Typy násobení z různých koutů světa

Transkript

1 Typy násobení z různých koutů světa Anotace: Násobíme chytře? Algoritmů pro násobení je na světě nesmírné množství, ale nelze určit, který je nejchytřejší, nejrychlejší a tím pádem nejefektivnější. Každý z nich má své výhody a nevýhody a dalo by se říct vzhledem k národnostem a jejich různým způsobům, že sto lidí, sto metod. Pojďme se tedy seznámit s některými z nich. Téma: Matematika Trocha teorie: Násobení je početní operace definovaná pro libovolná dvě čísla, která se nazývají činitelé. Výsledkem násobení je součin. Zapisuje se a b = c, někdy též a b = c. Násobení je opakované sčítání. Pomůcky: Ruce, papír, tužka Provedení: NÁSOBENÍ POMOCÍ PRSTŮ TZV. CIKÁNSKÁ NÁSOBILKA - využívali ji již s oblibou obchodníci ve středověku - umožňuje násobit pomocí prstů do 9x9 Budeme chtít násobit například 8 x 7, což se rovná 56. Zeptáme se: osm a kolik je do deseti? Dva. Skrčíme tedy dva prsty na jedné dlani. To samé provedeme i s druhým činitelem. Sedm a do deseti jsou tři. Schováme na druhé dlani tři prsty. Teď na pozici desítek do výsledku napíšeme součet vztyčených prstů, což jsou tři vztyčené prsty na jedné ruce (a = 3) a dva vztyčené prsty na ruce druhé (b = 2). To nám dělá pět. Na pozici jednotek už jen udáme součet skrčených prstů, což je šest (c + d = = 5). Tím obdržíme správný výsledek 56! Tento postup lze ale použít pouze v případě násobení čísel větších než 5 a funguje díky následujícím rovnostem: (10 - c)(10 - d) = (c + d) 10 + cd = 10 (10 - c - d) + cd = 10(a+b) + cd

2 a = 3 (počet vtyčených prstů na levé dlani) b = 2 (počet vztyčených prstů na pravé dlani) c = 2 (počet skrčených prstů na levé dlani) d = 3 (počet skrčených prstů na pravé dlani) Při násobení devíti čísel se postupovalo tímto způsobem. Pokud chceme vynásobit například 14 x 9, skrčíme na levé ruce čtvrtý prst, jelikož deset a do čtrnácti jsou čtyři. Zleva pak první prst reprezentuje stovky (a = 1), další dva prsty před skrčeným reprezentují desítky (b = 2) a prsty následující za skrčeným prsty reprezentují jednotky (c = 6). Výsledkem je tak číslo 126. Algoritmus funguje díky následujícím rovnostem: (10 + d)9 = d = (d - 2) + (10 - d) = 100a + 10b + c a = 1 prst (1 sto) b = 2 prsty (2 desítky) c = 6 prstů (6 jednotek)

3 Provedení: ČÍNSKÉ GRAFICKÉ NÁSOBENÍ Chceme-li čínským způsobem vynásobit kupříkladu čísla 123 krát 21, namalujeme si za každou cifru násobence (123) rovnoběžky ve směru z JZ na SV - jednu rovnoběžku za stovky, dvě rovnoběžky za desítky a tři rovnoběžky za jednotky. To samé provedeme u cifer násobitele, ale rovnoběžky nakreslíme ve směru ze SZ na JV - dvě rovnoběžky za desítky a jednu rovnoběžku za jednotky. Do obdélníků pak (dle obrázku) uzavřeme pod sebou vertikálně ležící průsečíky odpovídající tisícovkám, stovkám, desítkám a jednotkám a zjistíme jejich počet. V prvním obdélníku máme tedy 2 průsečíky = 2 tisíce, ve druhém 5 = 5 set, ve třetím 8 = osmdesát a ve čtvrtém 3 = tři. Výsledkem je tedy 2583.

4 Provedení: INDICKÉ NÁSOBENÍ je jedním z mnoha způsobů násobení, které se užívaly ve staré Indii Chceme například vypočítat 435 x 12. Nakreslíme si tabulku se třemi sloupci (jelikož násobenec 435 má tři cifry) a dvěma řádky (jelikož násobitel 12 má dvě cifry) a označíme sloupce a řádky ciframi daného násobence a násobitele (viz. obrázek). Každé okénko tabulky pak rozdělíme úhlopříčkou na dva trojúhelníky. Nyní tabulku vyplníme tak, že pro každou buňku vynásobíme cifry, které značí, v jakém sloupci a řádku se buňka tabulky nachází. Vyjde-li číslo menší než deset, napíšeme jej do dolního trojúhelníku buňky. Vyjde-li výsledek větší nebo rovný deseti, napíšeme desítky do horního trojúhelníku a jednotky do dolního. Na závěr sečteme zprava doleva čísla podél úhlopříček. Jednotky si sepíšeme a desítky zapamatujeme a přeneseme do výsledku, který bude činit Provedení: EGYPTSKÉ (ETIOPSKÉ) NÁSOBENÍ je založené na binárním (dvojčlenným) zápisu násobence Chceme-li egyptským způsobem vynásobit například 13 x 15, sestavíme si tabulku o dvou sloupcích pro násobence a násobitele. První sloupec budou tvořit mocniny dvou, které jsou menší nebo rovny násobenci 13. Druhý sloupec vytvoříme postupným zdvojováním násobitele, v našem případě čísla 15. V prvním sloupci si zaškrtneme mocniny dvou, které se vyskytují v binárním zápisu 13. Tento zápis staří Egypťané sestavovali takto. Podívali se na nejvyšší mocninu dvojky, které číslo 13 obsahuje. To je 8. Poté od

5 čísla 13 odečetli 8 a v získaném rozdílu 5 opět našli největší mocninu dvojky, které číslo 5 obsahovalo. To je 4. Na závěr od čísla 5 odečetli číslo 4 s výsledkem 1, což je nultá mocnina dvojky. Získali že, 13 = Teď už jen stačí sečíst ve druhém sloupci čísla v řádcích odpovídajících zaškrtnutých mocnin dvou. Výsledkem je 195. ZAMYSLEME SE: Jak přišli Egypťané na to, že každé číslo má svůj binární zápis, tzn., že může být vyjádřeno pomocí součtu druhých mocnin? Usuzujeme, že pravděpodobně díky užívání rovnoramenných vah. Zjistili, že mají-li závaží o určité hmotnosti n, mohou pomocí rovnoramenné váhy vyrobit závaží o dvojnásobné hmotnosti 2n tak, že první misku se závažím 1n na druhé misce vyváží taktéž závažím o hmotnosti 1n. Poté již jim stačilo vypozorovat, že každý předmět hmotnosti m krát n, kdy m je přirozené číslo, je možno vyvážit pomocí závaží o hmotnostech n, 2n, 4n, 8n atd.

6 Provedení: RUSKÉ (SEDLÁCKÉ) NÁSOBENÍ je velmi podobné egyptskému násobení, jelikož je také založeno na binárním rozvoji násobence používalo se ještě v 19. století na ruském venkově zřejmě bylo evropským předchůdcem indo-arabského způsobu násobení, které se dnes učíme na školách Chceme-li opět vynásobit 13 x 15 ale nyní po egyptském způsobu, sestavíme si tabulku, jejíž první sloupec tvoří zbytky po opakovaném celočíselném dělení násobence dvojkou a druhý sloupec vznikne postupným zdvojováním násobitele 15. Nyní stačí sečíst ve druhém sloupci čísla v řádkách odpovídajících zbytkům rovných 1. Výsledek je 195. Praxe: Rychlé násobení je důležité při prodeji a nákupu zboží.

7 Čas: Čas na přípravu/zadání Předpokládaný čas řešení Celkem 5 minut 35 minut 40 minut Aktivita projektu Mladý vědec byla podpořena v rámci dotačního programu MŠMT Podpora nadaných žáků základních a středních škol v roce 2016.