2.8 Zobecnění vztahů mezi zatížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovině) df x =f x.ds df z =f z.ds. M+dM x. ds=r.dϕ.

Transkript

1 .8 Zobecnění vtahů mei atížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut atížený v rovině) µ x N V M dm µ df df x =R. MdM x NdN VdV Náhradní břemena: df x = x. df =. dm µ =µ. Obecný rovinný prut: spojité atížení silové ( x, ), momentové (µ) R / / R poloměr křivosti malé cos 1 sin tan Petr Kabele

2 V N M R dm µ / df df x =R. / VdV MdM NdN Rovnováha prutového elementu ( N N dn ) cos ( V V dv ) sin dfx = 0 ( N N dn ) sin ( V V dv ) cos df = 0 M M dm V V dv R dm µ = ( ) ( ) Petr Kabele

3 Úprava podmínek rovnováhy 1 / 1 / ( N N dn ) cos ( V V dv ) sin dfx = 0 ( N N dn ) sin ( V V dv ) cos df = 0 ( M M dm ) ( V V dv ) R dm µ = 0 anedbáme součiny dierenciálů dv. atd. a dosadíme a d ϕ =, df x, df, dm µ R dn V x = 0 R N dv = 0 R dm V µ = 0 : dn V = x R dv N = R dm = V µ (1) () (3) soustava dierenciálních rovnic pro N, V, M Petr Kabele

4 dm Pro µ = 0 se rovnice (3) jednoduší na V = (Schwedlerova věta) dm extrém ohybového momentu nastává v místě, kde = 0, tj. V = 0 Pro přímý prut R, takže rovnice (1), (), (3) se jednoduší na dn = x dv = dm = V µ (4) (5) (6) dm Jeli navíc µ = 0, pak V (7) = a tedy d M dv = = (8) d s Petr Kabele

5 .9 Důsledky dierenciálních vtahů mei atížením a vnitřními silami dn( s) = x ( s) (4) dn( s) x ( s) > 0 < 0 N( s) ce. klesající (a) dn( s) x ( s) < 0 > 0 N( s) ce. rostoucí (b) dn( s) x ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce N( s) (c) x (s) N(s) (a) (c) (b) Petr Kabele

6 derivace (4) ( ) d s = x d N s ( ) dx ( s) d N( s) > 0 ( x ( s) rostoucí) < 0 N( s) ce. konkávní dx ( s) d N( s) < 0 ( x ( s) klesající) > 0 N( s) ce. konvexní (a) (b) (a) (b) x (s) x (s) N(s) N(s) Petr Kabele

7 dv ( s) = ( s) (5) dv ( s) ( s) > 0 < 0 V ( s) ce. klesající (a) dv ( s) ( s) < 0 > 0 V ( s) ce. rostoucí (b) dv ( s) ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce V ( s) (c) (s) V (s) (a) (c) (b) Petr Kabele

8 d V s derivace (5) ( ) d ( s) = d ( s) d V ( s) > 0 ( ( s) rostoucí) < 0 V ( s) ce. konkávní d ( s) d V ( s) < 0 ( ( s) klesající) > 0 V ( s) ce. konvexní (a) (b) (a) (b) (s) (s) V(s) V(s) Petr Kabele

9 dm ( s) = V ( s) (předp.µ(s) = 0) (7) dm ( s) V ( s) > 0 > 0 M ( s) ce. rostoucí (a) dm ( s) V ( s) < 0 < 0 M ( s) ce. klesající (b) dm ( s) V ( s) = 0 = 0 extrém nebo inlex. b. ce M ( s) (c) V(s) M(s) rostoucí (a) (c) (b) klesající Petr Kabele

10 d M s ( ) dv ( s) = = ( s) (8) ( s) < 0 (s) dv ( s) ( V s ) > 0 ( ) rostoucí V(s) d M s ( ) > 0 M ( s) ce. konvexní M(s) Petr Kabele

11 d M s ( ) dv ( s) = = ( ) n s (8) n ( s) > 0 (s) dv ( s) ( V s ) < 0 ( ) klesající V(s) d M s ( ) < 0 M ( s) ce. konkávní M(s) Petr Kabele

12 dn x ( s) = ce. x 0 konst. lineární polynom n (4) ce. N konst. lineární kvadratická polynom (n1) o o dv = ( s) dm = V ( s ) µ ( s ) (5) (6) ce. 0 konst. lineární polynom n o ce. V konst. lineární kvadratická ce. M lineární kvadratická kubická polynom (n1) o polynom (n) o ce. µ 0 konst. lineární polynom n o ce. M konst. lineární kvadratická polynom (n1) o Petr Kabele

13 Příklad 1: Vykreslete průběhy posouvající síly a ohybového momentu. s max = 6 kn/m A v A h 3 m x 3 m B Petr Kabele

14 Petr Kabele

15 Příklad : Je nám průběh ohybového momentu na přímém prutu. Vykreslete odpovídající průběhy posouvající síly a atížení prutu Petr Kabele

16 .10Řešení průběhů vnitřních sil pomocí dierenciálních rovnic s okrajovými podmínkami Rovnice (4), (5) a (6) nebo (8) neávislé dierenciální rovnice pro N, V, M. Umíme řešit přímou integrací. x 1 N = C V = C M = ( V µ ) C = µ C s C 3 n 3 C 1, C a C 3 integrační konstanty, které určíme okrajových podmínek (námých hodnot N, V, M na okrajích koumaného prutu). úloha s okrajovými podmínkami Petr Kabele

17 Př. 1: Analyujte průběhy vnitřních sil. A v Normálová síla: dn s A h 5 m x max = 10 kn/m 10 o s = 1 s N( s) = s C1 = C okrajová podmínka ( rovnováha v b): B 1 Reakce: A h = 1.5 kn A v = 7.17 kn B = kn Transormace spoj. atížení 5 5 µ = 0 max x = s cos 60 = 1 s max = s sin 60 = 1.73 s takže N( s) N 5 5) = 0 C1 = 0 C ( 1 = s 1.5 = Nab = N(0) = 1.5 = 1.5 kn = ( Ah ) Petr Kabele

18 Posouvající síla: dv 1.73 s = 1.73 s V ( s) = 1.73 s C = C... pro výpočet integrační konstanty bychom mohli použít rovnováhu posouvající síly a svislé reakce v jednom krajních bodů. Následující postup je však výhodnější: Ohybový moment: dm 1.73 s 1.73 s = V = C M ( s) = C C s M ( s) = C s C okrajové podmínky pro moment (momentová rovnováha v a a b) : M ( 0) = 0 C 0 C3 = 0 C3 6 = Petr Kabele

19 okrajové podmínky pro moment (pokračování) : M ( 5) = 0 C 5 0 = 0 C 6 takže a M ( s) s = s s V ( s) = 7.17 = Vab = V (0) = 7.17 = 7.17 kn = A ( ) Vba = V (5) = 7.17 = kn = B v ( ) Při použití statických okrajových podmínek (předepsaná síla nebo moment nulová či nenulová) není nutno předem počítat reakce. Reakce pak můžeme použít pro kontrolu výsledků Petr Kabele

20 dn extrémní normálová síla: ( = x ) = 0 1 sextn = 0 sextn = 0m N = N(0) = 1.5 kn ext dv extrémní posouvající síla: ( = ) = sextv = 0 sextv = 0m V = V (0) = 7.17 kn ext extrémní moment: 1.73 s dm extm ( = V ) = = 0 s extm = ±.887 m M ext = M (.887) = = knm 6 Další extrémy hledáme na okrajích intervalu Petr Kabele

21 1.5 N (kn) V (kn) m M (knm) Petr Kabele

22 Př. : Vypočítejte unkce průběhů posouvající síly a ohybového momentu na intervalu (b, c): max =10 kn/m b c m a 5m 6m d D Reakce (pro výpočet bude stačit nát reakci D): a D D = 0 3 = 10 kn Petr Kabele

23 Posouvající síla: 10 ( s) = 10 s 6 dv ( s) 10 = ( ) 10 s s = 6 10 s V ( s) = ( s) C = 10s C = 10s s C 6 6 b a max =10 kn/m s 6m c d D Pro určení integrační konstanty musíme nát hodnotu posouvající síly v jednom krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme V cb reakce D. V = D = 10 kn V V C cb cb ( 6) (6) = C1 = 10 1 = V = V s s s 6 ( ) = Petr Kabele

24 Ohybový moment: 5 V ( s) = 10 s s 0 6 dm ( s) 5 = V ( s) = 10 s s s 5 s M ( s) = V ( s) C = 10 0s C = 5s s 0s C 18 b a max =10 kn/m s 6m c d D Pro určení integrační konstanty musíme nát hodnotu ohyb. momentu síly v jednom krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme M cb výpočtem prava. M M M C cb cb = 0 kn = M ( 6) (6) = = 0 = M ( s) = 5s s 0s 18 C Petr Kabele

25 Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám předmětu Stavební mechanika pro studenty Stavební akulty ČVUT v Prae. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualiován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby. Datum poslední revie: Petr Kabele