POSOUZENÍ PŘESNOSTI PŘECHODNÉHO STANOVISKA URČENÉHO Z MINIMÁLNÍHO POČTU DANÝCH BODŮ A MĚŘENÝCH VELIČIN

Transkript

1 borník věeckých prací Vysoké školy báňské Technické univerzity Ostrava Řaa hornicko-geologická Volume L (4) No. p IN Michal MUDRA * OOUZENÍ ŘENOTI ŘECHODNÉHO TANOVIKA URČENÉHO Z MINIMÁLNÍHO OČTU DANÝCH BODŮ A MĚŘENÝCH VELIČIN ARAIAL OF ACCURAC OF FREE OITRON WITH MINIMUM OF GIVEN OINT AND OF MEAURED QUANTITIE Abstrakt estavení chybového moelu geoetické úlohy pro posouzení přesnosti přechoného stanoviska při minimu aných boů a měřených veličin a při přeurčení úlohy jenou měřenou veličinou. Řešení přeurčené úlohy pseuoinverzní maticí vypočtenou VD-rozklaem. Abstract By the article a compilation of error moel of geoetic problem for appraisal of accuracy of a free position with minimum of given points an of measure quantities an with overetermining of problem by means of a single measure quantity is iscusse. A solution of overetermine problem by pseuoinverse matrix calculate by VD reuction is given. Key wors: free position error moel VD reuction. Úvo V geoetické praxi se mohou vyskytnout přípay ky jsou souřanice přechoného stanoviska určovány z minimálního počtu aných tey pouze ze vou boů o známých souřanicích. K vyřešení úlohy pak postačuje změření úhlu mezi anými boy a élky k jenomu z nich (literatura tuto úlohu něky označuje jako rajón z určovaného bou). ři úvaze o přesnosti takto určeného přechoného stanoviska je možné uplatnit moel geoetické úlohy (ále jen MGÚ) popsaný např. v []. řesnost libovolné geoetické úlohy závisí na: řesnosti měření (v MGÚ přestavuje matice * M t ). oužité metoě (v MGÚ přestavuje matice D). Rozložení boů určovaných (v MGÚ přestavuje matice A ). Rozložení boů aných (v MGÚ přestavuje matice A ). řesnosti aných boů (v MGÚ přestavuje matice M x ). Označení je shoné s []. Význam uveených matic je násleující: Diagonální prvky matice * M t tvoří čtverce směroatných ochylek měřených veličin. rvky matice D tvoří parciální erivace zprostřekujících vztahů pole měřených veličin (matice plánu). rvky matice A tvoří parciální erivace zprostřekujících vztahů pole určovaných souřanic. rvky matice A tvoří parciální erivace zprostřekujících vztahů pole souřanic aných boů. Diagonální prvky matice M x tvoří čtverce směroatných ochylek polohových poku je u aných boů známe. Výslená přesnost určovaného bou je potom ána kovarianční maticí: * Ing. Ing. Jiří OLŠAR-ZEMĚMĚŘICTVÍ JEENÍK Husova 9 79 Jeseník zemjes.m@iol.cz 9

2 ke B.D. * M t.d T.B T + B.A. M x.a T.B T () B A -. () V mnoha přípaech lze přepokláat že oba ané boy buou přístupné bue tey možné měřit élku k oběma aným boům. Úloha potom bue jenou měřenou veličinou přeurčena. Cílem rozboru je zjistit o jaké míry je možné tímto minimálním přeurčením zlepšit řešení celé úlohy. estavení úlohy Byla sestavena teoretická úloha ve které je přechoné stanovisko určováno z různých kombinací vou ze čtyř aných boů. Dané boy byly voleny tak aby rozíly mezi jenotlivými kombinacemi byly poku možno maximální (viz obr. ). Kažá varianta byla řešena pro minimální i nabytečný počet měřených veličin. V úloze byly ané boy považovány za bezchybné (σ ) čímž se vztah () upraví: B.D. * M t.d T.B T. () řesnost měření byla volena s přihlénutím k pomínkám osažitelným při porobném měření: (σ mm σ 5 mgon). řechoné stanovisko bylo určeno kombinací vou z těchto čtyř aných boů: Tabulka : ouřanice aných boů BOD A 5 m m B 5 m m C 5 m m D 5 m m Vypočtený bo má ve všech variantách souřanice: Tabulka : ouřanice určovaného bou BOD 5 m m rincip výpočtu přesnosti bou bue ukázán v násleujících kapitolách na variantě (viz obr. ). Výpočet přesnosti úlohy s minimálním počtem měřených veličin - varianta a Měřeno: Tabulka : Měřené veličiny Volba zprostřekujících vztahů: Tabulka 4: Zprostřekující vztahy estavení matic D A M t : Veličina Velikost σ 5 m mm 645 gon 5 mgon B gon 5 mgon * * B - * ω arctg + arctg D 4

3 A B B * ρ cc B B 995 cc 66 * ρ 995 M t iag.( σ σ σ ) iag.(6565) o osazení o vztahů () a () bue kovarianční matice: M Obr. : Varianty výpočtu Výpočet přesnosti úlohy s jenou nabytečnou veličinou - varianta b Měřeno: Tabulka 5: Měřené veličiny Volba zprostřekujících vztahů: Tabulka 6: Zprostřekující vztahy 5 m mm B 5 m mm 645 gon 5 mgon B gon 5 mgon * * B * B - * ω arctg + + arctg 4

4 estavení matic D A M t :.(6565) ).( * * iag iag M A t cc B B cc B B σ σ σ σ ρ ρ D (4) Výpočet pseuoinverzní matice VD-rozklaem Jelikož je matice A singulární nelze ji osait o vztahu () a úloha se bue řešit např. pomocí matice pseuoinverzní. Nejprve se provee VD-rozkla (z anglického ingular Value Dekomposition singulární rozkla matice) pole schématu na obr.. Obr. : chéma singulárního rozklau matice Matice D na obr. (pozn.: matice D (kk) na obr. nemá žánou souvislost s maticí plánu D) je iagonální matice obsahující singulární čísla matice A U a V jsou ortogonální popř. unitární matice tj. platí U.U T I a V.V T I ke I je jenotková matice opovíajících rozměrů D je iagonální matice s reálnými nezápornými čísly na iagonále sestupně uspořáanými a platí A U.D.V T. Matici A (4) lze tey zapsat: * * A. Matice pseuoinverzní k matici A se vypočte z VD-rozklau pole schématu na obr.. 4

5 Obr. : chéma výpočtu pseuoinverzní matice k matici A 6 + A B O správném výpočtu pseuoinverzní matice se lze jenouše přesvěčit zkouškou: B* A. orobně je VD rozkla popsán např. v []. o osazení o vztahu () bue kovarianční matice: M roblém špatně pomíněných matic ři ekompozici singulární matice A je třeba počítat s tím že úloha bue v některých přípaech velmi špatně řešitelná nebo nebue řešitelná vůbec. To může nastat tehy je-li matice A špatně pomíněna. Možnost či nemožnost ekompozice špatně pomíněných matic je problém spíše oboru teorie matic a nebue ze řešen. Na tomto místě je obré jen poukázat na fakt že ekompozice je o jisté míry závislá na čísle pomíněnosti matice které je vypočteno ze singulárních čísel které tvoří matici D (jsou-li singulární čísla σ > σ > > σ n je číslo pomíněnosti Con(A ) σ /σ n ) čím vyšší je číslo pomíněnosti tím je matice lépe pomíněna. Úloha se stane špatně řešitelnou např. tehy je-li rozložení aných k určovanému bou takové že úhel ω u určovaného bou bue násobkem gon a strany B jsou orientovány rovnoběžně se souřanými osami. Dvě takové varianty včetně obecného zápisu matice A je znázorněno na obr. 4a 4b. a) b) Obr. 4: Varianty špatně řešitelné úlohy A k Con ( A k ( B ω n * k ) 8 54 k R ) g A k Con ( A ) 4 4 ři sestavování teoretické úlohy bylo snahou vyhnout se těmto extrémním rozložením boů a úloha byla volena poku možno obecně. ice ve variantě b (obr. ) je úhel ω gon ale obrazec je situován obecně k souřaným osám čímž se číslo pomíněnosti matice Con(A ) zvýší z 85 na 94. Obobně u varianty b (obr. ) se natočením stran a změnou úhlu ω číslo pomíněnosti změní ze 4 na 9! U varianty b (obr. ) je číslo pomíněnosti 4. 4

6 Výpočet přesnosti přechoem na úlohu protínání z élek Měřeno: Tabulka 7: Měřené veličiny 5 m mm 5 m mm 645 gon 5 mgon B gon 5 mgon Z měřených honot se k rozboru přesnosti použijí pouze élky. Volba zprostřekujících vztahů: Tabulka 8: Zprostřekující vztahy estavení matic D A M t : * * + + D A σ M t σ o osazení o vztahu () bue kovarianční matice: M ro varianty a (obr. ) byly naměřeny honoty: Tabulka 9: Nutný počet měření Varianta B 5 m mm B gon 5 mgon 645 gon 5 mgon Tabulka : jenou nabytečnou veličinou B 5 m mm 5 m mm B gon 5 mgon 645 gon 5 mgon Tabulka : rotínání z élek B 5 m mm 5 m mm 44

7 Tabulka : Nutný počet měření Varianta 5 m mm 645 gon 5 mgon D 645 gon 5 mgon Tabulka : jenou nabytečnou veličinou 5 m mm D 5 m mm 645 gon 5 mgon D 645 gon 5 mgon Tabulka 4: rotínání z élek 5 m mm D 5 m mm orovnání výsleků řesnost úlohy je charakterizována: a) Kovarianční maticí. b) Elipsou chyb (poloosy ab úhel stočení hlavní poloosy a). Úhel stočení elipsy chyb se vypočte: * cov tgω. σ σ x xy y ři výpočtu je nutno uvažovat kvarant obobně jako při výpočtu směrníku. Úhel ω nabývá honot z intervalu < 4 gon). Úhel ω tey může nabývat honot < gon). Úhel stočení je vlastně směrník hlavní poloosy elipsy chyb tey úhel o osy k poloose a []. Honoty poloos se vypočtou: a b σ * cos ω + cov x σ *sin ω cov x xy xy *sin ω + σ *sin ω *sin ω + σ *cos ω. y y c) měroatnou ochylkou polohovou a směroatnými ochylkami v osách. Všechny tyto charakteristiky přesnosti pro jenotlivé uvažované varianty rozložení aných boů jsou přehleně znázorněny na obr. 5-7 a v tab ozn.: Obrázky 5-7 jsou zmenšeny měřítka na obrázcích uveené tey neplatí. Tabulka 5: Varianta (úhelélka) Úloha přeurčená (úhel élky) ω 5 gon ω gon ω gon a 747 mm a 8 mm a 76 mm b 7 mm b 7 mm b 7 mm σ x 8 mm σ x 8 mm σ x 76 mm σ y.5 mm σ y 7 mm σ y 7 mm σ xy 44 mm σ xy 764 mm σ xy 7 mm ( élky)

8 Obr. 5: Varianta Obr. 6: Varianta Tabulka 6: Varianta (úhelélka) Úloha přeurčená (úhel élky) ( élky) p 5 5 ω 9989 gon ω gon ω gon a 979 mm a 6795 mm a 76 mm b 756 mm b 9 mm b 7 mm σ x 979 mm σ x 6795 mm σ x 76 mm σ y 85 mm σ y 9 mm σ y 7 mm σ xy 994 mm σ xy 69 mm σ xy 74 mm 46

9 Obr. 7: Varianta Tabulka 7: Varianta (úhelélka) Úloha přeurčená (úhel élky) ( élky) ω gon ω 996 gon ω gon A 54 mm a 7 mm a mm b 96 mm b 85 mm b mm σ x 54 mm σ x 7 mm σ x mm σ y.96 mm σ y 8 mm σ y mm σ xy 5 mm σ xy 7 mm σ xy 44 mm Závěr Nutný počet měření pro určení přechoného stanoviska z minimálního počtu aných boů a měřených veličin může být vojí: a) měřeny byly směry na va ané boy a élka k jenomu z nich b) měřeny byly élky k oběma aným boům (protínání z élek úloha může mít obecně řešení). V článku bylo proveeno porovnání obou těchto variant s variantou ky byla změřena jena veličina navíc tey směry na ané boy a élky k oběma těmto boům. Z grafických i numerických výsleků (obr. 5-7 tab. 5-7) je možno vyslovit vě zjištěné skutečnosti:. jenou nabytečnou veličinou bylo osaženo zvýšení přesnosti v určení polohy přechoného stanoviska. Tento závěr byl přepokláán neboť se vzrůstajícím počtem měření roste i pravěpoobnost získání věrohonějšího výsleku. To platí zejména tehy je-li soubor měření velmi malý.. řeurčením se v jistém smyslu sníží závislost na rozložení aných boů a to výrazně je-li volba aných boů proveena (teoreticky) nesprávně. V přípaě varianty (obr. ) varianta nevhoná pro úlohu protínání z élek je výsleek při porovnání apriorních σ xy 9-krát příznivější než (nesprávně) použitá metoa protínání z élek a 4-krát příznivější než úloha rajón z určovaného bou. V přípaě varianty (obr. ) varianta nevhoná pro úlohu rajón z určovaného bou je výsleek při porovnání apriorních σ xy 4-krát příznivější než úloha rajón z určovaného bou a srovnatelný s metoou protínání z élek. 47

10 řestože jsou tyto úvahy pouze teoretické je jistě možné promítnout je i o praktické sféry. K nevhoné volbě rozložení aných boů by v praxi nemělo vůbec ocházet. Taková volba může mít půvo buďto v neznalosti měřiče nebo tehy nemá-li měřič jinou možnost. V takové situaci je proto úsuek měřiče velmi ůležitý. Je nutno zvážit jestli pomínky buou ostačující pro anou přesnost měření nebo bue výhonější zvolit jinou metou. Literatura [] Dušek R. Vlasák J.: Geoézie 4. kriptum ČVUT raha s. [] Krajník E.: Maticový počet. kriptum ČVUT raha s. ummary In geoesy an in technical practice as well some numerical problems may occur which are appointe by a minimum number of mensurations (appointe task or problem) or by a certain number of reunant mensurations (over etermination task or problem). If there are numerous mensurations by which the task is cause etermine a single computation might be etermine for instances by means of application of least square metho an then an aposteriori characterization of accuracy can be obtaine. On the contrary if there is a minimum number of the mensurations it is possible to etermine an aposteriori accuracy from the known apriori accuracy characterization by using the moel of geoetic tasks escribe for instance in []. By this metho a mathematical relation of five matrices is etermine computation itself is efine by the relation (). A ifferent situation may occur if the task is cause etermine but the cause etermine mensurations are not so numerous as to enable application of a least square metho e.g. there is but one cause etermine quantity. An application of least square metho woul be wrong because the conitions of normal iviing of acciental quantities into a mensuration file woul not be qualifie. The overetermination woul be singular if for a geoetic problem a single error moel have been applie. An error moel of geoetic problem can be applie only in case of removal of such singularity. One of possibilities of how to remove the singularity is computation of a pseuoinverse matrix e.g. by a singular reuction. In the article an analysis of accuracy of geoetic problem of free position with a minimum number of mensurations is presente i.e. of a problem being cause etermine by a single quantity. It is justifie by the fact that this variation occurs very frequently in practice. With a minimum number of measure quantities the analysis can be ae by means of intersection into lengths of task as the computation of this task can be overetermine at some reliable conitions. This solution can be mae for iverse configurations of given points to a given point (etaile variations are epicte in Fig. ). The aim of the analysis iscusse by this article is to ascertain how big the specification with cause etermination of task by a single quantity is especially in situations where the configuration of given points is not much apposite to the point to be etermine. Results of each variation are epicte graphically (see Fig. 5 through 7) an numerically (charts N 5 through 7). By the results the fact is emonstrate that in some variations a minimum of cause eterminations coul lea to a big specification in examples stuie with not much apposite configuration of given points to a point being etermine. Although such configurations are not convenient they may occur in practice. In this case it is suitable to take into consieration the accuracy of given task whether the accuracy is aequate for given purpose or whether it is better to select a ifferent measuring metho. Recenzenti: Ing. Jan Ratiborský Cc. Fakulta stavební ČVUT raha rof. Ing. Štefan okol h.d. tavební fakulta TU Bratislava. 48