Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky

Transkript

1 Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky Edurd Weyr Rozbor rovnice druhého stupně o třech proměnných. [II.] Čsopis pro pěstování mthemtiky fysiky, Vol. 16 (1887), No. 4, Persistent URL: Terms of use: Union of Czech Mthemticins nd Physicists, 1887 Institute of Mthemtics of the Acdemy of Sciences of the Czech Republic provides ccess to digitized documents strictly for personl use. Ech copy of ny prt of this document must contin these Terms of use. This pper hs been digitized, optimized for electronic delivery nd stmped with digitl signture within the project DML-CZ: The Czech Digitl Mthemtics Librry

2 Rozbor rovnice druhého stupně o třech proměnných. Npsl Edurd Weyr. (Pokrčování.) I. Jest známo, že lineárné rovnice (21) mjí jediné řešení tenkráte jen tenkráte, jeli determinnt koefficientů neznámých různý od nully, t. j. je-li (22) A 44 z0. Plochy druhého stupně mjící jediný střed se zovou centrálnými; nerovnost (22) tudíž chrkterisuje plochy centrálně. Přechodem k centru jkožto k počátku nových os souřdných rovnoběžných s původními vyskytuje se jeden nový koefficient, totiž /(#<,, y, z ); jeho hodnotu lze přímo, bez počítání t 0 0 souřdnic x 0, y 0, z Q tkto ustnoviti. Máme obecně pročež f( X,y, e) =r x K +^K + i z ^ < + ««* + ii y + iz z-\- ii, /C*Ó, y 0t ' 3o)-=á 4 'i! íVo+ <;t 43 2, o : Ale řešením rovnic (21) plynou ; ( 4i ""-42 ' """43 ^44 A 44 A 44 čímž. i( g y_ 4i A 4i + <*42 A A 43 -f 44 A 44 _ D A 44 A 44 Má-li střed centrálně plochy býti n ploše, t. j. mjl-li x r = y' = z' = Q 10

3 146 hověti trnsformovné rovnici, musí /(#o> ^o? ^o) ^ o t. i n o t. j. ploch jest kuželovou. ' II. Dále je známo, že v přípdě, kdy (23) A 44 = 0, rovnicím (21) buď vůbec vyhověti nelze neb existuje nekonečně mnoho řešení; tyto plochy, nemjící tedy buď žádného středu neb mjící nekonečně mnoho středů nzveme necentrálnými. A. Přípd první nstne (v. cit. pojednání. V.) pkli nevymizí všecky determinnty 3. stupně vznikjící ze schémtu koefficientů rovnic (21) vypuštěním některého sloupce, t. j. pkli některý z determinntů A 41, A 42 A 43 jest různý od nully. B. Přípd druhý pk nstne, jsou-li všecky tyto tři determinnty rovny nulle; pk le ptrně D = Z ék k ik = 0, (k = 1, 2, 3, 4) tedy jest v tomto přípdě ploch kuželová neb válcová. Sndno shledáme, že se tu ploch nutně zvrhne n systém dvou rovin, různých neb splývjících neb že jest válcem. Jsou totiž dle učiněné supposice A«= 0 (*-=lí8, 3, 4) řádky ve schémtu (21) složeny ze dvou neb jednoho řádku, tedy řádky vd složeny ) ze tří, neb P)»e dvou, neb y) z jednoho řádku. V přípdě ) t. j. v přípdě, kdy některý subdeterminnt k gh^:q jest vrchol kužele x' stnoven proporci * *X* i l *& 2 *^ 3 *" 4 ~~ Agl * 1*02- * -t-v^řs"* -"rgi y všk A í?f j = A^ = 0, tedy 0/4=0, tedy vrchol v nekonečnu ploch válcem. V přípdě /3) t. j. kdy vymizí všecky A ik le ne všecky minory druhého stupně z D, skládá se ploch ze dvou rovin (dle úvh sub B.. 3.) v přípdě y), kdy totiž i tyto minory všecky vymizí, skládá se ploch ze dvou splývjících rovin (dle úvh sub C. téhož ). Přihlédněme ku středu plochy v přípdech ), jj) y), ) Zde jsou řádky ve schémtu (21) složeny ze dvou, n př. z prvního druhého, tk že kždý bod hovící první druhé rovnici (21) jest středem. Tyto dvě linerné rovnice

4 147 stnoví přímku, která obshuje všecky středy nšeho válce (os válce). /S) Nevymizíli všecky minory druhého stupně vzté ze schémtu (21), pk stnoví ony dvě rovnice (21), z nichž je nemizící minor vzt, všecky středy; ony nplňují opět přímkou průsečnou přímku rovin, z nichž se ploch skládá. Jsouli le všecky minory 2. stupně ze schémtu (21) rovny nulle, pk jsou dvě z rovnic (21), n př. první dvě, násobky třetí, bod hovící této jest středem; nplňují tedy pk středy celou rovinu 24) 31? y 0 + o ^ -f 34 = 0. Myslímeli si v (21) řádky npsány jko sloupce, tedy vidíme, že v uvžovném přípdě vymizí všecky minory druhého stupně z D vzté z g-ho (g = 1, 2, 3) 4-ho řádku z prvních tří sloupců; zároveň ptrno, že ^ЗЗî Л 34 :0, л o». x neb jink by všecky řádky v D byly z třetího složeny, pročež soudíme dle závěrečné úvhy odst. B. v. 3., že ploch se skládá ze dvou rovnoběžných rovin; dle onoho odstvce máme _ <**&] -H4<rW4 + <h%v\ Dle poznámky o minorech z 3-ho 4-ho řádku diskriminntu vztých víme, že 41, 42, 43 jsou úměrný ku 31, 32, ^331 n P*-- Máme tedy ák = (Lt^jfe, (& = 1, 2, 3), všk 44 :z/i 4, 9>4 = Wt + Ké f^k čili fiy -f v; = 3 to vloženo do hořejší hodnoty pro g>, podává ( 33«44 O 9> = (« f* + «33** 2 ) 9>3 ~ 2(% V 4 " + ^3^2; 33^) % le «33ř* = ^34? JO*

5 148 pročež («33 44 O 9> = («44 ^34) 9> v2 - Píšemeli místo x x,? 2,? 3, x 4 resp.?, 3/, 2, 1, tu se vrcíme k obyčejným souřdnicím, máme tedy rovnici plochy ve tvru (ferátivše fktorem ^~ii 34^:0), ( n x + Z2 y -f ) 2 -f 33 ( 44 ft 34 ) = O, z, uíž již ptro, že se ploch skládá ze dvou rovin rovnoběžriých s rovinou (24) od této stejně vzdálených. y) Všecky řádky v D jsou složeny z jednoho. Jeli tento obsžen v (21), n př. první, t. j. nejsou-li všecky koefficienty v pjfvuí rovnici (21) nullmi, tu jest kždý bod roviny n x y 0 + lz z 0 -f 14 = O středem plochy; ploch sm dle odst. C.. 3. se redukuje n tutéž rovinu. Kdyby le všecky koefficienty v (21) se rovnly nulle, tu by vůbec jen 44 z: O, tedy by ploch (p = u x\ z= O se redukovl n nekonečně vzdálenou rovinu;, pk by kždý bod hověl rovnicím (21), t. j. kždý bod byl by středem plochy. Poznámk. Yšecky dosvdní úvhy potrvjí v pltnosti i v tom přípdě, že?, y % z znčí rovnoběžné kosoúhlé souřdnice.. 5. Trnsformce ploch centrdtných k hlvním osám. llkázli jsme v předešlém., že zvolime-li střed z počátek souřdnic, rovnice plochy nbývá tvru xl x* + 22 y z l yz + 2 n zx xy -f 44 (fy neb stručněji.... oznčivše literou ú součet kvdrtických, členů. Položme si otázku, zdli lze počátkem souřdnic vésti tři nové tktéž prvoúhlé osy x\ y\ť tk, by trnsformovná rovnice obshovly mimo bsolutní člen pouze čtverce, nových souřdnic- Abychom odpověděli k této otázce, oznčme litermi, 0, y cosinusy úhlů, které uzvírá nová os x ř s osmi původními;

6 149 obdobný význm mějte #', 0', y' pro osu y r konečně '\ ($", y" pro osu z\ Nové osy mjí býti též prvoúhlé, pltí tedy relce «*+/J* + y*=l, (25) ' 2 +p* +y'*=l, " 2 + P" 2 + y" 2 = l, ' + W + yy' = 0, (26) " + 0/3" + YÝ' 0, '" + P'P" + y'y" = 0. Trnsformční formule jsou, jk známo, x = x' + 'y' + "z\ (27) y = fi* + py + (l»ť i zir.yx' + y'y' + y"z\ Dosdíme-li tyto.hodnoty do rovnice plochy, ptrně u přejde n homogenní kvdrtickou funkci u' nových souřdnic bsolutní člen 44 zůstne nezměněn. Máme tedy rovnici plochy kdež znčí M-f 44 ríí'-)- 44 r 0, ti' = ' n x'*+ \ 2 y>* + \^* + 2> 2Z y>z> + 2ď 3l z>x> + 2\ 2 x>y> ' n = n * + 22 p 2 + Z2 y 2 + Z^^y y+2 l2 (i, ^^^ď + ^^+^f+^f+^ + ^^yď + y) + nw + ď td P), - Jde tedy o to, ustnoviti směry, 0, y; \ /?', ť;.'\ /?", y" tk, by hověli rovnicím (25) (26), konečně by činily (28) ' 2 3 = 0, ' 3l -=0, ď l2 = 0. Jde tedy o řešení devíti kvdrtických rovnic o devíti neznámých. Řešení tohoto úkolu si usndníme následující úvhou. Dejme tomu, že existuje hledné řešení, t. j. že existují reálné hodnoty «, /3, }>, «',..., y" hovící rovnicím (25), (i!6), (28); jimi pk jsou stnoveny nové osy x\ y\ z\ Jest známo, že

7 150 čtverec vzdálenosti libovolného bodu _r, y, z od počátku jest dán výrzem x 2 -\-y 2 -\- z 2 \"; jsouli x\y\ z' nové souřdnice téhož bodu bude x' 2 -\-y' 2 -\-z' 2 podávti týž čtverec, pročež x 2 -\-y*-\- z 2 =.x' 2 -\-y' 2 -\-z' 2, relce, která i přímo plyne, dosdímeli z x, y, z hodnoty trnsformčními formulemi (27) dné přihlédneme-li k relcím (25) (26). Z pltnosti rovnic (27) máme tedy u l{x* + y*^z^ = u' k(if* + tf* + é^ nechť je l jkákoli hodnot. Volímeli nyní Atk, by levá strn se rozložil n součin dvou linerných fktorů, pltí totéž o prvé strně též nopk, neboť nějký linerný fktor kx -\- By -\- Cz přejde rovnicemi (27) ptrně n fktor též linerný k'x'-\-b'y' + G'z'. Avšk levá strn jest součinem dvou linerných fktorů tehdy jen tehdy, kdy *) (29) <Z 1X Я, <2 12, d x з 2\ ч ö 22 *l 23 г\ч гiч гг * pk le se též prvá strn rozloží n dv linerné fktory, t. j. pk pltí :0, *) Aby kvdrtická homogenní funkce tří proměnných cc tí x 2 + cc 22 y 2 + tf /g + 2cc Al zx + 3 l2 xy se rozložil n součin dvou linerných funkcí... (sc + by-\-cz){ f x-\-b f y-\-c f z) 9 musí ptrně to tké stčí uciníme-li kvdrtická funkce dvou proměnných «ns ^ + 2«i2Í^ + 2«3iS + 2 3i^ + ofs3 se rozložiti n součin -dvou linerných fktorů («l c) («' + b f r] + c').. To se le stne tehdy jen tehdy (viz n př. pojednání Rozbor «rovnice druhého stupně", v němž můj dobrý přítel M. R. bez pomocí.determinntu vytknutý úkol řeší, kdežto v tomto pojednání všude dán průchod užívání determinntů), když diskriminnt *3l w 32 "83

8 (30) 11 *, 12, 13 'гn 'г2 *? 2з зi? 'з2? 'зз * = Kždá hodnot A hovící (29) hoví tedy i (30) nopk, t. j. rovnice (29) (30) mjí tytéž kořeny; jsou-li všecky tři kořeny různé, soudíme, že rovnice tyto se úplně shodují, mjí-li vícenásobné kořeny, dojdeme k témuž úsudku, pozměníme-li hodnoty ik o mlé obnosy tk, by se vyskytly jen různé kořeny. Dle supposice jest trnsformce (26) tk ustnoven, že tedy že (30) zní =n ~ rz O, l (' ll -A)(' -A)(' M -i) = Jsou tedy kořeny A rovnice (30), tedy i rovnice (29) hodnoty *i m A 2 rr ' 22, A 3.r.r 33 ; žádná z těchto hodnot nemůže býti nullou, nebot (29) při A 0 není vyplněn, poněvdž při centrálně ploše 2±{ xx )^.0. Ěešivše tedy kubickou rovnici (29) oznčivše její kořeny 'n? Vj. '33 nlézáme (31) ', &* + ďtrf* + ' 33 z" + 44 = 0, jkožto trnsformovnou rovnici, rci z stálé supposice, že žádná trnsformce existuje. Zbývá dokázti, že tto supposice jest oprávněn dále zbývá stnoviti nové (hlvní) osy, t. j. neznámé, 0, y, ', /J', y', cc>% 0", y".. 6. Reálnost kořenů, A. Především ukážeme, že rovnice (29), o níž jen předpokládáme, že hodnoty ik jsou reálné mimo to ik u<> má nskrze reálné kořey. - Dejme tomu, že rovnici (29) hoví hodnot A=p + 2V * Jelikož determinnt (29) se rovná nulle, lze ustnoviti tři hodnoty x x, x 2 i x *> které nejsou vesměs nullmi, tk že pltí

9 1B2 (0u *K 4-.2^2 + «n x 3 =, CL()iX* I 1^*22 ~~~~ / 2 I 23*^3 ^Ii ^1^1 4 ^32^2 + ( 33 "V^á = ^* Změníme-li v těchto rovnicích všude \f 1 n \f 1, t. j; změníme-li A z V zup q\f 1, x k z konjugovnou hodnotu?'*, bude ptrně opět On *>'i + ^2^2 + i3? '3 = 0, «21 5 'l + ( 22 Á 'K ^'3 = 0, 3iO/i -j- 32 s' 2 -f ( 33 A');' 3 0. Pišme první tři rovnice ve tvru lí x 1 -(- l2 x 2 -f- 13? 3 rr tej, (ojj ^2l^l ~f~ <^22^2 "T~ 2$ X 2 = ^X2l 3\ X \ + 32^ ^3 = A7 3> druhé tři ve tvru (33). \\ x i ~T 2-^ 2 + ^s 32 3 = ^ ^ 11 2i X \+ 22 X \ + ^3^3 = A'^2* ^1^1 + 32^2 + ^3^3 = A '*V Násobme rovnice (32) resp. hodnotmi /,, s' 2, x ř z sečtěme je pk podle sloupců; tu, přihlížejíce k rovnicím (33) obdržíme (A) A (x±x j J-? j-? 3? 3) ~zz A (^? -. f- # 2? 2 J-? 3? 3j. Součet X}X\ -}-: 2 cc' 2 +? 3 žc' 3 nemůže býti nullou; nebof učiníme-li jest tedy l x k =g k -\-h k V 1, x' k = g k h k Y 1, #1^1 + ^ ' 2 + ^ 3 = 0 - +^í+^2+ f e 2+^+^ různé od nully, neb jink by všech šest hodfiot #, A rovnlo se nulle, tedy i x v x 2? 3, což jest proti supposici. Jelikož Xy x ] j? 2? 2 **p *^3 ^ 3...-^ *-V

10 153 soudíme z (A), že A' = L t. j. p+qv h = p qv h t. j. že q jest nullou, tedy A reálnou hodnotou, co bylo dokázti. Tohoto jednoduchého důkzu lze užiti doslov i v obecném přípdě známé rovnice ft-ho stupně ít A, # 2,.., \ n \ = o, #nl, #n2, M ^wn ~~" A která se v theorii sekulárných perturbc v theorii mlých vibrc vyskytuje. (Srovnej s důkzem, který podl Cucky, Sur Téqution á ťide de lquelle on détermine les inéglités séculires des mouvements des plnětes; Exercices de Mthémtiques, 4 e nnée, pg. 140, Pris 1829.). 7. Přípd různých kořenů A. Jkožto první přípd vezměme v úvhu ten, kdy kubická rovnice (29) má tři různé kořeny A,, A 2, A 3, které též znčiti budeme ' ln ' 22, ' 33. Máme pk dle předešlého. (34) u = A.B' 2 + A 2 2/' 2 -}- A 3 z", s_ pltí tto rovnice z pomocí rovnic (27) totžně. Derivujemeli tuto totožnost dle cc' obdržíme Zu Zx. Zu Zy. Zu Zz, M i I 5 j T-. - ~ VI rjn' Zx Zx ř ~ dy Zx> ~ Zz Zx" ~~ x t. 1. «; H P + V = 2\ X X?. J Zx * r Zy r x Zz Vypíšeme-li levou strnu, ihned shledáme, že se nemění, změníme-li n vzájem cc, y t z, /?, y. Znčíme-li tedy literou v funkci, vložíme-li do ní, /J, y n místo cc, y, z, máme, vyjádřivše n prvé strně x ř pomocí cc, #, z, totožnost

11 154 pročež = -*i«, j = 2M, % = &iyi t. j. krátivše 2 («n A,)«-+ í2 f} + 13 p = 0, (35) «2i«+ (*2 *i)/ l + 8J f = 0. «31«+ Z2P +" ( 33 h)v = ' Oznčme literou A determinnt z koefficientů neznámých, ft y v těchto rovnicích. Pk víme, že ^ 0, neboť A x jest jedním z kořenů rovnice (29). Oznčme dále obecně A ik subdeterminnt, jenž náleží v A^konomu elementu, který stojí v í-tém řádku v fc-tém sloupci; ptrně A ik = A ki. Jestliže lespoň jeden z determinntů A ik jest různý od nully, n př. A gh že tomu tk, hned dokážeme pk mjí rovnice (35) jen řešení cc:p:y = A gl :A g2 :A g3. Vzhledem k první rovnici (25) máme nyní kde, p cc = QA gl, (* = QAg2, y = QAg 3, 1 YA 2 gl + A2 2 + A2 g3 \ odmocninu možno vzíti se znmením libovolným. Zbývá ukázti, že lespoň jeclen subdeterminnt A ik jest různý od nully. Dle supposice jest A x jednoduchým kořenem rovnice (29); derivujeme-li determinnt (29) dle A vložíme-li z A hodnotu A 1} tu ptrně obdržíme (^ii + 4?2+4u)> tento výrz jest různý od nully, neboť jink by l^ nebyl jednoduchým kořenem. Z toho ptrné, že nemohou všecky Aik vymizeti. Obdobně jko jsme nlezli, /?, y, nlezneme «', $\ y f ", /3", y". Derivujemeli totiž (34) dle y\ obdržíme pro ', /?', y r rovnice, které vycházejí z (35), nhrdímeli A x kořenem A 2 podobně hoví ", /*"> y" třem linerným rovnicím, v nichž A 3 stojí n místě A t. Máme tedy

12 ( n A 2 )' -f 12 0' -f l3 y' = O, (36) «,,«' + («23 - *-#' + y = 0, 03i«' + <W + («33 K)f 0; (,! A 3 ) " " + 13 j>" - 0, (37) 21 «" -f (,, - X 3 )p> -f,,/' = 0, «31«" + «32/3" + («33 h)y" = Znčíme-li determinnt rovnic (36) literou ď, onen rovnic (37) literou A" dále A' ik, A" ik jich subdeterminnty, jsou-li mimo to A' k i A" mn různý od nully, máme kdež ' = OA' kl, F = A' k2, y> = GA' k3, " = TJ" ml,f' = TA"^, y" = rz/"^, ±-=\fa'h-\-a% + A'U, %=\f/i" m i +..f" i, + A"^, znmení odmocnin lze libovolně volit.. 8. Pokrčování: Verifikce nlezeného řešení. Ukážeme nyní, že nlezené hodnoty, /3, y,... /' skutečně devíti rovnicím (25), (26), (28) hoví. Že hoví rovnicím (25) jest přímo ptrné. Abychom dále ukázli, že rovnice (26) jsou vyplněny, t. j. že nové osy jsou n sobě kolmý, pišme rovnice (35) (36) ve tvru «H + «12/ 5 + i3y = V; %l«' + «12/ J ' + l32 / = V* 2í cc y = A^; o^' + 22 /3' + lz f = A 2 /3', >3i«+ <*MP + <w = KY ; 3ť*' + <h*p + <hzf = hv'. Násobmo levé rovnice resp. hodnotmi ', P\ f sečtěme je dle sloupců; pk obdržíme se.zřetelem n prvé rovnice h(*<* + PF + VY) = Ai(«'+/J0' + čili (A 2 A x ) (' -f 0/3' -f yy') = 0. Avšk dle supposice jest A 2 A x :_z:0, pročež ' + /3/8'+yy' = 0; rf)

13 156 obdobně lze ukázti, že i druhé dvě rovnice (26) jsou vyplněny. Zbývá verifikovti rovnice (28). Měli jsme n př. ď V2 xx ď + 22^[ + 33 yy' + 23 (Py'+yp) + 3X (yď + f) + l2 (p + pď) čili \ 2 = ď( n + J2 /3 -f- X3 y) + P'( 2X + 0^0 + 2Z y) + /(«3i + Cř 32^ + «33?') ) pročež vzhledem k rovnicím (35) ď 12 = l l (ď + pfi'+yy') = 0; obdobně plynou osttní dvě rovnice (28). Nebude zbytečným, verifikujenie-li ještě přímo, že stnovenou trnsformcí koefficienty při x' 1, y' 2, z' 2 jsou resp. A ly A 2, A 3. Měli jsme n př. ď u = u « p + n y ^y + 2 3l y +? i2 p čili ď n = ( x x + l2 0 + ^y) + (}( 2l + o^/j -f 2% y) t. j. vzhledem ku (35) + K«3i + «32í 3 + «3 3 y) ď ll =X l (* + (i* + y>) = l l ; obdobně plyne ď 22 rr k 2 ' 33 =r A 3. Byl tedy učiněná supposice, že lze tři prvoúhlé osy souřdné tk ustnoviti, by do trnsformovné rovnice nové souřdnice jen svými čtverci vcházely, v přípdě různých kořenů A oprávněn; zároveň ptrno, že v tomto přípdě existuje jen to řešení, které jsme nlezli, t. j. že v tomto přípdě existuje jediná trojin hlvních os.. 9. Přípd dvou stejných kořenů L Jkožto druhý přípd vezměme v úvhu ten, kdy rovnice (29) t. j.

14 157 *(*) = ^ll ^J i2> iз 2H 22 ""."'l î 33 ^ = 0 má dv různé kořeny: jeden dvojný A 1 =A 2 jeden jednoduchý A 3. Jkož jsme již v. 6. byli podotkli, vyjádřeno fktum, že A x jest dvojným kořenem, rovnicí A =0 t. j. (38) *o^= " ^" + ^ + ^ = Nutno ještě dáti početního výrzu té supposici, že A x není trojným kořenem t. j. že J}* ^ 0. Derivováním obdržíme d^(k) _ <?'-<-* _ ldj lt, <ž-4 22, <M, 3 \ ij á*í;"" \.da 1 "*" dx 1 ^ dl í ] = 2{ tl *i + 22 *i + 33 *0l pročež máme v uvžovném přípdě (39) n ^i nesndno ukážeme, že v tomto přípdě všecky subdeterminnty 4 ik se rovnjí nulle. Neboť kdyby některý z nich n př. A 3h byl různý od nully, pk by musil nutně z/ 33 z O, což vychází těmiže úvhmi jko obdobné tvrzení v. 3. n str Pk by ve schémtu elementů v J t. j. il i2 fl3 (40) «21 «22 23 ^ ~" - ' ' 3J kde k vůli stručnosti stojí u místo n A n ď 22 místo 2á k{ ď 33 místo 33 A lv byly první dv řádky podsttně různé jelikož -.4-zzO, byl by třetí z nich složen n př. pomocí fktorů p, t. j. (41) 3k = g lk -f e 2k, ' ^ = 1,2, 3) při. čemž nutno ^ nhrditi hodnotou á hh. Dle (38) máme le

15 158 + *22 "23 ^32 33 I n зi iз м зз <Һ i П2 22 = 0. Nhrďme v prvních dvou determinntech elementy druhého řádku hodnotmi (41), i obdržíme sndno iз ii + * iз + U i = 0; učiňme nyní totéž s druhými sloupci prvních dvou determinntů máme sndno t. j. «22 l2 ^21 n + <r 2 "12 *2l "22 +, " = 0, Vzhledem k reálnosti fktorů Q <s jest první fktor >0, pročež by musilo vymizeti, což by bylo proti supposici..^33 Jest tedy tto supposice nemožnou, t. j. všecky minory -4* jsou nutně rovny nulle. Jsou tedy ve schémtu (40) dv řádky násobky třetího. Zároveň není možná, by všecky elementy tohoto schémtu byly nullmi, neboť pk by " = il *1 = í čož odporuje (39). Budiž tedy n př. některý element prvního řádku v (39) různý od nully; pk jest ze známých, příčin (. 3. C.) nutně iá u zo rovnice (35) se redukují n jedinou rovnici ( n A i)«+ i20 + i3^ = 0. Volme směry «, 0, y «', 0'j / tk, by ob hověly této rovnici by součsně ' + 0j8' + yy' = O; geometrický význm této volby jest jsný. Směr ", 0", y" závisící n třetím, jednoduchém kořenu X z stnovme dle formulí.6. Tkto stnovené tři směry hoví rovnicím (25), (26), (28), t. j. ony formulemi (27) trnsformují u n tvr

16 159 ^ A ^ + t^ + VV Verifikce: Předně ptrno, že, 0... byly tk ustnoveny, by hověly rovnicím (25). Z druhé lze kolmost směrů (jiy) ±("(i"y") ('(iy) ± ("P"y") právě tk dokázti, jko v. předchozím, jelikož náleží k různým kořenům, totiž A x A 3 kolmost ((íy) ± ('(ly) pojištěn přímo volbou těchto dvou směru; tím verifikovány" relce (26). Konečně lze relce (28) verifikovti právě tk jko v předešlém., neboť se verifikce opírl o právě vytknuté relce (26). A touže cestou konečně i shledáme, že n zz^ 22 - A x ; 3 3 A Přípd tří stejných kořenů A. Jkožto třetí poslední přípd vezměme v úvhu ten, kdy rovnice (29) má tři stejné kořeny A x = A 2 -=A 3, t. j. kdy pltí součsně ^11+^22+^33=0* (42) n + ^ A 1 = O, Z první rovnice jsme odvodily že všecky Ak jsou nullmi, z druhé pk dále plyne, že všecky elementy schémtu (40) jsou nullmi; neboť kdyby n př. některý element prvního řádku nebyl nullou, tu by n jisto n zo druhý třetí řádek by byl násobkem prvního, t j. Sk zzq lk ; 3k =z lk, (&= 1,2,3) kdež hh nutno nhrditi hodnotou hh. Tudíž speciálně pročež i n Q n \ n = (S i]1 «22 = 9 L2 ~ 9%l 5 «33 = *«1S = <* 2 % V, čímž druhá rovnice (42) přejde n «ii+«22+«33 = %i( 1 +? 2 + ^) = ) což jest odpor, neboť n _^0 l + p 2 + o,2 >0,.

17 160 Vymizí tudíž všecky elementy schémtu (40), t. j. máme Rovnice (29) jsou identické, mjíce nskrz nullové koefficienty. Jelikož tu rovnice plochy zní *n(** + y* + z2 ) + 44 = Oi jest ptrné, že kždé tři k sobě kolmé osy jsou osmi hlvními, nebol pk trnsformcí máme tk že trnsformovná rovnice má vždy týž tvr jko původní, neobshujíc proměnné než ve čtvercích. (Dokončeni.) Poznámk o rozměrovém součinu elektrické kpcity elektrického odporu, o význmu jeho. Npsl B. Nvrátil, ředitel reálné Školy T Prostějově. Jest známo, že v měrné soustvě cm g s 1 frd ť± ' [k] z z 10-* [K] lohm^ ^^=^10>[R], kdež [k],[r) jsou jednotky kpcity odporu v míře elektrosttické, [K], [R] tytéž jednotky v míře elektromgnetické. Z toho plyne přímo 1 frd X I ohm'tífc [h]. [r] = [K]. [R]. Podobně sndno se přesvědčíme, že ''.'.- 1 mikrofrd X 1 megohm = : [k]. [r] z2z [K]. [R]. Dále jest rozměr v míře elektrostt. v míře elektromg. kpcity [L]. [L^T 2 ] odporu [L- l T] [LT- 1 ], tk že