Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON)"

Transkript

1 Nelineární optimalizace a numerické metody (MI NON) Magisterský program: Informatika Obor: Teoretická informatika Katedra: Katedra teoretické informatiky Jaroslav Kruis Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

2 Úvod optimalizační metody = extremalizační metody = výpočty extrémů Obecně: Hledají se extrémy účelové (cílové, cenové) funkce s eventuálními omezeními (podmínky nezápornosti). Náš cíl: porozumění a schopnost spolupráce s ostatními inženýry řešícími minimalizaci funkcionálů numerickými metodami (mechanická rovnováha, chemická rovnováha, aj.). Schopnost vylepšit jejich počítačové programy.

3 Příklady úloh vedoucích k výpočtu extrémů funkcí: minimalizace funkcionálů numerickými metodami (mechanická rovnováha, chemická rovnováha, aj.) regresní výpočty (např. metoda nejmenších čtverců) optimalizace výrobních programů (minimalizace nákladů, maximalizace zisku, aj.) dopravní problémy (minimalizace nákladů, minimalizace přepravní doby, apod.)

4 Motivace reálné inženýrské úlohy - modely jsou třírozměrné, uvažuje se několik fyzikálních jevů (multiphysics problem), numerické metody - přesná řešení nejsou k dispozici, použití numerických metod je nutností, numerické metody bez počítačů jsou nepoužitelné, paralelní počítače - rozsáhlé úlohy se nevejdou do paměti jednoprocesorového počítače a jejich řešení trvá nepřijatelnou dobu, paralelní počítače nabízejí alternativu.

5

6

7 Nelinea rnı optimalizace a numericke metody

8

9

10 Optimalizace extrémy funkcí lokální extrémy globální extrémy vázané extrémy

11 Funkce, extrémy funkcí B. Budinský, J. Charvát. Matematika I. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, B. Budinský, J. Charvát. Matematika II. SNTL - Nakladatelství technické literatury, Praha, ISBN Karel Rektorys a spolupracovníci. Přehled užité matematiky I. Nakladatelství Prometheus, Praha, 7. vydání, ISBN

12 Funkce, derivace Definice. Necht jsou dány množiny D R a H R. Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení z D do H. D se nazývá definiční obor, H se nazývá obor hodnot. Poznámka. V celém následujícím textu se bude reálná funkce jedné reálné proměnné označovat zkráceně jako funkce jedné proměnné. Definice. Necht je dána funkce f(x). Limita df(x) dx = lim h 0 f(x + h) f(x) h se nazývá derivace funkce f(x) v bodě x. Někdy bude použito označení f (x).

13 Derivace některých funkcí f(x) f (x) f(x) f (x) x n nx n 1 a x a x ln a sin x cos x log a x 1 x ln a cos x sin x Definice. Bod x D se nazývá stacionární právě tehdy, když platí f (x) = 0.

14 Konvexní a konkávní funkce Definice. Funkce f(x) se nazývá konvexní na množině M D právě tehdy, když pro každé dva body x 1, x 2 M, x 1 x 2, a α (0, 1), platí f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Platí-li f(α x 1 + (1 α)x 2 ) < αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ), funkce f(x) se nazývá ryze konvexní. Definice. Funkce f(x) se nazývá konkávní na množině M D právě tehdy, když pro každé dva body x 1, x 2 M, x 1 x 2, a α (0, 1), platí f(αx 1 + (1 α)x 2 ) αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ). Platí-li f(αx 1 + (1 α)x 2 ) > αf(x 1 ) + (1 α)f(x 2 ), funkce f(x) se nazývá ryze konkávní.

15 Lokální extrémy Definice. Funkce f(x) má v bodě x D lokální maximum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D ostré lokální maximum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) < f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D lokální minimum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) f( x). Definice. Funkce f(x) má v bodě x D ostré lokální minimum právě tehdy, když existuje neúplné okolí O ( x) bodu x tak, že pro každé x O ( x) platí f(x) > f( x).

16 Globální extrémy Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M globální maximum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) f( x) pro všechna x M. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M ostré globální maximum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) < f( x) pro všechna x M, x x. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M globální minimum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) f( x) pro všechna x M. Definice. Necht je dána množina M D. Funkce f(x) má v bodě x M ostré globální minimum vzhledem k M právě tehdy, když platí f(x) > f( x) pro všechna x M, x x.

17 Věta. Je-li f (x) > 0, je funkce v bodě x ryze konvexní. Věta. Je-li f (x) < 0, je funkce v bodě x ryze konkávní. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) > 0, je funkce f(x) v bodě x D rostoucí. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) < 0, je funkce f(x) v bodě x D klesající. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) = 0 a f (x) > 0, má funkce f(x) v bodě x lokální minimum. Věta. Jestliže v bodě x D platí f (x) = 0 a f (x) < 0, má funkce f(x) v bodě x lokální maximum.

18 Příklad. Najděte extrémy funkce f(x) = 3x 4 16x 3 6x x. Řešení. Funkce a její derivace mají tvar f(x) = 3x 4 16x 3 6x x f (x) = 12x 3 48x 2 12x + 48 f (x) = 36x 2 96x 12 V bodech, kde se nachází extrém, musí být f (x) = 0. Rovnice f (x) = 12x 3 48x 2 12x + 48 = 0 má tři kořeny x 1 = 1, x 2 = 1 a x 3 = 4.

19 Dále je třeba určit, kde je f (x) < 0 a kde f (x) > 0. Řešením kvadratické rovnice f (x) = 36x 2 96x 12 = 0 vycházejí kořeny x 4 = 0, a x 5 = 2, Intervaly konvexity a konkavity jsou sestaveny do tabulky: x ( ; 0, 199) f (x) > 0 f(x) je konvexní x ( 0, 199; 2, 786) f (x) < 0 f(x) je konkávní x (2, 786; ) f (x) > 0 f(x) je konvexní

20 Pro stacionární body platí: x 1 = 1 f(x 1 ) = 35 f (x 1 ) > 0 lokální minimum x 2 = 1 f(x 2 ) = 29 f (x 2 ) < 0 lokální maximum x 3 = 4 f(x 3 ) = 160 f (x 3 ) > 0 globální minimum Na následujícím obrázku je pro názornost vynesen graf funkce f(x) černě, f (x) červeně a f (x) zeleně.

21

22 Kvadratické programování Motivace Necht je dána kvadratická funkce f(x) = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R jsou dané konstanty a platí, že a 0. Kvadratická funkce má jeden stacionární bod f (x) = 2ax + b = 0 x = b 2a Z druhé derivace f (x) = a plyne, že je funkce bud všude konvexní, nebo všude konkávní. Kvadratická funkce má tedy jeden extrém, který lze snadno nalézt. Jeho existence je navíc zaručena.

23 Příklad. Kmitání konstrukcí se spojitě rozloženou hmotou je popsáno pomocí frekvenčních funkcí. Jedna z nich má tvar cosh(x) sin(x) sinh(x) cos(x) F 2 (x) = x cosh(x) cos(x) 1 Graf této frekvenční funkce a detail v okolí bodu x = 4, 73 jsou na následujících obrázcích. U obecné funkce není zaručeno, že má extrém(y) a její tvar může být velmi komplikovaný.

24

25

26 Kvadratická funkce mnoha proměnných Necht je dána kvadratická funkce f a počet proměnných je n. Jednotlivé proměnné x 1, x 2,..., x n lze uspořádat do vektoru x. Funkce má tvar f(x) = 1 2 a 11x a 12x 1 x a 1nx 1 x n a 21x 2 x a 22x a 2nx 2 x n a n1x n x a n2x n x a nnx 2 n x 1 b 1 x 2 b 2... x n b n + c

27 Poloviny u koeficientů a ij a znaménka minus před koeficienty b i byly zvoleny s ohledem na další zápis. Pro obecnou kvadratickou funkci n proměnných lze vždy určit a ij a b i tak, že funkce má výše uvedený tvar. Funkci f(x) lze zapsat pomocí matice A R n n a vektoru b R n takto f(x) = 1 2 xt Ax x T b + c Konstanta c nemá vliv na polohu extrému, jen na jeho velikost. V dalších úvahách se bude předpokládat c = 0. Definice. Matice A R n n se nazývá pozitivně definitní právě tehdy, když pro libovolný nenulový vektor x R n platí x T Ax > 0.

28 Poznámka. Velmi mnoho inženýrských úloh lze zformulovat tak, že se hledá minimum kvadratické funkce n proměnných s pozitivně definitní maticí. Věta. Matice A R n n je pozitivně definitní právě tehdy, když jsou její všechna vlastní čísla kladná. Věta. Necht je matice A symetrická a pozitivně definitní. Funkce f(x) nabývá svého minima v bodě x právě tehdy, když x je řešením soustavy lineárních algebraických rovnic A x = b. Důkaz. Necht funkce f(x) nabývá svého minima v x. Pro libovolný vektor v a skalární parametr s pak platí f( x + sv) = 1 2 xt A x + sv T A x + s2 2 vt Av x T b sv T b

29 Vzhledem k tomu, že x i v jsou dané vektory, jedinou proměnnou je s a minimum nastává pro df( x + sv) ds = x T Av + sv T Av v T b = 0 s uvážením, že podle předpokladu je minimum v x, platí s = 0, což vede na výraz df( x + sv) ds = x T Av v T b = v T (A x b) = 0 Vzhledem k libovolnosti v musí být A x = b.

30 Necht x splňuje rovnici A x = b. Funkci f(x) lze psát f(x) = 1 2 xt Ax x T A x = = 1 2 xt Ax x T A x xt A x 1 2 xt A x = = 1 2 (x x)t A(x x) 1 2 xt A x Protože je matice A pozitivně definitní, minimum f(x) nastává pro x = x a má velikost 1 2 xt A x. Poznámka. Kvadratická funkce f(x) může představovat mechanickou energii a vektor x posunutí vybraných bodů pružného tělesa. Těleso je v rovnováze právě tehdy, když mechanická energie nabývá minimální hodnoty.

31 Gradient kvadratické funkce f(x) má tvar g(x) = df(x) dx a reziduum má tvar = Ax b r(x) = b Ax = g(x) V numericých metodách se budou používat aproximace x i vektoru x, který minimalizuje funci f(x). Chyba je definována e i = x x i Vztah mezi reziduem a chybou je r i = b Ax i = Ae i

32 Metoda největšího spádu Necht je dána kvadratická funkce n proměnných ve tvaru f(x) = 1 2 xt Ax x T b kde A R n n je symetrická pozitivně definitní matice a vektor b R n. Hledání minima lze provést metodou největšího spádu, ve které se hledá nejmenší hodnota ve směru gradientu.

33 Necht je známa aproximace x k polohy extrému x v k-tém kroku minimalizace. Nová aproximace se předpokládá ve tvaru x k+1 = x k + α k r k, kde r k je vektor rezidua (vektor opačný ke gradientu g k ) r k = b Ax k = g k. Dosazením x k+1 do funkce f(x) vychází f(x k+1 ) = 1 2 xt k Ax k α k x T k Ar k rt k Ar k x T k b α k r T k b, což je kvadratická funkce jedné proměnné α k.

34 Její minimum se určí z podmínky df(α k ) dα k = r T k Ax k + α k r T k Ar k r T k b = 0, odkud vychází α k = rt k b rt k Ax k r T k Ar k = rt k r k r T k Ar. k Reziduum v k + 1-ním kroku má tvar r k+1 = b Ax k+1 = b Ax k α k Ar k = r k αar k

35 Algoritmus metody největšího spádu volba počáteční aproximace x 0 výpočet počátečního rezidua r 0 = b Ax 0 iterace k = 0, 1,... α k = rt k r k r T k Ar k x k+1 = x k + α k r k r k+1 = r k α k Ar k pokud r k+1 > ε, další krok, jinak konec

36 Příklad. Soustava rovnic x y = 2 1 má řešení x y = 3 4

37

38

39

40 Rovnice elipsy má tvar Rovnice elipsy 1 2 a 11x 2 + a 12 xy a 22y 2 b 1 x b 2 y + c = 0, jsou-li hlavní poloosy rovnoběžné s osami souřadného systému, platí (x x s ) 2 a 2 + (y y s) 2 b 2 1 = 0, kde (x s, y s ) je střed elipsy a a, b jsou velikosti hlavních poloos. Transformace souřadnic x = x cos ϕ y sin ϕ + x s y = x sin ϕ + y cos ϕ + y s

41 dosazením transformačních vztahů do obecného tvaru elipsy vychází u smíšeného členu x y koeficient 1 2 a 11 sin 2ϕ + a 12 cos 2ϕ a 22 sin 2ϕ má-li být smíšený člen vynulován, musí být tg2ϕ = 2a 12 a 11 a 22 je-li čárkovaný souřadnicový systém pootočen vůči původnímu o úhel ϕ, má elipsa tvar 1 2 a 11x a 22y 2 b 1x b 2y + c = 0,

42 nyní je možné doplnit výrazy na čtverec (x x s) 2 a 2 + (y y s) 2 b 2 1 = 0, Příklad. Najděte extrém funkce f(x, y) = x 2 xy y2 2x y Řešení. Jedná se o kvadratickou funkci dvou proměnných. Porovnáním s obecným tvarem kvdaratické funkce n proměnných

43 vychází a 11 = 2 a 12 = a 21 = 1 a 22 = 1 b 1 = 2 b 2 = 1 Řešením soustavy Ax = b vychází x = 3 a y = 4. To jsou souřadnice bodu, v němž má zadaná kvadratická funkce extrém. Dosazením vychází f(3, 4) = 5. Grafem funkce f(x, y) = z = x 2 xy y2 2x y

44 je nerotační paraboloid. Transformací souřadného systému do hlavních os lze získat polohu a velikost extrému. Souřadný systém je třeba otočit o úhel tg2ϕ = 2a 12 a 11 a 22 = Po transformaci vychází f(x, y ) = = 2 ϕ = 0, rad ( 1 2 a 11 cos 2 ϕ + a 12 sin ϕ cos ϕ + 1 ) 2 a 22 sin 2 ϕ x 2 + ( 1 2 a 11 sin 2 ϕ a 12 sin ϕ cos ϕ + 1 ) 2 a 22 cos 2 ϕ y ( b 1 cos ϕ b 2 ϕ)x + (b 1 sin ϕ b 2 cos ϕ)y

45 číselně pak f(x, y ) = 1, x 2 + 0, y 2 1, x 1, y doplnění na čtverec f(x, y ) = 1, (x 0, ) , (y 4, ) 2 5 souřadnice středu elipsy v čárkovaném souřadném systému x s = 0, y s = 4,

46 v původním systému x s = x s cos ϕ y s sin ϕ = 3 y s = x s sin ϕ + y s cos ϕ = 4 dalšími úpravami vychází f(x, y ) = (x 0, ) 2 1, Poloosy elipsy jsou a = 1, b = 5, (y 4, ) 2 5,

47 Kvadriky v R n Obecná kvadrika má tvar f(x) = 1 2 xt Ax x T b + c = 0 Problém vlastních čísel Av = λv λ je vlastní číslo, v 0 je vlastní vektor Věta. Pro dvě různá vlastní čísla λ i a λ j platí v T i v j = 0. Důkaz. Necht je problém vlastních čísel zapsán pro i-tý a j-tý vektor Av i = λ i v i Av j = λ j v j

48 První problém lze zleva vynásobit vektorem v T j, druhý problém lze zleva vynásobit vektorem v T i. Odečtením obou rovnic vychází v T j Av i v T i Av j = 0 = λ i v T j v i λ j v T i v j = (λ i λ j )v T j v i Protože platí λ i λ j a zároveň (λ i λ j )v T j v i = 0, musí být v T j v i = 0. Vlastní vektory dvou různých vlastních čísel jsou ortogonální. transformace souřadnic x = n v i y i = V y i=1

49 Věta. Necht je dána matice A, jejíž všechna vlastní čísla jsou nenulová a vzájemně různá. Inverzní matici A 1 lze psát ve tvaru A 1 = n i+1 1 λ i v i v T i. Důkaz. Necht je dána soustava rovnic ve tvaru Ax = b. Použitím transformace x = n i=1 v iy i = V y vychází n n Ax = Av i y i = λ i v i y i = b i=1 i=1 Vynásobením předcházející rovnice vlastním vektorem v T j, vyjde y j n λ i v T j v i y i = δ ij λ i y i = λ j y j = v T j b y j = 1 v T j b, λ j i=1 protože vlastní tvary jsou ortogonální. Dosazením y j zpět do

50 transformačních vztahů vychází x = n v i y i = i=1 n i=1 1 λ i v i v T i b = A 1 b. Porovnáním dvou stran poslední rovnosti se získá výsledek A 1 = n i=1 1 λ i v i v T i.

51 Dosazením transformace x = V y do f(x) vychází f(y) = 1 2 yt V T AV y y T V T b + c = = 1 2 yt Λy y T b + c = n ( ) 1 = 2 λ iyi 2 y i bi + c = i=1 n λ i = yi 2 2 b ( i bi y i + 2 λ i = i=1 n i=1 λ i 2 ( y i b i λ i ) 2 n i=1 λ i ) 2 b i 2 2λ i + c ( bi λ i ) 2 + c =

52 pomocné úpravy b i = v T i b n i=1 b i 2 = b T v i v T i b 2 b i n 1 = b T v i v T i b = 1 2λ i 2λ i 2 bt A 1 b i=1 označení f min = n i=1 b i 2 2λ i + c = 1 2 bt A 1 b + c ˆb i = b i λ i ˆb = Λ 1 b

53 s novým označením má funkce tvar f(y) = 1 2 (y ˆb) T Λ(y ˆb) + f min

54 f(x, y) = x 2 xy y2 2x y Řešení. Porovnáním s obecným tvarem kvdaratické funkce n proměnných vychází a 11 = 2 a 12 = a 21 = 1 a 22 = 1 b 1 = 2 b 2 = 1

55 Problém vlastních čísel Av = λv (A λi)v = 0 Pro zadaný problém platí 2 λ λ = λ2 3λ + 1 = 0 Řešením rovnice jsou kořeny λ 1 = 0, a λ 2 = 2, Dosazením vlastních čísel do soustavy vychází 2 λ λ 1 ˆv 1(1) ˆv 2(1) = 0 0

56 Jedna ze složek se volí, např. ˆv 2(1) = 1, druhá se dopočítá ˆv 1(1) = 0, λ λ 2 ˆv 1(2) ˆv 2(2) = 0 0 Jedna ze složek se volí, např. ˆv 2(2) = 1, druhá se dopočítá ˆv 1(2) = 1, Normováním vektorů se získají normované vlastní vektory v 1 = v 1(1) v 2(1) = 0, ,

57 v 2 = v 1(2) v 2(2) = 0, , b1 = v T 1 b = 1, b2 = v T 2 b = 1, ˆb1 = b 1 λ 1 = 4, ˆb2 = b 2 λ 2 = 0,

58 funkce má po transformaci souřadnic tvar f(y) = 2 i=1 λ i 2 ( y i b i λ i ) 2 f min = = 0, (y 1 4, ) , (y 2 0, ) 2 5 který je totožný s tvarem získaným dříve

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2014 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 4 Studijní program: Studijní obory: Příklad (5 bodů) Spočtěte Matematika MA, MMIB, MMFT, MSTR, NVM, PMSE, MDU Varianta A M xy dxdy, kde M = {(x, y) R

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,

Více

Základní spádové metody

Základní spádové metody Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou

Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou 1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Aplikovaná numerická matematika

Aplikovaná numerická matematika Aplikovaná numerická matematika 6. Metoda nejmenších čtverců doc. Ing. Róbert Lórencz, CSc. České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových systémů Příprava studijních

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace

Více

7.1 Extrémy a monotonie

7.1 Extrémy a monotonie KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s

Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování

Funkce a základní pojmy popisující jejich chování a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny

Více

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení

Drsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 9. Obsah přednášky Literatura Derivace vyšších

Více

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU

1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:

Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Průběh funkce ZVMT lesnictví 1 / 21 Průběh funkce Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Matematika V. Dynamická optimalizace

Matematika V. Dynamická optimalizace Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,

Více

Matematika pro informatiky

Matematika pro informatiky (FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Matematika B 2. Úvodní informace

Matematika B 2. Úvodní informace Matematika B 2 MIROSLAV KUČERA Úvodní informace Kontakt miroslav.kucera@vsfs.czvsfs.cz Studijní středisko Kladno IT oddělení 306B (kanceláře studijního oddělení) Konzultační hodiny Po Pá 8:30 15:00 možno

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

APLIKACE. Poznámky Otázky

APLIKACE. Poznámky Otázky APLIKACE Následující úlohy lze zhruba rozdělit na geometrické, algebraické a úlohy popisující různé stavy v některých oblastech jiných věd, např. fyziky nebo ekonomie. GEOMETRICKÉ ÚLOHY Mezi typické úlohy

Více

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, )

Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce f (x) = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 2 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (0, ) Příklady na konvexnost a inflexní body. Funkce = x 3 9x. Derivace jsou f (x) = 3x 9 a f (x) = 6x. Funkce f je konvexní na intervalu (, ) a konkávní na intervalu (, ). Inflexní bod c =. 3 1 1 y = x 3 9x

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Shodnostní Helmertova transformace

Shodnostní Helmertova transformace Shodnostní Helmertova transformace Toto pojednání ukazuje, jak lze určit transformační koeficienty Helmertovy transformace za požadavku, aby představovaly shodnostní transformaci. Pro jednoduchost budeme

Více

DRN: Kořeny funkce numericky

DRN: Kořeny funkce numericky DRN: Kořeny funkce numericky Kořenem funkce f rozumíme libovolné číslo r splňující f(r) = 0. Fakt. Nechť f je funkce na intervalu a, b. Jestliže f(a) f(b) < 0 (tj. f(a) a f(b) mají opačná znaménka) a f

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

IX. Vyšetřování průběhu funkce

IX. Vyšetřování průběhu funkce IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,

Více

stránkách přednášejícího.

stránkách přednášejícího. Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH DEFINICE. Funkce f více proměnných. má v bodě C D(f) lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu C takové, že f(c) je maximální (resp. minimální

Více

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC

2.6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC .6. VLASTNÍ ČÍSLA A VEKTORY MATIC V této kapitole se dozvíte: jak jsou definována vlastní (charakteristická) čísla a vektory čtvercové matice; co je to charakteristická matice a charakteristický polynom

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad 1 (2 bodů) Studijní program: Studijní obory: Varianta A Matematika MMUI Navrhněte deterministický konečný

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Diferenciální počet VY_32_INOVACE_M0216. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura

Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Numerická matematika 1

Numerická matematika 1 Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Příklad - V následujících příkladech v případě a) pro funkce dané rovnicí zjistěte zda jsou rostoucí klesající nebo konstantní vypočítejte průsečíky grafu s osami souřadnic a graf

Více

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace 22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)

Lineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity) 4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost

Více

Numerické metody optimalizace - úvod

Numerické metody optimalizace - úvod Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu

Více

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11

Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Kapitola 4: Průběh funkce 1/11 Funkce monotonní 2/11 Věta: Necht je f spojitá a má derivaci na intervalu I. Potom platí (i) Je-li f (x) > 0 na I, je f rostoucí na I. (ii) Je-li f (x) 0 na I, je f neklesající

Více

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky

Michal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2

Více

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11

1 0 0 u 22 u 23 l 31. l u11 LU dekompozice Jedná se o rozklad matice A na dvě trojúhelníkové matice L a U, A=LU. Matice L je dolní trojúhelníková s jedničkami na diagonále a matice U je horní trojúhelníková. a a2 a3 a 2 a 22 a 23

Více

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,

= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3, V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ).

III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce. a = (x 0, y 0 ), h = (h 1, h 2 ). III. Diferenciál funkce a tečná rovina 8. Diferenciál funkce. Přírůstek funkce = f(x 0 + h 1, y 0 + h 2 ) f(x 0, y 0 ) f u (x 0, y 0 ), kde u = (h 1, h 2 ). ( ) = f(x 0 + h 1, y 0 ) f(x 0, y 0 ) x (x 0,

Více

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího. Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu   (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Extrémy Vyšší matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).

Četba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího). Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:

Více

Kapitola 5. SLAR - gradientní metody

Kapitola 5. SLAR - gradientní metody 23.3.2o7 Kapitola 5. SLAR - gradientní metody Metody na řešení SLAR přímé (GEM, metoda LU-rozkladu) iterační (Jacobiova m., Gauss-Seidelova m., metoda SOR) gradientní X X Motivace Uvažujme kvadratickou

Více

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Průvodce studiem. do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat 6. Extrémy funkcí více proměnných Průvodce studiem Hledání extrémů je v praxi často řešená úloha. Např. při cestě z bodu A do bodu B se snažíme najít nejkratší cestu. Ve firmách je snaha minimalizovat

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff

Derivace funkce. existuje limita lim 0 ) xx xx0. Jestliže tato limita neexistuje nebo pokud funkce ff Derivace funkce Derivace je základním pojmem v diferenciálním počtu. Má uplatnění tam, kde se zkoumá povaha funkčních závislostí určitých proměnných (veličin). V matematice, ekonomii, fyzice ale i v jiných

Více

Stručný přehled učiva

Stručný přehled učiva Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A

Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů... Varianta A æ æ Jméno... Cvičení den... hodina... Datum...rok... Počet listů.......... Varianta A 4 3 2 1 2 8 0 1 0 3 1. Vzhledem k reálnému parametru a diskutujte hodnost matice 2 1 0 1 2. 0 1 2 1 2 4 3 1 1 a 2.

Více

Co jsme udělali: Au = f, u D(A)

Co jsme udělali: Au = f, u D(A) Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení

Více