3. Kvadratické rovnice

Transkript

1 CZ..07/..08/ Kvdrtické rovnice se v tetice oznčuje lgebrická rovnice druhého stupně, tzn. rovnice o jedné neznáé, ve které neznáá vystupuje ve druhé ocnině (²). V zákldní tvru vypdá následovně: b c 0 Zde jsou, b nějká reálná čísl, tzv. koeficienty této rovnice, je neznáá. Koeficient je vždy různý od nuly, neboť pro 0 se jedná o lineární rovnici. Čsto se kvdrtická rovnice vyjdřuje v zákldní tvru, kde. Do tohoto tvru lze převést kždou kvdrtickou rovnici její vydělení koeficiente. Jednotlivé členy jí tké svá pojenování: je kvdrtický člen, b je lineární člen c bsolutní člen. Při řešení rovnice se nejprve vypočítá tzv. diskriinnt D b - c. Podle jeho hodnoty pk ohou nstt tři přípdy: D 0, tehdy á rovnice jedno (tzv. dvojnásobné) řešení. Původní rovnici je ožno zpst ve tvru. D > 0, tehdy á rovnice dvě různá reálná řešení. Rovnici je ožno zpst ve tvru ( - )( - ) 0. D < 0, tehdy rovnice neá v reálné oboru řešení. Její řešení jsou dvě kopleně sdružená čísl. Rovnici je opět ožné npst ve tvru ( )( ) 0, ovše kořeny, jsou nyní koplení čísl.

2 CZ..07/..08/ Pro kořeny rovnice pltí následující rovnosti (speciální přípd tzv. Vièteho vzthů): Ukázkový příkld n užití Vièteho vzthů: Sestvte kvdrtickou rovnici b c 0, která á kořeny: ) čtyřikrát větší, b) o čtyři větší, než jsou kořeny rovnice 9 5 0, niž dnou rovnici vyřešíte. ) X, X b) X, X X X -b X X -b X. X c X. X c -b -b. c ( ). ( ) c ( ) -b 8 -b 6 c ( ) 6 c. 9 -b > b b > b c> c c > c 67

3 CZ..07/..08/ Geoetrický význ kvdrtické rovnice: Levá strn rovnice (² b c) popisuje prbolu s osou rovnoběžnou s osou y. Pokud je >0, je prbol otevřená sěre nhoru (á vrchol dole), při <0 je otevřená dolů (vrchol je nhoře). Řešení kvdrtické rovnice odpovídá hledání průsečíků této prboly s osou (prvá strn z rovnice dělá výrz y0). Podle polohy prboly ohou nstt tři přípdy: Prbol leží celá nd (pro >0) nebo celá pod (pro <0) osou. To nstne v přípdě, že D<0. Tehdy prbol neá žádný průsečík s osou, což znená, že kvdrtická rovnice neá v reálných číslech řešení. Vrchol prboly leží právě n ose. To nstne v přípdě, že D0. Tehdy se prbol osy dotýká, tzn. á s ní jeden společný bod (právě vrchol prboly), tzn. kvdrtická rovnice á jedno řešení.

4 CZ..07/..08/ V osttních přípdech os prbolu protíná ve dvou bodech. To nstne v přípdě, že D>0. Tehdy eistují dv průsečíky osy s prbolou, tzn. rovnice á dvě různá řešení. Ukázkové příkldy řešení obecné kvdrtické rovnice:. Řešte rovnici: 7 0 Zčnee tí, že vypočítáe diskriinnt: D b c -.. (-7) 00 Dále dosdíe do vzorečku:. Řešte rovnici: 0 Zčnee tí, že vypočítáe diskriinnt:

5 CZ..07/..08/ D b c (-) Diskriinnt vyšel nulový, to znená, že dná rovnice á jeden dvojnásobný kořen. Dále dosdíe do vzorečku:. Řešte rovnici: Zčnee tí, že vypočítáe diskriinnt: D b c (-) Diskriinnt vyšel záporný, to znená, že dná rovnice neá v oboru reálných čísel řešení. Řešení jsou dvě nvzáje kopleně sdružená čísl., ± ± i. i ± ± i Speciální typy kvdrtických rovnic: ) ryze kvdrtická rovnice c 0, b 0 Řeší se obdobně jko lineární rovnice. Absolutní člen přehodíe n druhou strnu rovnice, podělíe výrze vyjde ná: c /. Poté už stčí celou rovnici odocnit. Přito usí pltit podínk, že výrz c / > 0 (Neůžete odocňovt záporné číslo, tedy lespoň ne v oboru reálných čísel). Při odocňování nezpoeňte, že výsledek ůže být jk kldný, tk záporný (pokud odocňujete devítku, výsledek ůže být jk tři, tk éně tři). Ukázkový příkld: 8 0 / 8, : 8/ / odocníe 5

6 CZ..07/..08/ Výsledek je tedy. b) neúplná kvdrtická rovnice b 0, c 0 Řeší se vytýkání neznáé: ( b) 0. Zde je již vidět poěrně jsný výsledek. Opět vyjdou dv kořeny rovnice, le jeden z nich bude vždy roven nule, protože pokud vynásobíe výsledek v závorce nulou, vyjde ná zse nul. Druhý výsledek pk logicky zjistíe, když spočítáe, kdy se hodnot v závorce rovná nule, což jde sndno: b/. Ukázkový příkld: 6 0 vytknee. (6 ) /6 Výsledek je 0 /6. Složitější typy kvdrtických rovnic:. Řešte v R rovnici: odtud plyne D R {} ( ) / 6 6 ( ) 6 0

7 CZ..07/..08/ Řešte rovnici v intervlu ( ) ; : odtud plyne D ( ) ;. Řešte v R rovnici: { }, 5, ± ± K D D ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) { } ; ; /, ± ± ± K

8 CZ..07/..08/ Rovnice s neznáou pod odocninou (ircionální rovnice) jsou rovnice, které obshují výrzy s neznáou pod odocninou. Uocňování je ekvivlentní úprv jen tehdy, jsou-li obě strny rovnice nezáporné. To neůžee ovše zručit, jestliže se zde vyskytuje neznáá > je nutná zkoušk. V některých přípdech je vhodné při řešení použít substituci. Řešte v R rovnici: / ( ) 0 ( 8 ) ( ), / 8 0 Zkoušk: L(0) L() P(0) 0 P() L(0) P(0) K { 0;} L() P(). Řešte v R rovnici: 6 b 6 6 substituce:, b b b 6 ( 6 ) b 6 b 6 8 b

9 CZ..07/..08/ ( ) / 0 0 ( )( ) 0, 88 / 6 / 7 Zkoušk: L(-) ( ) 6 P(-) 6 L P L(-88) 88 6 Neá sysl. L() 6 P() 6 9

10 CZ..07/..08/ L P K { ;}. Řešte v R rovnici: 0 Odtud plyne D R {-}, zloek nhrdíe substitucí Kvdrtické rovnice s pretre Kvdrtické rovnice s pretre jsou tkové rovnice s pretre, ve kterých se proěnná vyskytuje nejvýše ve druhé ocnině. Při řešení těchto typů rovnic usíe provést diskusi řešení vzhlede k pretru, stejně jko u lineárních rovnic s pretre. 0

11 CZ..07/..08/ Řešte rovnici ( - ) ( ) ( - ) 0, kde je proěnná R je pretr. ) ( ) 0 b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) D D > 0 5 > 0 > 5 ( ) ( ) 5 5, ± ± D , D < 0 5 < 0 < 5 R K Rovnice neá řešení v R. K K 5 ; { } K 5 K

12 CZ..07/..08/ ; ; 5 ( ) K ± 5 Slovní úlohy n kvdrtické rovnice: Postup při řešení slovních úloh poocí kvdrtických rovnic s jednou neznáou:. Pozorně přečtee zdání úlohy. Zřdíe k vhodnéu typu slovní úlohy. Oznčíe (rozpoznáe) neznáou. Podínky úlohy vyjádříe poocí neznáé 5. Sestvíe rovnici 6. Vyřešíe rovnici 7. Výsledek ůžee ověřit zkouškou 8. Zpíšee slovní odpověď. Obsh obdélníku je 9 c. Určete jeho rozěry, je-li jeho šířk o 6 c krtší než délk. b - 6 S. b... vzth pro obsh obdélníku b vzth ezi strni obdélníku ( - 6) kvdrtická rovnice D 6 ( 9 )

13 CZ..07/..08/0.0009, b ± D 6 ± 0 ( není řešení, strn neůže být záporná) b Obdélník á šířku 7 c délku c.. Bzén se nplní vodou z 6 hodin, jsou-li otevřeny ob přívody. Jední z nich by se bzén nplnil o 5 hodin dříve než druhý. Z jk dlouho se bzén nplní, otevřee-li pouze výkonnější přívod? Ob přívody 6 hodin z hodinu práce 6 První přívod ( - 5) hodin z hodinu práce 5 Druhý přívod hodin z hodinu práce Část npuštěná obě přívody z hodinu část npuštěná první přívode část npuštěná druhý přívode: 6 /. 6 (-5) 5 ( - 5) 6 6( - 5)

14 CZ..07/..08/ D b c (-7) b ± D 7 ±, neůže být správně (by - 5 > 0 ) První (výkonnější) přívod: hodin. Bzén se nplní výkonnější přívode z 0 hodin.. Cen čsopisu byl snížen o tolik procent, kolik korun stál před snížení ceny. Urči jeho původní cenu, jestliže po zlevnění stál 6 Kč. Původní cen Kč Nová cen ve forě zloku 00 Nová cen ( - 0)( -80) 0

15 CZ..07/..08/ Původní cen čsopisu byl 0 Kč nebo 80 Kč. Otázky: ) Jký je rozdíl ezi lineární kvdrtickou rovnicí? ) Jký je rozdíl ezi pretre proěnnou (neznáou)? ) Je při řešení kvdrtických rovnic povinná zkoušk? Vysvětli. ) Jká je zákldní odlišnost ezi kvdrtickou rovnicí bez pretru s pretre? 5) Co jsou Vietovy vzorce? 6) Jk závisí řešení kvdrtické rovnice n diskriinntu? 5