Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

Transkript

1 7.5. Elips přímk Předpokldy: 7504, 7505, 7508 Př. : epiš všechny možné vzájemné polohy elipsy přímky. Ke kždému přípdu nkresli obrázek. Z obrázků je zřejmé, že existují tři přípdy vzájemné polohy kružnice přímky: p P P Přímk se protíná s elipsou ve dvou různých bodech. Říkáme, že přímk je sečnou elipsy. p T Přímk se protíná s elipsou právě v jednom bodě. Říkáme, že přímk je tečnou elipsy. p Přímk se neprotíná s elipsou v žádném bodě. Říkáme, že přímk je vnější přímkou elipsy. tejné možnosti jko u kružnice (očekávtelné, když je kružnice speciálním přípdem elipsy), bohužel bez speciálních vlstností (kolmost poloměru n tečnu, Thletov kružnice ) příkldy musíme řešit pomocí prmetrů (těžká práce). tejně jko u kružnice i u elipsy existuje vzorec pro tečnu v jejím bodě. Je-li bod X [ x ; y ] bodem elipsy ( x m ) ( y n ) bodě rovnici: + = má tečn této elipsy v tomto b x0 m x m y0 n y n + =. b Podobná pomůck n zpmtování jko u tečny kružnice: tředová rovnice elipsy ( x m ) ( y n ) Rozložíme dvojčleny: + =. b x m x m y n y n + =. b

2 V kždém součinu změníme jedno x z x 0 ( jedno y z y 0 ): ( x m)( x m) ( y n)( y n) =. b Pedgogická poznámk: Rovnice tečny pro elipsy se středem v počátku soustvy souřdnic neuvádím schválně. Povžuji ji z zbytečnou, její ekvivlent pro kružnici tké nepoužíváme zbytečně zvětšuje chos ve studentských hlvách. Př. : Urči rovnici tečny: ) elipsy + = v jejím bodě X 0 ; 4 ; b) elipsy ( x ) ( y 4 ) 6 + = v jejím bodě 0; 5 6 Y 5. V obou přípdech dosdíme do vzorce. ( x0 0)( x 0) ( y0 0)( y 0) ) + = + =, dosdíme X 0 ; 4 4. y x + = 4 + = / 4 4 x + y = 4 x + y 4 = 0 b) ( x ) ( y 4 ) + = ( y 4 ) 0 x 5 + = ( x ) ( y 4) + 5 = 5 6 ( x ) ( y 4) + = / x + 5 y 4 = 5 x y 0 = 5 x + 5y 6 = 0 x 5y + 6 = 0 ( x )( x ) ( y 4)( y 4) + =, dosdíme Y 6 0; 5.

3 Př. : Urči průsečíky přímky x + y = 0 s elipsou poloh? + =. Jká je jejich vzájemná 4 Řešíme soustvu rovnic: x + 4y = y = x ( x) x + 4 = x + 4 x + x = x + 4 8x + 4x = 7x 8x 8 = 0 + = / 4. x + y = 0 (dosdíme do první rovnice) ( 8) ( 8) 4 7 ( 8) b ± b 4c ± 8 ± ± 6 x, = = = = x = y = x = = x = y = x = = Přímk x + y = 0 má s elipsou + = dv společné body P + ; P + ; je tedy její sečnou. 7 7

4 Př. 4: Urči jk závisí vzájemná poloh elipsy 4x + y 6 = 0 přímky x + y + c = 0 n hodnotě prmetru c. Ještě než zčneš příkld řešit početně, nkresli si náčrtek co nejpřesněji odhdni, jk bude početní řešení příkldu vypdt. hodnoty prmetru c se blíží k nekonečnu x+y+c =0 x+y+c =0 T x+y+c=0 T hodnoty prmetru c se blíží k mínus nekonečnu Z obrázku vidíme, že stejně jko odpovídjícího příkldu s kružnicí nstnou celkem tři přípdy (postupně od nejmenších hodnot prmetru c: c ; c c c ; : přímk se s elipsou neprotíná, je její vnější přímkou. ( ) nebo c = c nebo c = c : přímk je tečnou elipsy. c c ; c : přímk protíná elipsu ve dvou bodech, je její sečnou. Nyní řešíme příkld početně. Hledáme průsečíky přímky s kružnicí body, které vyhovují oběm rovnicím řešíme 4x + y 6 = 0 soustvu rovnic stejný postup jko v příkldě s kružnicí. x + y + c = 0 Trochu si usndníme výpočet: x + y 6 = 0 x = y c Teď dosdíme z druhé rovnice do první rovnice rovnou z x : ( y c) y + 6 = 0 (mínus se při umocňování ztrtí) y + c + y 6 = = 9y 6yc c y = kvdrtická rovnice s prmetrem. y 6yc c 6 0 4

5 y, b ± b 4c 6c ± 6c 4 c 6 = = 6c ± 6c 48 c c ± 48 6 c y, = = 4 4 O existenci kořenů rozhoduje znménko výrzu pod odmocninou řešíme nerovnici 48 6 c 0 / :. ( c ) ( c )( c ) 64 = obrácená prbol, průsečíky pro c = 8 c = Z obrázku je vidět, že mohou nstt tři možnosti: c 8;8 diskriminnt rovnice D = 64 c > 0. Rovnice pro nlezení průsečíků elipsy s přímkou má dv kořeny elips se protíná s přímkou ve dvou bodech, přímk je její sečnou.. c = 8 nebo c = 8 diskriminnt rovnice D = 64 c = 0 Rovnice pro nlezení průsečíků elipsy s přímkou má jeden kořen elips se protíná s přímkou v jednom bodě, přímk je její tečnou. Tečné body můžeme spočítt: 6 8 ± 0 c = 8 y, = = x = y c = ( ) 8 = x = 4 T [ ; ] c = 8 y, 6 ( 8) ± 0 = = T [ ; ]. c ( ; 8) ( 8; ) diskriminnt rovnice 4 x = y c = 8 = x = D = < 64 c 0 Rovnice pro nlezení průsečíků elipsy s přímkou nemá žádný kořen elips se s přímkou neprotíná, přímk je její vnější přímkou. Př. 5: Njdi tečny elipsy + = procházející bodem [ 0; ] 5x 9y 45 0 A. Npíšeme si všechny přímky procházející bodem A[ 0; ] : ( y y ) = k ( x x ) ( y + ) = kx, přímku elipsy 5x + 9y 45 = 0. Z rovnice přímky ( y ) ( kx ) 5x = 0 5x + 9 k x 6kx = 0 x = nemusíme sledovt, je určitě sečnou + = kx vyjádříme y = kx dosdíme do rovnice elipsy: 5

6 5x + 9k x 54kx = k x 54kx + 6 = 0 Hledáme tečny zjímáme se o nulový diskriminnt, řešit zbytek kvdrtické rovnice je zbytečné: D = b 4c = 54k k 6 = 96k 96k 70 = 0 60k 70 = k = = = = k = t : y = x t : x y 9 = 0 k = t : y = x t : x + y + 9 = 0 Př. 6: Petáková: strn 0/cvičení 90 d) strn 0/cvičení 9 ) strn 0/cvičení 94 b) strn /cvičení 95 b) strn 0/cvičení 96 d) hrnutí: Vzorec pro rovnici tečny elipsy je nlogický vzorci pro tečnu kružnice. Osttní příkldy řešíme stejně jko u kružnice bez využívání speciálních vlstností. 6