Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)
|
|
- Lenka Němcová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
2 Úvod optimalizační metody = extremalizační metody = výpočty extrémů Obecně: Hledají se extrémy účelové (cílové, cenové) funkce s eventuálními omezeními (podmínky nezápornosti). Náš cíl: porozumění a schopnost spolupráce s ostatními inženýry řešícími minimalizaci funkcionálů numerickými metodami (mechanická rovnováha, chemická rovnováha, aj.). Schopnost vylepšit jejich počítačové programy.
3 Příklady úloh vedoucích k výpočtu extrémů funkcí: minimalizace funkcionálů numerickými metodami (mechanická rovnováha, chemická rovnováha, aj.) regresní výpočty (např. metoda nejmenších čtverců) optimalizace výrobních programů (minimalizace nákladů, maximalizace zisku, aj.) dopravní problémy (minimalizace nákladů, minimalizace přepravní doby, apod.)
4 Motivace reálné inženýrské úlohy - modely jsou třírozměrné, uvažuje se několik fyzikálních jevů (multiphysics problem), numerické metody - přesná řešení nejsou k dispozici, použití numerických metod je nutností, numerické metody bez počítačů jsou nepoužitelné, paralelní počítače - rozsáhlé úlohy se nevejdou do paměti jednoprocesorového počítače a jejich řešení trvá nepřijatelnou dobu, paralelní počítače nabízejí alternativu.
5
6
7 Nelinea rnı optimalizace a numericke metody
8
9
10 Optimalizace extrémy funkcí lokální extrémy globální extrémy vázané extrémy
11 Funkce, extrémy funkcí B. Budinský, J. Charvát. Matematika I. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, B. Budinský, J. Charvát. Matematika II. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, ISBN Karel Rektorys a spolupracovníci. Přehled užité matematiky I. Nakladatelství Prometheus, Praha, 7. vydání, ISBN
12 Funkce, derivace Definice. Necht jsou dány množiny D R a H R. Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení z D do H. D se nazývá definiční obor, H se nazývá obor hodnot. Poznámka. V celém následujícím textu se bude reálná funkce jedné reálné proměnné označovat zkráceně jako funkce jedné proměnné. Definice. Necht je dána funkce f(x). Limita df(x) dx = lim h 0 f(x + h) f(x) h se nazývá derivace funkce f(x) v bodě x. Někdy bude použito označení f (x).
13 Derivace některých funkcí f(x) f (x) f(x) f (x) x n nx n 1 a x a x ln a sin x cos x log a x 1 x ln a cos x sin x Definice. Bod x D se nazývá stacionární právě tehdy, když platí f (x) = 0.
14 Konvexní a konkávní funkce Definice. Funkce f(x) se nazývá konvexní na množině M D právě tehdy, když pro každé dva body x 1, x 2 M, x 1 x 2, a α (0, 1), platí f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Platí-li f(α x 1 + (1 α)x 2 ) < αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ), funkce f(x) se nazývá ryze konvexní. Definice. Funkce f(x) se nazývá konkávní na množině M D právě tehdy, když pro každé dva body x 1, x 2 M, x 1 x 2, a α (0, 1), platí f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Platí-li f(αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ), funkce f(x) se nazývá ryze konkávní.
15 Lokální extrémy Definice. Funkce f(x) má v bodě x D lokální maximum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D ostré lokální maximum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) < f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D lokální minimum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D ostré lokální minimum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) > f( x).
16 Globální extrémy Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M globální maximum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) f( x) pro všechna x M. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M ostré globální maximum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) < f( x) pro všechna x M, x x. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M globální minimum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) f( x) pro všechna x M. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M ostré globální minimum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) > f( x) pro všechna x M, x x.
17 Věta. Je-li f (x) > 0, je funkce v bodě x ryze konvexní. Věta. Je-li f (x) < 0, je funkce v bodě x ryze konkávní. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) > 0, je funkce f(x) v bodě x D rostoucí. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) < 0, je funkce f(x) v bodě x D klesající. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) = 0 a f (x) > 0, má funkce f(x) v bodě x lokální minimum. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) = 0 a f (x) < 0, má funkce f(x) v bodě x lokální maximum.
18 Příklad. Najděte extrémy funkce f(x) = 3x 4 16x 3 6x x. Řešení. Funkce a její derivace mají tvar f(x) = 3x 4 16x 3 6x x f (x) = 12x 3 48x 2 12x + 48 f (x) = 36x 2 96x 12 V bodech, kde se nachází extrém, musí být f (x) = 0. Rovnice f (x) = 12x 3 48x 2 12x + 48 = 0 má tři kořeny x 1 = 1, x 2 = 1 a x 3 = 4.
19 Dále je třeba určit, kde je f (x) < 0 a kde f (x) > 0. Řešením kvadratické rovnice f (x) = 36x 2 96x 12 = 0 vycházejí kořeny x 4 = 0, a x 5 = 2, Intervaly konvexity a konkavity jsou sestaveny do tabulky: x ( ; 0, 199) f (x) > 0 f(x) je konvexní x ( 0, 199; 2, 786) f (x) < 0 f(x) je konkávní x (2, 786; ) f (x) > 0 f(x) je konvexní
20 Pro stacionární body platí: x 1 = 1 f(x 1 ) = 35 f (x 1 ) > 0 lokální minimum x 2 = 1 f(x 2 ) = 29 f (x 2 ) < 0 lokální maximum x 3 = 4 f(x 3 ) = 160 f (x 3 ) > 0 globální minimum Na následujícím obrázku je pro názornost vynesen graf funkce f(x) černě, f (x) červeně a f (x) zeleně.
21
22 Kvadratické programování Motivace Necht je dána kvadratická funkce f(x) = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R jsou dané konstanty a platí, že a 0. Kvadratická funkce má jeden stacionární bod f (x) = 2ax + b = 0 x = b 2a Z druhé derivace f (x) = a plyne, že je funkce bud všude konvexní, nebo všude konkávní. Kvadratická funkce má tedy jeden extrém, který lze snadno nalézt. Jeho existence je navíc zaručena.
23 Příklad. Kmitání konstrukcí se spojitě rozloženou hmotou je popsáno pomocí frekvenčních funkcí. Jedna z nich má tvar cosh(x) sin(x) sinh(x) cos(x) F 2 (x) = x cosh(x) cos(x) 1 Graf této frekvenční funkce a detail v okolí bodu x = 4, 73 jsou na následujících obrázcích. U obecné funkce není zaručeno, že má extrém(y) a její tvar může být velmi komplikovaný.
24
25
26 Kvadratická funkce mnoha proměnných Necht je dána kvadratická funkce f a počet proměnných je n. Jednotlivé proměnné x 1, x 2,..., x n lze uspořádat do vektoru x. Funkce má tvar f(x) = 1 2 a 11x a 12x 1 x a 1nx 1 x n a 21x 2 x a 22x a 2nx 2 x n a n1x n x a n2x n x a nnx 2 n x 1 b 1 x 2 b 2... x n b n + c
27 Poloviny u koeficientů a ij a znaménka minus před koeficienty b i byly zvoleny s ohledem na další zápis. Pro obecnou kvadratickou funkci n proměnných lze vždy určit a ij a b i tak, že funkce má výše uvedený tvar. Funkci f(x) lze zapsat pomocí matice A R n n a vektoru b R n takto f(x) = 1 2 xt Ax x T b + c Konstanta c nemá vliv na polohu extrému, jen na jeho velikost. V dalších úvahách se bude předpokládat c = 0. Definice. Matice A R n n se nazývá pozitivně definitní právě tehdy, když pro libovolný nenulový vektor x R n platí x T Ax > 0.
28 Poznámka. Velmi mnoho inženýrských úloh lze zformulovat tak, že se hledá minimum kvadratické funkce n proměnných s pozitivně definitní maticí. Věta. Matice A R n n je pozitivně definitní právě tehdy, když jsou její všechna vlastní čísla kladná. Věta. Necht je matice A symetrická a pozitivně definitní. Funkce f(x) nabývá svého minima v bodě x právě tehdy, když x je řešením soustavy lineárních algebraických rovnic A x = b. Důkaz. Necht funkce f(x) nabývá svého minima v x. Pro libovolný vektor v a skalární parametr s pak platí f( x + sv) = 1 2 xt A x + sv T A x + s2 2 vt Av x T b sv T b
29 Vzhledem k tomu, že x i v jsou dané vektory, jedinou proměnnou je s a minimum nastává pro df( x + sv) ds = x T Av + sv T Av v T b = 0 s uvážením, že podle předpokladu je minimum v x, platí s = 0, což vede na výraz df( x + sv) ds = x T Av v T b = v T (A x b) = 0 Vzhledem k libovolnosti v musí být A x = b.
30 Necht x splňuje rovnici A x = b. Funkci f(x) lze psát f(x) = 1 2 xt Ax x T A x = = 1 2 xt Ax x T A x xt A x 1 2 xt A x = = 1 2 (x x)t A(x x) 1 2 xt A x Protože je matice A pozitivně definitní, minimum f(x) nastává pro x = x a má velikost 1 2 xt A x. Poznámka. Kvadratická funkce f(x) může představovat mechanickou energii a vektor x posunutí vybraných bodů pružného tělesa. Těleso je v rovnováze právě tehdy, když mechanická energie nabývá minimální hodnoty.
31 Gradient kvadratické funkce f(x) má tvar g(x) = df(x) dx a reziduum má tvar = Ax b r(x) = b Ax = g(x) V numericých metodách se budou používat aproximace x i vektoru x, který minimalizuje funci f(x). Chyba je definována e i = x x i Vztah mezi reziduem a chybou je r i = b Ax i = Ae i
32 Metoda největšího spádu Necht je dána kvadratická funkce n proměnných ve tvaru f(x) = 1 2 xt Ax x T b kde A R n n je symetrická pozitivně definitní matice a vektor b R n. Hledání minima lze provést metodou největšího spádu, ve které se hledá nejmenší hodnota ve směru gradientu.
33 Necht je známa aproximace x k polohy extrému x v k-tém kroku minimalizace. Nová aproximace se předpokládá ve tvaru x k+1 = x k + α k r k, kde r k je vektor rezidua (vektor opačný ke gradientu g k ) r k = b Ax k = g k. Dosazením x k+1 do funkce f(x) vychází f(x k+1 ) = 1 2 xt k Ax k α k x T k Ar k rt k Ar k x T k b α k r T k b, což je kvadratická funkce jedné proměnné α k.
34 Její minimum se určí z podmínky df(α k ) dα k = r T k Ax k + α k r T k Ar k r T k b = 0, odkud vychází α k = rt k b rt k Ax k r T k Ar k = rt k r k r T k Ar. k Reziduum v k + 1-ním kroku má tvar r k+1 = b Ax k+1 = b Ax k α k Ar k = r k αar k
35 Algoritmus metody největšího spádu volba počáteční aproximace x 0 výpočet počátečního rezidua r 0 = b Ax 0 iterace k = 0, 1,... α k = rt k r k r T k Ar k x k+1 = x k + α k r k r k+1 = r k α k Ar k pokud r k+1 > ε, další krok, jinak konec
36 Příklad. Soustava rovnic x y = 2 1 má řešení x y = 3 4
37
38
39
40 Rovnice elipsy má tvar Rovnice elipsy 1 2 a 11x 2 + a 12 xy a 22y 2 b 1 x b 2 y + c = 0, jsou-li hlavní poloosy rovnoběžné s osami souřadného systému, platí (x x s ) 2 a 2 + (y y s) 2 b 2 1 = 0, kde (x s, y s ) je střed elipsy a a, b jsou velikosti hlavních poloos. Transformace souřadnic x = x cos ϕ y sin ϕ + x s y = x sin ϕ + y cos ϕ + y s
41 dosazením transformačních vztahů do obecného tvaru elipsy vychází u smíšeného členu x y koeficient 1 2 a 11 sin 2ϕ + a 12 cos 2ϕ a 22 sin 2ϕ má-li být smíšený člen vynulován, musí být tg2ϕ = 2a 12 a 11 a 22 je-li čárkovaný souřadnicový systém pootočen vůči původnímu o úhel ϕ, má elipsa tvar 1 2 a 11x a 22y 2 b 1x b 2y + c = 0,
42 nyní je možné doplnit výrazy na čtverec (x x s) 2 a 2 + (y y s) 2 b 2 1 = 0, Příklad. Najděte extrém funkce f(x, y) = x 2 xy y2 2x y Řešení. Jedná se o kvadratickou funkci dvou proměnných. Porovnáním s obecným tvarem kvdaratické funkce n proměnných
43 vychází a 11 = 2 a 12 = a 21 = 1 a 22 = 1 b 1 = 2 b 2 = 1 Řešením soustavy Ax = b vychází x = 3 a y = 4. To jsou souřadnice bodu, v němž má zadaná kvadratická funkce extrém. Dosazením vychází f(3, 4) = 5. Grafem funkce f(x, y) = z = x 2 xy y2 2x y
44 je nerotační paraboloid. Transformací souřadného systému do hlavních os lze získat polohu a velikost extrému. Souřadný systém je třeba otočit o úhel tg2ϕ = 2a 12 a 11 a 22 = Po transformaci vychází f(x, y ) = = 2 ϕ = 0, rad ( 1 2 a 11 cos 2 ϕ + a 12 sin ϕ cos ϕ + 1 ) 2 a 22 sin 2 ϕ x 2 + ( 1 2 a 11 sin 2 ϕ a 12 sin ϕ cos ϕ + 1 ) 2 a 22 cos 2 ϕ y ( b 1 cos ϕ b 2 ϕ)x + (b 1 sin ϕ b 2 cos ϕ)y
45 číselně pak f(x, y ) = 1, x 2 + 0, y 2 1, x 1, y doplnění na čtverec f(x, y ) = 1, (x 0, ) , (y 4, ) 2 5 souřadnice středu elipsy v čárkovaném souřadném systému x s = 0, y s = 4,
46 v původním systému x s = x s cos ϕ y s sin ϕ = 3 y s = x s sin ϕ + y s cos ϕ = 4 dalšími úpravami vychází f(x, y ) = (x 0, ) 2 1, Poloosy elipsy jsou a = 1, b = 5, (y 4, ) 2 5,
47 Kvadriky v R n Obecná kvadrika má tvar f(x) = 1 2 xt Ax x T b + c = 0 Problém vlastních čísel Av = λv λ je vlastní číslo, v 0 je vlastní vektor Věta. Pro dvě různá vlastní čísla λ i a λ j platí v T i v j = 0. Důkaz. Necht je problém vlastních čísel zapsán pro i-tý a j-tý vektor Av i = λ i v i Av j = λ j v j
48 První problém lze zleva vynásobit vektorem v T j, druhý problém lze zleva vynásobit vektorem v T i. Odečtením obou rovnic vychází v T j Av i v T i Av j = 0 = λ i v T j v i λ j v T i v j = (λ i λ j )v T j v i Protože platí λ i λ j a zároveň (λ i λ j )v T j v i = 0, musí být v T j v i = 0. Vlastní vektory dvou různých vlastních čísel jsou ortogonální. transformace souřadnic x = n v i y i = V y i=1
49 Věta. Necht je dána matice A, jejíž všechna vlastní čísla jsou nenulová a vzájemně různá. Inverzní matici A 1 lze psát ve tvaru A 1 = n i+1 1 λ i v i v T i. Důkaz. Necht je dána soustava rovnic ve tvaru Ax = b. Použitím transformace x = n i=1 v iy i = V y vychází n n Ax = Av i y i = λ i v i y i = b i=1 i=1 Vynásobením předcházející rovnice vlastním vektorem v T j, vyjde y j n λ i v T j v i y i = δ ij λ i y i = λ j y j = v T j b y j = 1 v T j b, λ j i=1 protože vlastní tvary jsou ortogonální. Dosazením y j zpět do
50 transformačních vztahů vychází x = n v i y i = i=1 n i=1 1 λ i v i v T i b = A 1 b. Porovnáním dvou stran poslední rovnosti se získá výsledek A 1 = n i=1 1 λ i v i v T i.
51 Dosazením transformace x = V y do f(x) vychází f(y) = 1 2 yt V T AV y y T V T b + c = = 1 2 yt Λy y T b + c = n ( ) 1 = 2 λ iyi 2 y i bi + c = i=1 n λ i = yi 2 2 b ( i bi y i + 2 λ i = i=1 n i=1 λ i 2 ( y i b i λ i ) 2 n i=1 λ i ) 2 b i 2 2λ i + c ( bi λ i ) 2 + c =
52 pomocné úpravy b i = v T i b n i=1 b i 2 = b T v i v T i b 2 b i n 1 = b T v i v T i b = 1 2λ i 2λ i 2 bt A 1 b i=1 označení f min = n i=1 b i 2 2λ i + c = 1 2 bt A 1 b + c ˆb i = b i λ i ˆb = Λ 1 b
53 s novým označením má funkce tvar f(y) = 1 2 (y ˆb) T Λ(y ˆb) + f min
54 f(x, y) = x 2 xy y2 2x y Řešení. Porovnáním s obecným tvarem kvdaratické funkce n proměnných vychází a 11 = 2 a 12 = a 21 = 1 a 22 = 1 b 1 = 2 b 2 = 1
55 Problém vlastních čísel Av = λv (A λi)v = 0 Pro zadaný problém platí 2 λ λ = λ2 3λ + 1 = 0 Řešením rovnice jsou kořeny λ 1 = 0, a λ 2 = 2, Dosazením vlastních čísel do soustavy vychází 2 λ λ 1 ˆv 1(1) ˆv 2(1) = 0 0
56 Jedna ze složek se volí, např. ˆv 2(1) = 1, druhá se dopočítá ˆv 1(1) = 0, λ λ 2 ˆv 1(2) ˆv 2(2) = 0 0 Jedna ze složek se volí, např. ˆv 2(2) = 1, druhá se dopočítá ˆv 1(2) = 1, Normováním vektorů se získají normované vlastní vektory v 1 = v 1(1) v 2(1) = 0, ,
57 v 2 = v 1(2) v 2(2) = 0, , b1 = v T 1 b = 1, b2 = v T 2 b = 1, ˆb1 = b 1 λ 1 = 4, ˆb2 = b 2 λ 2 = 0,
58 funkce má po transformaci souřadnic tvar f(y) = 2 i=1 λ i 2 ( y i b i λ i ) 2 f min = = 0, (y 1 4, ) , (y 2 0, ) 2 5 který je totožný s tvarem získaným dříve
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDiferenciální počet funkcí jedné proměnné
Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)
VíceMatematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a
Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceAplikovaná numerická matematika
Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21
Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VícePavlína Matysová. 5. listopadu 2018
Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceMatematika B 2. Úvodní informace
Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno
VíceAplikovaná numerická matematika - ANM
Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových
VíceAPLIKACE. Poznámky Otázky
APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy
VícePříklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )
Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceShodnostní Helmertova transformace
Shodnostní Helmertova transformace Toto pojednání ukazuje, jak lze určit transformační koeficienty Helmertovy transformace za požadavku, aby představovaly shodnostní transformaci. Pro jednoduchost budeme
VíceDRN: Kořeny funkce numericky
DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
Více9.1 Definice a rovnice kuželoseček
9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální
Více2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC
.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VíceFunkce jedné proměnné
Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf
Více22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceKapitola 4: Průběh funkce 1/11
Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
Více1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11
LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Vícef(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =
Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
VíceIII. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).
III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,
VíceDnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceKapitola 5. SLAR - gradientní metody
23.3.2o7 Kapitola 5. SLAR - gradientní metody Metody na řešení SLAR přímé (GEM, metoda LU-rozkladu) iterační (Jacobiova m., Gauss-Seidelova m., metoda SOR) gradientní X X Motivace Uvažujme kvadratickou
VícePrůvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceDerivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff
Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
VíceJméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A
æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
Více