1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "1 Parciální diferenciální rovnice prvního řádu"

Vratislav Pavlík
před 4 lety
Počet zobrazení:

1 1 Parciální iferenciální rovnice prvního řáu 11 Lineární homogenní parciální iferenciální rovnice ve vou nezávisle proměnných ax, y + bx, y0 1 Řešenímjefunkce uux, y Hleáme vrstevnice funkce u Nechť mají parametrické vyjáření x xs, y ys Pak u xs, ys constatey s u xs, ys s + y y s 0 Porovnáníms1viíme,žepokufunkce xxs, yysjsouřešenímisystémuautonomních obyčejných iferenciálních rovnic x ax, y, y 2 bx, y, ke označujeobyčejnouerivacipolenezávisleproměnné s,pakjsouparametrickýmirovnicemi vrstevnic řešení rovnice1 Systém2 se nazývá charakteristická soustava rovnic rovnice 1, jeho trajektorie se nazývají charakteristiky rovnice1 Nechť rovnice ϕx, y c je implicitním popisem charakteristik rovnice1, tj vrstevnic řešenítétorovnice,aφjelibovolnáiferencovatelnáfunkcejenéproměnnépak uux, y Φ ϕx, y jeobecnýmřešenímrovnice1 D: Pole řetězovéhopravila proparciálníerivacisloženéfunkceje ϕ Φ, ϕ Φ y y, nacharakteristikách xxs, y ysplatí ϕ xs, ys catey x, y x, y ax, y + bx, y Φ ϕx, y x ϕ s +y s Φ ϕx, y ϕx, y a ϕ y + b Φ ϕx, y ϕx ϕx, y y s + ϕ y y s Φ ϕx, y s ϕ xs, ys 0 12 Okrajová úloha pro lineární homogenní parciální iferenciální rovnice ve vou nezávisle proměnných Nechť x ϕσ, y ψσ je parametrický popis rovinné křivky, která protíná kažou z charakteristikrovnice1právějenou,anechť fjefunkcesestejnýmefiničnímoboremjako ϕaψ Pomínka u ϕσ, ψσ fσ 3 se nazývá okrajová pomínka pro rovnici1 Heuristická úvaha: Pomínku3 si lze přestavit jako prostorovou křivku Dále si lze přestavit, že máme vrstevnice řešení, tj charakteristiky, vytvořené např z rátu Tyto vrstevnice umisťujeme na křivku vyjařující okrajovou pomínku Nechť charakteristiky rovnice1, tj trajektorie systému2, mají obecné parametrické vyjáření x xs, c 1, c 2, 4 y ys, c 1, c 2, 1

2 ke c 1, c 2 jsouintegračníkonstantydálenechťokrajovápomínkajeparametrickyvyjářena rovnicemi xϕσ, yψσ, ufσ Projenuhonotuparametru s,řekněmepro s0,vrstevniceprotínákřivku,nanížjezaána okrajoví pomínka, tey x0, c 1, c 2 ϕσ, y0, c 1, c 2 ψσ Ztěchtorovnicvypočítámekonstanty c 1, c 2 vzávislostinaparametru σ,tey c 1 c 1 σ, c 2 c 2 σtotovyjářeníosaímeo4aostanemesoustavuvourovicprověneznámé saσ: xx s, c 1 σ, c 2 σ, yy s, c 1 σ, c 2 σ Tutosoustavuvyřešíme;zejménavyjáříme σpomocí xay,tj σσx, yaosaímeoposlení zrovnic5tímostanemeřešeníúlohy1,3vetvaru ux, yf σx, y 13 Quasilineární parciální iferenciální rovnice prvního řáu ve vou nezávisle proměnných ax, y, u + bx, y, u cx, y, u 6 Řešením je opět funkce u ux, y Přepokláejme, že toto řešení je implicitně áno rovnicí Fx, y, u0,tey F x, y, ux, y 0 Otu ostaneme x F x, y, ux, y F + F 0, y F x, y, ux, y F y + F y 0 Prvníztěchtorovnicvynásobímefunkcí a,ruhouznichfunkcí b,sečtemejeaupravímesvyužitím 6: 0a F + b F y + F a + b a F y + b F y + c F Poku funkce x xs, y ys a u us jsou řešením násleující charakteristické soustavy rovnic rovnice6 x ax, y, u, pak pole přechozí rovnosti platí y bx, y, u, u cx, y, u, s F xs, ys, us F x s + F y ys + F u s F F F a+ b+ y c0 Trajektorie systému autonomních obyčejných iferenciálních rovnic7 prostorové křivky se nazývají charakteristiky rovnice6 Z proveeného výpočtu plyne, že poél charakteristik je funkce F konstantní Nechťrovnice ϕ 1 x, y, uc 1 a ϕ 2 x, y, uc 2 jsouimplicitnímpopisemcharakteristikrovnice 6jenorozměrné variety v třírozměrném prostoru a Φ je libovolná iferencovatelná funkce vou proměnných Pak funkce u ux, y implicitně zaaná rovnicí je obecným řešením rovnice6 Φ ϕ 1 x, y, u, ϕ 2 x, y, u

3 D: Rovnici8,vníž upovažujemezafunkciproměnných xay,erivujmeparciálněpole proměnné x: 0 Φ ϕ1 + + Φ ϕ2 + Φ + Φ + Označíme-li A Φ + Φ,ostanemezpřechozírovnosti 1 A Analogickým postupem bychom ostali y 1 A Poněvaž na charakteristikách platí ostaneme vzhleem k7: a Φ + b y 1 A 1 Φ A + Φ s ϕ 2 Φ + Φ Φ y + Φ y Φ + Φ s ϕ 1 xs, ys, us 0, s ϕ 2 xs, ys, us 0 ϕ1 a+ ϕ 1 y b + Φ ϕ2 a+ ϕ 2 y b ϕ1 x s + ϕ 1y + Φ ϕ2 x y s s + ϕ 2y y s 1 Φ A s ϕ 1 xs, ys, us + t u xs, ys, us 1 Φ s A + Φ u s c Nechť xϕσ, yψσjeparametrickýpopisnějakérovinnékřivky,anechť f jereálná funkce se stejným efiničním oborem jako funkce ϕ, ψ Pomínka u ϕσ, ψσ fσ 9 se nazývá okrajová pomínka pro rovnici6 Okrajovou úlohu řešíme analogicky jako okrajovou úlohu1,3: Nechť charakteristiky rovnice6 mají parametrické vyjáření x xs, c 1, c 2, c 3, y ys, c 1, c 2, c 3, u us, c 1, c 2, c 3, 10 ke c 1, c 2, c 3 jsounějakékonstantymá-lisoustavarovnic x0, c 1, c 2, c 3 ϕσ, y0, c 1, c 2, c 3 ψσ, u0, c 1, c 2, c 3 fσ 11 3

4 proneznámé c 1, c 2, c 3 řešení c 1 c 1 σ, c 2 c 2 σ, c 3 c 3 σ,osaímejeoprvníchvou rovnic soustavy10: x x s, c 1 σ, c 2 σ, c 3 σ, y y s, c 1 σ, c 2 σ, c 3 σ Má-litatosoustavarovnicřešení σ σx, y, ssx, y,osaímejeotřetízrovnic10tím ostaneme řešení úlohy6,9 ve tvaru uu sx, y, c 1 σx, y, c2 σx, y, c3 σx, y 14 Quasilineární parciální iferenciální rovnice prvního řáu Rovnici a 1 x 1,,x n, u x 1,,x n 1 + +a n x 1,, x n, u x 1,, x n n fx 1,, x n, u,12 ke a 1,,a n, fjsoufunkce n+1proměnnýchaujehleanáfunkce nproměnných,nazýváme quasilineární parciální iferenciální rovnice prvního řáu; v přípaě f 0 homogenní, v opačném nehomogennípokufunkce a 1,,a n nezávisínaposleníproměnnéafunkce fzávisínaposlení proměnné lineárně, nazýváme tuto rovnici lineární parciální iferenciální rovnice prvního řáu Soustavu obyčejných iferenciálních rovnic s x 1s a 1 x1 s,, x n s, us, s x ns a n x1 s,, x n s, us, s ut f x 1 s,, x n s, us, nazývámerozšířenácharakteristickásoustavarovnice12trajektorie x 1 s,, x n s, us řešenícharakteristickésoustavykřivkyvprostoru R n+1 nazývámecharakteristikyrovnice12 Buď D R otevřenámnožinaa Γ {x 1,,x n R n : x 1 ϕ 1 σ 1,,σ,, x n ϕ n σ 1,, σ,σ 1,,σ D} regulární-rozměrnánaplochavn-rozměrnémprostoru R n Dálebuď u 0 u 0 σ 1,,σ spojitá funkce efinovaná na D Pomínka uϕ 1 σ 1,, σ,,ϕ n σ 1,,σ u 0 σ 1,, σ, σ 1,, σ D 13 se nazývá okrajová pomínka pro rovnici12 Jsou-lifunkce a 1,,a n, f iferencovatelné,pakcharakteristickásoustavascauchyovými pomínkami x 1 0 ϕ 1 σ 1,,σ, x n 0 ϕ n σ 1,,σ, u0 u 0 σ 1,, σ, máprokažéσ 1,,σ DjeinéřešenípolePicarovy-Linelöfovyvěty,viznapřKalas J, Ráb M: Obyčejné iferenciální rovnice, MU 2001, str 64 Označme toto řešení ψ1 s, σ 1,,σ,, ψ n s, σ 1,,σ, ψ n+1 s, σ 1,, σ 4

5 Platí ψ 1 0, σ 1,, σ ϕ 1 σ 1,,σ,, ψ n 0, σ 1,,σ ϕ n σ 1,, σ, tey ψ n+1 0, σ 1,, σ u 0 σ 1,, σ ψ i σ j 0, σ 1,, σ ϕ i σ j σ 1,,σ, i1,2,, n, j1,2, n 1, aále prokažéσ 1,, σ D ψ i s 0, σ 1,,σ a i ϕ1 σ 1,, σ,, ϕ n σ 1,, σ, u 0 σ 1,, σ Funkcemi ψ 1,,ψ n jeurčenozobrazeníψ:r D R n Jacobián J Jσ 1,,σ zobrazení Ψvboě0, σ 1,, σ je a 1 ϕ 1 σ 1,, σ,, ϕ n σ 1,, σ a n ϕ 1 σ 1,, σ,,ϕ n σ 1,,σ ϕ n σ 1,, σ σ 1,,σ σ 1 σ 1 ϕ n σ 1,, σ σ 1,,σ σ σ Je-li Jσ 1,,σ 0prokažéσ 1,,σ D,existujeinversnízobrazeníΨ 1 : R n R Dpole věty o existenci inversního zobrazení, viz např Došlá Z, Došlý O: Diferenciální počet funkcí více proměnných, MU 1999, str 84 Položme ux 1,, x n ψ n+1 Ψ 1 x 1,, x n Pak ujeřešeníúlohy12,13: k1 a k k k1 Toto řešení je jeiné x k s u s s + k j1 σ j σ j k u s k1 u s s s x k k s + s + j1 j1 σ j σ j σ j s k1 σ j x k k s u s f 15 Kanonický tvar parciální iferenciální rovnice prvního řáu ve vou nezávisle proměnných lineární v prvních erivacích ax, y + bx, y fx, y, u, 14 funkce a, bjsouefinoványnamnožině G R 2,funkce fjeefinovánanamnožině G R,pro funkce a, bplatí ax, y 0 bx, yprox, y GParciálnírovnici14přiřaímejejíobyčejnou charakteristickou rovnici y bx, y ax, y, 15 ke označujeobyčejnouerivacipole xpřepokláejme,žecharakteristickárovnice15má řešení, které lze implicitně zapsat ve tvaru ϕx, yc, 16 5

6 ke CjeintegračníkonstantaPakje ϕ x x, y+y ϕ y x, y0,tj aϕ x + bϕ y 0 17 Poznamenejme, že charakteristická rovnice lineární homogenní rovnice ve vou nezávisle proměnných1 je poílem jenotlivých rovnic charakteristické soustavy2 této rovnice a tey rovnost 16 vyjařuje charakteristiky rovnice1 také ve smyslu oílu 11 Položme ξ ϕx, y, ηy Pak ξ x η y ξ y η x ϕ x x, y,teynamnožině H { x, y R 2 : ϕ x x, y 0 } Gjezobrazení ξ, η:h R 2 prostétotozobrazenínamnožině Htransformujerovnici14narovnici Tuto rovnici lze upravit na tvar au ξ ϕ x + bu ξ ϕ y + u η f aϕ x + bϕ y u ξ + bu η f, takže vzhleem k17 a přepokláané nenulovosti funkce b platí u η ξ, ηfξ, η, u, ke F f/btatorovnicejekanonickýmtvaremrovnice14poněvažsevnívyskytujepouze jena parciální erivace, lze ji považovat za rovnici obyčejnou takovou, že hleaná funkce u je funkcí jené nezávisle proměnné η a závisí na parametru ξ 2 Cvičení Najěte obecné řešení rovnice 1 u x 6x 2 u y 3 u x +2u y 3 2z+ y xu x +z+ x yu y + zu z 0 4 u x + xu y u Najěte řešení rovnice, které splňuje anou pomínku 5 u x + yu y 0, u0, y 1 8 yu x xu y y 2 x 2, ux, ax 2 a 2 y 6 u t + au x 0, ux,0sinx 9 xzu x + yzu y + xy0, u x, 1 1 x 7 u t + au x x 2 t+1, ux,0x+2 102xu x + yu y 4u+1, ux,1x 2 Výsleky:1 ux, yφ2x 3 +y2 ux, y, zφ x+y 2z, z 2 x y 3 ux, y 3 2 +Φ2x y 4 ux, ye x Φx 2 2y5 ux, y ex y 6 ux, tsinx at 7 ux, t a2 12 t4 ax 3 t3 + x2 2 t2 a 1t+x+28 ux, yx 2 +y 2 +xy 2a 2 a x 2 + y 2 a 2 9 ux, y 2 xy10 ux, yx y4 1 6

Podobné dokumenty

F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x)

F (x, h(x)) T (g)(x) = g(x) 11 Implicitní funkce Definice 111 (implicitní funkce) Nechť F : R 2 R je funkce a [x 0, y 0 ] R 2 je takový bo, že F (x 0, y 0 ) = 0 Řekneme, že funkce y = f(x) je v okolí bou [x 0, y 0 ] zaána implicitně