\ < < f + \F(r) - F n (r)) (r) ár\ + / (J(T) - E») (e-' cs yr - y>(r) dr + W b + f (\F(r)\ + E (T) ). e-rcsyr-v(t) dt + /( ^(T) + \F % {x)\) *-'-&. Ť T (26) Zvlme nyní libvlně e > 0; pdle předpkladu nrmálnsti systému f,f n existuje O > O tak, že \F(t)\ < GV ť, \F n (t)\ < CV ť pr všechna t > O ] E í x ) a n. Zvlme dále čísl T tak, že T > ln. Snadn se přesvědčíme, že pak pslední člen na pravé straně nervnsti (26) bude menší než. Knečně zvlme h < T tak, že h < ;- exp ( T(2 x)). K číslům T, h existuje pak pdle lemmatu funkce q>(t) e K tak, že platí jeh bdy L, 2., 3., klademe-li tam ex(t) e"** csyt. Plžíme-li ve (26) ip(i) = = q ( - k )(t) > vidíme, že vymizí druhý člen pravé stranj 7 (26); dále pak je 418 T+h / (je(t)j + T B (T) ). e^rcsy/t-(pw( T ) dt </ 2Ce«T+A) e- 1BT dt< <2Oe T < a -^.<. c T+h
16 Pr vybranu funkci (p(t) e K tedy platí Re Se {F(t)} - Re S {F n (t)}\ < J(F(r) - F n (r)) <^>(T) dr + 4. (27) <} Pdle (25) však existuje index N t > () tak, že pr každé w > N t bude první člen pravé strany (27) menší než -, takže pr všechna n > N L bude Re SC {F(t)} - Re _" {F n (t)}\ < \ Opakujemedi nyní celu livahu pr rzdíl Im Se {F(t)} Im SC {F n (t)}, zjistíme, že existuje N 2 > 0 tak, že pr všechna n > N 2 bude abslutní hdnta tht rzdílu menší než e. T znamená, že pr všechna n > max [N 15 N 2 ] je \Se {F(t)} - Se {F n (t)}\ < e, takže se {F n (t)} -> jg? {#(0}. (28) Z (28) knečně vyplývá, že v plrvině Re p > f je j^^f {-/+.( )} -> p k Se.,{F(t)}, tj.j2?(/ B )->>(/), c. b. d. ^ Z právě dkázané věty 5 vyplývá, že splňují-li částečně sučty knvergentní 00 řady 2 9i jakž i její sučet předpklady věty, platí i = l i = 1 i = 1 Uveďme si příklad. Nechť / = 2 ^'- Zřejmě tat řada je knvergentní, 2 ^i i = 0 i = 0 a / jsu laplacevské a jsu splněny pdmínky věty 5. (Očividně n vytvřující funkcí F(t) k distribuci / je F(t) = ^ *' + (& + 1) t pr í e </c, k + 1>, _ fc = 0, 1,..., takže pr každé t > 0 je E(í) < t(t + 1) < 2e ť.) Pdle (22) je 00 Se(Ó n ) = e _,m, takže pr Re p > O je řada 2 e" 3 '" knvergentní a má sučet n = 0 (1 _ -p)-i. Pdle (29) tedy je e --(;!>«)=T-VÍ 4 = 0 ' Jak další příklad (velmi pučný) prveďme následující úvahu, ze které dbře vynikne charakteristická vlastnst laplacevských distribucí, tj., že jsu rvny nule na ( c, 0). Již dříve jsme dkázali, že v distributivním smyslu platí / = n sin nt -> 0. Aplikujeme-li na tent případ bez rzmyslu větu 5, dstaneme _*(/ ) -> 0, ačkli Se {n sin nt} -= r~- ~ ~+ 1; v čem je p 2 + n 2 chyba? Lehk však vidíme, že větu 5 nelze pužít na pslupnst /. Při <30) 419
17 důkazu vztahu / -> O znamenal ttiž symbl f n regulární distribuci n sin nt na celém (, ), a tudíž / nebyla laplacevská. Naprti tmu, zavedeme-li pr určitst značení f n (t) = n sin ni pr t 25 0, = 0 pr t < 0, ptm F n (t) t sin nt pr t ^> 0, = 0 pr l < 0 jsu vytvřujícími funkcemi pr / splňujícími pdmínky (dknce je F" n (t) = / n (í) všude v (,)) a tedy / jsu laplacevská. Dále je F n (t) -> K 0 (0 stejnměrně na každém knečném intervalu (K 0 (ť) = ř pr t Ss 0, K (0 = P r l < 0) a tedy i v distributivním smyslu platí F n -> K 0. Derivváním plyne dtud F n f n -> K" 0 = = (H 0 )' -= (3 0. Pdle věty 5 tedy platí Se(f n ) = JS? {w sinraí} - > J2f(a 0 ) -= i. Z tht příkladu vyplývá, že pčítáme-li někde s brazem =šf {f(t)} nějaké funkce f(t), pak s hlediska distribucí t značí, že předpkládáme f(t) = 0 pr t < 0. Přistupme nyní k zavedení pr naše účely velmi důležitéh pjmu knvluce distribucí. Buďte /, g laplacevské 4 ) distribuce, F(t), G(t) příslušné vytvřující funkce, splňující pdmínky a necb/6 / = F( k \ g O(? ); knvlucí / * g nazveme distribuci, pr kteru platí f*g = (JF(t~~x)G(x)dxf +l).s) (31) Z definice (31) pmcí substituce t x = u ihned vyplývá, že / * g = 9 * / (32) Dkažme nyní, že knvluce nezávisí na vlbě čísel k, l. Tt tvrzení bude dkázán, dkážeme-li, že platí (jf(t - x) G(x) dxf +l) = (f(j r F(c) da) G(x) drf +l+1). (33) Pdle Fubinivy věty však platí t t-x J( J F() da) G(x) dx = JfF(a) G(x) da dx, (34) 4 ) Z dalšíh bude zřejmé, že pr definici knvluce není pdstatný bd 3. definice laplacevské distribuce, a že by mhl být vypuštěn. Ježt však nás bude zajímat braz knvluce, pr jehž existenci bd 3. pdstatný je, definvali jsme knvluci jen pr laplacevské distribuce. 5 ) Upzrněme, aby nevznikl myl, že knvluce funkcí uvnitř kulaté závrky je definvána pr všechna t (nikli jen pr t > 0), je však rvna nule pr t < 0, nebť tam F(t) = G(t) = 0. Z th vyplývá, že / * g = 0 na ( c, 0). 420
18 kde Q je trjúhelník rviny r, a s vrchly [0, 0]; [t, 0]; [0, ť]. Zavedeme-li s)í \ \ transfrmaci r = u, a = v u, le -7r+ r = 1 a integrál na pravé straně (34) 8(M, V) Í přejde v integrál JjF(v u) G(u) du dv, kde brem Q je trjúhelník rviny a u, v s vrchly [0, 0]; [t, i]; [0, t], Převedeme-li tent integrál pět na dvjný, dstaneme knečně /( / F(a) da) G(r) dr = f(jf(v - u) G(u) du) dv. (35) Derivujeme-li tut rvnici k + l + 1-kráte, dstaneme (33). Jak znám, pr knvluci tří funkcí f(t), g(t), h(t) platí (srv. [6]) f(t) * (g(t) * * h(t)) = (f(t) * g(t)) * h(t). Z th vyplývá, že pr tři laplacevské distribuce /, g, h platí f*(g*h) = (f*g)*h. (36) Vskutku, zřejmě lze najít přirzené k a vytvřující funkce F(t), G(t), H(t) tak, že / FW, g = GW, h = H», takže f*( g *h) = j?w * \Q( t ) * H(t)]W = [F(t) * (G(t) * H(t))]( ) = = [(F(t) * G(t)) * H(t)J 3k ) = [F(t) * O(l)]( 2fc > * H( fc ) = (f*g)*h,c. b. d. f Zcela stejně se dkáže, že pr laplacevské distribuce platí Dále platí následující f*(g+h) = f*g+f*h. (37) Věta 6. Jsu4i funkce f(t), g(t) lkálně integrvaielné, z nichž jedna je v každém knečném intervalu <0, Ty hraničená a f(t) = g(t) = 0 pr t < 0, pak platí f(t) * g(t) = / * g. (38) Důkaz: Splňují-li f(t), g(t) předpklady věty, pak f(t) * g(t) existuje pr všechna t. (Viz [6] neb [1] pmcná věta".) Vytvřujícími funkcemi pr /, g zřejmě jsu /( _1 >(ř), g<-~v(t). Utvřme H(t) = /("^(í) * f/^hl). Pněvadž /( _1 )(í) má derivaci skr všude rvnu f(t), platí ([6], [1]), že H(t) má skr všude derivaci a je H'(t) = f(t) * g^^t) + /í -1 >(0) g(~v(t) = f(t) * g(~ x )(t). Stejným způsbem vyplyne, že skr všude H"(t) = f(t) * g(t), tj. / * g = f(t) * g(t), c. b. d. Uveďme si nyní příklady na knvluce! Buď / laplacevská distribuce; máme určit / * d 0. Nechť. F(t) je příslušná vytvřující funkce k /, E( fc > = /. Vytvřující funkcí k d 0 je K 0 (t) = t pr t 2> 0, K 0 (l;) = 0 pr t < 0, přičemž K" 0 = d 0. t Pdle definice tedy je / * S 0 = (f(t - r) F(r) dr)( fc+2 >. Integrací p částech však je J(t - r) F(r) dr = [(t - r).f<-->(t)];:{ + ff(~v(r) dr = E<~ 2 >(l), ó ť 421
19 takže / * Ó 0 = (#(- 2 >(ř)) (7c+2) -= T<*>. Platí tedy f * d 0 = f. (39) Stanvme dále <5Ó * d' 0. Zde je (5 0 = K" 0, takže Í; * ó' 0 = (/(í - r) T dr)<-> = ( l 3 p = (Lf 0 (/)) {3) = j Pmcí knvluce mhli bychm též definvat,,určitý integrál d 0 d t z distribuce /" jak distribuci H 0 * /; kdyby pak / byla regulární, byl by pdle t věty 6 tent pjem ttžný s //(r) dr. Pr naše účely však t nemá valné ceny a prt nebudeme pdrbnsti rzebírat. Lehk se nyní dkáže následující Věta 7. Jsu-li f, g laplacevské, pak (f*9)'=f*9. (40) Důkaz: Buďte F(t), G(t) vytvřující funkce, EW = /, GW = g. Ježt E( fc+1 > = f > J e pdle definice knvluce i f * g = ([F(t T) G(T) dr)( fc+z+1 > = (/ * g)', c. b. d. ó Na základě (40) vyplývá z (39) vzrec Důležitá bude následující / * á 0 M) = f n) (41) Věta 8. Nechť distribuce f, g, f n, g n, n 1,2,... tvři nrmální systém; je-li fn ~+ f, 9n~> 9, Pak platí Přitm f * g, f n * 9n tvří rvnez nrmální systém. fn*9n^f*9- (42) Důkaz: Buďte F(t), G(t), F n (t), G n (t) vytvřující funkce a/ = F^, g = O( fc >, f n - F, g n = Gp. Ježt / -> /, je / F n (r) cp^(r) dr -» / E(r) <^(r) dr pr každu <p(t) e K, (43) - 00 OO Pr libvlnu spjitu funkci ^(ř) a čísla X, h > 0 platí jt(-i)(a) - *<-->(*) -=- ff(r) dr - /T n (r) dr = = f(f(r) - F n (r)) (1 - ^(r)) dr + / (F(T) - F n (r)) fa) d* - 422
20 takže \F(~-)(X) - T^A)) < \J(F(r) ~ F n (r)) (1 ~ n (r)) ár\ + + / (F(r) - F n (r)) rj(r) ár\ + / *( ^(T) + \F n (r)\)-. \ V (r)\ ár. (44) x Zvlme X > 0 a e > 0. Zvlme dále h < X tak, že h < e^2af. (Čísla O, existují, pdle předpkladu T(l), \G(i)\, \F n (t)\, \G n (t)\ < 6V«.) Pdle lemmatu existuje pak pr X, h (klademe tam T = A; a(l) ^~ 1) funkce <p(t) K tak, že qá k )(t) = 1 v <0, X), \<p( k )(t) 1 < I v <A, A + A> a ^<*>(f) = 0 pr t > A + h. Plžíme-li ve (44) ^(t) = (p( k )(t), zmizí první člen pravé strany a pr třetí máme Je tedy A+ft / ( ^(T) + \F n (r)\). \qt 7e) (r)\ d T < 2Ceě<*+». 2A < ť. 00 E<~i>(A) - Eb 1^)! < / (77(T) - E n (T)) 9>«(T) dr + *e. (45) 00 Pdle (43) pak existuje iv tak, že pr každé n > N bude první člen pravé g strany (45) menší než, takže platí F n ~ X) (t) -> F { ~ x) (t) pr každé í. Zcela stejně vyplyne, že G n ~ l) (t) ~> G { ~' x) (t) pr každé i. T znamená, že pr každé t a r je Ef 1^ - T) O^X) (T) ->.F<-->(í - T) (^"(T). Všimneme-li si, zeje \F { ~ X) (t)\, lo^1'^)] < y e+ vidíme, že členy pslupnsti F n ~ X) (t T) G { ~ X) (r) jsu na intervalu r e (0, t) hraničeny knstantu C2 -a e24í? takže platí i ť V«(0 = /^."(í ~ T) O'" 1 '^) dr -> JF(- X) (t - r) 0<-->(T) dt. Pněvadž však členy if n (t) jsu pr všechna t hraničeny lkálně integrva- C 2 telnu funkcí - - e 21^, platí též v distributivním smyslu O Tn _1) (0 * G { nx) (t) -> T(-D(ř) * O(- ] )(l). (46) Uvědmíme-li si knečně, že F(~ x )(t), G(~ x )(t),..., jsu rvněž vytvřujícími funkcemi pr /, g, f n, g n, plyne 2Jc + 2-násbným derivváním (40), že / * 9n ~~ (JňT^it) * G n ~ X) (t))^) -> (^(--)(ř) * O(-i)(t))(^+2 ) = / * </, cž jsme mli dkázat. Ježt platí \F { ~ x) (t) *O(-D(Í) < ^-e 2^! a ^-"(í) * 0í, _1> (í) < S" -e 2^1 ' w = 1, 2,..., tvří / * g, f n * gr n nrmální systém a věta je dkázána. 423
21 Naknec dkažme následující jednduchu větu: Veta 9. Budte f, g laplacevské distribuce s růsty x, 2. Pak v plrvině Re p > max [._, a ] platí &(f * <7) = &(f) --%) ( 47 ) Důkaz: Jsu-li F(t), G(t) vytvřující funkce F( k ) =- f, G^ = g, je / * g = (T(ř) * G(t)Y k+l ). (48) Pdle známé věty knvluci funkcí (srv. [6]) existuje pr Re p > max.. [ 15 a ] braz & {F(ť) * t7(ř)} a je rven & {F(t)} & {G(t)}. Pdle věty 4 máme pr (48}: -Sf(/ * í7) = P k+l & (F(t) * G(t)} = p»j2p {* (*)} p*jř {G(í)} = J2?(/) -Sř(jr), c. b. d. Příklad: Máme ustanvit d^ * <5í >; T v T 2 *> 0. Pdle (47) je &0$l * *$?) = P n e~ ptl.p m e~ vt * == ^(d^vrý; pdle vety 3 (unicity riginálu) tedy platí <5< > * ^ = d ^ l ; T 1} T 2^0. (49) ČÁST II. Přistupme nyní k řešení vlastní prblematiky, kteru jsme nastínili v úvdu článku. Pr přehlednst zavedeme vektrvu symbliku. Symbl [a ik ] bude značit čtverečnu matici r-téh řádu, sestavenu z prvků a ik, symbl [cj] ř-dimensinální vektr z prvků c ť. Jsu-li prvky matice M a vektru v distribuce, je jistě zřejmý význam symblů M', v', S (v), M * v, M * d' 0 apd. 6 ). Zavedeme-li matice A = [c ik ], B = [/3 ik ], C = [y ik ] a vektry q == [q { ], = [ C Í]J #(0 = [^(Olj /(O ~ [/»(0]> niůžeme systém rvnic (1) zapsat v jednduchém tvaru t Ax(t) + Bx'(t) + Cfx(r) dr + q = /(ř). (50) Dále zaveďme ještě tt značení: F bude systém všech (/"-dimensinálních) vektrů x(t) = [^(ř)]* kde íc ť (í) e S, i = 1, 2,..., r. (Srv. [1]), D systém všech vektrů / = [j/jj, kde y ť jsu laplacevské distribuce. Budeme-li definvat všechny x(t) e F jak a?(ř) = 0 pr t < 0, pak bude F c D. Pněvadž nám zde nepůjde kmpatibilitu" pčátečních pdmínek (tat 6 ) Je-li M = [m ik ], v = [Vj], pak pr prvky q i vektru M * v je q. = 2 m ťfc * v k. Pdbně fc = i pr prvky h ik matice M * ó' Q je /& ť?c = m ifc * d' Q = m' ir 424
22 tázka byla řešena v [1]), budeme předpkládat, že vektr q je již zahrnut v f(t) a prt budeme uvažvat namíst (50) jedndušší rvnici t Ax(t) + Bx'(t) + Cfx(r) dt = f(t). (51) V [1] byly zavedeny pjmy zbecněnéh a klasickéh řešení (51), když f(t) e F takt: Řekneme, že x(t) e F je zbecněným řešením (51) při pčáteční pdmínce c, jestliže x(t) splňuje rvnici t í T t Afx(x) dt + Bx(t) + Cffx(a) d dx = ff(r) dx + BcH 0 (t), (52) ó přičemž rvnst bereme ve smyslu skr všude". Jeli nadt x(t) spjitý v <0, ), splňuje pdmínku x(0) = c, má spjitu derivaci v (0, ) a v (0, ) vyhvuje identicky (51), nazývá se x(t) klasické řešení. j Pznámka: V [1] zavedli jsme pjmy řešení puze na intervalu <0, ). Prtže však hdláme vyšetřit suvislst mezi zbecněným a dále zavedeným distributivním řešením, je nutné smysl těcht pjmů rzšířit na celý interval (, ). Prt jsme při zavedení systému F ddefinvali jeh prvky jak nuly pr t < 0, a prt se v (52) bjevil" sučinitel H 0 (t) u vektru Bc. Je však zřejmé, že zde pakvaná definice zbecněnéh a klasickéh řešení (nyní už na (, )!) je pr t > 0 ekvivalentní definicím z [1]. Přisuďme nyní smysl rvnici (51), když její pravá strana je vektr distribucí. Buďte A, B, C reálné matice, c reálný vektr, / e D. Řekneme, že x je řešením (51) při pčáteční pdmínce c, jestliže 1. xe D, 2. je splněna rvnice Ax' + Bx" ^Cx = f'+ Bcd' 0. (53) Pznamenejme, že splnění pdmínky 1. nepžadujeme z th důvdu, aby prvky x měly knečný růst, nýbrž prt, aby byl pjem řešení při dané pčáteční pdmínce určen jednznačně. (Nehrzí-li nedrzumění, budeme říkat prstě řešení" namíst přesnějšíh distributivní řešení".) Jinými slvy, pdmínka 1. dvluje mezi všemi řešeními (53) vybrat t, které je rvn nule na (, 0). Tak například, každé řešení rvnice x" = Ó ( 3) x mžn psát ve tvaru x = d[ + /, kde / = c x + c 2 t na (, ), avšak jenm řešení x 0 = d[ je rvné nule na (, 0). Zaveďme ještě tt značení: Buď Z(p) = A + pb + O; řekneme, že matice A, B, C splňují pdmínku PÍ, je-li det Z(p) =f= 0. Pak můžeme vyslvit důležitu větu: 425
23 Věta 10. Nechť A, B, C splňují PÍ, / e D. Pak existuje jediné distributivní řešení x rvnice (51) a platí pr ne kde x = R*(f + Bcd 0 ), (54) < (R) = Z-\p).. (55) Důkaz: Předně je zřejmé, že matice Z~ l (p) (která v důsledku platnsti P\ existuje), má za prvky brazy laplacevských distribucí. Vskutku, prvky ^~ X {V) J su racinálními funkcemi p, takže pr dstatečně velké k bude matice p~ k Z- 1 (p) mít za prvky brazy v (-- c, c) spjitých funkcí 0 ik (t), pr které C+t) = 0 pr t < 0. Buď R matice distribucí, pr kteru platí (55). Pdle věty 3 je E určena jednznačně. Snadn zjistíme, že R vyhvuje rvnici Je ttiž AR' + BR" + CR = IS 0 (I je jedntkvá matice). (56) J2ř(_4iž' + BR" + CR) = (pa + p*b + C) S?(R) = pz(p) Z~*(p) = pí _= = Z-Sf(di), takže pdle věty 3 (56) platí. Sestrjme nyní vektr distribucí x pdle rvnice (54), a utvřme vektr u = Ax' + Bx" + Gx; pdle věty 7 pak platí u = AR' * (/ + ÍJCÍ3 0 ) + BR" * (/ + Bcd 0 ) + CR * (/ + Bcd 0 ) = = (AR' + BR" + CR) * (/ + Bcd 0 ) - (Id 0 ) * (/ + Bcd 0 ) =/' + Hc^ pdle rvnice (41). Je tedy sestrjený vektr x řešením (53). K důkazu jednznačnsti předpkládejme, že existuje ještě x e D vyhvující (53). Pak všem je takže A(x x)' + B(x x)" + C(x x) = 0, Se(A(x x)' + B(x x)" + C(x x)) = p_5(p) *(a; - í) = 0, z čehž plyne ^(x x) = 0, a tedy pdle věty 3 x = _. Věta je dkázána. Srvnáme-li právě dkázanu větu s větu 2 z [1], vidíme, že pstačující pdmínky pr existenci distributivníh řešení (51) jsu mnhem slabší, než pdmínky pr existenci zbecněnéh řešení. Pznamenejme, že pdmínka Pl je v praktických případech splněna vždycky, tj. (51) má prakticky vždy řešení. Všimněme si nyní blíže th, kterak suvisí distributivní řešení (51) s řešením zbecněným. Platí následující Věta 11. Buď f(t) e F. Pak platí: a) má-li (51) zbecněné řešení x(t), je x(t) zárveň distributivním řešením (51) (rzumí se při stejné pčáteční pdmínce); b) má-li (51) distributivní řešení x, které je regulární (x = x(t)), ptm x(t) je zbecněným, řešením (51). 426
24 Důkaz: tvrzení a) je triviální; je-li x(t) zbecněné řešení, platí (52) skr všude; derivujeme-li ji distributivně dvakrát, dstaneme (53). Abychm dkázali tvrzení b), všimněme si, že pr libvlnu laplaceovsku distribuci h platí h' * H 0 = h. T plyne snadn z věty 7 a rvnice (41) takt: h' * H 0 -= = (h * H 0 )' -=h* ó 0 h. Pdbně, je-li. h regulární, h h,(^), pak h * H 0 -= í = /A(r) dr. (O tm jsme se statně zmínili výše.) Jestliže nyní (51) má regulární distributivní řešení x, je splněna rvnice (53), tj. Ax' + Bx" + Cx /' JBC<5Ó = 0. Násbíme-li" ji H 0, mánie t (Ax/ + Bx" + Cx - f - Hcc5 0 ) * II 0 = Ax + Ba;' + C fx(a) áa - / - Bcó 0 =. 0. ó Opětvným násbením plyne ť í T ř A/a;(T) dr + Bx(t) + O f/x(cr) der //(T) dt - Bc// 0 (f) = 0. (57) Na levé straně (57) stjí regulární distribuce; pslední distributivní rvnst značí, že funkce na levě straně je rvna nule skr všude, tj. že x(t) je pdle (52) zbecněným řešením (51), c. b. d. Z právě dkázané věty vyplývá, že zbecněné řešení je speciálním případem řešení distributivníh. Pr fysikální zhdncení výsledků bude ptřebná následující Věta 12. Nechť f n e D, n = 0, 1, 2,... tvři nrmální systém 7 ) a matice A, B, C splňuji pdmínku PÍ. Znací-li x n řešení rvnice t Ax n + Bx' n + C jx n dt = / (58) při pčáteční pdmínce c, a je-li f n -> /, n = 1, 2,..., pak platí x n > x 0 a x n, n =, 0, 1,... tvří nrmální systém. Důkaz: Vyjdeme z věty 10; pdle (55) je matice distribucí R d n nezávislá. Pdle (54) pak platí x n = B*(f n +Bcd a ), n = 0,1,2,... Ježt f n -> / 0, též f n + Bcd 0 -> f 0 + Bcd 0, a tedy pdle věty 8 platí x n = R * (fn + Bcd 0 ) ^R*(f -I Bcd 0 ) = x 0 ; pněvadž f n tvří nrmální systém, je pdle věty 8 zřejmě též R * (/ n + Bcd 0 ) nrmálním systémem, čímž je věta dkázána. 7 ) Význam rčení f n e D, n = 0, 1, 2,...tvří nrmální systém" je jistě zřejmý; značí t, že všechny prvky všech vektrů f n tvříprmáíní systém distribucí. 427
25 Věnujme nyní něklik slv tmu, kterak závisí struktura distributivníh řešení rvnice (51) na její pravé straně. Při vyšetřvání dynamiky lineárních sustav se přivedené síly bvykle skládají z nějakých impulsů a ppudů, grafy jejichž časvých závislstí jsu tvřeny bluky grafů velmi rzumných" funkci. Abychm tut představu precisvali, zavedeme následující pjmy: Nechť čísla t t,i = 0, 1, 2,... splňují pdmínky 0 = t 0 < t x < t 2 <...; t { ->. Označme (T) pslupnst t {> i = 0,1,2,... Řekneme, že distribuce / je (T)-standardní, je-li c n f = I(V'i + 9i), v>< = 2>.-* ( 59 ) i-,0 k = 0 (n je nějaké pevné čísl d i nezávislé) a jsu-li splněny tyt pdmínky: 1. g u i = 0, 1, 2,... jsu regulární, přičemž g t (t) má pr t > t t derivace všech řádů a je g(t) = 0 pr t < t { ; r 2. distribuce /, f r 2ÍVi + 9i)> í* =- 0, 1, 2, 3,... tvří nrmální systém. i=0 Analgicky budeme říkat, že vektr distribucí h e D je (T)-standardní. CO Z definice přím plyne, že / = ^ 9i na JI = y (t i} t i+1 ), tj. že na mnžině 2 = 0 í' = 0 M je (T)-standardní distribuce zttžnitelná s funkcí. Příkladem takvé distribuce je / = 6' 0 + 2(Jar 0 (í) - H&)) cs 2^ + 5(-ff,(í) - H s (t)) e~*+ 2d z + K f (í), kde zřejmě _ = (0, 1) U (-, f) U (i 2) U (2, 3) U (3, ), neb h = ó 0 + H 0 (í) + fdi + (- 1)* 2ff l (í), kde M={j(i,i + 1). i=l i-0 Dále je z definice zřejmé, že (T)-standardní distribuce můžeme lehk graficky znázrnit". Pužitá licence znázrnění je dbře patrná z br. 2, kde je graf distribuce /" pdle (60). Učiňme na tmt místě bšírnější, avšak důležitu pznámku. Byl by mylem, kdyby čtenář nabyl djmu, že každá laplacevská distribuce má tvar (59). Systém distribucí je ttiž mnhem bhatší. Osvětleme si věc na příkladě. Uvažme funkci f(t) =. At 1 ' 1 pr t > 0 = 0 pr K 0, 0 < 2 < 1. c (60). (60a) v } Zřejmě f(t) je lkálně integrvatelná, a je tedy regulární distribucí. Derivace f'(t) existuje všude vyjma bdu t = 0, f'(t) = X(l 1) t A ~ 2, avšak f'(t) již není v klí nuly lkálně integrvatelná. (Srv. pzn. 1 )). 428
26 Pr distributivní derivaci /' platí pdle definice c (f',<p)=(f,-<p')^-fw-i<p'(t)dt 0 Lehk zjistíme, že platí 661) (f',<p) = fw-l)t*-*(cp(t)-cp(0))dt (62 1 I Л v Ґ 1- ť \ I &, t? 3 4 Obr. 2. Předně je ttiž zřejmé, že integrál (62) knverguje. Pr každé h > 0 můžeme psát h c />->(*) - 9>(0)) dí = ft*~*(cp(t) - ^(0)) dí +ft*-*(cp(t) - 9,(0)) dí - Ó 0 i. 7i. =ft*-*{<p(t) - <P(O)) dt + y^j (<p(t) - ^())]^ - jzrijt*-y(t) <w. Avšak pr první integrál na pravé straně pslední rvnice je I = ft x 2 (cp(t) 0,(0)) dř = f t^cp'(rjt) dt, O <rj < l (ri závisí na ř), takže i -> O pr h -> 0. 0 /i A_1, Zárveň hdnta závrky je rvna (99!^) <p(0)) -5 7<p'(v^) ~ > A 1 A 1 -> O pr h -> 0. Tím je (62) dkázána. Z rvnice (62) je ihned vidět, že pr ty funkce <p(t) e K, pr které 99(0) = O, je funkcinál (/', 99) ttžný s funkcinálem ca f f'(ť) cp(ť) dt. T znamená, že na (O, 00) je /' = A(A 1) t^2. (Nechť si čtenář ó dbře rzmyslí, v jakém smyslu nutn pslední rvnici chápat!) Snadn dále nahlédneme, že /' nelze vyjádřit ve tvaru /' = 2 ^ + g, n n=. 1 kde g je regulární; kdyby tmu tak byl, platil by (/' ]> affl g) * H 0 = i = 0 429
27 = O, tj. / - «0 H 0 - gk" 1 ) - 2 M ( _1) = O, kde gi- 1 ) = fg(r) ár. Z th by i... i plynul OÍ X c 2... = a n = 0 (/, H 0, g('~^ jsu regulární), a tedy Xt } X - a 0 í7 (_1) (l) 0 skr všude pr l > 0. Ježt však členy t x ~ x, gr(-->(č) jsu spjité v (0, ), platila by rvnst všude; avšak tj (_1 )(l) -> 0, t x ~ x ~> pr /.> 0 +, cž je spr. Naprti tmu na každém intervalu (h, c), /i > 0 je /' rvna regulární distribuci; stačí ttiž klást g h = X(X -~ 1) l ; ~ 2 pr í ^ h = 0 pr l < /?, a je/' = g h na (h, c). Všimněme si ještě rvnice (62)! Jak jsme viděli, funkce f'(ť) = X(X 1) l A_2 TO není lkálně integrvatelná, a tudíž funkcinál / X(X 1) t K ~ 2 <p(t) át nemá pr některé (p(t) e K smyslu. Naprti tmu funkcinál (/', 93) pdle (62) má smysl pr každu <p(t) e K. Z th je vidět, že pmcí (62) je mžn funkci t l ~ 2 zařadit d systému distribucí, přičemž na (0, 00) dchází k rvnsti. Obecně lze pak dkázat, že každá funkce g(t), která má v bdě l 0 neintegrvatelnu singularitu th typu, že pr nějaké n j> 0 je (t l 0 ) w g(t) integrvatelná, připuští tzv. regularisaci příslušnéh funkcinálu, tj. (g, (p) mžn vyjádřit pdbným vzrcem, jak (62). Rzdíl je ptm puze v tm, že míst členu <p(0) stjí ve vzrci n Členů Taylrva rzvje funkce <p(t) v bdě l 0. (Srv. [3].) Tat klnst značí speciálně, že všechny funkce t x ~ k ; 0 < A*< 1; k = 1, 2,... patří ve výše uvedeném smyslu d systému distribucí. Upzrněme na tmt místě ještě na jeden fakt: funkcím s výše uvedenu neintegrvatelnu singularitu (přesněji, příslušným distribucím) mžn přiřadit Laplaceův braz, přestže dpvídající Laplaceův integrál neexistuje. Tak například pr funkci f(t) pdle (60a) je / ( ~ x) (č) = t* vytvřující funkcí, pr kteru platí ie {t 1 } = j + -- (viz [6]). Pdle věty brazu derivace distribuce máme dtud ^(Xt^1 ) = p-*y(x + 1), čili ^(l^1 ) = p~ Á Y(X), a dále Obecně bdržíme ie(l A ~ 2 ) -= p í ~ x Y(X - 1). (63) ^(t/- n ) = p n ~? - 1 Y(X n + 1) ; n = 1, 2, 3,..., 0 < l < 1. (64) Pr celčíselné hdnty expnentu lze pak pmcí principu regularisace dvdit vztah J?(t~ n ) = ~-~^y V n ~\G + ln p) ; n= 1, 2, 3,..., (65) kde C = 0, (Eulerva knstanta). 430
Pokroky matematiky, fyziky a astronomie
Pkrky matematiky, fyziky a astrnmie Jan Vlachý Pracviště státníh plánu badatelskéh výzkumu v matematice, fyzice, jaderném výzkumu, gefyzice, astrnmii a přístrjvé technice Pkrky matematiky, fyziky a astrnmie,
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 7. Vektory a lineární transformace In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 43--47. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401335 Terms of
VíceTeplota a její měření
1 Teplta 1.1 Celsiva teplta 1.2 Fahrenheitva teplta 1.3 Termdynamická teplta Kelvin 2 Tepltní stupnice 2.1 Mezinárdní tepltní stupnice z rku 1990 3 Tepltní rzdíl 4 Teplměr Blmetr Termgraf 5 Tepltní rztažnst
VíceDeterminanty a matice v theorii a praxi
Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 7. kapitola. O jednom přiřazovacím problému In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 55 59. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403799
VíceKinematika hmotného bodu I.
Kinematika hmtnéh bdu I. Kinematiku hmtnéh bdu myslíme zkumání záknitstí phybů těles. Hmtným bdem myslíme bd, jímž nahradíme skutečné reálné těles. Hmtnst tělesa je sustředěna d jednh bdu, prt hmtný bd.
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ
*UOHSX0037IM8* UOHSX0037IM8 ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č.j.:ÚOHS-S308/2010/VZ-14964/2010/510/OK V Brně dne: 26.11.2010 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 27. Cyklické grupy In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 198--202. Persistent
VíceSymetrické funkce. In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, pp
Symetrické funkce Kapitola III. Symetrické funkce n proměnných In: Alois Kufner (author): Symetrické funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 24 33. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404069 Terms
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 23. Klasifikace regulárních párů matic In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 162--168. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401352 Terms
VíceO dynamickém programování
O dynamickém programování 9. kapitola. Cauchy-Lagrangeova nerovnost In: Jaroslav Morávek (author): O dynamickém programování. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 65 70. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403801
VíceKongruence. 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti
Kongruence 1. kapitola. Opakování základních pojmů o dělitelnosti In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 3 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403653 Terms
VíceKonstrukce paraboly dané dvěma tečnami s body dotyku. Příklad: Sestrojte parabolu p, jsou-li dány její tečny t 1, t 2 s body T 1, T 2 dotyku.
Gemetrie Další užitečné knstrukce parably Řešené úlhy Knstrukce parably dané děma tečnami s bdy dtyku Příklad: Sestrjte parablu p, jsu-li dány její tečny, s bdy, dtyku. zlme dě různběžné přímky, a na každé
VíceČasopis pro pěstování matematiky
Časopis pro pěstování matematiky Jiří Bečvář; Miloslav Nekvinda Poznámka o extrémech funkcí dvou a více proměnných Časopis pro pěstování matematiky, Vol. 81 (1956), No. 3, 267--271 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/117194
VíceStřední průmyslová škola strojní a elektrotechnická. Resslova 5, Ústí nad Labem. Fázory a komplexní čísla v elektrotechnice. - Im
Střední průmyslvá škla strjní a elektrtechnická Resslva 5, Ústí nad Labem Fázry a kmplexní čísla v elektrtechnice A Re + m 2 2 j 1 + m - m A A ϕ ϕ A A* Re ng. Jarmír Tyrbach Leden 1999 (2/06) Fázry a kmplexní
VíceStanovisko Rekonstrukce státu ke komplexnímu pozměňovacímu návrhu novely služebního zákona
Stanvisk Reknstrukce státu ke kmplexnímu pzměňvacímu návrhu nvely služebníh zákna Pslední předlžená verze zákna (verze k 27. 8. 2014) splňuje puze 13 z 38 bdů Reknstrukce státu, z th 7 jen částečně. Z
VíceNerovnosti v trojúhelníku
Nerovnosti v trojúhelníku Úvod In: Stanislav Horák (author): Nerovnosti v trojúhelníku. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1986. pp. 5 12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/404130 Terms of use: Stanislav
Více14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1
14/10/2015 Z Á K L A D N Í C E N Í K Z B O Ž Í Strana: 1 S Á ČK Y NA PS Í E XK RE ME N TY SÁ ČK Y e xk re m en t. p o ti sk P ES C Sá čk y P ES C č er né,/ p ot is k/ 12 m y, 20 x2 7 +3 c m 8.8 10 bl ok
VíceSpeciální teorie relativity
Speciální terie relativity Fyzika zalžená na phybvých záknech sira Isaaca Newtna se na pčátku 20. stletí částečně nahradila Einsteinvými teriemi relativity. První z nich je speciální terie relativity.
VíceZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332
Středšklská matematika Nadace Geneze Vývj (Stručná histrie matematiky) - na levé straně je svislý nápis VÝVOJ stisk hrníh V vyvlá zbrazení časvé sy - stisk ikny se stránku (vprav nahře na brazvce časvé
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Matyáš Lerch K didaktice veličin komplexních. [I.] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 20 (1891), No. 5, 265--269 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/108855
Více3.5.1 Shodná zobrazení
3.5.1 hdná zbrazení Předpklady: O zbrazení jsme mluvili, než jsme zavedli funkce. Jde takvu relaci z první mnžiny d druhé, při které každému prvku z první mnžiny přiřazujeme maximálně jeden prvek z mnžiny
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře 2. kapitola. Neutrální a inverzní prvek. Grupa In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 15 28. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403713
VíceObecnou rovnici musíme upravit na středovou. 2 2 2 2 2 2 2 2. leží na kružnici musí vyhovovat její rovnici dosadíme ho do ní.
75 Hledání kružnic I Předpklady: 750, kružnice z gemetrie Př : Kružnice je dána becnu rvnicí x y x y plměr Rzhdni, zda na kružnici leží bd A[ ; ] + + + 6 + = 0 Najdi její střed a Obecnu rvnici musíme upravit
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ. Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. února 2011
*uhsx0039d6p* UOHSX0039D6P ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S398/2010/VZ-16684/2010/520/NGl V Brně dne: 14. únra 2011 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 16. Hodnost a nulita matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 106--115. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401345 Terms of use:
VíceVizualizace TIN (trojúhelníková nepravidelná síť) v Marushka Designu
; Vizualizace TIN (trjúhelníkvá nepravidelná síť) v Marushka Designu 0 TIN v Marushka Designu OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGN...5-1
VíceZNALECKÝ POSUDEK. č. 4130-80-2015
ZNALECKÝ POSUDEK č. 4130-80-2015 bvyklé ceně nemvitsti - pzemku parcel.č. 846 se stavbu garáže na pzem. parc.č. 846, bec Pardubice, k.ú. Svítkv, kres Pardubice, kraj Pardubický Objednavatel znaleckéh psudku:
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 6. kapitola. Nejmenší společný násobek In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 73 79. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403569
VícePosuzování zdravotní způsobilosti k řízení motorových vozidel jako součásti výkonu práce
Psuzvání zdravtní způsbilsti k řízení mtrvých vzidel jak sučásti výknu práce Zdravtní způsbilst řidiče mtrvých vzidel je jednu ze základních pdmínek bezpečnsti prvzu na pzemních kmunikacích. Prt je zdravtní
VíceRekuperace rodinného domu v Přestavlkách
Rekuperace rdinnéh dmu v Přestavlkách Pjem: Rekuperace, nebli zpětné získávání tepla je děj, při němž se přiváděný vzduch d budvy předehřívá teplým dpadním vzduchem. Teplý vzduch není tedy bez užitku dveden
VícePolynomy v moderní algebře
Polynomy v moderní algebře Výsledky cvičení a návody k jejich řešení In: Karel Hruša (author): Polynomy v moderní algebře. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1970. pp. 94 [102]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403718
Vícef^p V5I5 f'97/ 352.^7 W 1
352.^7 V5I5 f'97/ W 1 f^p tnintlnr- Ln-3-r-.t r-~ "3- m Cin' m* m nr^v-r-r-r-c\iin mmmmmsjnmnnmm ininmiflinininininifliflin n Cn C b + en en T en C Cj b +- ri b /i.t: - en C - q i_ +:. 4 E +-, / _ S CJ
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 12. Základní pojmy o grupoidech In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 94--100.
VíceMODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika
Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analgvé pčítače) pr br Aplikvaná fyzika Luděk Bartněk 2 OBSAH INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky.
VíceO dělitelnosti čísel celých
O dělitelnosti čísel celých 9. kapitola. Malá věta Fermatova In: František Veselý (author): O dělitelnosti čísel celých. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1966. pp. 98 105. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403572
VíceBooleova algebra. 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy
Booleova algebra 1. kapitola. Množiny a Vennovy diagramy In: Oldřich Odvárko (author): Booleova algebra. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1973. pp. 5 14. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403767 Terms of
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
VíceO rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
VíceKongruence. 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly
Kongruence 5. kapitola. Soustavy kongruencí o jedné neznámé s několika moduly In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 55 66. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403657
VíceVeřejná zakázka SUSEN generální dodávka staveb v areálu Řež. Dodatečná informace č. 1 k zadávacím podmínkám
SUSEN generální ddávka staveb v areálu Řež Ddatečná infrmace č. 1 k zadávacím pdmínkám Č.j.:SUSEN/216937/DI/001 Zadavatel bdržel dne 18. 7. 2012 následující pžadavek na ddatečné infrmace k zadávacím pdmínkám:
VíceTopologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory
Topologické prostory. S dodatky: J. Novák, Konstrukce některých význačných topologických prostorů; M. Katětov, Plně normální prostory 5. Axiomy oddělování In: Eduard Čech (author); Josef Novák (author);
VíceÚlohy o maximech a minimech funkcí
Úlohy o maximech a minimech funkcí 1. kapitola. Základní pojmy a nejjednodušší úlohy In: Jaromír Hroník (author): Úlohy o maximech a minimech funkcí. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 5 15. Persistent
Více1.2. Kinematika hmotného bodu
1.. Kinematika hmtnéh bdu P matematické přípravě už můžeme začít s první kapitlu, kinematiku. Tat část fyziky se zabývá ppisem phybu těles, aniž by se ptala prč k phybu dchází. Jak je ve fyzice častým
VíceAritmetické hry a zábavy
Aritmetické hry a zábavy 1. Doplnění naznačených výkonů In: Karel Čupr (author): Aritmetické hry a zábavy. (Czech). Praha: Jednota českých matematiků a fysiků, 1942. pp. 5 9. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/4329
VíceAplikace matematiky. Terms of use: Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/102630
Aplikace matematiky František Šubart Odvození nejvýhodnějších dělících tlaků k-stupňové komprese, při ssacích teplotách lišících se v jednotlivých stupních Aplikace matematiky, Vol. 3 (1958), No. 5, 372--375
VícePřednášky Teorie řízení Tereza Sieberová, 2015 LS 2014/2015
-černě přednášky -červeně cvičení různě přeházené, pdle th, jak jsme pakvali, datum dpvídá přednáškám PŘEDNÁŠKA 10.2. C je t řízení? Subjektivní, cílevědmá činnst lidí Objektivně nutná Pznává a využívá
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 26. Deformace a věty izomorfismu grup In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 192--197.
Vícev mechanice Využití mikrofonu k
Využití mikrfnu k měřením v mechanice Vladimír Vícha Antace Mikrfn pfipjený zvukvu kartu pčítače ve spjení s jednduchým sftware (pf. AUDACITY) může služit k pměrně pfesnému měření krátkých časů. Pčítač
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Univerzita Karlva v Praze Pedaggická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ ÚLOH DŮKAZY 001/00 CIFRIK MŘÚ Důkazy Důkazy matematických vět 1 Aximy Aximy jsu matematické výrky, které jsu pvažvány za pravdivé
VíceČasopis pro pěstování mathematiky a fysiky
Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky Josef Langr O čtyřúhelníku, jemuž lze vepsati i opsati kružnici Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, Vol. 28 (1899), No. 3, 244--250 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/122234
VíceDeepBurner Free 1.9. Testování uživatelského rozhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011. Testování uživatelských rozhraní 2011 ČVUT FEL
Testvání uživatelských rzhraní 2011 DeepBurner Free 1.9 Testvání uživatelskéh rzhraní s uživateli Deliverable B1 TUR 2011 Daniel Mikeš Tmáš Pastýřík Ondřej Pánek Jiří Šebek Testvání uživatelských rzhraní
Více4 Datový typ, proměnné, literály, konstanty, výrazy, operátory, příkazy
4 Datvý typ, prměnné, literály, knstanty, výrazy, perátry, příkazy Studijní cíl Tent studijní blk má za cíl pkračvat v základních prvcích jazyka Java. Knkrétně bude uvedena definice datvéh typu, uvedeny
VíceNeurčité rovnice. In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24.
Neurčité rovnice 4. Nejjednodušší rovnice neurčité 2. stupně In: Jan Vyšín (author): Neurčité rovnice. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fyziků, 1949. pp. 21--24. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/402869
VíceO nerovnostech a nerovnicích
O nerovnostech a nerovnicích Kapitola 3. Množiny In: František Veselý (author); Jan Vyšín (other); Jiří Veselý (other): O nerovnostech a nerovnicích. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1982. pp. 19 22. Persistent
VícePočet integrální. Obsah. Terms of use:
Pčet integrální Obsah In: Karel Petr (authr); Vjtěch Jarník (authr): Pčet integrální. s ddatkem Úvd d terie mnžství. (Czech). : Jednta českslvenských mathematiků a fysiků, 1931. pp. IX--XXII. Persistent
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceKomplexní čísla a funkce
Komplexní čísla a funkce 3. kapitola. Geometrické znázornění množin komplexních čísel In: Jiří Jarník (author): Komplexní čísla a funkce. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1967. pp. 35 43. Persistent URL:
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
Vícek elektronickému výběrovému řízení na úplatné postoupení pohledávek z titulu předčasně ukončených leasingových smluv
INFORMAČNÍ MEMORANDUM č. 4/3/2009/11 k elektrnickému výběrvému řízení na úplatné pstupení phledávek z titulu předčasně uknčených leasingvých smluv Praha, 30.11.2010 Infrmační memrandum č. 4/3/2009/11 1/9
VíceZáklady teorie matic
Základy teorie matic 10. Ortogonální matice In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie matic. (Czech). Praha: Academia, 1971. pp. 59--72. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401338 Terms of use: Akademie
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 4. Největší společný dělitel a nejmenší společný násobek In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 24 31. Persistent
VíceFunkcionální rovnice
Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceFRONTA. Podobně jako u zásobníku lze prvek z fronty vyjmout pouze za takové podmínky, že je na řadě. Avšak jeho hodnotu můžeme přečíst kdykoliv.
FRONTA Frnta je datvá struktura pdbná zásbníku, avšak její vnitřní rganizace je dlišná. Prvky d frnty vkládáme na jedné straně (na knci) a ubíráme na straně druhé (na začátku). Ve frntě jsu tyt prvky ulženy
VíceBohužel nejste jediní. Jak se v této džungli orientovat a jaké jsou možnosti při prodeji nemovitosti se dozvíte na následujících stránkách.
SITUACE NA MÍSTNÍM TRHU Na českém trhu panuje nedůvěra v realitní kanceláře a makléře. Spusta makléřů na trhu se chvá nepctivě. Většina realitních makléřů jsu špatní makléři. Dále dchází k bezdůvdnému
VíceCo víme o přirozených číslech
Co víme o přirozených číslech 2. Dělení se zbytkem a dělení beze zbytku In: Jiří Sedláček (author): Co víme o přirozených číslech. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1961. pp. 9 15. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403438
VíceCíl kapitoly: Cílem této č{sti je naučit se při debutov{ní číst hexadecim{lní hodnoty odpovídající z{znamu celých a re{lných čísel.
Zbrazení dat Část 2 zbrazení čísel Cíl kapitly: Cílem tét č{sti je naučit se při debutv{ní číst hexadecim{lní hdnty dpvídající z{znamu celých a re{lných čísel. Zápis čísel Uvědmte si, že všechna čísla
VíceAplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation
Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms
Více1.3. Požárně bezpečnostní řešení
1.3. Pžárně bezpečnstní řešení Název akce : Míst : 3.ddělení MŠ přístavba budvy stávající MŠ, bří. Musálků 249, Řepiště kat.ú. Řepiště, par.č.292/2 Žadatel : Charakter akce : Obec Řepiště ul.mírvá 178
VíceVykreslení obrázku z databázového sloupce na referenční bod geometrie
0 Vykreslení brázku z databázvéh slupce na referenční bd gemetrie OBSAH 1 CÍL PŘÍKLADU...2 2 PRÁCE S PŘÍKLADEM...2 3 UKÁZKA DIALOGOVÉHO OKNA...3 4 STRUČNÝ POPIS PŘÍKLADU V MARUSHKADESIGNU...5-1 - 1 Cíl
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE
*UOHSX003WQC1* UOHSX003WQC1 ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE ROZHODNUTÍ Č. j.: ÚOHS-S523/2011/VZ-19003/2011/520/ABr V Brně dne: 30. března 2012 Rzhdnutí nabyl právní mci dne 28.4.2012 Úřad pr chranu
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 2. Rozklady v množině In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 22--27. Persistent
VíceKongruence. 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence
Kongruence 4. kapitola. Kongruence o jedné neznámé. Lineární kongruence In: Alois Apfelbeck (author): Kongruence. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1968. pp. 43 54. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403656
VíceTechnická specifikace předmětu plnění. VR Organizace dotazníkového šetření mobility obyvatel města Bratislavy
Technická specifikace předmětu plnění VR Organizace dtazníkvéh šetření mbility byvatel města Bratislavy Zadavatel: Centrum dpravníh výzkumu, v. v. i. dále jen zadavatel 1 PŘEDMĚT VEŘEJNÉ ZAKÁZKY Předmětem
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 13. Homomorfní zobrazení (deformace) grupoidů In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962.
VíceNÁVODNÁ STRUKTURA MÍSTNÍHO AKČNÍHO PLÁNU VZDĚLÁVÁNÍ
Místní akční plán Místní akční plán je suhrnný dkument zahrnující něklik částí. Obsahuje analyticku část (zejména metaanalýza stávajících dkumentů, analýza vyvlaná plánváním specifických témat, zjišťvání
VíceVIS ČAK - Uživatelský manuál - OnLine semináře
UŽIVATELSKÝ MANUÁL - ONLINE SEMINÁŘE Autr: Aquasft, spl. s r.., Vavrečka Lukáš Prjekt: VIS ČAK Pslední aktualizace: 11.12.2009 Jmén subru: UživatelskýManuál_OnLine_Semináře_0v2.dcx Pčet stran: 12 OBSAH
VíceMetodická příručka Omezování tranzitní nákladní dopravy
Metdická příručka Omezvání tranzitní nákladní dpravy K právnímu stavu ke dni 1. ledna 2016 Obsah 1 Na úvd... 2 2 Základní pjmy... 3 3 Obecně k mezvání tranzitní nákladní dpravy... 4 4 Prvedení příslušnéh
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceSMART Notebook Math Tools 11
SMART Ntebk Math Tls 11 Operační systémy Windws Uživatelská příručka Upzrnění chranných známkách SMART Bard, SMART Ntebk, smarttech, l SMART a všechna značení SMART jsu chranné známky neb reistrvané chranné
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VícePortál veřejné správy
Prtál veřejné správy Z Zvveeřřeejjn něěn níí vvěěssttn nííkku u S Sm maazzáán níí vvěěssttn nííkku u P Přřiid dáán níí p přřííll h h kkee zzvveeřřeejjn něěn néém mu u vvěěssttn nííkku u Vytvřen dne: 16.3.2012
VíceSHRNUTÍ LÁTKY 7. ROČNÍKU Mgr. Iva Strolená
ARITMETIKA ZLOMKY A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Jestliže něc (celek) rzdělíme na něklik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlmkem. Zlmek tři čtvrtiny (tři lmen čtyřmi) zlmek Čitatel sděluje, klik těcht částí
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VícePlochy stavebně-inženýrské praxe
Plochy stavebně-inženýrské praxe 10. Plochy šroubové In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 99 106.
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Vícese sídlem Hudcova 78c, Brno 612 00, IČ: 15545881, DIČ: CZ15545881, tel.: 776824201, e-mail: objednavka@statikum.cz Znalecký posudek č.
STATIKUM s.r.. znalecký ústav jmenvaný Ministerstvem spravedlnsti ČR se sídlem Hudcva 78c, Brn 612 00, IČ: 15545881, DIČ: CZ15545881, tel.: 776824201, e-mail: bjednavka@statikum.cz Znalecký psudek č. 1122-105-2014
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE
*UOHSX008357X* UOHSX008357X ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ Č. j.: ÚOHS-S0114/2016/VZ-07578/2016/521/MŽi Brn 26. únra 2016 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006
VíceČasopis pro pěstování matematiky a fysiky
Časopis pro pěstování matematiky a fysiky Ferdinand Pietsch Výpočet cívky pro demonstraci magnetoindukce s optimálním využitím mědi v daném prostoru Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, Vol. 62 (1933),
Více14. Datové modely v GIS
14. Datvé mdely v GIS Zpracval: Tmáš Kbliţek, 2014 Dělení datvých mdelů 2 mţné přístupy k mdelům: Vrstvvý Objektvý Datvé mdely lze dělit na: 1. Vektrvý 2. Rastrvý 3. Maticvá data Vrstvvý přístup Jedntlivá
VíceZáklady teorie grupoidů a grup
Základy teorie grupoidů a grup 4. Speciální rozklady In: Otakar Borůvka (author): Základy teorie grupoidů a grup. (Czech). Praha: Nakladatelství Československé akademie věd, 1962. pp. 35--40. Persistent
Víceusnesení o nařízení termínu dražebního jednání
195 EX 638/06-63 Sudní exekutr Mgr. Tmáš Vbrník, Exekutrský úřad Pardubice, se sídlem 9. května 215, 533 72 Mravany, jmenvaný rzhdnutím ministryně spravedlnsti České republiky č.j. MSP- 400/2014-OJ-SO/4
VíceStudijní předmět: Základy teorie pravděpodobnosti a matematická statistika Ročník:
Studijní předmět: Základy terie pravděpdbnsti a matematická statistika Rčník: 1 Semestr: 1 Způsb uknčení: zkuška Pčet hdin přímé výuky: 2/2 (přednáška/ seminář) Pčet hdin kmbinvané výuky celkem: 8 Antace
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Víceý Í č ší í ě í ů ý í ě á íó í í á ě í ě í š í ť é ř š ě Í é é Í á í ří í íř í íž í í í í ů ží í ý í ů í ší ěá Í á é á í í ě ě í ó ý ý í í í ť í á ší í
ý Í č š ě ů ý ě á ó á ě ě š ť é ř š ě Í é é Í á ř ř ž ů ž ý ů š ěá Í á é á ě ě ó ý ý ť á š ě ž é é č Á ž á Í ř Ě ó é ř á ú Í ě ý é ě š č ý Í ě ř ů ě ú ň Í ť é ě ě š Ě ó á ř č ě ó ů ř ř á Íř ží ř ě č ě
VíceÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ. Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brno: 22. února 2016
*UOHSX0084T2L* UOHSX0084T2L ÚŘAD PRO OCHRANU HOSPODÁŘSKÉ SOUTĚŽE PŘÍKAZ Č. j.: ÚOHS-S0096/2016/VZ-06824/2016/522/PKř Brn: 22. únra 2016 Úřad pr chranu hspdářské sutěže příslušný pdle 112 zákna č. 137/2006
Více