NOVÉ PRÍSTUPY K SIMULÁCII ŽELEZNIČNEJ DOPRAVY V TRAŤOVOM ÚSEKU

Transkript

1 18. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových siuácií v špecifickom prosredí, Fakula špeciálneho inžiniersva ŽU, Žilina, jún 2013 NOVÉ PRÍSTUPY K SIMULÁCII ŽELEZNIČNEJ DOPRAVY V TRAŤOVOM ÚSEKU Ladislav Novák 1, Zdeněk Dvořák 2, Bohuš Leiner 3 ABSTRAKT Železniční dopravu ovlivňuje řada vniřních a vnějších fakorů (poruchy, mimořádné událosi, krizové jevy), jejichž působení není rvalé, ale náhodné a dočasné, bez možnosi jejich přesného maemaického vyjádření. Mají negaivní dopady na plynulos železniční dopravy a druhoně na celou společnos. Konkréní předsavu o ěcho dopadech a následném fungování železniční dopravy můžeme získa s pomocí maemaických meod, saisiky, pravděpodobnosi, modelování a simulace. Jednou z rozhodujících aplikací ěcho meod je vlaková doprava v železničních raťových úsecích. Kľúčové slová: krízový manažmen, železničná doprava, sochasické procesy, simulácia, šaisika. ABSTRACT Railway ranspor is influenced by many inernal and exernal facors (disurbances, emergencies, crisis phenomena), heir effec is no permanen, bu emporary and accidenal, wihou he exac mahemaical expression. They have a negaive impac on he flow of rail raffic and secondarily on he whole sociey. The specific picure abou hese impacs and subsequen operaion of rail ranspor can be obained by using mahemaical mehods, saisics, probabiliy, modelling and simulaion. One of he key applicaions of hese mehods is a rain service in railway rack secions. Key words: crisis managemen, rail ranspor, sochasic processes, simulaion, saisics. 1 Ladislav Novák, doc., Ing., PhD., Kaedra krízového manažmenu Fakuly špeciálneho inžiniersva Žilinskej univerziy v Žiline, Ulica 1. Mája 32, Žilina, , Ladislav.Novak@fsi.uniza.sk. 2 Zdeněk Dvořák, prof., Ing., PhD., Pracovisko výskumu krízového riadenia Fakuly špeciálneho inžiniersva Žilinskej univerziy v Žiline, Ulica 1. Mája 32, Žilina, , Zdenek.Dvorak@fsi.uniza.sk. 3 Bohuš Leiner, doc., Ing., PhD., Kaedra echnických vied a informaiky Fakuly špeciálneho inžiniersva Žilinskej univerziy v Žiline, Ulica 1. Mája 32, Žilina, , Bohus.Leiner@fsi.uniza.sk. 435

2 1 ŽELEZNIČNÍ DOPRAVA JAKO OBJEKT SIMULACE Auoři [2], [4], [6] uvádějí, že provoz v raťovém úseku je možno chápa jako sysém hromadné obsluhy M/M/n. Sanicí obsluhy je příslušná raťová kolej, vlaky vsupující do raťového úseku přesavují obsluhované požadavky. Časové odsupy i mezi vlaky vsupujícími do ohoo úseku předsavují časové inervaly mezi vsupy požadavků, dobou obsluhy obs je doba, po kerou obsazuje konkréní vlak eno úsek. Teno sysém je zároveň východiskem při projekování simulace vlakové dopravy v příslušném raťovém úseku. Získávání nezbyně pořebné náhodné proměnné se provádí ransformací pseudonáhodných čísel, poskyovaných generáorem věšiny ypů počíačů, na požadovaný yp náhodné proměnné. Tao aplikace, ale vyžaduje rozsáhlý saisický výzkum na zjišění příslušného ypu náhodné proměnné, kerou bude především doby jízdy vlaku v raťovém úseku. 2 TEORETICKÁ VÝCHODISKA NA SIMULACI VLAKOVÉ DOPRAVY V TRAŤOVÝCH ÚSECÍCH Při jízdách vlaků v raťových úsecích dochází k odchylkám od pravidelných jízdních dob sanovených GVD. Věšina odchylek předsavuje zpoždění a jen minimum odchylek vzniká např. krácením jízdních dob. Za éo siuace můžeme připusi, že jednolivé časy obsazení raťových úseků budou náhodné proměnné. Vzhledem na o, že čenos odchylek s jejich velikosí klesá [4], je možné považova časy obsazení za náhodnou proměnou s rozdělením, jehož husoa pravděpodobnosi je vyjádřena vzahem a a1 b. b f () e a [1] ( a) Modely s rozdělením náhodné proměnné jsou vhodné pro siuace u kerých je minimální hodnoa inervalu přísně určena (např. inerval následné jízdy při maximální dovolené rychlosi) a přirážka není osře ohraničena. Tomuo konsaování zjevně odpovídá železniční provoz. Zajímavý je však pojem maximální dovolené rychlosi v porovnání s klasickými výpočy, keré pracují s "průměrnou" rychlosí, nebo se klasifikaci rychlosi vyhýbají. Maximální rychlosi bude odpovída: minimální doba jízdy j,min, příslušná minimální doba obsazení úseku obs,min, odsup mezi jízdami dvou vlaků i,min při zohlednění přípusného provozního zaížení éa. model, ale počíá s přísně symerickým varem frekvenční funkce okolo průměrné hodnoy, co je v příkrém rozporu s reálným provozem. Lepší řešení poskyuje Erlangovo rozdělení, keré pracuje s paramery a a b. Paramer a je přirozené (celé) číslo. Výpoče paramerů se vykonává podle vzahů: xp b, a x. b 2 p [2] [3] s 436

3 kde xp je skuečná sřední hodnoa a s 2 je rozpyl. Husoa pravděpodobnosi ohoo ypu rozdělení je daná vzahem: a a1 b. b f () e a [4] a 1! Erlangovo rozdělení je pružnější i z pohledu grafického vyjádření. Umožňuje zohledni procesy, kerých frekvenční funkce nebude symerická, ale může bý šikmá vlevo nebo vpravo. V kombinaci s modifikací pravidla "6" se ak oevírají širší možnosi na eoreická i prakická řešení při simulaci vlakové dopravy v raťových úsecích. 3 OVĚŘENÍ A APLIKACE TEORETICKÝCH VÝCHODISEK Železniční provoz považujeme za dosaečně ypickou, sále se opakující činnos. Předpokládáme, že průběh náhodné proměnné popisující dobu jízdy bude mí někeré obecné zákoniosi. V aplikaci na dobu jízdy vlaků raťovým úsekem jde o nalezení ypické polohy sřední hodnoy doby jízdy v závislosi na hodnoách minimálních a maximálních s využiím pravidla 6 na Erlangovo rozdělení APLIKACE PRAVIDLA 6 NA ERLANGOVO ROZDĚLENÍ Již samoná aplikace pravidla "6" na jiné ypy rozdělení, než je normální, je maemaicky zajímavá. Normální, rozdělení je charakerizováno frekvenční funkcí f(x) (zvanou éž husoa pravděpodobnosi)a disribuční funkcí F(x). Náhodná proměnná x se poom vyskyuje v určiých mezích A až B podle obrázku 1, kde je: A - dolní mez x min, B - horní mez x max, - směrodaná odchylka. Pravděpodobnos výskyu hodnoy x v blízkosi mezí A a B je zanedbaelná. Je, ale možné urči reálné minimální a maximální hranice hodnoy x charakerizující s dosaečnou přesnosí původní rozdělení. Tyo hranice se nazývají x min a x max. Vzdálenos mezi nimi se udává v násobcích směrodané odchylky podle abulky 1. f(x) F(x ) A x min x max B x p 3 x p 2 x p x p x p + x p +2 x p +3 Obrázek 1 Pravidlo 3 spojié náhodné proměnné 437

4 Tabulka č. 1 Velikos plochy ve vzdálenosi ±3 od sřední hodnoy xp normálního rozdělení Vzdálenos od sřední hodnoy Čás plochy F(x) (%) x p 1 68,26 x p 1,96 95 x p 2 95,44 x p 2,58 99 x p 3 99,73 x p 3,29 99,9 Prakické využií éo vlasnosi je zřejmé. Pro reálně odhadnuelné minimální, sřední a maximální hodnoy náhodné proměnné normálně rozložené je možné věšinou pro ± 3 vypočía hodnou x p a ím získa i var příslušné frekvenční a disribuční funkce. Aplikaci uvedené eorie na náhodnou proměnnou s Erlangovým rozdělením jsme ověřili počíačovým experimenem. Vzhledem k nesouměrnosi ohoo rozdělení bylo použio vzahu xmax - xmin = 6 odkud jsme vyjádřili směrodanou x x max min odchylku [5] 6 a rozpyl s2 = 2 Pro sřední hodnou xp byli zjišťovány paramery a a b náhodné proměnné s Erlangovým rozdělením a generovány nové saisické soubory. Z generovaných hodno byly saisicky vyhodnoceny příslušné hodnoy xp, s2 a. Porovnáním ěcho hodno s původními byla povrzena planos pravidla ± 3 i pro náhodnou proměnnou s Erlangovým rozdělením s koeficienem korelace 0, Aplikace pravidla 6 na dobu jízdy vlaku v raťovém úseku Pro každý raťový úsek je možné ze saisiky: odečía minimální dobu jízdy j,min, odečía reálné maximální doby jízdy j,max, vypočía sřední dobu jízdy j,p. S odvoláním na eoreická východiska v čási 2.1 považujme minimální dobu jízdy j,min v posuzovaném raťovém úseku za dolní hranici xmin Erlangovy náhodné proměnné. Uvedené hodnoy je možné saisicky vyhodnoi pro každý raťový úsek zvlášť, co je prakicky neprovedielné. Nabízí se zde však i jiné řešení: Jedinou hodnoou, kerou lze dosaečně přesně vypočía předem, je pouze minimální doba jízdy a o pro konkréní hnací vozidlo, příslušný raťový úsek a vlakovou soupravu. Jesliže bude možné naléz obecnou zákonios v průběhu doby jízdy jako náhodné proměnné, bude možné na základě j,min vypočía i hodnoy osaní, včeně paramerů a a b Erlangova rozdělení pro případnou simulaci provozu. 438

5 2.3 Problemaika rychlosi v simulaci vlakové dopravy v raťovém úseku Věšina auorů pracuje v eorii řešení výpočů propusných výkonnosí přímo s dobou jízdy j nebo obsazení obs posuzovaného raťového úseku. Vzhledem k omu, že délka raťového úseku je neměnná, je možné redukova všechny výpočy doby jízdy na problém rychlosi, resp. jejího průběhu v závislosi na konkréních podmínkách. Zůsává edy oevřena oázka, jaké rychlosi použí, respekive jak dosaečně přesně vypočía pořebnou dobu jízdy. Teorie mechaniky vlakové dopravy nabízí uspokojivé řešení právě pro minimální dobu jízdy. S využiím pohybové rovnice vlaku ve varu 3 dv F o o o 10 ( m m )(1 ro) o vh vd h d [6] d kde je Fo - je ažná síla na obvodu hnacích kol[n] ovh - vozidlový odpor hnacího vozidla [N] ovd - vozidlový odpor vlakové soupravy [N] o - raťový odpor [N] mh - hmonos hnacího vozidla [N] md - hmonos dopravovaných vozidel [N] ro - součiniel roujících hmo je možno pro průběh maximální ažné síly vyhodnoi i maximální dosažielnou rychlos, kdy jsou v rovnováze ažná síla a odpory. Tao rychlos nesmí překroči rychlos sanovenou. Jejím porovnáním s rychlosí, kerou vlak do úseku vjíždí je možno řeši dobu jízdy jako dílčí výpočy pro pohyb rovnoměrně zrychlený, zpomalený nebo jízdu usálenou rychlosí. 2.4 Aplikace Erlangova rozdělení na dobu jízdy vlaků v raťových úsecích K ověření aplikace Erlangova rozdělení náhodné proměnné na dobu jízdy vlaků v raťových úsecích jsme realizovali rozsáhlá saisická zkoumání na 20 různých raťových úsecích. Doby jízdy úsekem jsme odečíali z realizovaných GVD a hypoézu ověřovali chí2 esem dobré shody. Jednalo se údajů za 20 dní provozu. Z výsledků aproximace je zřejmá nepřijaelnos hypoézy o exponenciálním rozdělení, vzhledem k exrémně nepříznivým hodnoám chí2 esu. Výhodná je aproximace Erlangovým rozdělením, kde hodnoy velmi dobře vyhovují. Je edy možné konsaova, že eoreický model náhodné proměnné s Erlangovým rozdělením dobře vysihuje esovanou veličinu - dobu jízdy v raťovém úseku. 2.5 Poloha sřední doby jízdy raťovým úsekem Sřední doba jízdy rozděluje vzdálenos mezi minimální a maximální hodnoou doby jízdy na dvě čási 1 a 2 podle obrázku 2. Koeficieny 1 a 2 jsme nazvali koeficieny polohy sřední doby jízdy raťovým úsekem. Je edy možno psá 439

6 následující vzahy: 6 j,max 1 2 j,min 6 j, p j,min 1 j, p j,max 2 odkud vyjádříme koeficien 1 jako p, j p,min 1 [7] Vzhledem k omu, že ze saisických souborů je možné snadno vypočía j,p a odčía j,min vypočíával jsem hodnoy 1 podle vzahu [7]. Použié a vypočíané hodnoy jsou přehledně uvedeny v abulce 2. Na základe uvedených výpočů je možné konsaova vysokou míru závislosi mezi sřední dobou jízdy j,p a směrodanou odchylkou s koeficienem korelace r = 0,929. Korelační závislos vychází nejpříznivěji pro lineární regresní funkci = 0,25 j,p [8] Při zkoumání závislosi koeficienu polohy sřední doby jízdy 1 na éo době byl získán koeficien korelace r = 0,054. Regresní funkcí je opě přímka ve varu y = 1, ,0019 x. Vzhledem k omu, že posunuí lineární funkce 0,0019 je zanedbaelné a koeficien korelace 0,054 dokládá i zanedbaelný supeň korelace je možné považova koeficien polohy 1 za konsanní s průměrnou hodnoou 1 = 1,84. F(x) j,min j,p j,max 6 Obrázek 2 Poloha sřední hodnoy doby jízdy raťovým úsekem 440

7 Traťový úsek Tabulka č. 2 Přehled vypočených hodno koeficienu polohy Odvození vzahů pro výpočy sřední doby jízdy Doby jízdy j,min [min] j,p [min] 1 Trenč.Teplá - Dubnica 4 6,72 1,58 1,72 Dubnica - Trenč.Teplá 4 7,61 2,09 1,73 Žilina zr.s. - Dolný Hričov 6 11,15 2,83 1,82 Dolný Hričov - Žilina zr.s 6 11,33 2,82 1,89 Turany - Kralovany 7 12,77 3,27 1,76 Kralovany - Turany 8 14,46 3,71 1,74 Ladce - Dubnica 9 15,58 3,77 1,75 Dubnica - Ladce 9 16,15 3,49 2,05 Krásno nad K. - Čadca 9 16,15 3,73 1,92 Čadca - Krásno nad K. 9 16,18 3,40 2,11 Vrúky - Varín 9 16,59 3,91 1,69 Varín - Vrúky 10 17,49 3,95 1,90 Púchov - Pov.Bysrica 11 18,55 3,71 2,04 Pov.Bysrica - Púchov 11 18,62 3,90 1,95 Lúky pod Mak. - Horní Lideč 10 19,93 4,62 2,02 Pov.Bysrica - Byča 11 20,08 5,24 1,73 Byča - Pov.Bysrica 11 21,10 6,64 1,52 Horní Lideč - Lúky pod Mak 11 23,92 7,66 1,69 Vycházím ze vzahu pro koeficien polohy sřední doby jízdy [7] odkud bude sřední doba jízdy j,p = 1 + j,min a po dosazení koeficienu polohy 1 a vzahu [8] 1,84.0, 25 j, p j, p j,min [9] Po úpravě bude mí vzah závislosi minimální a sřední doby jízdy var 1,85. j, p j,min [10] Zde je nuno podoknou, že vzah má všeobecnou planos v rozsahu vyšeřovaných veličin zn. pro j,p [11-24 min]a pro j,min [4-11 min], keré by mohly bý dále zpřesňovány provedením dalších saisických šeření, ovšem sejně jako u předcházejících, značně časově náročných. Pro případnou simulaci je možné odvodi i příslušné paramery a a b. Parameer b b 1,85. j, p j,min 2 2 [11] a b. 1,85. b. j, p j,min Parameer a [12] Názornou předsavu o průběhu závislosi jednolivých odvozených veličin dává jejich výpoče pro různé j,min podle abulky

8 Tabulka 3 Vypočené Hodnoy j,p,, s2, b, a, pro různé j,min, 1 = 1,84 j,min [min] j,p [min] Odchylka Rozpyl Paramery s 2 a b *) 1 1,85 0,46 0,21 16,30 8,65 2 3,70 0,92 0,85 16,11 4,32 3 5,55 1,39 1,92 16,04 2,88 4 7,40 1,85 3,41 16,05 2,16 5 9,25 2,31 5,33 16,05 1, ,10 2,77 7,68 16,04 1, ,95 3,23 10,46 16,03 1, ,80 3,70 13,66 16,04 1, ,65 4,16 17,29 16,03 0, ,50 4,62 21,34 16,04 0, ,35 5,08 25,82 16,04 0, ,20 5,54 30,73 16,04 0, ,05 6,00 36,00 16,07 0, ,90 6,47 41,83 16,04 0, ,75 6,93 48,01 16,04 0,58 *) paramer b přepočený pro celočíselný paramer a = 16 Na základě výsledků je možno konsaova, že paramer a, zaokrouhlený na celočíselnou hodnou a = 16 je nezávislý na dobách jízdy a vzah pro výpoče parameru b je proo možno upravi do varu: 16 8, 65 b 1,85. j,min j,min [13] 3. Použií odvozených vzahů pro výpoče propusné výkonnosi raťového úseku (1) Pro příslušný raťový úsek se na základě pohybové rovnice vlaku vypočíá minimální doba jízdy úsekem j,min, s ohledem na sanovenou rychlos. (2) Podle vzahu [10] se vypočíá sřední doba jízdy j,p. (3) Podle vzahů [13 se vypoče paramer b. (4) Pro konsanní paramer a=16 a vypočený paramer b se s využiím počíačem generovaných pseudonáhodných čísel a ransformace na náhodnou proměnnou s Erlangovým rozdělením, generují jednolivé doby jízdy vlaků v raťovém úseku. (5) Ke generovaným dobám jízdy se připočíají i příslušné provozní inervaly au, čímž se získá pořebná doba obsazení raťového úseku simulaci provozu obs = j + au. (6) Pro simulaci provozu jsou nezbyné i vsupy jednolivých vlaků do prvého raťového úseku. Vsupy vlaků je možné zadáva deerminisicky alebo se na jejich získávání využije sřední doby obsazení j,p upravená zpěně podle vzahu pro přípusné provozní zaížení podle vzahu i,p = j,p / ea. Vzhledem k omu, že přípusné provozní zaížení je volielné, získáváme možnos varianního výpoču. 442

9 This paper was suppored by projec APVV Criical infrasrucure proecion in secor ranspor ERDF European fund of regional developmen Projec is co financing from EC sources The maerial was processed in he Cener of Excellence for he sysems and inelligen ranspor services ITMS projec code LITERATÚRA [1] BRANDALÍK, F.,KLUVÁNEK, P.: Operační analýza v železniční dopravě. ALFA, Braislava [2] DANĚK, J.-VONKA, J.: Dopravní provoz železnic.alfa, Braislava [3] D-24 Předpisy pro zjišťování propusnosi železničních raí. NADAS, Praha 1966, služební předpis. [4] HERTLER,.G.,VONKA, J.: Kriické poznámky ke savu výpočů propusné výkonnosi železničních raí na ČSD.a DR. In: Práce a sudie VŠDS - svazek 7, ALFA, Braislava [5] LEITNER, B., DVOŘAK, Z., Projek Cenrum excelencie pre sysémy a služby ineligenenj dopravy východiská, akiviy a výsledky [Projec Cenre of excellence for sysems and services of inelligen ranspor scopes, aciviies, resuls]. Žilina, Slovakia, LOGVD [6] NOVÁK, L., MILATA, I. : Applicaion of 3 sigma heory o Erlangs disribuion of random variable. In: Zborník z X. Inernaional Scienific Conference TEMPT 97. Bulharsko, Sofia, Higher Miliary School of Transpor 1997, s (90 %). ISBN [7] NOVÁK, L., ŠIMÁK, L.: Non-radiional saisic invesigaion of railway raffic: Moscow, Russia Issue 3. [8] NOVÁK, L., SOUŠEK, R.: Modificaions Erlang' s disribuion of random variable. In: Механика, Транспорт, Комуникация. 2/2005. София hp://mc- aj.com/php/welcome.php?lang=bg. ISSN [9] VORLÍČEK, M.: Vybrané kapioly maemaické saisiky. FMNO, Praha 1968 [10] VORLÍČEK, M.,HOLICKÝ, M., ŠPAČKOVÁ, M.: Pravděpodobnos a maemaická saisika pro inženýry. FMNO, Praha Článok recenzovali dvaja nezávislí recenzeni 443

10 444