1 Šum. 1.1 Definice šumu

Transkript

1 1 Šu 1.1 Defie šuu Šu je nežádouí rušivý signál (napětí, proud), který á původ v tepelnýh a kvantovýh jeveh. I když jde o náhodný signál, dá se poěrně dobře ateatiky popsat. Šu (například šuové napětí) se dá vyjádřit pooí integrální hodnoty která odpovídá definovanéu kitočtovéu pásu f = f f 1. Jeho hodnota se dá praktiky zěřit pooí ikrovoltetru, který á na vstupu pásovou propust o loovýh kitočteh f a f 1. Šu lze vyjádřit i pooí takzvané šuové spektrální hustoty. Poje spektrální šuové hustoty se dá dobře pohopit na prinipu, jaký ji ěří spektrální analyzátor. Jde o pásovou propust o veli alé šíře pása f. ato propust projíždí zvolený kitočtový rozsah a ěří při to integrální hodnotu šuu, například napětí V N, která odpovídá její šíře pása f. Šuová spektrální hustota v n se pak určí vztahe: VN VN vn = ideálně vn = li [ V / Hz ] (1.1) f f 0 f obr. 1: Šuové spektru Petr Kadaňka

2 1. Nekorelované a korelované šuové zdroje (příspěvky) Pojy korelovaný a nekorelovaný šuový příspěvek jsou vysvětleny na následujíí obrázku: obr. : Nekorelované a korelované šuové příspěvky Šuové proudy i n1 a i n jsou na sobě nezávislé (nekorelované). Jsou to náhodné veličiny. Šuový proud i n je poto součte nekorelovanýh šuovýh proudů i n1 a i n, které se sčítají takto: i = i + i (1.) n n1 n oto sčítání á jednu zajíavou vlastnost. Pokud je hodnota šuového příspěvku enší než polovina nejvýznanějšího příspěvku, dá se zanedbat, protože platí: i n = + 1,1 i i i i (1.3) Šuový proud i n protéká odpory R 1 a R a na h vytváří napěťové (šuové) úbytky v n1 a v n : n1 = R1 in, n v v = R i (1.4) n yto úbytky v n1 a v n jsou přío úěrné proudu i n, jsou takzvaně korelované a jejih součet (šuové napětí v n ) je dán prostý součte složek v n1 a v n : ( ) v = v + v = i R + i R = i R + R (1.5) n n1 n n 1 n n 1 Petr Kadaňka 3

3 1.3 Vztah ezi spektrální šuovou hustotou a integrální hodnotou šuu v pásu f 1 f Kitočtové páso f 1 f rozdělíe na difereniály f podle následujíího obrázku: obr. 3: Spektrální hustota a integrální hodnota šuu Šuové příspěvky v difereniáleh kitočtového pása f jsou na sobě nezávislé, jsou tedy nekorelované. Integrální hodnota V Ni daného difereniálu f i se spočítá jako: V = v f (1.6) Ni Celková integrální hodnota šuu V N v pásu f 1 f se pak spočítá jako součet všeh nekorelovanýh příspěvků odpovídajííh příslušný difereniálů f. V = v f + v f + + v f = ( ) ( 1 ) ( )... 1 f n n ( nn ) N f ( 1... ) n n n nn i= 1 = v + v + v f = v f f 0 V = v df ( 1 f ) N f f n (1.7) f1 Petr Kadaňka 4

4 1.4 Defie bílého šuu a 1/f šuu Reálné kitočtové spektru šuové hustoty běžnýh elektrokýh prvků (odpory, osové a bipolární tranzistory) á následujíí průběh (šuové napětí): obr. 4: Reálné šuové spektru Jako oblast bílého šuu se označuje ta část kitočtového pása, v níž je spektrální hustota šuu konstantní, kitočtově nezávislá (v n0 ). V oblasti 1/f šuu je spektrální hustota šuu nepřío úěrná druhé odoně kitočtu, tedy vn 1 f. Vztah pro šuovou hustotu v elé kitočtové pásu pak á tvar: fk vn = vn0 1+ (1.8) f kde f K je tzv. loová frekvene 1/f šuu Integrální hodnota šuu V N v pásu f 1 f je poto: f f fk V ( 1 ) vn df vn0 1 df N f f f f1 f 1 = = + = ( ) ln = vn0 f f1 + fk a je-li f f1 f1 V v f f f ln f >> pak ( ) = 1 n0 + N f f K (1.9) f1 Petr Kadaňka 5

5 Poloha loové frekvene 1/f šuu (f K ) je kritiká pro nízkošuový návrh.v dané kitočtové oblasti f 1 f by šuový příspěvek 1/f šuu ěl být zanedbatelný proti šuovéu příspěvku odpovídajííu bíléu šuu. Podle poznatku (1.) o sčítání nekorelovanýh příspěvků ůžee pro zanedbání 1/f šuu odvodit: f fk ln < 0, 5 f (1.10) f 1 Pokud je splněna tato nerovnost, je šuový příspěvek 1/f šuu zanedbatelný. Ze vztahu (1.10) poto odvodíe: 0,5 f fk < (1.11) f ln f Např. pro nízkošuový návrh v pásu f 1 =10Hz f =100kHz by pak ělo platit: 1 5 0,5 f 0,5 10 f < f < f <,7kHz (1.1) K 4 f ln K ln10 K f 1 Pak je příspěvek 1/f šuu zanedbatelný (zvýší výsledný šu jen asi o desetinu): s 1/f šue bez 1/f šuu v = v 10 +, 7 10 ln10 v 353 (1.13) n n0 n0 v = v 10 v 316 (1.14) 5 n n0 n0 1.5 Šu odporu Šu odporu se dá definovat pooí zdroje šuového napětí, který je v sérii s daný odpore: vnr = 4 k R (1.15) obr. 5: Šuové napětí odporu Petr Kadaňka 6

6 Nebo pooí proudového zdroje, který je připojen paralelně k danéu odporu: i nr VnR 4k R 4k = = = (1.16) R R R obr. 6: šuový proud odporu 1.6 Šu osového tranzistoru Šuové paraetry osového tranzistoru jsou definovány jediný šuový zdroje proudový šue i nd, který se odeluje jako zdroj proudu i nd paralelně k osovéu tranzistoru. i nd = 4k g (1.17) CH kde g CH je vodivost kanálu obr. 7: Šuový proud MOS tranzistoru Naprosto klíčový poznatke je, že gch g, tedy že vodivost kanálu je dána transkonduktaní g. i = 4kg (1.18) nd Poznáka: Občas se v literatuře vyskytuje vztah (1.18) ve tvaru i = 4k γ g kde γ 3 pro tranzistory s dlouhý kanále. Hodnota γ se ění i s drainový napětí. V této přednáše se používá hodnota γ = 1, protože víe odpovídá reálně naěřený hodnotá. nd Z praktikýh důvodů je někdy užitečné převést šuový proud na vstup (gate) jako vstupní šuové napětí v : i nd nd = = (1.19) g i g v v obr. 8: Přepočet šuového proudu i nd do šuového napětí v v i nd = g 4k v = (1.0) g Petr Kadaňka 7

7 Šu MOS tranzistoru pro silnou inverzi v 4k = (1.1) g w g = Id k p (1.) l 4k 16k l v = = 4 = k = V q w Id k p w Id k p l v = 8V q 4 l I k w d p (1.3) Šu MOS tranzistoru pro slabou inverzi v 4k 4V q = = (1.4) g g g I d = (1.5) n V v 4V q 4V n q n q = = = V Id Id Id n V (1.6) Kitočet lou 1/f šuu je pro běžné osové tranzistory poěrně vysoký (stovky Hz až jednotky khz), proto nejsou osové tranzistory příliš vhodné pro nízkošuové aplikae v oblasti veli nízkýh kitočtů. Kitočet lou 1/f šuu je ovlivněn i rozěry tranzistoru. Paraetr n ve vztahu (1.6) určuje hrai VGS β ezi silnou a slabou inverzí: Jeho hodnota je větší než 1, běžná hodnota n. V = GS V + β H n V (1.7) Petr Kadaňka 8

8 1.7 Šuové vlastnosti proudového zradla (MOS) Syetriké proudové zradlo i je šuový proud referenčního zdroje proudu i, i jsou šuové proudy tranzistorů M 1 a M n1 n ( in 1 in in = = ) obr. 9: Šu syetrikého proudového zradla Součet nekorelovanýh složek i a in 1 ( i in 1 ) nekorelovaná složka sečte s šuový proude in tranzistoru M. Pro stejné tranzistory platí i 1 = i = i ( ) + se přenese na výstup (drain M ) a ta se jako i = i + i + i = i + i + i (1.8) no n1 n n1 n n n n i = i + i (1.9) no n Pro silnou inverzi (výpočet proudu i n ): w in = 4 V q g, g = Id k p l 4 4 w w i = n V q Idk p 16V q Id k p l = l 4 w in = V q Id k p (1.30) l Silná inverze uožňuje navrhnout proudové zradlo s nízký šue použijí se tranzistory s alý g tedy dlouhé a úzké kanály. Délka kanálu l uožní snížit vlastní šu proudového zradla nezávisle na proudu I d. Dlouhé kanály také často přispějí k dobréu souběhu (přesnosti zradla). Nevýhodou je jen větší V GS a větší ploha zradla. Petr Kadaňka 9

9 Pro slabou inverzi (výpočet proudu i n ): Id in = 4 V q g, g = n V Id q I in = 4V q = n V n d (1.31) Slabá inverze neuožňuje snížit šuový proud zradla nezávisle na proudu I d. Z tohoto pohledu je vhodnější použít silné inverze. Použití dlouhýh a úzkýh kanálů se většinou podaří dosáhnout silné inverze a tí snížit g beze zěny proudu I d Násobné proudové zradlo (násobný poěr p) obr. 10: Šu násobného proudového zradla i - šuový proud zdroje referenčního proudu i - šuové proudy tranzistorů zradla i n n1 = i n Petr Kadaňka 10

10 Součet nekorelovanýh šuovýh složek i a n1 i ( i in1 ) + se přenese na výstup (spojené drainy výstupníh tranzistorů) tak, že se vynásobí přenose zradla p. Na výstupu se nekorelovaně sečte s nekorelovaný součte ( p i n ) šuovýh proudů výstupníh tranzistorů: ( ) ( ) i = p i + i + p i = p i + p i + p i = i = i no n1 n n1 n n1 n in ino = p i + p in + p p 1 ino = p i + in 1+ p (1.3) 1.8 Šuové vlastnosti difereniálního stupně obený difereniální stupeň MOS obr. 11: Šu obeného dif. stupně Šuový proud i n1 teče do uzlu v něž je připojen proudový zdroj I SS =I d. Šuový proudový zdroj i n1 sníží hodnotu I SS o svoji vlastní hodnotu na velikost I SS -i n1. ento proud se dělí na poloviny do obou větví difereniálního stupně. o znaená, že drainový proud oběa tranzistory dif. stupně klesne o i n1. ato složka ( i n1 ) se pak objeví jako šuový proud v drainu tranzistoru M. V drainu tranzistoru M1 se poto sečte s jeho šuový proude i n1 i i = + i. Šuový proud i n1 se tedy projeví dvěi vzájeně na hodnotu ( ) n1 n1 n1 Petr Kadaňka 11

11 korelovanýi složkai jako šuový proud + i n 1 v drainu M1 a jako šuový proud i n1 v drainu M. Stejný způsobe se projeví i šuový proud i n. Celkový šuový proud i na, i nb každou větví difereniálního stupně je poto dán i, i tranzistorů M 1 a M. nekorelovaný součte polovin šuovýh proudů ( ) n1 n i na n1 n n n1, inb i i = + = i + i (1.33) je-li in 1 = in = in, pak platí i na in = inb = (1.34) Poznáka: Neuvažovali jse šuový proud, který přísluší proudovéu zdroji (I SS ) difereniálního stupně. Pokud je dif. stupeň syetriký (platí i pro syetriké zapojení s aktivní zátěží), tento šuový proud se eliinuje (jde o oon ode signal) difereniální stupeň s odporovou zátěží MOS obr. 1: Šu odporově zatíženého dif. stupně Petr Kadaňka 1

12 Nízkošuové dif. stupně jsou téěř vždy součástí (vstupní díle) zpětnovazební aplikae typu operační zesilovač. Proto se šuové vlastnosti takového dif. stupně definují ekvivalentní vstupní napětí, které vyvolá stejné šuové vlastnosti jako reálné šuové zdroje daného zapojení. Šuový proud tranzistoru M 1 se rozdělí do větve tranzistoru M 1 jako + i n 1 a do větve tranzistoru M jako i n 1. Na výstupní napětí (difereniální výstup) se toto projeví šuový napětí: in 1 in 1 vn 1 R = R = in 1 R (1.35) Stejný způsobe se projeví šuový proud in tranzistoru M : in in vn R = R = in R (1.36) Příspěvky v n1 a v n jsou nekorelované, na výstupu dif. stupně se šu tranzistorů M 1 a M projeví jako šuové napětí v n : v = v + v, je li i = i = i n n1 n n1 n n ( ) ( ) v = i R + i R = i R (1.37) n n n n Vstupní šuové napětí v odpovídajíí šuový proudů se pak spočítá tak, že se hodnota šuového napětí v n podělí ziske dif. stupně. v vn vn in R = = = A g R g R in v = (1.38) g ranskonduktane g syetrikého dif. stupně s proude I d je stejná jako transkonduktane tranzistoru s proude I d. Pro silnou inverzi je in 8 V q l = 4 g I k w d p (vztah (1.3)) v = V q l I k w 4 d p (1.39) in n q Pro slabou inverzi je = V (vztah (1.6)) g I d 8 n q v = V (1.40) I d Petr Kadaňka 13

13 Cíle nízkošuového návrhu je dosáhnout stavu, kdy je vstupní šuové napětí dáno jen šue v tranzistorů vstupního dif. stupně. Podle vztahu (1.3) pak usí být velikost ostatníh příspěvků po převedení na vstup enší než 1 v, tedy: (1.41) vn 1 v A < n (vstup následného stupně) (1.4) vnr 1 < v pro šuové napětí zatěžovaíh odporů R A Pro šu zatěžovaíh odporů (1.4) je pak ožné odvodit podínku: 4V q R 1 4V q g < g R > R g g (1.43) Pro silnou inverzi pak ůžee odvodit podínku: w w g = I d k p R Id k p 8 l l > (1.44) Pro slabou inverzi pak ůžee odvodit podínku: g Id R Id = > 4 n V n V (1.45) Poznáka: Šu proudového zdroje i ns se rozdělí na poloviny do obou větví dif. stupně a na výstupu se příspěvky těhto polovin vzájeně odečtou (jde o oon ode signal). Šuový proud i ns se na výsledné šuu syetrikého dif. stupně jak nepodílí. Petr Kadaňka 14

14 1.8.3 syetriký difereniální stupeň s aktivní zátěží MOS obr. 13: Šu syetrikého dif. stupně s aktivní zátěží Šuový proud i ns se rozdělí na poloviny a ty se na výstupu dif. stupně odečtou. Šuový proud i ns pak neá na výsledný šu žádný vliv. - šuový proud i p se proítá přío do výsledného šuového proudu i n - šuový proud i p1 se beze zěny ozradlí do výsledného šuového proudu i n pooí zradla P 1, P. - šuový proud i n1 se projeví jako + i n 1 u drainu M 1 a také se přenese do drainového proudu M jako i n 1. Složka + i n 1 se přenese na výstup pooí zradla P 1, P, ta se od něj odečte složka i n 1. Protože složky + i n 1 a i n 1 jsou korelované, na výstupu se poto objeví hodnota ( ) výstupu se přenese elá hodnota proudu i n1. + i i = i. o znaená, že do n1 n1 n1 - šuový proud i n se projeví jako + i n v drainu M a také se přenese do drainového proudu M 1 jako i n. Složka i n se přenese na výstup pooí zradla P 1, P, ta se od něj odečte složka + i n. Na výstupu se poto objeví hodnota Petr Kadaňka 15

15 ( ) i + i = i. o znaená, že do výstupu se přenese elá hodnota proudu i n. n n n Celkový výstupní šuový proud i n se poto spočítá jako nekorelovaný součet šuovýh proudů všeh tranzistorů dif. stupně (M 1, M, P 1, P ). i = i + i + i + i, pro i = i = i a i = i = i n n1 n p1 p n1 n n p1 p p i = i + i (1.46) n n p Vstupní šuové napětí se spočítá: kde v g je transkonduktane syterikého dif. stupně s i in + i n p = = (1.47) g g s s PMOS tranzistory jsou z hlediska šuu (jak bílého, tak kitočtu lou 1/f šuu) většinou iálně tak dobré jako NMOS tranzistory. Naví je ožné jejih šuový proud snížit pooí snížení jejih transkonduktane tak, že jejih šuový proud je zanedbatelný proti šuovéu proudu NMOS tranzistorů vlastního dif. stupně. Z toho pak vyplývá, že v čistě osovýh konstrukíh jsou šuové vlastnosti difereniálního stupně s aktivní zátěží většinou srovnatelné s šuovýi vlastnosti odporově zatíženého stupně. Petr Kadaňka 16

16 1.8.4 nesyetriký difereniální stupeň s aktivní zátěží MOS i = i = i n1 n n i = i = i p1 p p obr. 14: Šu nesyetrikého dif. stupně s aktivní zátěží V draineh obou tranzistorů (M 1, M ) dif. stupně se objeví šuový proud i n. K něu se i a výstupní nekorelovaně přičítá polovina šuového proudu proudového zdroje M S ( ) šuový proud zradla aktivní zátěže P 1, P ( i p ) pak je: i n. Celkový šuový proud i n na výstupu ( ip ) i n ins = + + A vstupní šuové napětí v se poto spočítá jako: in ins in = + + ip (1.48) 4 ns in ins + + ip v 4 = (1.49) gn gs g n = - transkonduktane nesyetrikého dif. stupně Kde gn je transkonduktane nesyetrikého dif. stupně (ta je poloviční ve srovnání s transkonduktaní syetrikého dif. stupně). oto zapojení je z hlediska šuu nevýhodné, Petr Kadaňka 17

17 protože na vstupní šuové napětí v se projeví i šu i ns proudového zdroje a transkonduktane je poloviční ve srovnání se syetriký stupně. Pouze pokud se eliinuje vliv šuového proudu i ns a také šuové proudy i p proudového zradla P 1, P (dlouhé kanály, nízká transkonduktane), je vstupní šuové napětí v syetrikého i nesyetrikého dif. stupně s aktivní zátěží srovnatelné. Syetriký dif. stupeň s aktivní zátěží: i + i v = pro i << i n p p n gs in v = (1.50) g s Nesyetriký dif. stupeň s aktivní zátěží: in ins + + ip v = 4, g = g pro i, i << i g s n ns p n s in in v = g = g (1.51) s s 1.9 Šu v bipolárníh obvodeh Šu PN přehodu (diody) je definován pooí zdroje šuového proudu i nd, který je připojen paralelně k dané diodě. i nd je závislý na proudu I, který diodou protéká. ind = q I (1.5) obr. 15: Šu PN přehodu Petr Kadaňka 18

18 Šu bipolárního tranzistoru (BJ). BJ tranzistor se vyznačuje třei šuovýi zdroji podle následujíího obrázku: I C = β I B obr. 16: Šuové zdroje bipolárního tranzistoru 1) šu odporu r b báze: v = 4kr (1.53) nrb ) proudový šu kolektoru: i = q I (1.54) n 3) proudový šu báze: i = q I (1.55) nb Z praktikýh důvodů je někdy užitečné převést šuový kolektorový proud i n do yšleného zdroje šuového napětí v n pooí transkonduktane tranzistoru g = I V : B b I = g VBE in = g v n in vn = (1.56) g v i n i q I n n = = = g I I V V q vn = V (1.57) I obr. 17: Převod šuového proudu i n do vstupního šuového napětí v n oto přepočítané napětí v n je ožné forálně sloučit s šuový napětí v nrb bázového odporu do jediného vstupního šuového zdroje v : Petr Kadaňka 19

19 obr. 18: Sloučení vstupníh šuovýh zdrojů v nrb a v n q k q k 1 v = vn + vnrb = 4krb + V = 4krb + = 4k r b + I q I q I V v = 4k rb + (1.58) I Výraz V rb + á rozěr ipedane a nazývá se ekvivalentní vstupní šuový odpor. I obr. 19: Závislost vstupního šuového napětí BJ tranzistoru na kolektorové proudu I Petr Kadaňka 0

20 Kitočet lou 1/f šuu (f K ) je pro NPN tranzistory většinou veli nízký i pod 1Hz. Proto jsou NPN tranzistory veli vhodné pro nízkošuové aplikae určené pro veli nízké kitočty. Pro výpočet šuovýh vlastností základníh bloků (proudové zradlo, difereniální stupeň) je někdy výhodné převést šuové napětí bázového odporu do odpovídajíího šuového proudu kolektoru. obr. 0: Převod šuového napětí v nrb do šuového proudu i nrb i n i v g v Celkový šuový proud kolektoru i n je pak: = qi (1.59) I nrb = nrb = nrb (1.60) V I 4 q rb inrb = 4V q rb = I (1.61) V V 4q rb n = n + nrb = + V i i i qi I rb I in = qi 1+ V (1.6) Šuové vlastnosti základníh bipolárníh bloků se pak počítají stejně jako vlastnosti obdobnýh osovýh bloků (proudovýh zradel, difereniálníh stupňů). Petr Kadaňka 1

21 . PRAXE

22 Příklad: Spočítejte a zěřte vstupní šuové napětí v tohoto eleentárního OZ: obr. 1: Eleentární OZ v bipolární proesu Pro V / V = ± 10V je hodnota proudu I = µ A. Byly zěřeny tyto hodnoty bázovýh CC EE odporů r bp a r bn pro PNP a NPN tranzistor. I = µ A r = 00Ω bp r = 450Ω bn g I I = = V V Pro výpočet vstupního šuového napětí v sečtee ( nekorelovaně ) šuové proudy všeh I tranzistorů a tento součet ( i n ) podělíe transkonduktaní g = : V rbp I rbn I in = inp + inn = 4qI qI 1+ V V in = qi 1+ ( ) r + r I bp bn V ( ) in in q r + r I v = = V = V 1+ g I I V Vypočítaná hodnota pro I = µ A v = 9,9 nv Hz bp bn Siulovaná hodnota pro I = µ A v = 10, nv Hz Zěřená hodnota pro I = µ A v = 9,8nV Hz Petr Kadaňka

23 Vidíe veli dobrý souhlas ezi zěřenou a teoretiky spočítanou hodnotou vstupního šuového napětí v. Na následujíí obrázku je ěrií zapoje a výsledek ěření pro tento příklad. Pokud očekáváe že šuové napětí ěřeného zapojení je veli nízké, je zapotřebí vzít v úvahu i vstupní šu vlastního analyzátoru který ůže ěření význaně ovlivt. Buď jeho hodnotu zěříe (zkratujee vstup analyzátoru a odečtee jeho vstupní šu) a poto odečtee (nekorelovaně) od zěřené hodnoty šuu. Nebo (jako v toto případě) zapojíe ěřený operační zesilovač s dostatečně vysoký zpětnovazební ziske který vstupní šu ěřeného OZ vynásobí na hodnotu proti níž je hodnota vstupního šuu analyzátoru zanedbatelná. Zpětnovazební odpory usí být tak alé aby jejih vlastní šu ěření neovlivl. obr. : Šuové spektru OZ z obr. 1 se ziske A V =11 Petr Kadaňka 3

24 Šuové vlastnosti bipolárního difereniálního stupně s aktivní zátěží jsou na nízkýh kitočteh zásadní způsobe ovlivněny loovou frekvení 1/f šuu PNP tranzistorů aktivní zátěže. Běžné NPN tranzistory ají hodnotu f K veli nízkou (jednotky Hz), zatío u PNP tranzistorů je hodnota frekvene f K i ve stovkáh Hz. Vysoká hodnota loové frekvene f K PNP tranzistoru výrazně degraduje šuové vlastnosti difereniálního NPN stupně s PNP aktivní zátěží na nízkýh kitočteh (jednotky až desítky Hz). V takovéto případě je vhodné použít NPN difereniální stupeň s odporovou zátěží. poznáka: V případě lineárníh regulátorů je požadavek na šuové vlastnosti většinou vyjádřen integrální hodnotou šuu v kitočtové pásu f 1 -f. Je-li toto páso např. 10Hz-100kHz, stačí když je hodnota f K <,7kHz (vztah(1.1)). V takovéto případě je použití aktivní zátěže difereniálního stupně vhodné, použití odporové zátěže zde nepřinese viditelné zlepšení (snížení) integrální hodnoty šuového napětí. Petr Kadaňka 4

25

26