4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

Transkript

1 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po integraci získáme řešení rovnice ve tvaru ( ) = C / kde C je konstanta a ( 0) resp. ( 0 + ). Řešením dané úloh je funkce z daná rovnicí z ( ) = / (0 + ) Určete všechna řešení diferenciální rovnice + = 4. Nejdříve najdeme řešení homogenní rovnice + = 0. () Po separaci proměnných v rovnici () a po integraci je ( ) = Ce R C je konstanta. Řešení nehomogenní rovnice určíme ve tvaru ( ) = u( ) e () Kde u() je neznámá funkce kterou najdeme dosadíme-li z () do rovnice : u e ue + ue = 4. (4) Z rovnice (4) vpočteme u( ) = 4 e d + K u = 4e a po integraci dostaneme kde K je konstanta. Je te u( ) = e + K a všechna řešení rovnice jsou určena rovnicí ( ) = Ke + R.

2 4..44 Určete všechna řešení rovnice d + = 0 ( ). Rovnici lze zapsat ve tvaru nehomogenní lineární diferenciální rovnice prvního řádu vzhledem k proměnné : d = () za předpokladu že 0. Dosazením = 0 do rovnice ověříme že funkce ( ) = 0 R je triviálním řešením této rovnice. Netriviální řešení rovnice určíme řešením rovnice (). Nejdříve najdeme řešení homogenní rovnice d = 0. Po separaci proměnných a po integraci dostaneme ( ) = C kde C je konstanta a ( 0) resp. ( 0+ ). Řešení rovnice () určíme ve tvaru ( ) = u( ) kde u() je neznámá funkce kterou najdeme dosadíme-li do rovnice (): du +. u u = Pro 0 dostaneme podmínku du / = a te u ( ) = + K kde K je konstanta. Všechna řešení rovnice jsou určena rovnicemi ( ) = K + R ( ) = 0 R Určete integrální křivku diferenciální rovnice ( + ) = d procházející bodem M [ ]. Rovnici lze pro 0 zapsat ve tvaru d =. () Funkce ( ) = 0 je řešením rovnice ale nevhovuje dané počáteční podmínce. Rovnice () je nehomogenní lineární diferenciální rovnicí prvního řádu vzhledem k proměnné. Nejdříve najdeme řešení homogenní rovnice

3 d = 0. () Po separaci proměnných a po integraci dostaneme řešení rovnice () ve tvaru ( ) = C kde C je konstanta a ( 0) resp. ( 0+ ). Řešení rovnice () te hledáme ve tvaru ( ) = u( ). Dosadíme-li do rovnice () musí platit u + u u = a te pro 0 je u ( ) = + K kde K je konstanta. Řešení rovnice () jsou určena rovnicí ( ) = K + 0. Všechna řešení rovnice jsou určena rovnicemi ( ) = K + R a ( ) = 0 R. Z množin integrálních křivek určených těmito rovnicemi najdeme integrální křivku procházející bodem M [ ]. Musí být splněna rovnice = K + a te K = 0. Hledanou integrální křivkou rovnice je parabola s rovnicí = Určete všechna řešení diferenciální rovnice d dt = t cos + sin ( ). Rovnice dt = t cos + sin( ) () d Je nehomogenní lineární diferenciální rovnicí prvního řádu vzhledem k proměnné t. Nejdříve určíme řešení homogenní rovnice dt t cos = 0. d () Po separaci proměnných v rovnici () a po integraci dostaneme za předpokladu že t 0 řešení rovnice (): sin t ( ) = Ce kde C je konstanta a R Řešení nehomogenní rovnice () hledáme ve tvaru sin t ( ) = u( ) e přičemž musí platit sin sin u e + u cos e u cos = sin( ). Je te u = sin ( ) u( ) = e sin sin cos e sin d + K kde K je konstanta. Po integraci dostaneme

4 u( ) = sin ( + sin ) e + K. Řešení rovnice je určeno implicitně rovnicí t = Ke sin ( + sin ) Určete řešení z() diferenciální rovnice ( ) + = Které vhovuje počáteční podmínce z ( ) = /. Funkce p ( ) = = q( ) jsou definované a spojité na intervalu + ) D je zajištěna eistence a jednoznačnost řeše- leží v oblasti D eistuje právě v libovolném bodě oblasti = ( 0 + ) ( + ) ní Cauchov úloh pro rovnici. Protože bod [ / ] jedno řešení dané úloh. 0 a te Určíme nejdříve řešení rovnice. Řešíme-li homogenní rovnici + ( ) = 0 separaci proměnných a po integraci dostaneme řešení ve tvaru konstanta. Řešení rovnice hledáme ve tvaru platit / ( ) = Ce / pak po kde C je ( ) = u( ) e přičemž pro funkci u() musí u e / u / / ( ) e + u( ) e = neboli u = e /. Po integraci získáme funkci u ve tvaru u( ) = 9 / ( ) e + K kde K je konstanta. Všechna řešení rovnice jsou určena rovnicí ( ) = Ke / ). Pro funkci z která je řešením dané Cauchov úloh musí te platit z( ) = Ke z = Ke / / = z čehož plne že K = 0. Řešením dané úloh je funkce

5 9 z ( ) = 0 + ) Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici e = s počáteční podmínkou z( 0) = 4. Funkce p ( ) = q( ) = e jsou definované a spojité na intervalu ( + ). Je te zajištěna eistence a jednoznačnost řešení Cauchov úloh pro libovolnou počáteční podmínku. Řešení rovnice budeme hledat ve tvaru ( ) = h( ) g( ). Dosadíme-li za a za = h g + hg do rovnice dostaneme diferenciální rovnici h g + hg hg = e neboli ( g g) e. h g + h = () Funkci g zvolíme tak ab druhý člen na levé straně rovnice () bl roven nule tj. tak ab splňovala rovnici g g = 0. () Rovnice() je diferenciální rovnicí se separovatelnými proměnnými jejímž řešením je např. funkce g ( ) = e (zvolili jsme integrační konstantu rovnou jedné). Dosadíme-li g ( ) = e do rovnice () dostaneme opět diferenciální rovnici se separovatelnými proměnnými pro neznámou funkci h: h e = e. Řešením rovnice (4) jsou všechn funkce h ( ) = + C Všechna řešení rovnice jsou te určena rovnicí kde C je konstanta. ( + C) e ( ) = R. Řešení z Cauchov úloh má splňovat počáteční podmínku ( 0) = 4 z čehož plne že C = = 4. Řešení z je te určeno rovnicí ( + ) e 4 z( ) = R.

6 4..49 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = q( ) kde 0 pro ( ) q ( ) = pro + ) při počáteční podmínce z( 0) =. Snadno ověříme že řešení dané úloh eistuje a je jediné. Protože počáteční hodnota = 0 leží v intervalu ( ) určíme nejdříve v tomto intervalu řešení Cauchov úloh pro rovnici z + = 0 ( ) ( ). s počáteční podmínkou z 0 = Řešením této úloh je funkce ( ) = z e ( ). Na intervalu + ) je pravá strana rovnice definována funkcí q ( ) =. Řešíme te dále rovnici + = ( ) na intervalu + ) s počáteční podmínkou kterou získáme z podmínk spojitosti řešení z na intervalu ( + ). Označíme-li z řešení rovnice ( ) na intervalu + ) musí platit z () = z (). Protože z () = e řešíme rovnici ( ) s počáteční podmínkou z () = e. Řešení rovnice hledáme ve tvaru = hg. Po dosazení do této rovnice dostaneme ( ) ( g + g) =. h g + h Položíme-li činitele g + g rovného nule dostaneme stejnou rovnici jako je rovnice ( ). Za funkci g lze zvolit g( ) = e. Z rovnice () pak plne že h = ( ) e a te h 4 ( ) = e + C. z = e : Konstantu C určíme z počáteční podmínk ( ) z 4 () = Ce + = e. Z poslední rovnice vpočteme C = ( 4 + e ).. Pro řešení z dané úloh platí pro 4 z ( ) = z ( ) ( ) a z ( ) = z ( ) pro + ). Funkce z ( ) je te určena rovnicemi

7 ( ) z e = 4 ( 4 + e ) e + 4 pro ( ) + ) Určete řešení z( ) w( ) Cauchov úloh pro rovnici = + při počáteční podmínce: a) z ( ) = b) w ( 0) =. Postačující podmínk eistence a jednoznačnosti řešení rovnice + = () ( ) jsou splněn na oblastech = ( ) ( + ) D = ( 0) ( + ) D = ( 0 + ) ( + ). (bod [ ] D ) nikoli však v případě b) (bod [ ] D D D a Máme te zajištěnou eistenci a jednoznačnost řešení v případě a) 0 neleží v žádné oblasti D ). V případě b) úloha nemusí mít řešení. Řešení rovnice () budeme hledat ve tvaru = gh. Pak je g h + hg gh = ( + ) neboli g h + h g g = () ( + ) Funkci g zvolíme tak ab splňovala rovnici g g = 0. (4) ( + ) Po separaci proměnných v rovnici (4) je dg g = d ( +) a po integraci (zvolíme integrační konstantu rovnou jedné) získáme funkci g ( ) = /( + ). h = + / a po integraci Dosadíme-li za g do rovnice () dostaneme diferenciální rovnici ( ) je h ( ) = + ln + C kde C je konstanta a 0. Všechna řešení rovnice jsou určena rovnicí

8 C ( ) = + ( + ln ) Řešením Cauchov úloh je v případě a) funkce z ( ) = ( + ln ) ( 0+ ). + Konstantu C = jsme určili z rovnice z ( ) = C + =. V případě za b) nemá Cauchov úloha řešení neboť pro = 0 není funkce ln definována Určete řešení z( ) w( ) Cauchov úloh pro rovnici tg = cos při počáteční podmínce a) z ( 0) = ; b) w ( π ) =. Eistence a jednoznačnost řešení Cauchov úloh pro rovnici je zajištěna na oblastech π π D k = ( k ) ( k + ) ( + ) k Z. Bod [ 0 ] leží v oblasti D 0 bod [ π ] leží v oblasti D te řešení z a w eistují a jsou jediná. Řešení rovnice hledáme ve tvaru = gh přičemž platí h g + h( g gtg) =. () cos Funkci g určíme tak ab splňovala rovnici g gtg = 0. Po separaci proměnných a integraci vbereme funkci g( ) = / cos (integrační konstantu jsme zvolili rovnou jedné). Po dosazení do rovnice () dostaneme pro funkci h tuto podmínku: h = cos cos π π a te h ( ) = + C pro ( k ) ( k + ) kde k je celé číslo. Na těchto intervalech jsou definována řešení rovnice rovnicí + C ( ) =. cos

9 Z daných počátečních podmínek vpočteme hodnot konstant C : a) C = b) C = -π -. Řešení Cauchov úloh v případě a) je určeno rovnicí + π π z( ) = cos v případě b) rovnicí w( ) = π cos π π Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici ( ) + = Při počáteční podmínce z(0) =. Rovnici upravíme na tvar + = ±. () Protože v okolí bodu [ ] 0 jsou splněn postačující podmínk eistence a jednoznačnosti řešení Cauchov úloh pro rovnici () je zajištěna eistence a jednoznačnost řešení dané úloh pro rovnici. Řešení rovnice () hledáme ve tvaru = gh. Dosazením do rovnice () dostaneme podmínku pro funkce g h ve tvaru h g + h g + g =. () Funkci g zvolíme tak ab splňovala rovnici g + g 0 = ±. = (zvolili jsme integrační konstantu rovnou jedné). Dosadíme-li za g do rovnice () dostaneme rovnici Po separaci proměnných a po integraci vbereme funkci g) ) ( ) h = ( ) ( ) a po integraci rovnici h ( ) = + C ( ). ( )

10 Řešení rovnice je určeno rovnicí ( ) = + C ( ) ( ). Řešením dané Cauchov úloh je funkce z( ) = + ( ) ( ) Řešte rovnici + = e. Rovnici vnásobíme funkcí µ a dostaneme µ + µ = µ e. () Funkci µ zvolíme tak ab d d ( µ ) = µ + µ ( ) Z čehož plne že µ musí být řešením rovnice µ = µ. Můžeme te zvolit µ = e a rovnici () zapíšeme ve tvaru d d ( e ) e. = () Po integraci rovnice () dostaneme e e = + C kde C je konstanta a po vnásobení funkcí e lze řešení rovnice zapsat ve tvaru ( ) = e + Ce R Řešte rovnici + ln = ( ). Rovnici lze zapsat ve tvaru d = ln () což je lineární rovnice prvního řádu vzhledem k proměnné. Rovnici () vnásobíme funkcí µ a dostaneme ( )

11 d µ ( ) µ ( ) = µ ( ) ln. () Funkci µ ( ) zvolíme tak ab d d ( µ ( ) ) = µ ( ) µ ( ). µ musí být řešením rovnice µ = µ. Zvolíme te µ = e Pak rovnice () má tvar To znamená že ( ) d ( e ) = e ln a po integraci dostaneme ( ). e = e ln + C kde C je konstanta. Řešení rovnice je určeno implicitně rovnicí + = e e ln Ce Najděte obecné řešení rovnice cos = e sin sin kπ k + π k = Na intervalu ( ( ) )... cos Funkce p( ) = g( ) = e sin jsou na daném intervalu spojité. Rovnice bez pravé sin stran má tvar cos = 0 sin a na tomto intervalu má řešení = sin. Nahradíme-li konstantu C funkcí α ( ) máme = α sin () ( ) a dosadíme-li do obdržíme pro α ( ) diferenciální rovnici α ( ) = e dostaneme α( ) = e + C a te jejíž integrací je obecné řešení rovnice. = ( e + C) sin