21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic

Transkript

1 21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15

2 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j = 1,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde α := α α m.

3 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j = 1,...,m, nazvu m-dimenzionálním multiindexem výšky (někdy též řádu) α, kde Definice α := α α m. Pro multiindex α = (α 1,...,α m ) a funkci u C α (Ω), kde Ω R d je neprázdná otevřená množina, definujeme derivaci u dle multiindexu α, v bodě x Ω, D α u(x) := α u(x) x α xαm m, x = (x 1,..., x d ) Ω. (1)

4 Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k},

5 Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D α f(x) := ( D α f 1 (x),...,d α f s (x) )T,

6 Pro k N {0} zavádíme množinu (často se říká "formální vektor") všech parciálních derivací řádu k funkce u C k (Ω), v bodě x Ω, D (k) u(x) := {D α u(x); α = k}, pro f : G R m R s píšeme podobně jako výše D α f(x) := ( D α f 1 (x),...,d α f s (x) )T, D (k) f(x) := {D α f(x); α = k}.

7 Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3)

8 Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. Poznámka F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3) Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2).

9 Definice Bud te d, n N, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Parciální diferenciální rovnicí (dále PDR) pro neznámou funkci u : Ω R nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), Du(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (2) je daná funkce. Poznámka F : Ω R R d R d n 1 R d n R (3) Řádem rovnice (2) rozumíme řád nejvyšší derivace u, která "se vyskytuje" v (2). BÚNO: řád (2) je n.

10 Definice Bud te s, d, n N, s, d 2. Bud dále Ω R d neprázdná otevřená množina. Systémem s parciálních diferenciálních rovnic pro neznámou vektorovou funkci u : Ω R s nazvu výraz tvaru kde F ( x, u(x), D u(x),, D (n 1) u(x), D (n) u(x) ) = 0, (4) F : Ω R s R sd R sdn 1 R sdn R s (5) je daná funkce.

11 Poznámka Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x, t), x = (x 1,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x.

12 Poznámka Jedna ze složek proměnné x hraje často význačnou roli tzv. časové proměnné, t. V takové situaci píšeme u = u(x, t), x = (x 1,...,x d ), abychom tuto význačnou časovou proměnnou t oddělili od prostorové proměnné x. Někdy však také pro úsporu času ponecháváme časovou proměnnou jako jednu ze složek časoprostorové proměnné x, tedy například u = u(x), x = (x 1,...,x d, t), (t x d+1 ).

13 Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase;

14 Terminologie: Říkáme, že PDR (nebo systém PDR) je stacionární: hledané řešení není závislé na čase; nestacionární (evoluční): hledané řešení závisí na čase.

15 Definice Parciální diferenciální rovnici (dále jen "rovnici") (2) nazveme lineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u(x) = f(x), x Ω, (6) α n pro dané funkce a α, f. Rovnici (6) nazveme homogenní, pokud f 0. V opačném případě jí říkáme nehomogenní, případně "s pravou stranou". Jsou-li všechny funkce a α konstantní, nazýváme rovnici (6) lineární rovnicí s konstantními koeficienty.

16 Definice Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u).

17 Definice Rovnici (2) nazveme semilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x)d α u = f, x Ω, (7) α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u). Rovnici (2) nazveme kvazilineární, lze-li ji psát ve tvaru a α (x, u, Du,..., D (n 1) u)d α u(x) = f, x Ω, α =n pro dané funkce a α, f = f(x, u, Du,..., D (n 1) u). (8)

18 Definice Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární.

19 Definice Rovnici (2) nazveme nelineární, pokud není lineární. Rovnici (2) nazveme ryze nelineární, je-li funkce F v (2) nelineární funkcí v některé z proměnných, do kterých dosazujeme nějakou derivací u nejvyššího řádu.

20 Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty;

21 Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu;

22 Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu;

23 Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu; u t + ( u) 2 = 0 je ryze nelineární rovnice 2. řádu;

24 Příklad 1 Bud u = u(x, t), t (0, ), x R d. Potom následující evoluční PDR ( lze charakterizovat ) takto: x 2 + cos u = 0 je lineární (homogenní) u + t x x 2 +1 rovnice 2. řádu, s nekonstantními koeficienty; ( u + x 2 + sin ( ) ) u 2 + u 2 u = 0 je nelineární, a t x přitom kvazilineární rovnice 2. řádu; u + x 2 u + sin ( ) u 2 + u 2 = 0 je nelineární, a přitom t x semilineární rovnice 2. řádu; u + ( u) 2 = 0 je ryze nelineární rovnice 2. řádu; t u + d a t j (x, t, u) u x j = f(x, t, u) je nelineární, a přitom j=1 kvazilineární, 1. řádu.

25 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0;

26 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x);

27 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu;

28 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0;

29 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0; Vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 u = f(x, t); c > 0;

30 Příklad 2 (Základní lineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Laplaceova rovnice: u = 0; Laplaceova-Poissonova rovnice: u = f(x); Helmholtzova rovnice: u = λu; Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice vedení tepla: u t a 2 u = f(x, t); a > 0; Vlnová rovnice: 1 c 2 2 u t 2 u = f(x, t); c > 0; Rovnice lineárního transportu: u t + a(x, t) u = f(x, t);

31 Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u);

32 Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2

33 Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a 2 u = f(u); a > 0;

34 Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u t a 2 u = f(u); a > 0; Rovnice porézního média: u t a 2 (u γ ) = 0; a > 0;

35 Příklad 3 (Některé nelineární PDR) Neznámá funkce u = u(x), x Ω R d : Nelineární Poissonova rovnice: u = f(u); ( ) Rovnice minimální plochy: div u = 0; 1+ u 2 Neznámá funkce u = u(x, t), t (0, ), x Ω R d : Rovnice reakce-difuse: u a 2 u = f(u); a > 0; t Rovnice porézního média: u a 2 (u γ ) = 0; a > 0; t Nelineární vlnová rovnice: 1 2 u div( a( u)) = f(x, t); c > 0; c 2 t 2

36 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R.

37 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je i, j, = 1,...,d, 2 u x i x j = 2 u x j x i lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i, j, = 1,...,d.

38 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar Uvažujme lineární diferenciální rovnici druhého řádu, s konstantními koeficienty d i,j=1 a ij 2 u + x i x j d j=1 b j u x j + cu = f(x), (9) x Ω (neprázdná otevřená množina), a ij, b j, c R. Uvažujeme-li u C 2 (Ω) je i, j, = 1,...,d, 2 u x i x j = 2 u x j x i lze proto BÚNO předpokládat a ij = a ji i, j, = 1,...,d. Matice A = (a ij ) d i,j,=1 je proto reálná a symetrická, a tedy diagonalizovatelná (přičemž její vlastní čísla jsou reálná). Proto existují regulární (a ortogonální) matice P a diagonální matice D = diag(γ j ) d j=1 takové, že P A P T = D. (10)

39 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí y = P x, (11)

40 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j=1 2 u γ j + yj 2 y = P x, (11) d j=1 β j u y j + αu = f(y), (12)

41 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Zavedeme-li nyní novou proměnnou y substitucí přejde (9) v d j=1 2 u γ j + yj 2 y = P x, (11) d j=1 β j u y j + αu = f(y), (12) přičemž podle zákona setrvačnosti kvadratických forem je počet prvků γ j na diagonále matice D, které jsou rovny nule, resp. kladné, resp. záporné, invariantní, tedy nezávisí (až na pořadí) na konkrétní transformaci (11). Rozložení znamének prvků γ j na diagonále matice D tedy určuje typ studované rovnice. Tvar (12) nazýváme kanonickým tvarem rovnice (9).

42 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f.

43 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2 hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u t 2 u = f.

44 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Definice (Klasifikace diferenciálních rovnic druhého řádu) Bud matice D = diag(γ j ) d j=1 jako výše a N počet nenulových γ j. Řekneme, že rovnice (9) je: 1 eliptická, jestliže N = d a znaménka všech prvků matice D jsou stejná. Typickým zástupcem je Poissonova rovnice: u = f. 2 hyperbolická, jestliže N = d a všechna znaménka prvků D jsou stejná až na jedno. Typickým zástupcem je vlnová rovnice: 2 u u = f. t 2 3 parabolická, jestliže je N = d 1, (BÚNO γ d = 0), všechna znaménka nenulových prvků D jsou stejná a koeficient rovnice (9) u u x d je nenulový a má znaménko opačné. Typickým zástupcem je rovnice vedení tepla: u u = f. t

45 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1.

46 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná.

47 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Pro úplnost doplňujeme někdy výše zmíněnou klasifikaci i o následující dva typy rovnic (pak jsou všechny rovnice druhého řádu klasifikovány): Řekneme, že rovnice (9) je: parabolická v širším slova smyslu, jestliže N d 1. ultrahyperbolická, jestliže N = d a alespoň dvě znaménka prvků D jsou kladná a alespoň dvě záporná. Poznámka Transformační matici P lze volit tak, aby na diagonále matice D byla pouze čísla {0, 1, 1}. Matici P pak již nelze nalézt ortogonální, bude pouze regulární.

48 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Cvičení Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (13) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a, b, c, nenulové.

49 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Cvičení Ukažte: bud au xx + bu xy + cu yy + αu x + βu y + γu = f (13) lineární rovnice s konstantními koeficienty v R 2, pro kterou je alespoň jedno z čísel a, b, c, nenulové. Potom je rovnice (13) eliptická b 2 4ac < 0; parabolická (v širším slova smyslu) b 2 4ac = 0; hyperbolická b 2 4ac > 0.

50 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu:

51 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ;

52 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ;

53 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ; Parabolický případ: u t u = f.

54 21.2 Klasifikace rovnic 2. řádu, převedení na kanonický tvar (pokrač.) Poznámka Existují také transformace, které z rovnice (12) umějí odstranit některé členy nižšího řádu. Pomocí těchto postupů (včetně vytvoření čísel 1, 1, 0 na diagonále) se lze vždy pomocí sady transformací dopracovat k následujícímu typickému představiteli jednotlivých základních typů rovnic druhého řádu: Eliptický případ: u + ku = f ; Hyperbolický případ: 2 u t 2 u + ku = f ; Parabolický případ: u t u = f. V eliptickém a hyperbolickém případě nelze obecně zaručit, že k = 0. Nelze tedy například převést Helmholtzovu rovnici na rovnici Laplaceovu a naopak.