Integrální počet funkcí jedné proměnné
|
|
- Hynek Pešan
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin), resp. jejich změn. Užívá se v matematice, ekonomii, fyzice, ale i v jiných vědních oborech. Pokud funkce popisuje závislost proměnné y na proměnné x, poté její derivace představuje závislost rychlosti změn y na x. Stručně uživatelsky nyní uveďme teoretický přehled pro výpočet integrálů funkcí jedné proměnné včetně aplikací na jednoduchých příkladech. Stejně jako v diferenciálním počtu je důležitý proces derivování, tak v integrálním počtu je důležitý proces integrování pro studování zákonitostí dějů. Jeho cílem je najít k dané funkci f takovou funkci F, jejíž derivací je právě funkce f. Laicky tedy můžeme říct, že integrování je opačný proces k derivování a znázornit na schématu níže. derivování f f integrování Neurčitý integrál Jestliže pro funkce F a f definované na otevřeném intervalu I platí vztah: FF (xx) = ff(xx) pro každé xx II, říkáme, že F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I. Tato primitivní funkce na intervalu I existuje ke každé funkci f, která je na daném intervalu spojitá. Pro každou primitivní funkci F k funkci f na intervalu I platí: (FF(xx) + CC) = FF (xx) = ff(xx), kde C je libovolné reálné číslo. Z tohoto vztahu vyplývá mnohoznačnost primitivní funkce - jestliže k funkci f (x) existuje primitivní funkce F na intervalu I, je takových funkcí nekonečně mnoho a liší se pouze tzv. neurčitou konstantou C. Množina všech primitivních funkcí F+C k funkci f na intervalu I se nazývá neurčitý integrál funkce f. Píšeme: ff(xx)dddd = FF(xx) + CC, kde je integrační znak, ff(xx) integrand, xx integrační proměnná,
2 dddd diferenciál integrační proměnné, CC integrační konstanta (neurčitá konstanta). Proces integrování je na rozdíl od procesu derivování velmi složitý. Následující část tohoto textu je proto zaměřena pouze na základní integrační metody a způsoby integrace. Nejjednodušším způsobem výpočtu integrálu je přímá integrace pomocí vzorců převedených z derivování, vlastností integrálů, speciálních metod a pravidel či úprav integrandu. Základní vzorce platné pro integraci elementárních funkcí: ) AA dddd = AAAA + CC; 2) xx ss dddd = xx ss+ ss+ 3) dddd = ln xx + CC; xx 4) ee xx dddd = ee xx + CC; + CC, kde: ss RR, ss ; 5) xx dddd = xx + CC, kde: > 0, ; ln 6) sin xx dddd = cos xx + CC; 7) cos xx dddd = sin xx + CC; 8) dddd = cccctttt xx + CC; ssssss 2 xx 9) dddd = tttt xx + CC; cccccc 2 xx 0) dddd = arcsin xx + CC; AA 2 xx 2 AA ) dddd = xx + CC; AA 2 +xx 2 AA AA +xx 2 dddd = xx + CC; 2) ff (xx) dddd = ln ff(xx) + CC. ff(xx) Pravidla pro integraci součtu, rozdílu a součinu funkce s konstantou (za předpokladu, že existují příšlušné primitivní funkce): 3) ff(xx) ± gg(xx) dddd = ff(xx) dddd ± gg(xx) dddd; (Integrál součtu (rozdílu) se rovná součtu (rozdílu) integrálů.) 4) cc ff(xx)dddd = cc ff(xx)dddd, kde cc RR. (Konstantu lze vytknout před integrál.)
3 Příklad: Pomocí základních vzorců a úprav integrandu vypočtěte zadané integrály: ) xx 6 xx 6+ xx 7 dddd = + CC = + CC ) dddd = dddd = arcsin xx + CC 25 xx xx 2 5 3) dddd = xx 5 xx 5 xx 5+ xx 4 dddd = + CC = + CC = + CC xx 4 4) ( 2xx)dddd = dddd 2xxxxxx = xx + CC 2xx 2 +CC 2 5) xx + xx + xx dddd = xx dddd + xx dddd + xx 2 dddd = xx 2 +CC 3 = xx 2 + ln xx xx3 + CC, kde CC = CC + CC 2 + CC 3 6) 0xx 5xx 2 +0 dddd = ln 5xx CC 7) 30xx 2 dddd = 30 5xx 2 dddd = 2 5xx xx 3 +0 ln 5xx CC sin xx sin xx 8) tg xx dddd = dddd = dddd = ln cos xx + CC cos xx cos xx 9) 2 xx dddd = 2xx ln 2 + CC 2 + CC 2 = xx xx 2 + CC, kde CC = CC CC + ln xx + CC 2 + xx Integrace metodou po částech Metoda integrace po částech (nazývaná též jako per partes) umožňuje integrovat především některé součiny funkcí (například součin polynomu a logaritmické, goniometrické, cyklometrické nebo exponenciální funkce). Jestliže funkce uu(xx) a vv(xx) mají na intervalu II spojité derivace, pak na daném intervalu platí: uu(xx) vv (xx)dddd = uu(xx) vv(xx) uu (xx) vv(xx) dddd. Ve stručném vyjádření: uuvv dddd = uuuu uu vv dddd. Tato metoda má smysl pouze v případě, pokud umíme řešit nově vzniklý integrál na pravé straně rovnosti. Je důležitá správná volba funkcí uu a vv. Za nederivovanou funkci (u) volíme činitele, který neumíme integrovat. Pokud umíme integrovat oba činitele, volíme toho činitele, který se derivací více zjednoduší.
4 Příklad: metodou po částech vypočtěte zadané integrály: ) xxee xx dddd = uu = xx uu = vv = ee xx vv = ee xx =x*eexx ee xx dddd = x ee xx ee xx = ee xx (xx ) + CC (Umíme integrovat oba činitele, ovšem funkce uu = xx se derivací zjednoduší.) ln xx 2) dddd = ln xx xx 2 xx 2 dddd = uu = ln xx uu = vv = xx 2 xx vv = xx = ln xx dddd = xx xx xx = ( ln xx) + xx xx 2 dddd = ( ln xx) + xx + CC = ( ln xx) + CC = xx xx xx xx (ln xx + ) + CC (Funkci ln xx neumíme integrovat, proto jsme ji zvolili za nederivovanou.) Integrace metodou substituce Další metodou, která je jednou z nejdůležitějších a nejpoužívanějších integračních metod pro složitější integrál je metoda substituce. Substituce typu tt = gg(xx) Jestliže funkce tt = gg(xx) má derivaci na intervalu J, zobrazuje ho na interval I a funkce ff(tt) je spojitá na intervalu I, pak na intervalu J platí: ff gg(xx) gg (xx)dddd = ff(tt)dddd, dosadíme-li do primitivní funkce na pravé straně tt = gg(xx). Výpočet probíhá podle schématu: tt = gg(xx) ff gg(xx) gg (xx)dddd = = ff(tt)dddd = FF(tt) + CC = FF gg(xx) + CC. dddd = gg (xx)dddd Postupujeme následovně: ) vnitřní složku gg(xx) funkce ff nahradíme proměnou t (provedeme substituci tt = gg(xx)), 2) diferencujeme pravou a levou stranu substituční rovnice podle příslušné proměnné, 3) dosadíme tt = gg(xx) a dddd = dddd do původního integrálu, gg (xx) 4) po nalezení primitivní funkce F k funkci f vrátíme do výsledku původní proměnou dosazením tt = gg(xx). Pozor: nesmí se mísit obě proměnné za jediným integračním znakem.
5 Příklad: Substituční metodou vypočtěte zadaný integrál: tt = 5xx + 7 cos(5xx + 7) dddd = dddd = 5dddd = cos t dddd = sin t + C = sin(5x + 7) + C. dddd = dddd Substituce typu xx = gg(tt) Jestliže funkce ff(xx) je spojitá na intervalu I, funkce xx = gg(tt) má nenulovou derivaci na intervalu J a zobrazuje ho na interval I, pak na intervalu I platí: ff(xx)dddd = ff gg(tt) gg (tt)dddd, Dosadíme-li do primitivní funkce na pravé straně tt = gg (xx), kde gg je inverzní funkce k funkci g. Výpočet probíhá podle schématu: xx = gg(tt) ff(xx)dddd = dddd = gg (tt)dddd = ff gg(tt) gg (tt)dddd = FF(tt) + CC = FF gg (xx) + CC. Postupujeme analogicky jako u substituce typu tt = gg(xx). Příklad: substituční metodou vypočtěte zadaný integrál. xx = tt 2 dddd = (xx+6) xx xx = tt = 2tt dddd = 2 dddd == 2 (tt 2 +6)tt (tt ) 4 tt + CC = 4 dddd = 2tt dddd 2 xx + CC. 2 Integrace racionálních funkcí Jedná se o integrály typu PP nn (xx) dddd, kde PP(xx) a QQ(xx) jsou polynomy a nn, mm jsou QQ mm (xx) stupně polynomu. V případě, že stupeň polynomu PP stupeň polynomu QQ (nn mm), jedná se o tzv. neryzí racionální funkci, kterou lze vždy vyjádřit dělením příslušných polynomů jako součet polynomu a tzv. ryzí racionální funkce. Ryzí racionální funkci, kterou nelze ihned integrovat užitím vzorců pro integraci elementárních funkcí, rozložíme na součet tzv. parciálních zlomků. Jejich tvar a počet je dán polynomem QQ(xx) rozloženým na součin kořenových činitelů: QQ(xx) = (xx xx ) (xx xx ) kk (xx 2 + pppp + qq) (xx 2 + pppp + qq) ll, kde: pp, qq, xx jsou reálné konstanty, kk a ll jsou přirozená čísla, kk >, ll >.
6 Poznámka: U nejvyšší mocniny xx je koeficient, kvadratické polynomy mají jako kořeny komplexně sdruženou dvojici hodnot (diskriminant je menší než 0). Naopak lineární polynomy mají reálný kořen. Výskyt v součinu kořenových činitelů (xx xx ) (xx xx ) kk (xx 2 + pppp + qq) (xx 2 + pppp + qq) ll Do rozkladu na parciální zlomky přibude AA xx xx AA (xx xx ) + AA 2 (xx xx ) AA kk (xx xx ) kk AAAA + BB xx 2 + pppp + qq AA xx + BB (xx 2 + pppp + qq) + AA 2xx + BB 2 (xx 2 + pppp + qq) AA ll xx + BB ll (xx 2 + pppp + qq) ll Koeficienty AA xx, BB xx určíme takzvanou metodou neurčitých koeficientů takto: ) rovnici, kde na levé straně je daná racionální funkce a na pravé straně součet příslušných parciálních zlomků, vynásobíme jmenovatelem racionální funkce (polynomem QQ(xx)), 2) pravou stranu rovnice upravíme, 3) porovnáním koeficientů polynomu (u stejných mocnin x) na obou stranách rovnice obdržíme soustavu lineárních rovnic, jejich řešením jsou hledané koeficienty. Příklad: Rozložte zadanou funkci na součet parciálních zlomků: RR(xx) = PP(xx) QQ(xx) = xx + 2 xx 3 xx QQ(xx) rozložíme na součin kořenových činitelů: QQ(xx) = xx 3 xx = xx (xx 2 ) = xx (xx ) (xx + ) RR(xx) rozložíme na součet parciálních zlomků: xx + 2 xx 3 xx = AA xx + Rovnici vynásobíme společným jmenovatelem: BB xx + CC xx + xx + 2 = AA(xx )(xx + ) + BBBB (xx + ) + CCCC (xx ) Pravou stranu upravíme (roznásobíme): xx + 2 = AAxx 2 AA + BBxx 2 + BBBB + CCxx 2 CCCC
7 Metodou porovnání koeficientů polynomu u stejných mocnin x na levé a pravé straně rovnice určíme koeficienty parciálních zlomků: xx 2 : 0 = AA + BB + CC xx : = BB CC xx 0 : 2 = AA Řešíme tuto soustavu tří rovnic o tří neznámých A, B, C: AA = 2 BB = + CC CC = 0 AA BB BB = + 0,5 =,5 CC = CC 2CC = CC = 0,5 Nyní je vidět, že rozklad funkce RR(xx) na parciální zlomky lze vyjádřit takto: xx + 2 xx 3 xx = 2 xx +,5 xx + 0,5 xx + Integrace parciálních zlomků ) parciální zlomek typu řešíme: vzorce, substituce 2) parciální zlomek typu řešíme: vzorce, substituce 3) parciální zlomek typu AA xx xx AA (xx xx ) kk AAAA+BB xx 22 ++cc AAAA + BB xx cc dddd = AA 2 2xx + xx cc dddd + KK xx cc dddd Upravíme na součet dvou integrálů tak, aby první z nich měl v čitateli derivaci jmenovatele a druhý konstantu. Konstantu K určíme z rovnice: AAAA + BB = AA (2xx + ) + KK. 2 4) parciální zlomek typu AA xx +BB (xx 22 ++cc) ll
8 Analogickým postupem jako u předchozího parciálního zlomku dojdeme ke dvěma integrálům. Z nichž jeden se vypočte substitucí, pro výpočet druhého integrálu se využívají tzv. rekurentní vzorce. Podrobný návod je možno najít například v knize K. Rektorys: Přehled užité matematiky, 995.
9 Určitý integrál Předpokládejme, že pro funkci ff(xx) definovanou na uzavřeném intervalu <, >, která je spojitá a ohraničená platí: ff(xx)dddd = FF(xx) + CC. Určitý integrál funkce ff od do je poté číslo: a je tzv. dolní integrační mez, b je tzv. horní integrační mez a ff(xx)dddd = [FF(xx)] = FF() FF(), kde: ff(xx)dddd čteme určitý integrál od do funkce ff(xx) dddd. V případě že: = platí vztah: ff(xx)dddd = 0;. >, > platí vztah: ff(xx)dddd = ff(xx)dddd Dále pro integrovatelné funkce na intervalu <a, b> platí: ; ) [ff(xx) ± gg(xx)]dddd = ff(xx)dddd ± gg(xx)dddd 2) kkkk(xx)dddd = kk ff(xx)dddd, kde kk RR; cc 3) ff(xx)dddd = ff(xx)dddd + ff(xx)dddd, kde cc (, ) ; cc 4) je-li f lichá funkce, pak: ff(xx)dddd = 0; 5) je-li f sudá funkce, pak: ff(xx)dddd = 2 ff(xx)dddd. 0 Příklad: Vypočtěte zadaný určitý integrál. xx 2 dddd = xx = = 72 9 = 63 (Funkce xx 2 je na intervalu < 3, 6 > spojitá, je tedy integrovatelná.)
10 Metoda po částech v určitém integrálu Mají-li funkce u a v spojité derivace na intervalu <, >, pak platí:. uu vv dddd = [uuuu] uuvv dddd Příklad: Vypočtěte pomocí metody po částech zadaný určitý integrál: xxee xx dddd = uu = xx uu = 0 vv = ee xx vv = ee xx = [x ee xx ] 0 ee xx dddd = [x ee xx ] 0 0 [ee xx ] 0 = ee (ee ) = = Metoda substituce v určitém integrálu Jsou-li splněny následující předpoklady: ) funkce g má na intervalu <, > nenulovou derivaci, 2) funkce f je spojitá na intervalu < αα, ββ >, kde αα = gg(), ββ = h(), 3) funkce g zobrazuje interval <, > na interval < αα, ββ >, poté platí: ββ. αα ff gg(xx) gg (xx)dddd = ff(tt)dddd Využití substituční metody je analogické jako u neurčitého integrálu. S tím rozdílem, že musíme stejnou substitucí transformovat (přepočítat) integrační meze. To provedeme tak, že původní meze dosadíme do substituční rovnice. Použití ilustrujeme na příkladu. Příklad: Metodou substituce vypočtěte zadaný určitý integrál: ln xx = tt ee ln xx xx dddd = dddd = dddd xx = tttttt = tt2 αα = ln(ee) = 2 = ββ = ln() = 0 Druhou možností výpočtu určitého integrálu substituční metodou (i per partes) je samostatné vyřešení neurčitého integrálu, kdy obdržíme výsledek v proměnné x, s následným výpočtem určitého integrálu s původními mezemi.
11 Historickou motivací pro vznik určitého integrálu byl výpočet obsahu SS MM křivočarého lichoběžníka. Nazývá se tak rovinný útvar MM, jehož příklad je zachycen na obrázku č.. Je vymezen grafem funkce yy = ff(xx), osou xx a přímkami xx = a xx =. Obrázek Jestliže funkce ff(xx) je na uzavřeném intervale <, > spojitá a nezáporná (ff(xx) 0), vyjadřuje určitý integrál SS MM = ff(xx)dddd = [FF(xx)] = FF() FF() Obsah SS MM rovinného útvaru MM, který je omezen křivkou yy = ff(xx), osou x a přímkami xx =, xx =. Jestliže v intervalu <, > je ff(xx) 0, je určitý integrál záporný a obsah SS MM příslušného rovinného útvaru MM je roven:. SS MM = ff(xx)dddd = ff(xx)dddd Příklad: Vypočtěte obsah rovinného útvaru M vymezeného grafem funkce yy = ff(xx) = xx 2 a osou x. Nejprve načrtneme rovinný útvar M. Jedná se o parabolu, která má vrchol v bodě [0,-] a osu x protíná v bodech xx = a xx = (viz obrázek 2). Obrázek 2
12 Protože na intervalu <, > je funkce yy = xx 2 spojitá, ale záporná, použijeme pro výpočet SS MM vztahu s absolutní hodnotou. SS MM = ( (xx 2 ))dddd = xx 3 = = Obsah SS MM rovinného útvaru M, která je ohraničená křivkou yy = xx 2 a osou x je tedy roven 2 3 jednotek obsahu. 3 Obsah plochy ohraničené dvěma křivkami yy = ff(xx) a yy = gg(xx), spojitými na intervalu <, >, pro které platí ff(xx) > gg(xx), a dále přímkami xx =, xx = se vypočítá pomocí vzorce: SS MM = [ff(xx) gg(xx)] dddd. Příklad: Vypočtěte obsah SS MM rovinného útvaru ohraničeného grafy funkcí yy = ff(xx) = xx 2, yy = gg(xx) = xx: Nejprve načrtneme rovinný útvar M. Nakreslíme zadané funkce a získáme rovinný útvar, jehož obsah budeme určovat. Obrázek 3 Meze příslušného integrálu získáme řešením soustavy rovnic (jako x-ovou souřadnici průsečíků příslušných křivek) yy = xx 2, yy = xx. xx 2 = xx xx 2 xx = 0 xx (xx ) = 0 Tedy xx = 0 = a xx 2 = =. Obsah SS MM rovinného útvaru ohraničené danými křivkami je poté roven: SS MM = (xx xx 2 )dddd = xx 2 xx 3 = jednotek obsahu =
13 Použitá literatura: JIRÁSEK, František a Josef BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Vyd.. Praha: Ekopress, 2006, 506 s. ISBN MEZNÍK, Ivan. Matematika II. Vyd.., přeprac. /. Brno: Akademické nakladatelství CERM, 2009, 05 s. ISBN MOUČKA, Jiří a Petr RÁDL. Matematika pro studenty ekonomie.. vyd. Praha: Grada, 200, 272 s. Expert (Grada). ISBN NAVRÁTIL, Miroslav. Matematika I.: pro distanční studium vysokých škol. Vyd.. Ostrava: Key Publishing, 2008, 98 s. ISBN
Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceDerivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Více1.1 Funkce 1. Tab. 1: Omezující funkce definičního oboru. 1 V tomto textu se pojmem funkce uvažuje funkce jedné proměnné
1.1 Funkce 1 V životě se běžně setkáváme se vztahem závislosti mezi různými proměnnými. Takovým vztahem závislosti může být například cena akciového titulu v závislosti na čase nebo teplota v místnosti
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceMETODICKÝ NÁVOD MODULU
Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VíceMATEMATIKA II V PŘÍKLADECH
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH CVIČENÍ Č. Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Ostrava 0 Ing. Petra Schreiberová, Ph.D. Vysoká škola báňská Technická
Více1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL
1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V předchozím semestru jsme se seznámili s derivováním funkcí. Nyní se přesuneme k integrování funkce, což je vlastně zpětný proces k derivaci. Ukážeme si, jakým
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
VícePavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006
VíceNeurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
VíceB) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.
4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceMaturitní témata z matematiky
Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
Více(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí
1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
VíceJan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011
Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: graf funkce, derivace funkce a její
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceObecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
Vícex 2 +1 x 3 3x 2 4x = x 2 +3
I. Určitý integrál I.. Eistence určitých integrálů Zjistěte, zda eistují určité integrály : Příklad. + + d Řešení : Ano eistuje, protože funkce f() + + je spojitá na intervalu,. Příklad. + 4 d Řešení :
VíceGymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021
Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,
VíceMATEMATIKA 1B ÚSTAV MATEMATIKY
MATEMATIKA B Sbírka úloh Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY MATEMATIKA B Sbírka úloh Úvod Dostali jste do rukou sbírku příkladů k přednášce Matematika B - Sbírka úloh. Tato sbírka je doplněním tetu Fuchs,
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0
Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +
VíceFUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA FUNKCE, ZÁKLADNÍ POJMY Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Více, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceCZ 1.07/1.1.32/02.0006
PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI
Více= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0
VíceMgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel
Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -
VíceMATEMATIKA B 2. Metodický list č. 1. Název tématického celku: Význam první a druhé derivace pro průběh funkce
Metodický list č. 1 Význam první a druhé derivace pro průběh funkce Cíl: V tomto tématickém celku se studenti seznámí s některými základními pojmy a postupy užívanými při vyšetřování průběhu funkcí. Tématický
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 12. a) 3 +1)d. Vypočítejte určité integrály: b) 5sin 4 ) d. c) d. g) 3 d. h) tg d. k) 4 arctg 2 ) d.
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA ČÁST Příklad Vypočítejte určité integrály: a) +)d b) 5sin) d c) d d) d e) d f) g) d d h) tgd i) d j) d k) arctg) d l) d m) sin d n) ) d o) p) q) r) s) d d ) d d d t) +d u) d v) d ŘEŠENÉ
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: Kvadratická funkce Autor: Kubešová
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceMatematika II: Řešené příklady
Matematika II: Řešené příklady Radomír Paláček, Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Řešené příklady Integrální počet funkcí jedné
VíceTematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová
Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceVýznam a výpočet derivace funkce a její užití
OPAKOVÁNÍ ZÁKLADŮ MATEMATIKY Metodický list č. 1 Význam a výpočet derivace funkce a její užití 1. dílčí téma: Výpočet derivace přímo z definice a pomocí základních vzorců. K tomuto tématu je třeba zopakovat
VíceNerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice
Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceFunkce základní pojmy a vlastnosti
Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného
VíceKFC/SEM, KFC/SEMA Elementární funkce
Elementární funkce Požadované dovednosti: lineární funkce kvadratická funkce mocniná funkce funkce s asolutní hodnotou lineárně lomená funkce exponenciální a logaritmická funkce transformace grafu Lineární
VíceUčební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky
Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace
VíceObsah Obyčejné diferenciální rovnice
Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Více