Kristýna Kuncová. Matematika B2

Transkript

1 (8) Funkce více proměnných Kristýna Kuncová Matematika B2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 1 / 19

2 Parciální derivace Definice Derivaci funkce f : R R v bodě a definujeme jako limitu f f (a + h) f (a) (a) := lim, h 0 h Zdroj : Definice Zdroj : Parciální derivaci funkce f v bodě a = (a 1, a 2 ) R 2 podle proměnné x definujeme jako limitu f (a) = lim x h 0 f (a 1 + h, a 2 ) f (a 1, a 2 ). h Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 2 / 19

3 Parciální derivace Definice Parciální derivaci funkce f v bodě a = (a 1, a 2 ) R 2 podle proměnné x definujeme jako limitu Definice f (a) = lim x h 0 f (a 1 + h, a 2 ) f (a 1, a 2 ). h Parciální derivaci funkce f v bodě a = (a 1, a 2 ) R 2 podle proměnné y definujeme jako limitu f (a) = lim y h 0 f (a 1, a 2 + h) f (a 1, a 2 ). h Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 3 / 19

4 Parciální derivace II Zdroj : Zdroj : PDerv.htm Poznámka Pustit si animaci. Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 4 / 19

5 Parciální derivacei - příklad I Otázka Jak to vypadá s parciálními derivacemi v bodě P? A f f x > 0, y > 0 B f f x < 0, y > 0 C f f x > 0, y < 0 D f f x < 0, y < 0 B Zdroj: conceptests/question-library/mat214.shtml Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 5 / 19

6 Parciální derivace - příklad II Otázka Tabulka vpravo znázorňuje hodnoty funkce f (x, y). Které tvrzení o parciálních derivacích je nejpřesnější? (Více správných odpovědí.) A f x (1, 2) 1 B f y (1, 2) 2 C f x (3, 2) 1 D f y (3, 2) 4 A, B Zdroj: conceptests/question-library/mat214.shtml Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 6 / 19

7 Parciální derivace - příklad III Otázka Určete f y funkce f (x, y) = x3 + 3x 2 y 5x 7y 3 + y 5 A f y = 3x2 + 6xy 5 7y 3 + y B f y = 3x2 + 6xy 5 D Otázka Určete f y funkce f (x, y) = x2 ln(x 2 y) A f y = 2x y B f y = 1 y C f y = x y D f y = 3x2 21y C f y = x2 y D f y = 1 x 2 y C Inspirace: Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 7 / 19

8 Gradient Definice Necht f : R 2 R má v bodě a vlastní parciální derivace. Pak gradientem rozumíme vektor ( ) f f f (a) = (a), x y (a). Zdroj : (matematika) Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 8 / 19

9 Gradient Definice Necht f : R 2 R má v bodě a vlastní parciální derivace. Pak gradientem rozumíme( vektor ) f f f (a) = (a), x y (a). Otázka Určete gradient funkce f (x, y) = y cos 3 (x 2 ) v bodě [0, 2]: A (0, 0) B (0, 1) C (0, 2) D (2, 0) B Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 9 / 19

10 Derivace ve směru + animace Definice Necht v R 2 je nenulový vektor. Derivaci funkce f ve směru v v bodě a = (a 1, a 2 ) R 2 definujeme jako limitu f (a + hv) f (a) D v f (a) = lim. h 0 h Zdroj: Zdroj: fall07/demos/directional2.jpg Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 10 / 19

11 Derivace ve směru II Věta Necht f : R 2 R má v bodě a spojité parciální derivace. Necht v R 2 je vektor. Pak pro derivaci funkce f ve směru v v bodě a platí: D v f (a) = f (a) v. Příklad Necht f (x, y) = ln x y. Určete derivaci v bodě a = (1, 3) ve směru v = ( 1, 6). 3 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 11 / 19

12 Tečná rovina, normála + animace Poznámka (Tečna v 1 proměnné) Tečna k funkci f v bodě a má rovnici y = f (a) + f (a)(x a). Věta Necht je funkce f (x, y) diferencovatelná v bodě a = [a 1 ; a 2 ]. Pak v bodě [a 1 ; a 2 ; z 0 = f (x 0 ; y 0 )] existuje tečná rovina ke grafu funkce z = f (x, y) určená rovnicí z z 0 = f x (a 1; a 2 )(x a 1 ) + f y (a 1; a 2 )(y a 2 ). Normála ke grafu funkce je určena rovnicemi x = a 1 + f x (a 1; a 2 )t, y = a 2 + f y (a 1; a 2 )t, t R. z = z 0 t, Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 12 / 19

13 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = 100 x 2 y 2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 13 / 19

14 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 14 / 19

15 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 15 / 19

16 Tečná rovina příklady Příklad f (x, y) = 5 x 2 + y 2 Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 16 / 19

17 Tečná rovina Otázka Najděte tečnou rovinu funkce f (x, y) = xy v bodě (2, 3). A z 6 = x(x 2) + y(y 3) B z 6 = y(x 2) + x(y 3) C z 6 = 2(x 2) + 3(y 3) D z 6 = 3(x 2) + 2(y 3) D Zdroj: conceptests/question-library/mat214.shtml Otázka Které funkce mají v zadaném bodě tečnou rovinu? A 1 x 2 y 2 v (0, 0) B 4 x 2 y 2 v (2, 0) C x 2 + 2y 2 v (0, 0) D x 2 + 2y 2 v (2, 0) A, D Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 17 / 19

18 Aproximace Zdroj : kre40/esfmat2/kapitoly/kapitola 5 2.pdf Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 18 / 19

19 Aproximace Fakt Přibližnou funkční hodnotu můžeme určit i pomocí tečny f (x, y) = z 0 + f x (a 1; a 2 )(x a 1 ) + f y (a 1; a 2 )(y a 2 ). Otázka O funkci f v bodě (2, 3) víme: f (2, 3) = 1, f / x(2, 3) = 5, f / x(2, 3) = 7. Jaká aproximace je nejpřesnější? A f (x, y) 1 + 5(x 2) 7(y 3) B f (x, y) 5(x 2) 7(y 3) C f (x, y) 1 + 5x 7y D f (x, y) x 7y A, D Zdroj: conceptests/question-library/mat214.shtml Kristýna Kuncová (8) Funkce více proměnných 19 / 19