Ověření závislosti replikace Tracking Error řízenou restrukturalizací na vybrané faktory 1

Transkript

1 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 Ověření závislosi replikace Tracking Error řízenou resrukuralizací na vybrané fakory 1 Jiří Valecký 2 Absrak říspěvek je zaměřen na replikaci benchmarku pomocí meodologie Tracking Error meodou řízené resrukuralizace se zohledněním proporcionálních ransakčních nákladů. V příspěvku je nejprve předsavena meodologie Tracking Error a její využií v oblasi asse managemenu. oé je formulována opimalizační úloha replikace. V poslední čási je ověřena závislos úspěšnosi replikace meodou řízené resrukuralizace na vybrané fakory, za keré byl zvolen dodaečný výnos a prahová proměnná. Výsledky jsou presenovány a inerpreovány. Klíčová slova Tracking Error, asse managemen, řízená resrukuralizace, benchmark, dodaečný výnos, prahová proměnná. 1 Úvod Meodologie Tracking Error má uplanění v mnoha oblasech a nalézá jej i v oblasi asse managemenu, edy v oblasi řízení invesičních porfolií, a o při akivní i pasivní správě. Jejím primárním cílem však není nalezení efekivnějšího porfolia, jak by se mohlo zprvu zdá, ale jejím cílem je snaha přiblíži vývoj hodnoy (výnosu) porfolia k vývoji hodnoy (výnosu) zvoleného benchmarku, jímž může bý vybraný ržní inde nebo jiné porfolio finančních akiv, a o při minimální hodnoě Tracking Error. 3 Dle účelu lze rozliši replikaci plnou nebo replikaci s dodaečným výnosem, viz Obr.č. 1. Obr.č. 1: Formy replikace dle meodologie Tracking Error Meodologie Tracking Error lná replikace kopírování vývoje výnosu benchmarku Replikace s dodaečným výnosem kopírování vývoje výnosu benchmarku zvýšeného o dodaečný výnos 1 Teno příspěvek vznikl v rámci projeku GAČR 42/8/ Ing. Jiří Valecký, VŠB Technická univerzia Osava, Ekonomická fakula, kaedra financí, Sokolská ř. 33, Osrava 1; jiri.valecky@vsb.cz. 3 Teno pojem dosud v lierauře nenalezl jednonou definici. apř. v práci Rudolf e al (1999) je eno pojem definován jako sřední hodnoa absoluní odchylky výnosu řízeného porfolia a benchmarku, v Gaivoronski (23, 25) jako sřední hodnoa čvercové odchylky výnosu řízeného porfolia od benchmarku a v Roll (1992), Jorion (23), Fabozzi (24) v podobě směrodané odchylky rozdílu výnosu porfolia a benchmarku. V příspěvku je eno pojem chápan dle Gaivoronski (23, 25).

2 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 Smyslem obou forem je vyvoření a správa akového porfolia, jehož výnos koresponduje s výnosem benchmarku, a o s minimální Tracking Error. Odlišují se od sebe pouze ím, že při replikaci s dodaečným výnosem je replikovaný výnos benchmarku navýšen o další požadovaný dodaečný výnos. Cílem příspěvku je ověři závislos úspěšnosi replikace benchmarku meodou řízené resrukuralizace zohledňující proporcionální ransakční náklady na změnu vybraných fakorů. Za yo fakory byl zvolen dodaečný výnos a prahová proměnná, přičemž byl analyzován a ověřen vliv jak obou dílčích fakorů odděleně, ak jejich simulánní vliv. 2 Opimalizační úlohy replikace Eisuje celá řada replikačních úloh na bázi meodologie Tracking Error. Tyo úlohy lze členi podle různých hledisek, přičemž jedním z nich je i způsob správy replikačního porfolia, (pasivní a akivní správa). arozdíl od pasivní správy, kdy je hledána aková srukura porfolia, kerá je opimální pro celé sledované období, jsou u akivní správy prováděny resrukuralizace ve sanovených inervalech. Replikační modely řešící replikaci akivní správou lze pojmenova jako dynamické, neboť vedou k zv. úlohám muli-sage programování, ve kerých je hledána srukura pro každé období. V následující čási je nejprve formulována dynamická replikační úloha, v níž ransakční náklady nejsou zohledněny přímo v opimalizaci, ale jsou zpěně odečeny. Ani druhá prezenovaná úloha yo náklady nezohledňuje přímo, ale pomocí zv. meody řízené resrukuralizace, j. pomocí pravidla, dle kerého je o případné resrukuralizaci rozhodnuo. 2.1 Dynamická replikace Úloha dynamické replikace, jež nezohledňuje ransakční náklady při opimalizaci, lze zapsa ve varu Úloha1 (dynamická replikace akivní správou bez ransakčních nákladů) R B G pro = 1, K, T za podmínek ( ) 2, min i i= 1 i, = 1, (1) pro i= 1, K,, (2) Účelovou funkcí je nalezena aková srukura porfolia, kerá minimalizuje čvercovou odchylku výnosu porfolia R, od benchmarku B zvýšeného o dodaečný výnos G v čase. odmínka (1) určuje invesování celého bohasví a podmínkou (2) jsou zamezeny kráké prodeje. Skuečná hodnoa Tracking Error v čase je posléze dopočena dle ( c ) 2, c kde R, je výnos porfolia snížený o ransakční náklady dle TE = R B G, (1) ( )( ) c R, = 1 u 1+ R 1, (2) přičemž R i, je výnos i-ého akiva v čase, i, je relaivní podíl i-ého akiva v replikačním porfoliu v čase a u je podíl celkových proporcionálních ransakčních nákladů dle rovnice

3 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 u = ϕ abs i, i= 1 ( 1+ Ri) ( 1+ Rk) k = 1, i, 1, k, 1. (3) Rovnicí (2) je spočen výnos porfolia za předpokladu eisence ransakčních nákladů, jež odčerpávají čás výnosu porfolia, a rovnicí (3) je vyjádřen podíl proporcionálních ransakčních nákladů, přičemž ϕ předsavuje proporcionální ransakční náklady. evýhodou éo meody je skuečnos, že ransakční náklady nejsou přímo v opimalizaci zohledněny a pouze snižují výnos porfolia a ím i úspěšnos replikace. 2.2 Dynamická replikace s řízenou resrukuralizací Druhá meoda replikace aké nezohledňuje ransakční náklady přímo při samoné opimalizaci. Jedná se o dynamickou replikaci s řízenou resrukuralizací, jejíž smyslem je porovnání hodnoy Tracking Error po provedené resrukuralizaci s ouéž hodnoou bez provedení akivního zásahu do srukury porfolia. ejprve je řešena opimalizační Úloha 1, dle níž je v období nalezena nová opimální srukura,* a jehož budoucí srukura v důsledku pohybu cen akiv bude v nadcházejícím období ve varu zˆ i, = ( 1+ Ri) ( 1+ Rk) k = 1, i, *, k, *. (4) Skuečná hodnoa Tracking Error se pak dopoče dle použié rovnice (1), (2) a (3) dosazením =,*. V dalším kroku je dopočena hodnoa Tracking Error bez provedení resrukuralizace, edy a srukura je přepočena dle 2 i, i, (5) TE = R B G z i, = ( 1+ Ri) ( 1+ Rk) k = 1, i,, k,. (6) Zda dojde k akivnímu zásahu do srukury porfolia, edy je-li následná srukura z ˆ nebo z je posléze rozhodnuo dle pravidla zˆ pokud TE > TE + h = (7) z v jiném případě, kde h je prahová proměnná, TE je hodnoa Tracking Error bez resrukuralizace porfolia (5) a TE je hodnoa Tracking Error dle (1).

4 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 3 Ověření závislosi replikace na vybrané fakory V éo čási byla ověřena závislos kvaliy replikace (hodnoy Tracking Error) meodou řízené resrukuralizace na vybrané fakory. Za analyzované fakory byl zvolen dodaečný výnos a prahová proměnná, přičemž byl zkoumán vliv ěcho fakorů na replikace jednolivě i simulánně. Ověření bylo provedeno pomocí replikace českého indeu kapiálového rhu X-GLOB za rok 27. K omu byly použiy daa 4 časových řad diskréních výnosů vybraných cenných papírů obsažených v indeu X-GLOB k , jehož vývoj v daném období je zachycen na Obr.č.2. Obr.č.2: Vývoj benchmarku X-GLOB v roce 27 Výnos [%] X-GLOB Ověření závislosi bylo provedeno u devíi porfolií, jejichž srukury jsou zachyceny na následujícím obrázku. Obr.č.3: Srukura replikačních porfolií 1% odíl cenného papíru 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% 1% % A B C D E F G H I orfolio Zeniva Uniperol Telefónica O2 C.R. ražská plynárenská Orco Komerční banka Erse Bank ČEZ CETV Zde je nuné podoknou, že vlivy vybraných fakorů mohou mí jinou působnos na kvaliu replikace, a o případ od případu, resp. od replikace k replikaci. Vliv ěcho fakorů nelze popsa konkréním varem funkce, a proo bylo nuné yo vlivy analyzova pomocí simulace a získané výsledky poé pro danou replikaci inerpreova. řesože se však jedná vždy o specifický problém, lze někeré závěry nebo alespoň jejich dílčí čási zobecni i pro osaní případy. 3.1 Vliv dodaečného výnosu Analýza vlivu dodaečného výnosu na replikaci s řízenou resrukuralizací byla provedena simulací, a o následujícím způsobem: Byl generován vekor dodaečných výnosů G od do 2,7 % s velikosí kroku,1 %. ro každý eno výnos pak byla provedena replikace 4 Daa byla poskynua společnosí aria Finance.

5 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 benchmarku meodou řízené resrukuralizace (viz kapiola 2.2) a dopočena konečná hodnoa TE pro různou výši ransakčních nákladů dle 1 c ( ) 2, TE = R B G pro = 1, K, T, (8) T c kde R, se spoče dle (2), (3) a T je poče pozorování. Vývoj Tracking Error v závislosi na dodaečném výnosu a pro různé hladiny ransakčních nákladů je znázorněn na následujícím obrázku. Obr.č.4: Vzah hodnoy Tracking Error a dodaečného výnosu G.4 orfolio A.4 orfolio B.4 orfolio C orfolio D.3 orfolio E.3 orfolio F orfolio G.3 orfolio H.3 orfolio I Dodaecný výnos [%] Dodaecný výnos [%] Dodaeèný výnos [%] c = % c =.2 % c =.4 % c =.6 % c =.8 % c = 1 % Dle průběhu hodnoy TE je zřejmé, že růs dodaečného výnosu snižuje přesnos replikace sejně ak, jak uvádí Walsh e al. (1998). S rosoucí výší ransakčních nákladů však lze vypozorova, že růs hodnoy TE do určié výše ransakčních nákladů akceleruje a poé je růs TE přibližně konsanní. 3.2 Vliv prahové proměnné Dalším analyzovaným fakorem ovlivňujícím výsledek replikace byla prahová proměnná. Vliv byl analyzován rovněž pomocí simulace, jež spočívala ve vygenerování množiny prahových proměnných od do,6 % o velikosi kroku,1 %. oé byla pro každou uo prahovou proměnou simulována replikace a dopočena hodnoa TE. a následujícím Obr.č.5 je zachycen vzah Tracking Error a prahové proměnné pro jednolivá porfolia a pro různou výši ransakčních nákladů.

6 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 Obr.č.5: Vzah hodnoy Tracking Error a prahové proměnné h 2.5 orfolio A.6 orfolio B.4 orfolio C orfolio D.25 orfolio E.2 orfolio F orfolio G.2 orfolio H.2 orfolio I rahova promenna [%] rahova promenna [%] rahova promenna [%] c = % c =.2 % c =.4 % c =.6 % c =.8 % c = 1 % Dle uvedeného obrázku lze konsaova, že funkce průběhu Tracking Error se mění skokově a není monoónní, jak by se mohlo předpokláda. Tenýž vzah byl analyzován v Gaivoronski (25), podle nějž hodnoa TE s rosoucí prahovou proměnnou klesá, neboť ao zamezuje akivním zásahům do porfolia a ím ak i zamezuje odčerpávání prosředků ransakčními náklady. áš eperimen však prokázal, že jsou-li ransakční náklady nízké či dokonce nulové, zamezování akivní správy naopak zvyšuje hodnou TE. Too je parné i z obrázku, kdy hodnoa TE s rosoucí prahovou proměnnou u nižších ransakčních nákladů ( % či,2 %) rose a u vyšších (např. 1 %) naopak klesá. V obou případech však konverguje k TE pasivní správy, neboť je-li prahová proměnná příliš vysoká, zamezí všem akivním zásahům a akivní správa se změní ve správu pasivní. 3.3 Simulánní vliv vybraných fakorů Dále byl analyzován simulánní vliv obou předchozích paramerů na úspěšnos replikace. Simulace byla provedena opě nejprve generováním vekoru dodaečného výnosu a prahové proměnné. V případě dodaečného výnosu se jednalo o 19 hodno s velikosí kroku.25 % a u prahové proměnné o 241 hodno s krokem,25 %. Vzhledem k časové náročnosi celé simulace byla analyzována závislos TE pouze pro jedno porfolio (porfolio I) a pro konkréní výši ransakčních nákladů (,4 %).

7 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 Obr.č. 6: Závislos replikace na dodaečném výnosu a prahové proměnné pro c =,4 % (orfolio I) Dodaecny vynos [%] rahova promenna [%] ři simulánní analýze vlivu obou fakorů bylo opě povrzeno, že hodnoa TE s rosoucím dodaečným výnosem rose a s rosoucí prahovou proměnnou klesá. Byly povrzeny i náhlé skoky hodnoy TE pro zvyšující se prahovou proměnnou a pro zvolenou výši dodaečného výnosu. Zajímavým zjišěním však bylo, že s rosoucím dodaečným výnosem se yo skoky zvěšují. ro obecnější závěry by bylo nuné uo simulaci provés pro všechna osaní replikační porfolia a všechny ransakční poplaky, což z hlediska časové náročnosi nebylo možné. 4 Závěr V příspěvku byla řešena závislos úspěšnosi replikace benchmarku meodou řízené resrukuralizace na vybrané fakory, jimiž byl dodaečný výnos a prahová proměnná. Analyzovány byly dílčí vlivy obou paramerů i jejich simulánní vliv, a o u devíi porfolií. a základě provedených eperimenů byly ověřeny a doplněny závěry z prací Walsh e al. (1998) a Gaivoronski e al. (25). V případě vlivu dodaečného výnosu na hodnou TE (úspěch replikace) bylo povrzeno, že s růsem ohoo výnosu hodnoa TE rose. rovedeným eperimenem bylo zjišěno, že eno vzah není lineární. V daném případě empo růsu TE s rosoucím dodaečným výnosem akcelerovalo a poé bylo víceméně konsanní. U analyzování vlivu prahové proměnné byl povrzen závěr, že s růsem prahové proměnné hodnoa TE klesá, mění se skokově a konverguje k hodnoě TE při pasivní správě replikačního porfolia. okles byl však ověřen pouze pro vyšší hladiny ransakčních nákladů. V případě nulových či nízkých ransakčních poplaků byl vliv rosoucí prahové proměnné naopak negaivní (růs hodnoy TE). Analýzou simulánního vlivu obou fakorů byly povrzeny výše uvedené závěry s ím, že s rosoucím dodaečným výnosem se skoky TE zvyšují. ro počení náročnos posledního eperimenu byl eno vliv analyzován pouze pro jedno porfolio a pro výši ransakční nákladů,4 %. Lieraura [1] BRADIMARTE,.: umerical mehods in finance and economics : a MATLAB-based inroducion. Hobokem: Wiley, 26. ISB [2] DERIGS, U., ICKEL, -H.: On a Local-Search Heurisic for a Class of Tracking Error Minimizaion roblems in orfolio Managemen. Annals of Operaions Research 131, 24, p

8 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 [3] EL-HASSA,., KOFMA,.: Tracking Error and Acive orfolio Managemen. Research aper Series, Sydney: Quaniaive Finance Research Cenre, Universiy of Technology, 23. [4] FABOZZI, F. J., FOCARDI, S. M.: The Mahemaics of Financial Modeling & Invesmen managemen. ew ersey: Wiley, 24. ISB [5] FRIO, A., GALLAGHER, D. R.: Tracking S& 5 Inde Funds. Journal of orfolio Managemen 28, s , 21. [6] GAIVOROSKI, A. A., KRYLOV, S., WIJST, ICO VA DER: Opimal porfolio selecion and dynamic benchmark racking. European Journal of Operaional Research 163, p , 25. [7] GAIVOROSKI, A. A., STELLA, F.: On-line porfolio selecion using sochasic programming. Journal of Economic Dynamics and Conrol 27, p , 23. [8] GAIVOROSKI, A. A., STELLA, F.: Sochasic onsaionary Opimizaion for Finding Universal orfolios. Annals of Operaions Research 1, p , 2. [9] GRIOLD, R. C., KAH, R..: Acive orfolio Managemen. Chicago: Irwin, ISB [1] HARLOW, W. V.: Asse Allocaion in a Downside Risk Framework. Financial Analyss Journal 47, p. 28-4, [11] ROLL, R. A: Mean/Variance Analysis of Tracking Error. The Journal of orfolio Managemen 18, p , [12] RUDOLF, M., WOLTER, H. J., ZIMMERMA, H.: A linear model for racking error minimizaion. Journal of Banking & Finance 23, p , [13] SATCHELL, S.E., HWAG, S.: Tracking error: E-ane versus e-pos measures. Journal of Asse Managemen 2, p , 21. [14] STUCCHI,.: Dominan Minimum Tracking Error orfolio wih Addiional Consrains on Risk. IME 24, June 24. [15] VALECKÝ, J.: Hranice přípusných porfolií na bázi meodologie racking error volailiy. Mekon 26. Osrava: VŠB-TU Osrava. [16] VALECKÝ, J.: Opimalizace porfolia finančních akiv s využiím meodologie Tracking Error. Mendele 25. Brno : Konvoj Brno. 25. [17] VALECKÝ, J.: The impac of proporional ransacion coss on he benchmark replicaion by racking error mehodology. IMEA 28. Liberec: Technická univerzia. [18] VALECKÝ, J.: Vliv velikosi báze replikačního porfolia na replikaci benchmarku. MEKO 28. Osrava: VŠB-TU Osrava. [19] WALSH, D. M., WALSH, K.D., EVAS, J..: Assessing esimaion error in a racking error variance minimisaion framework. acific-basin Finance Journal 6, p , [2] ZMEŠKAL, Z. e al.: Financial models. Osrava: VSB-TU, Faculy of Economics, 24.

9 4. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekonomická fakula, kaedra Financí září 28 Summary Verificaion of dependency of Tracking Error replicaion by conrol resrucuring mehod on seleced facors The paper is devoed o a benchmark replicaion using Tracking Error mehodology via conrol resrucuring mehod. The paper is divided as follows: In he firs secion, he Tracking Error mehodology and is applicaion in asse managemen are presened and opimizaion problem of replicaion respecing ransacion coss is formulaed in he second par of he paper. The hird secion conains he main eaminaion and verificaion of dependency of he benchmark replicaion and seleced parameers. The seleced eamined parameers were addiional reurn and hreshold value. Resuls were presened and inerpreed.