Statistika pro informatiku (MI-SPI) Cvičení č. 6

Transkript

1 Statistika pro informatiku (MI-SPI) Cvičení č. 6 Přednášející: Rudolf Blažek Cvičící: J. Hrabáková, K. Klouda, M. Kupsa, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze 1. dubna 2015 LS 2014/2015 Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

2 Opakování teorie Stacionární distribuce π: π = π P Podmínky detailní rovnováhy: π i p ij = π j p ji i, j (Pokud π splňuje podmínku detailní rovnováhy pak je stacionární distribucí, detailní rovnováha je vždy splněna v birth and death řetězcích) Věta Je-li markovský řetězec s přechodovou maticí P aperiodický, ireducibilní a má stacionární distribuci π, pak i, j lim n (Pn ) i,j = π j. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

3 Opakování teorie Definice Množina stavů C S se nazývá ireducibilní pokud ( i, j C) ( k) tak, že (P k ) i,j > 0 (tj. z každého stavu se dostanu do každého stavu). Markovský řetězec nazýváme ireducibilní pokud je S ireducibilní. Definice Periodou d(i) stavu s i rozumíme největšího společného dělitele (gcd) čísel k takových, že (P k ) i,i > 0: d(i) = gcd{k (P k ) i,i > 0}. Markovský řetězec se nazývá aperiodický pokud perioda každého stavu je rovna 1. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

4 Příklad 6.1 Pozorováním jisté silnice jsem zjistili, že tři z každých čtyř nákladních vozů jsou následovány osobním automobilem, zatímco pouze jeden osobní automobil z pěti je následován nákladním vozem. Jaký je podíl osobních automobilů a nákladních vozů na silnici? Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

5 Příklad 6.2 Obchod může během dne prodat 0, 1, 2, 3 kusy daného zboží s pravděpodobnostmi 0.3, 0.4, 0.2, 0.1. Vždy po zavírací době proběhne kontrola zásob. Pokud je počet kusů menší nebo roven 2 doplní se do skladu zboží na plný stav (3 kusy). Předpokládejme, že prodej jednoho kusu přinese zisk $12 a skladování jednoho neprodaného kusu stojí $2 za den. a) Spočtěte dlouhodobý zisk. b) Spočtěte dlouhodobý zisk, pokud budeme doplňovat až při 1 a méně zbývajících kusech. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

6 Příklad 6.3 Máme tři stroje a každý z nich se může porouchat s pravděpodobností 0.1 každý den. Pokud je alespoň jeden rozbitý je pravděpodobnost 0.5, že jej opravář spraví do dalšího dne. Předpokládáme, že se neporouchají dva stroje ve stejný den. Uvažujme počet funkčních strojů jako markovský proces. (a) Sestavte jeho matici přechodu. (b) Zjistěte pravděpodobnost, že budou v pátek dva stroje funkční pokud ve středu fungoval jen jeden. (c) Najděte stacionární rozdělení tohoto procesu. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

7 Příklad 6.4 V jistém městě nemají nikdy dva slunečné dny v řadě po sobě. Každý den může být buď deštivo, zataženo, nebo slunečno. Pokud je jeden den slunečno pak je stejně pravděpodobné, že následující den bude deštivo nebo zataženo. Pokud je zataženo (deštivo), stav počasí se nezmění s pravděpodobností 1 2, pokud se stav počasí změní, jsou ostatní dvě možnosti stejně pravděpodobné. Jaký je podíl slunečných, deštivých a zatažených dní z dlouhodobého hlediska? Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

8 Příklad 6.5 Jistá osoba má 3 deštníky, některé doma a některé v kanceláři. Když ráno odchází z domova (večer z kanceláře) a venku prší vezme si s sebou deštník, pokud zde nějaký má. Pokud ne, tak zmokne. Nezávisle na minulosti je pravděpodobnost deště při každé cestě 0.2. Uvažujme markovský řetězec X n = počet deštníků na současné pozici. (a) Sestavte jeho matici přechodu. (b) Spočtěte procento cest, při kterých zmokne. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

9 Příklad 6.6 Z generace na generaci se mění úroveň příjmů rodiny mezi třemi skupinami: Nízký, Střední, Vysoký podle následujících pravděpodobností: N S V N P = S V Jaké jsou podíly populace v jednotlivých příjmových třídách? Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

10 Příklad 6.7 Na začátku každého dne se provádí kontrola zařízení a vyhodnocuje se stav opotřebení: 1 = nový, 2, 3 a 4 = porouchaný. Předpokládejme, že vybrané pravděpodobnosti přechodu jsou P = Předpokládejme, že oprava porouchaného zařízení trvá 3 dny. a) Najděte podíl času kdy zařízení nepracuje. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

11 Příklad 6.7 Na začátku každého dne se provádí kontrola zařízení a vyhodnocuje se stav opotřebení: 1 = nový, 2, 3 a 4 = porouchaný. Předpokládejme, že vybrané pravděpodobnosti přechodu jsou P = Předpokládejme, že oprava porouchaného zařízení trvá 3 dny. a) Najděte podíl času kdy zařízení nepracuje. ( Nápověda: Pro vytvoření markovského řetězce přidejte stavy 5 a 6 s pravděpodobnostmi přechodu P(X 1 = 5 X 0 = 4) = 1, P(X 1 = 6 X 0 = 5) = 1, P(X 1 = 1 X 0 = 6) = 1.) Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11

12 Příklad pokračování b) Předpokládejme, že můžeme provést preventivní údržbu, pokud je zařízení ve stavu 3 a tato údržba trvá 1 den a vrací zařízení do stavu 1. Pak matice přechodu bude P = Najděte podíl času kdy zařízení nepracuje. Blažek, Hrabáková, Klouda, Kupsa, Vašata MI-SPI, Cvičení č. 6 LS 2014/ / 11