Kmitání struny. Jelikožpředpokládáme,ževýchylkystrunyjsoumalé,budeplatitcosϕ 1,2 1,takže můžeme psát. F 2 F 1 = F 2 u x 2 x.

Transkript

1 Kmitání struny 1 Odvození vnové rovnice Vnovou rovnici pro(příčné) vny šířící se na struně odvodíme za předpokadu, že výchykastruny u(x, t)vrovině,vnížstrunakmitá,jemaá,cožnámumožníprovésthned někoik zjednodušení. Pro vychýení eementu struny déky x můžeme u psát pohybovou rovnici ϕ 1 m 2 u t 2 = 2 1, (1) kde m=µ xjehmotnosteementu(µjehmotnoststrunyvztaženánajednotkudéky), 1 a 2 jsou sožkami síy napínající strunu, jejíž veikost uvažujeme konstantní(bez ohedu na vychýení struny). Prorozdí 2 1,vizobrázek,patí 2 1 = (sin ϕ 2 sin ϕ 1 ). 1 x ϕ 2 2 Obrázek 1: Eement struny. Jednotivé osy (pro názornost) nejsou v měřítku. Jeikožpředpokádáme,ževýchykystrunyjsoumaé,budepatitcosϕ 1,2 1,takže můžeme psát ( u 2 1 (tanϕ 2 tan ϕ 1 )= u ). (2) x x=x + x x x=x Použitím Tayorova rozvoje dostaneme u(x+ x, t) u(x, t)+ takže dosazením do vztahu(2) můžeme psát 2 1 = 2 u x 2 x. u(x, t) x, x Dosazením tohoto výsedku do pohybové rovnice(1) dostaneme vnovou rovnici µ x 2 u t = 2 u 2 x 2 x µ x 2= t. 2 1 x

2 Výchyku u(x, t) struny kmitající v jedné rovině tedy můžeme popsat pomocí vnové rovnice x 1 =, (3) 2 vf 2 t2 kdeprofázovourychost v f vnyšířícísepostruněpatí v f = µ, kde je veikost síy napínající strunu a µ hmotnost struny vztažená na jednotku její déky. 2 Řešení vnové rovnice Jestiže je struna déky napříkad v hudebním nástroji na koncích upnuta, musí patit (okrajové podmínky) u(x=, t)=u(x=, t)=. (4) Budeme předpokádat, že v čase t = patí(počáteční podmínky) u=u (x), u =, (5) t t= což znamená, že struna má nějakou počáteční výchyku a nuovou počáteční rychost. Řešení vnové rovnice můžeme zkusit naézt násedujícím způsobem. Budeme předpokádat, že kmitání struny je periodické v čase. Za tohoto předpokadu můžeme psát (ourierova řada) c n (x)sin nωt+d n (x)cosnωt, (6) kde ω = 2π/T je zákadní kruhový kmitočet a T perioda. Spočítáme druhé derivace výchyky x 2 = t 2 = c n (x)sin nωt+d n (x)cosnωt, n 2 ω 2 c n (x)sin nωt n 2 ω 2 d n (x)cos nωt a výsedek dosadíme do vnové rovnice(3). Po drobných úpravách dostaneme (7a) (7b) [ c n (x)+n 2 k 2 c n (x) ] sin nωt+ [ d n (x)+n2 k 2 d n (x) ] cosnωt=, (8) 2

3 kde k = ω/v f jevnovéčíso.rovnice(8)bude(provšechnyčasy t)spněnatehdy, jestiže bude současně patit c n(x)+n 2 k 2 c n (x) =, d n (x)+n2 k 2 d n (x) =. (9a) (9b) Jedná se o obyčejné diferenciání rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty, jejichž řešení snadno dostaneme ve tvaru c n (x)=c 1n sin nkx+c 2n cosnkx, d n (x)=d 1n sin nkx+d 2n cos nkx. (1a) (1b) Dosazením těchto výsedků do řady(6) dostaneme řešení vnové rovnice ve tvaru (C 1n sin nkx+c 2n cosnkx)sin nωt+ Vypočteme časovou derivaci výchyky u t = nω(c 1n sin nkx+c 2n cosnkx)cosnωt +(D 1n sin nkx+d 2n cosnkx)cosnωt. (11) nω(d 1n sin nkx+d 2n cos nkx)sin nωt. (12) Má-i být tato derivace v čase t = nuová(počáteční podmínky(5)) můžeme dosazením do vztahu(12) psát = nω(c 1n sin nkx+c 2n cosnkx), což může být(pro všechna x) spněno, pokud bude patit C 1n = C 2n = pro všechna n. Řešení(11) vnové rovnice se tak zjednoduší do tvaru (D 1n sin nkx+d 2n cos nkx)cosnωt. (13) Má-ibýtvýchykastrunypro x=nuová,musípodosazenídovztahu(13)patit = D 2n cos nωt D 2n =. 3

4 Řešení(13) se tedy dáe zjednodušuje do tvaru D n sin nkxcosnωt. (14) Podedruhéokrajovépodmínkymápatit u(x=, t)=.tonastanepouzetehdy, bude-i spněno sin nk= k=π k= π, ω= kv f= π v f, takže dosazením do vztahu(14) dostaneme D n sin nπx cos nπv f t. (15) Kmitání struny se tedy sestává z jednotivých módů reprezentovaných jednotivými sinusovkami(sin nπx/).strunaznípouzenaněkterýchkmitočtech f n,prokterépatí ω n = nπv f f n = ω n 2π = n 2 µ. Nejnižší(zákadní) kmitočet dostaneme pro n = 1, ostatní kmitočty jsou ceočísenými násobky zákadního kmitočtu, nazývají se vyšší harmonické. Zbýváurčitkoeficienty D n vevztahu(15),jejichžveikostodpovídáampitudějednotivých harmonických. Včase t=mápatitpočátečnípodmínka u(x, t=)=u (x) u (x)= D n sin nπx. (16) Koeficienty D n najdemepomocítzv.ourierovafígu.oběstranyrovnosti(16)vynásobíme výrazem sin mπx/, kde m je přirozené číso, a zintegrujeme v mezích,, takže dostaneme u (x)sin mπx dx= D n sin nπx sin mπx dx. (17) Jeikož patí sin nπx sin nπx sin mπx sin mπx dx= pro n m, dx= 2 4 pro n=m,

5 dostanemedosazenímdorovnosti(17)vztahyprojednotivékoeficienty D m vetvaru D m = 2 u (x)sin mπx dx. Kmitání struny tedy můžeme popsat pomocí krásného a přehedného vzorce 2 ( u (x)sin nπx ) dx sin nπx cos nπv f t. Koukněte se do přísušného mapovského worksheetu na konkrétní příkad a animace. 5