Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v oblasti teplotního namáhání

Transkript

1 Grantový projekt FRVŠ MŠMT č.97/7/f/a Inovace předmětů studijních programů strojního inženýrství v obasti tepotního namáhání Některé apikace a ukázky konkrétních řešení tepeného namáhání těes. Autorky: Ing.Jitka Jágrová, CSc. Doc.Ing.Bohdana Marvaová, CSc. Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Technická univerzita v Liberci Prosinec 7

2 . Úvod Tato kapitoa se zabývá apikacemi tepotního namáhání v konstrukčních úohách. V jednotivých výpočetních modeech se řeší veikosti napětí a deformací způsobených jednak tím, že u staticky neurčitě uožených těes je při ohřevu (ochazování) bráněno jejich voné tepené diataci, jednak nerovnoměrným ohřevem. Jednotivé kapitoy jsou čeněny pode typů výpočetních modeů na probematiky tažených (tačených) tyčí, nosníků, tenkých kruhových ohýbaných desek a kotoučů a douhých váců. Řešení je prováděno jednak pomocí deformačních podmínek, jednak s využitím energetických metod (Castigianova věta), což je vyčeněno v samostatné kapitoe.

3 . Tepotní napětí v tyčích namáhaných na tah nebo tak Jestiže tepota tyče déky s kruhovým průřezem d stoupne z počáteční tepoty T na konečnou tepotu T a tyči nic nebrání ve voné deformaci, tyč se prodouží o déku = α T T a její průměr vzroste na d =d α T T, kde α [K ] je parametr zvaný ineární tepotní roztažnost. Je to prodoužení tyče jednotkové déky při změně tepoty a jeden stupeň. Deformace tyče, která je současně zatížená vnějšími siami a tepotou je dána součtem deformací od vnějších si a tepotní deformace ε =ε F ε T = σ E α T T = σ E α T. Tento vztah reprezentuje Hookeův zákon s tepotním čenem.. Tepotní napětí ve staticky neurčitě uožené tyči obr... Zde je bráněno voné tepené diataci tyče z důvodu jejího staticky neurčitého uožení de E,S,α,T Obr.. Vetknutá tyč déky, s průřezem S, moduem pružnosti E a součiniteem tepotní roztažnosti α je podrobena tepotní změně T =T T. Kdyby nic nebránio její tepotní deformaci, prodoužia by se o déku

4 =α T. Tomuto prodoužení však brání oboustranné vetknutí. V tyči vznikne takové napětí, které eiminuje toto prodoužení ε T = α T =α T, ε F = σ E, ε =ε F ε T =, po dosazení σ α T = σ = α T E. E Příkad. Oceová koejnice nekonečné déky se ochadí z počáteční tepoty T, při které bya bez napětí, o tepotu T =3 K. Jaké napětí vznikne v koejnici, je-i E= 5 MPa, α = 6 K? Řešení: Koejnici můžeme považovat za ideáně vetknutou tyč. Při ochazení v ní vznikne tahové napětí, které eiminuje tepotní deformaci ε T = α T = 3,6 4. ε =ε F ε T = σ α T = E σ =E α T =7 MPa Příkad. Tyč sestavená ze dvou materiáů pode obr.. o tepotní roztažnosti: α = 6 K, α =6 6 K je oboustranně vetknutá. Vypočtěte napětí v jejích jednotivých částech, je-i E = 5 MPa, E =, 5 MPa, S =,5S, S =6cm, ohřeje-i se ceá o T =5 K. Řešení: Deformační podmínka pro výpočet síy F je: tedy L F L T =,

5 F F F T α E S E S E S 3 α =. F A E,S E,S E,S C L D B F Obr.. Odtud taková sía v tyči má veikost: F = t 3α α E E S S E S E S E S =,MN. Napětí v části AC je: σ = F S =84MPa. Napětí v části CD a DB : σ = F S =6MPa. Příkad 3. Tyč ve tvaru konického kužee pode obr..3 je vetknutá a zatížená změnou tepoty T =4 K. Vypočtěte napětí v tyči. Dáno: =5 mm, D=5mm, d = mm, E= 5 MPa, α= 6 K. d x dx D Obr..3

6 Řešení: Kdyby tyč bya voná, prodoužia by se vivem tepoty o =α T. V tyči vznikne takové napětí, které eiminuje toto prodoužení. Předpokádejme, že ve vetknutí vznikne reakce F, pak v místě vzdáeném o x od evého vetknutí bude napětí σ x = kde průřez F S x, S x = π 4 d x = π 4 [ d D d x ]. Deformace v místě x bude ε F x = σ x E a zkrácení eementu dx bude dx =ε F x dx. Zkrácení tyče vivem napětí musí být stejné, jako její prodoužení vivem tepoty. α T = ε F x dx= 4 F E π d D Z této rovnice vypočteme veikost takové síy F =75,4 kn a maximání napětí na evém konci tyče σ =4 MPa.. Nerovnoměrné rozožení tepoty Mějme vetknutou tyč konstantního průřezu pode obr.4, změna tepoty T x bude nyní funkcí souřadnice x. x dx d Obr..4 Voné tepotní prodoužení eementu dx v místě x bude

7 dx T =α T x dx, cekové voné prodoužení tyče vivem tepoty pak je T = α T x dx. Ve vetknutích vznikne taková sía F, která by zkrátia tyč o F = F E S. Prodoužení tyče od tepoty a zkrácení vivem reakce musí být stejné, síu F vypočteme z této podmínky F E S = α T x dx..3 Soustavy tyčí Příkad 4. Oceová tyč a měděná trubka stejné déky jsou spojeny tuhými čey pode obr..5. Jaké napětí vznikne v jednotivých částech, ohřejeme-i soustavu o tepotu T? E M,S M,α M E,S,α O O O Obr..5 Řešení: Tepotní roztažnost mědi je větší než tepotní roztažnost ocei ( α M =6 6 K, α O = 6 K ). Prodoužení obou částí však musí být stejné. V trubce vznikne takové a v tyči tahové napětí. Deformační podmínka je

8 α M T σ M E M =α O T σ O E O. Výsedné síy, kterými trubka a tyč působí na tuhá čea musí být stejně veké, ae opačného smysu σ M S M =σ O S O. Z této podmínky rovnováhy a deformační podmínky, můžeme vypočítat napětí σ O a σ M. Příkad 5. Dvě stejné tyče jsou spojeny tuhým čenem pode obr..6 a každá je ceá ohřáta o jinou tepotu ( T, T ). Jaké napětí vznikne v tyčích, jestiže tuhé čeo se nemůže natočit? E, S, α E, S, α T T T N F c F N Obr..6 Řešení: Po ohřátí tyčí bude čeo v pozici rovnoběžné s původní pozicí a posune se ve směru doů o vzdáenost, která je rovna prodoužení tyčí. Na tyče působí osové síy F, jejichž moment F c je v rovnováze s momentem si N, které vznikají ve vedení. Z podmínky stejné déky tyčí po ohřátí α T F S E =α T F S E vypočteme síu F F = α T T S E.

9 Příkad 6. Všechny pruty soustavy pode obr..7 jsou ze stejného materiáu a mají stejný průřez. Jaké bude v jednotivých prutech napětí, ohřeje-i se a) ceá soustava o T. b) ohřeje-i se pouze prut o T β β 3 N N A N 3 Obr..7 Soustava je symetrická a staticky neurčitá, tedy N =N 3. Rovnice rovnováhy styčníku A je N cos N =. Po deformaci styčník A zůstane na ose symetrie a deformační podmínka má tvar = cos. a) prodoužení prutů jsou = N E S α T, = 3 = N E S cos α T cos. Z deformační podmínky N E S cos α T cos = N E S α T a z rovnice rovnováhy vyjde

10 N = α T E S cos, N cos 3 = α T E S cos cos, cos 3 resp. σ = N S, σ = N S. b) Soustava je stáe symetrická, prodoužení prutů jsou = N E S α T, = 3 = N E S cos. Z deformační podmínky N E S cos = N cos α T cos E S a z rovnice rovnováhy vyjde N = α T E S cos cos 3, N = α T E S cos3 cos 3, resp. σ = N S, σ = N S.

11 3. Přibižný výpočet tepotních napětí v nosnících 3. Úvod Předpokádejme, že nosník je staticky určitý a nezatíženy vnějšími siami a momenty. Má konstantní průřez a osy y a z jsou havními centráními osami (obr. 3.). x y z Obr. 3. Předpokádejme dáe, že přírůstek tepoty T x, z je ibovonou funkcí souřadnic x a z. Pode Bernouiho hypotézy zůstávají průřezy nosníku rovinné po deformaci, posuv u ve směru osy x musí být tedy ineární funkcí souřadnice z, např. ve tvaru u x,z = f x z f x. Potom deformace je ε x = u x = f x z f x. Předpokádejme, že v nosníku vzniká osové napětí σ x a z Hookova zákona patí ε x = σ x α T x, z, E ' σ x =E ε x E α T x, z =E [ f x z f ' x α T x,z ]. Z podmínek rovnováhy mezi vnějšími a vnitřními siami pyne, že výsedná sía ve směru osy x musí být nuová σ x ds=, a rovněž výsedné momenty vzhedem k osám y a z musí být rovny nue

12 σ x y ds=, σ x z ds=, kde integrujeme přes ceý průřez S. Z těchto podmínek určíme funkce f ' x a f ' x. Po dosazení ' E [ f x z f ' ' x α T x, z ] ds=e f x S E f ' x z ds E α T x,z ds=, S E f ' E f ' x yds E f ' x y z ds E α T x, z y ds=, S x z ds E f ' x z ds E α T x, z z ds=. S Za předpokadu, že osy y a z jsou havní centrání osy, bude patit y ds = z ds =, Označme I yz = y z ds =, I y = z ds. E α T x, z ds= F T, E α T x, z z ds=m T, potom vypočteme f ' x = E S F T, f ' x = E I y M T a napětí v nosníku je σ x x, z = S F T I y M T z α E T x, z. Osový posuv u vzhedem k počátku x= dostaneme integrací ε x

13 u x, z = σ E x dx= E x Střední posuv u ve směru osy x nosníku bude x [ F T S M T z α E T x, I y z ] dx u x = u x, z ds= S E x F T S dx. dx z u(x,z) dϕ A A B B D D C C u+ u x dx Obr. 3. Natočení d ϕ mezi dvěma soumeznými řezy je d ϕ = z[ u a křivost je x x= x z= z u x x=x z =] dx= z M T E I y z dx. r = d ϕ d x = M T = d w. E I y d x Tedy diferenciání rovnice průhybové čáry má tvar d w d x = M T E I y.

14 3. Příkady Příkad. Tyč obdéníkového průřezu pode obr. 3.3 je zatížena přírůstkem tepoty, který má ineární průběh v závisosti na souřadnici z: T z = T h z. Dáno: T, α, E, h, b. Určete napětí v tyči a deformaci tyče. h h y z b T T T(z) Obr. 3.3 Řešení: σ x z = S F T I y M T z α E T z, F T = E α T z ds= E α T h z ds=, M T = E α T z z ds= E α T h z ds=e α T h I y, σ x z = I y E α T h I y z α E T h z=. V tyči nevznikne napětí (přírůstek tepoty je ineární funkcí souřadnice z). Diferenciání rovnice průhybové čáry

15 d w d x = M T E I y, d w d x = α T h = r. Průhybová čára je kružnice s pooměrem r= h α T je nuový:. Tyč se neprodouží, neboť střední posuv průřezu x u x,z = [ σ x u x = u x, z ds= x S S, z E ] α T z d = α T h z x, α T h z ds=. Příkad. Tyč z příkadu. je zatížena přírůstkem tepoty, který má paraboický průběh (obr. 3.4) v závisosti na souřadnici z, určete napětí v tyči a její deformaci. T y T(z) z z T Obr. 3.4 Řešení: T z =T h z, F T = α E T z ds=α E T I y, h

16 M T = α E T z z ds=, σ x z = F T S α E T z =α E T [ I y S h z h ] [ =α E T 3 h z ]. Napětí má paraboický průběh (obr. 3.5). Tyč se neprohne, protože M T =. 3 3 σ Eα Τ Obr. 3.5 Osový posuv v místě x x u x,z = [ σ x E ] α T z dx, střední osový posuv u x = u x, z ds= S E F T S dx=α T 3 x a cekové prodoužení tyče =α T 3.

17 Příkad 3. Tyč z příkadu. je zatížena přírůstkem tepoty s paraboickým průběhem pode obr Určete napětí v tyči a její průhyb. Řešení: T z = T 4 z h, F T =α T E 4 S I y h, M T =α T E 4 I y h, σ x = F T S M E[ T z α E T z =α T I y 3 h z 4 h z ]. T(z) 6 σ Eα Τ T Průhyb nosníku je dán diferenciání rovnicí Obr. 3.6 d w d x = M T E I y a po dosazení

18 d w d x = α T h. Průhybová čára tedy bude kružnice o pooměru r= h α T. Příkad 4. Tyč z příkadu. je vetknutá na obou koncích pode obr. 3.7 a zatížena přírůstkem tepoty T z = T h z. Jaké napětí vznikne v tyči a jaká bude její deformace? M M Řešení: Tyč se neprohne, neboť z vetknutí se na ni budou přenášet ohybové momenty M =M T. Napětí, které vznikne v tyči má ineární průběh Obr. 3.7 σ x = M T I y z= E α T z h. Příkad 5. Tyč z příkadu. je vetknutá na evém konci a na pravém konci prostě podepřena. Průběh přírůstku tepoty je ineární funkcí souřadnice z. Určete napětí a deformaci tyče. Řešení: Stáe pro průběh tepoty patí T z =T z h. V podpoře vznikne reakce R, která bude bránit průhybu nosníku směrem vzhůru. Moment v

19 obecném řezu je M x =M T R x, x -T T(z) T Obr. 3.8 R diferenciání rovnice má tvar a řešení d w d x = M R x T E I y d w d x = E I y M T x R x C, w x = E I y M T x x3 R 6 C x C. Veikost reakce R a konstant C a C určíme z okrajových podmínek pro deformaci nosníku Odtud w = C =, w = M T w ' = M T R R 3 6 C =, C =. R= 3 M T C = 4 M T.,

20 Napětí v nosníku získáme superpozicí napětí v nosníku vetknutém na evém konci a zatíženém ohřevem (napětí nevzniká) a nosníku vetknutém na evém konci a na pravém konci zatíženém siou R. (Maximání napětí je ve vetknutí σ max = R W o ) Příkad 6. Nosník na třech podporách obdéníkového průřezu pode obr. 3.9 je zatížen přírůstkem tepoty T z =T z h. Určete napětí a deformaci nosníku. A B C h h y z b T T T(z) Obr. 3.9 Řešení: Pokud je nosník uožen na dvou podporách A a C, napětí v něm nevznikne a vivem přírůstku tepoty se prohne do kružnice. Pooměr kružnice kde r = M T E I y, tedy M T = E α T z z ds=e α T I y, S

21 r = α T h. Průhyb způsobený změnou tepoty vypočteme pomocí obr. 3. r w T w T =. Protože patí, že w T r, ze napsat r w T =, w T = r = α T h. r - w T w T Obr. 3. Pro nosník zatížený siou rovnou reakci R B uprostřed je průhyb (obr. 3.) w R = R B 3 48 E I y. Z podmínky w T w R = vyjde R B =3 E I y α T h. Maximání napětí je uprostřed nosníku: σ max = R B W o. Průhyb bude stejný jako u nosníku v příkadu 5. Reakce R B je dvojnásobkem reakce R z příkadu 5.

22 R B Obr. 3. Příkad 7. Mějme kompozitní nosník - tzv. bimeta - sožený ze dvou částí z různých materiáů pode obr. 3.. Určeme napětí a deformaci, ohřeje-i se ceý nosník o tepotu T. Předpokádejme stejný průřez obou částí, moduy pružnosti E, E a součinitee tepotní roztažnosti α a α. b h h Obr. 3. Řešení: Po zahřátí se nosník prohne, průhybová čára bude kružnice. Předpokádejme, že zakřivení spoečné pochy bude r o, dáe předpokádejme, že vivem ohřátí se spoečná pocha roztáhne v osovém směru o ε o. Ve vzdáenosti z od této pochy bude osové prodoužení rovno (obr. 3.3) ε x =ε o z r o.

23 r o h z h Obr. 3.3 Osové prodoužení v jednotivých částech nosníku bude ε x =α T σ x E, ε x =α T σ x E, dosadíme-i do evé strany těchto rovnic za ε x máme pro napětí vztahy σ x =E ε o z r o α T, σ x =E ε o z r o α T. Z podmínky rovnováhy si v průřezu vyjde: σ x ds = b h h σ x dz b σ x dz=. Z podmínky rovnováhy momentů vyjde σ x z ds= b h Do rovnic dosadíme vztahy pro napětí. h σ x z dz b σ x z dz=.

24 b E ε o h r o h α T h b E ε o h r o h α T h = b E ε o h r o 3 h3 α T h b E ε o Z těchto rovnic vyjádříme prodoužení ε o a zakřivení pro napětí získáme napětí v každé části bimetau. h r o 3 h3 α T r o h = spoečné pochy a po dosazení do vztahů Průhyb bimetau závisí sabě na poměru E E, avšak je sině ovivněn rozdíem tepotních roztažností α a α. Poožíme-i přibižně E E =, pak dostáváme ε o = T α α, r o = 3 4 T α α h. a napětí budou σ x =E T α α 3 4 σ x =E T α α 3 4 z pro z h,, h z pro z, h. h

25 4. Užití Castigianovy věty pro výpočet tepotních napětí 4. Úvod Pode Castigianovy - Ménebréovy věty patí: kde U * U * R =, je dopňková deformační energie a R je zobecněná staticky neurčitá sía. V ineární pružnosti bez tepotního zatížení je U * =U, avšak v případě tepotního zatížení je dopňková měrná energie kde λ * =λ α T T σ x σ y σ z, λ = [ σ E x σ y σ z µ σ x σ y σ y σ z σ z σ x ] τ G xy τ xz je hustota deformační energie. V případě jednoosé napjatosti patí τ zx λ = σ E, λ * = σ α T σ =λ α T σ. E 4. Příkady Příkad. Prutová soustava tvořená třemi pruty (obr..7) je ze stejného materiáu ( E,α ) a stejného průřezu S. Určete jaká napětí vzniknou v prutech po zahřátí prutové soustavy o tepotu T. Soustava je opět symetrická. Výpočet pomocí deformační podmínky je uveden v kapitoe.4, příkad 6. Dopňková deformační energie soustavy

26 U = * σ E α T σ S = N E S α T N cos σ cos N Podmínka rovnováhy je N cos N =. E α T σ S = E S α T N. Zvome N za staticky neurčitou síu, pak patí U * N =. N N U = * N N E S α T N N cos N E S α T = N N určíme z podmínky rovnováhy N N cos =. Po dosazení dostaneme rovnici cos N E S α T N E S α T =, ze které a z podmínky rovnováhy určíme N = α T E S cos cos 3, N =α T E S cos cos 3 cos. Příkad. Jaká napětí vzniknou v prutech soustavy, ohřeje-i se pouze prut. Soustava prutů již není symetrická a sestavení deformační podmínky by byo pracné. Dopňková deformační energie soustavy je σ E α T σ S cos σ E S σ 3 E S cos = U = * = N E S α T N cos N E S N E S cos, kde stáe patí rovnice rovnováhy a tedy N 3 = N. Zvome N za staticky neurčitou veičinu, pak patí:

27 Odtud U * N =. N E S α T cos 4 N cos N E S E S cos = N = α T E S cos 3, α T E S cos N =, cos 3 σ = N S, σ = N S. Příkad 3. Nosník na třech podporách pode obr. 4. je ohřát o přírůstek tepoty. T z =T z h (viz kap. 3., příkad 6) R x R h h y b T z Obr. 4. Řešení: Ve střední podpoře vznikne reakce, která vyvoá ohybový moment M x = R x. Napětí v nosníku σ x, z = R I y x z= M x I y z. Dopňková deformační energie

28 Patí U * M = x M x dx z α T z dv = E I y V I y = M x M x M dx T E I y E I y dx= M x dx E I y M x M x M T E I y E I y dx. [ M x I y α T z z ds ]dx=. kde U * R = M x M E I T M x y R dx=, Odtud M x R = x. [M x M T ] x dx= R 3 3 M T = R= 3M T. Příkad 4. patí Příkad 5. z kapitoy 3. ze řešit i pomocí Castigianovy věty. Pro staticky neurčitou reakci R Odtud U * R =, M x = R x, U * = [ M U * R = x M x M T E I y E I y ] dx, M x M T M x R E I y dx= M E I T R x x dx. y M T R 3 3 = R= M T 3.

29 Příkad 5. Tenká obruč je bez napětí vožena mezi dvě tuhé opory v bodech A a B pode obr. 4.. Určete reakce v podporách po ohřátí ceé obruče o tepotu T. Dáno: r,d, E,α,T. Řešení je možné jen pomocí energetické metody. Příkad je staticky neurčitý. B r A Obr. 4. Řešení: ) V tomto případě použijeme vztah pro energii napjatosti U a deformační podmínku. Uvoníme-i obruč a zahřejeme-i jí o tepotu T, změní se vzdáenosti AB o přírůstek AB=α T r. V podporách tedy musí vzniknout síy R, které by průměr obruče stačiy o tuto vzdáenost. R R M N N M R Obr. 4.3 Deformační podmínka je

30 U R =α T r, kde U je deformační energie. Úoha je staticky neurčitá. Z podmínky rovnováhy pode obr. 4.3 vyjde N = R. M je staticky neurčitý vnitřní moment, proto patí U M =. Energie napjatosti je kde π U = M ϕ r d ϕ, E I y M ϕ =M R r cosϕ. ) Řešení pomocí dopňkové deformační energie U *. V tomto případě použijeme větu o minimu deformační práce a bude patit U * R =, U * M =. Dopňkovou energii vypočteme z hustoty deformační energie λ * = σ α T σ =λ α T σ. E kde U * =U α T σ dv =4 M ϕ r V π = 4 M ϕ r π π E I y d ϕ 4α T π E I y d ϕ 4α T N ϕ r d ϕ, [ M ϕ I y z N ϕ S ds ] r d ϕ = z ds=. Do normáného napětí musíme zahrnout i viv normáné síy N ϕ = R cosϕ v průřezu obruče (obr. 4.4)

31 Parciání derivace jsou N ϕ R = N ϕ cosϕ, M =. Dostaneme soustavu dvou rovnic U * R = U R 4α T U * M = U M =. π N ϕ R r d ϕ =, N (ϕ ) N M Z první rovnice opět vyjde U R α T r=. Obr. 4.4

32 5. Kruhové desky namáhané na ohyb 5. Úvod Předpokádejme, že přírůstek tepoty desky o toušťce h se skádá se dvou částí T =T r T r z h, kde první část je závisá pouze na pooměru a druhá část je nuová ve střední rovině desky. Pokud můžeme předpokádat, že nedojde ke ztrátě stabiity desky, ze napětí a deformaci desky řešit superpozicí. Tepota T ( r ) vyvoá v tenké desce napětí a deformace jako v tenkém disku. Tepota T ( r ) vyvoá ohybová napětí a průhyb desky. Předpokádejme, že v desce vzniká příčná sía Q ( r ) vivem vnějších zatěžujících si (spojitého zatížení q, síy F [N/m] rozožené na jednotku déky kružnice, či vnějších reakcí). Označme h M T r =E α h T r z h z dz=e α T h r 6. Potom radiání a tečný moment v desce bude M r =A B r r M T r r dr ν r r [ Q r dr]dr r Q r r dr, M t =A B r r M T r r dr M T r ν Q r dr + ν r r[ Q r dr ]dr r Q r r dr Skon tečné roviny k desce v radiáním směru je. ϑ r = r E h 3 M t ν M r M T. Průhyb desky dostaneme integrací ϑ r w= ϑ r dr C. Integrační konstanty určíme z okrajových podmínek. Napětí v desce vypočteme z vnitřních momentů M t a M r

33 σ r =± M r h /6, σ t =± M t h /6. 5. Příkady Příkad. Voná tenká mezikruhová deska pode obr. 5. je zatížena přírůstkem tepoty, který je ineární funkcí vzdáenosti od střední roviny T z = z h T. Určete napětí a deformaci desky. Dáno: a, b, h, E, ν, α a přírůstek tepoty je T. h T T a b z Řešení: Obr. 5. Příčná sía v desce nevzniká: Q r =. h Tepotní moment M T = h Radiání a tečný moment v desce jsou E α T z z dz=e α T h 6 =konst. M r r = A B r r M T r dr=a B r M T, M t r = A B r M T r M T r dr= A B r M T. Radiání moment na okrajích desky je roven nue, tedy M r a =, M r b =. Odtud vypočteme

34 konstanty A B a = M T A B b = M T A= M T, B=. Křivosti desky po deformaci jsou ϑ r =κ t = E h 3 M T, d ϑ d r =κ r = E h 3 M T. Průhyb w= M E h 3 T r dr= 3 E h M r T C, kde z okrajové podmínky w b = b vypočteme C= M T. Průhyb desky na pooměru a pak bude w a = 6 E h 3 M T b a. Deska je bez napětí, pouze se prohne. Natočení desky na pooměru a bude: ϑ a =a E h 3 M T. Příkad. Deska z příkadu je vetknutá na vnějším i vnitřním okraji (obr. 5.). Jaká vzniknou v desce napětí? Průběh tepoty je opět T r, z =T z h. h Řešení: Vzhedem k tomu, že M T =E α T =konst. nezávisí na pooměru, deska se neprohne. 6 Tečné a radiání momenty budou stejné a konstantní M r =M t = M T ν.

35 a b Obr. 5. Příkad 3. Deska z příkadu je vetknutá na vnitřním okraji a na vnějším okraji je voná (obr. 5.3). Jaká vzniknou v desce napětí? Řešení: Na desku bude působit z vetknutí na vnitřním okraji radiání moment M. Musí být tak veký, aby sám o sobě způsobi na pooměru a stejné natočení, jako vzniká v důsedku tepotního zatížení u voné desky - tedy (pode příkadu ) ϑ a =a Eh 3 M T M Obr. 5.3 Pro ϑ ρ a M r ρ při zatížení momentem M patí.

36 M ϑ ρ = b D C ρ C ρ, M M r ρ =C ν C ν ρ, kde ρ = r b. Okrajové podmínky jsou M M r a b = M M, M r =. Po dosazení do okrajových podmínek dostaneme konstanty C, C M C = ν Skon tečné roviny je M ϑ ρ = b D a na vnitřním okraji patí M ϑ a b = b D b a, C M = ν M b ν ρ ν a b a. ρ M a b ν b a b ν Ze srovnání obou natočení v místě vetknutí b D M a b ν získáme veikost M M = M T ν [ b a a. a b b =a ν a E h M 3 T ] Radiání a tečný moment jsou ν ν b a.

37 M M r ρ = b a ρ, M t ρ = M b a ρ. Příkad 4. Deska z příkadu je prostě podepřená na obou okrajích (obr. 5.4). Jaké vznikne napětí v desce? Řešení: Kdyby bya deska podepřená pouze na vnějším okraji, pak po tepotním zatížení bude bez napětí a průhyb na jejím vnitřním okraji bude pode příkadu T w a = E h M T b a 3. F Obr. 5.4 Je-i deska podepřena na obou okrajích, musí vnitřní podpora působit na desku cekovou siou F [N], která by sama prohnua desku na vnitřním okraji o b E h 3 M T[ a b ]. Příčná sía v desce Q r = F π r Q ρ F π b ρ. Pravá strana diferenciání rovnice je F b π D ρ. Vztah pro skon tečné roviny ϑ ρ je F ϑ ρ = F b π D C ρ C ρ ρ n ρ. Konstanty určíme z okrajových podmínek

38 F M r a b = F M r Po dosazení = C = ν n a b b a, C = ν ν F M r = F π [ C ν C ν ρ ν n ρ ] F M t = F π [ C ν C ν ρ ν n ρ ν ] Průhyb desky n a b b. a F w= bϑ ρ d ρ = F b π D [ C ρ C n ρ 4 ρ n ρ 3] C. Konstantu C 3 určíme z podmínky F w = - průhyb na vnějším okraji je roven a odtud C 3 = C 8 = 8 4 ν 4 n a b b. a Po dosazení C, C, C 3 do vztahu pro průhyb okraji. Z podmínky F w vztahů pro momenty dostaneme napětí v desce. F w můžeme vypočítat průhyb F w a b na vnitřním a F w b = dostaneme síu F (reakci v podpoře). Po dosazení F do

39 6. Kotouče a douhé váce 6. Úvod Tepotní napětí v tenkém disku při rovinné napjatosti, kdy nic nebrání v tepotní diataci toušťky a tepota je pouze funkcí pooměru T r, jsou σ r = A B r E α r T r r dr, σ t = A B r E α r T r r dr E α T r, σ a =, radiání posuv je u r = r E [σ t ν σ r E α T r ]. K neurčitému integráu ve vztazích pro σ r a σ t již nepřičítáme žádnou integrační konstantu. Konstanty A a B určíme z okrajových podmínek pro radiání napětí σ r či pro radiání posuv u. Při rovinné deformaci - (např. u tenkého disku, kdy je bráněno tepotní diataci toušťky, nebo se jedná o douhý váec) je σ a a ε a =konst. Vztahy pro napětí dostaneme ze vztahů pro σ r a σ t tak, že dosadíme za Youngův modu E výraz E = E ν a za tepotní roztažnost α výraz α = ν α, pak σ r = A B r r E α ν T r r dr, σ t = A B r E α E α T r r dr r ν ν T r. Axiání napětí bude σ a =E ε a E α T r ν σ r σ t =E α a ν A E α ν T r. Pokud je axiání poměrné prodoužení ε a nuové, pak napětí σ a vypočteme ze vztahu pro σ a.

40 Pokud nic nebrání v osovém roztažení douhého váce, vypočteme jeho prodoužení ε a z podmínky nuové osové síy σ a ds =. S Radiání posuv u r =ε r r r bude u r = r E [ σ a ν σ r σ a ] r α T r. 6. Příkady Příkad. Tenký oceový kotouč pode obr. 6. je při počáteční tepotě T bez napětí. Vnějšímu okraji kotouče je zabráněno v roztažení. Jaké napětí vznikne v kotouči, ohřeje-i se ceý zvona o tepotu T? Dáno: a = mm, b = 5 mm, α =. -6 K -, E =. 5 MPa, T = C, ν =,3. a r b Obr. 6. Řešení: Kdyby by kotouč voný, pak při ohřátí o tepotu T by se každý jeho pooměr zvětši o r T =r α T, tedy pooměr b by se zvětši o b T =bα T. Tomuto rozšíření brání okoí kotouče, mezi kotoučem a okoím vznikne tak p. Jeho veikost určíme z deformační podmínky b p b T =.

41 p p p r σ t σ r A A σ Obr. 6. Konstanta A je A= p b b a = p a, b Napětí na vnějším okraji kotouče jsou (obr. 6.) p σ t b = A p, p σ r b = p. Odpovídající deformace je b p = b E A p ν p. Z deformační podmínky b A p ν p bα T = E vypočteme p=44,4 MPa. Nejméně příznivá napjatost je jednoosá napjatost na pooměru a. Napětí je rovno σ = A =5,9 MPa.

42 a Příkad. Tenký kotouč pode obr. 6.3 by při tepotě T bez napětí. Jeho čení pochy jsou tepotně izoovány, ae nic nebrání v jejich voné diataci. Tento kotouč by zvona zahřát tak, že vznikne ustáený tepený stav, kdy na vnitřním okraji kotouče je tepota T a a na vnějším okraji kotouče je tepota T b. Jaké je napětí v kotouči? Dáno: a = mm, b = 5 mm, α =. -6 K -, E =. 5 MPa, T = C, T a = 6 C, T b = 3 C, ν =,3. T b T a b Obr. 6.3 Řešení: V kotouči vzniká ustáené tepotní poe, které je osově symetrické, tepota se po toušťce kotouče nemění. Jedná se o rovinnou napjatost - nevznikne osové napětí. Rovnice vedení tepa má v tomto případě tvar d T d ρ dt r =, kde ρ =. ρ d ρ r vzt Za vztažný pooměr zvoíme vnější pooměr kotouče r vzt =b. Řešení této rovnice je funkcí tepoty T ρ =C D n ρ, kde integrační konstanty C a D určíme z okrajových podmínek pro vnitřní a vnější pooměr, tedy Odtud T a b =T a T, T =T b T.

43 C=T b T, D= T T b a n b. a Diferenciání rovnice pro radiání posuv v případě rovinné napjatosti: d u b d ρ du ρ d ρ ρ = dt ρ b d ρ α ν. Z homogenního řešení u H =C ρ C ρ symetrických tenkých kotoučích dostáváme známé vztahy pro napětí v rotačně σ rh = A B ρ, σ th = A B ρ, kde integrační konstanty A a B určujeme z podmínek na okraji kotouče. Diferenciání rovnici pro radiání posuv vynásobíme b a dosadíme za funkci T ρ. Na pravé straně dostáváme: bα ν D. Označme R=b α ν D. Partikuární řešení bude v tomto ρ případě u P = R ρ n ρ a napětí z tohoto řešení odvozená jsou σ rp = E ν b d u P d ρ ν u P ρ = E ν b σ tp = E ν b u P ρ ν d u P d ρ = E ν b R [ ν n ρ ], R [ν ν n ρ ]. Sečtěme homogenní řešení a partikuární řešení a přidáme tepotní čen E α T ρ ν napětí. Dostaneme σ r = A B ρ E ν b σ t = A B ρ E ν b R E α T ρ [ ν n ρ ], ν R E α T ρ [ν ν n ρ ] ν.

44 Integrační konstanty A a B určíme z podmínek pro voné okraje: σ r a b =, σ r =. Po dosazení A B b a = E R ν b [ ν n a b ] E α T T a ν A B= E ν b R E α T T b ν. Rovnice můžeme dáe upravovat a konstanty A a B vyjádřit obecně pro tento typ zatížení a okrajových podmínek. Rozumnější bude v této fázi konstanty, které mají rozměr napětí, vypočítat numericky. Vyjde A = 83,56 MPa, B = 83,56 MPa. Průběh radiáního a tečného napětí je na obr V tomto případě rovinné napjatosti nastane deformace v axiáním směru. Toušťka kotouče se bude zvětšovat všude a nerovnoměrně v závisosti na pooměru. Kdybychom zabránii voné změně toušťky kotouče, vzniko by v kotouči osové napětí σ a r. Předpokádejme, že změně toušťky je zcea zabráněno vnější vazbou, pak ε a = a jedná se o tzv. rovinnou deformaci. Určíme napětí σ r, σ t, σ a v tomto případě. Pro poměrné deformace máme nyní vztahy, ε r = E [ σ r ν σ t σ a ] α T r, ε t = E [ σ t ν σ r σ a ] α T r, ε a = E [σ a ν σ r σ t ] α T r =. Z posední rovnice získáme σ a =ν σ r σ t E α T r. Na pravé straně diferenciání rovnice pro radiání posuv u je v případu rovinné deformace výraz b ν ν α d T ρ ν =b α d ρ ν D ρ =R* ρ. Zde obdobně zavedeme R * =b α ν ν D.

45 Obr. 6.4

46 Z homogenního řešení rovnice u H =C ρ C ρ máme opět σ rh = A * B * ρ, σ th =A * B * ρ, * (konstanty A * a B mají jinou hodnotu, než A a B v předchozím řešení). Partikuární řešení u P = R* ρ n ρ dosadíme do vztahů pro radiání a tečné napětí (tyto vztahy patí pro rovinnou deformaci a jsou různé od vztahů pro napětí v předchozí části příkadu, kdy se jednao o rovinnou napjatost): σ rp = E d u P ν d r E ν ν ν d u P d r u P r = R* E ν n ρ, b ν ν u P σ tp = E ν r E ν ν ν d u P d r u P r = R* E ν n ρ. b ν ν K součtu jednotivých částí napětí musíme ještě připojit tepotní čen E α T ρ ν : σ * r =A * B * ρ R* E E α T ρ ν n ρ, b ν ν ν σ * t =A * B * ρ R* E E α T ρ ν n ρ. b ν ν ν Axiání napětí bude σ a * =ν [ A* R* b E ν ν ] n ρ E α T ρ. ν Z podmínek na okrajích kotouče σ * a r b =, σ r do vztahů pro napětí, pak * = * určíme konstanty A * a B, které dosadíme * * A = 48,43 MPa, B = 9,796 MPa. Průběh napětí je na obr Pozn.: Vztahy pro napětí σ r * a σ t * v případu rovinné deformace (kotouči je bráněno v diataci toušťky, tedy ε a = ) můžeme dostat přímo ze vztahů σ r a σ t pro

47 Obr. 6.5

48 rovinnou napjatost (voná diatace toušťky σ a = ), jestiže do nich dosadíme za Youngův modu E vztah E = E ν, za tepotní roztažnost α vztah α = ν α a za Poissonovu konstantu ν vztah ν = ν. (Je třeba dosadit i do výrazu pro konstantu R.) ν Příkad 3. Mějme douhý dutý váec s rozměry a = mm, b = 5 mm, = mm, α =. -6 K -, E =. 5 MPa, ν =,3, s počáteční tepotou T = C s ustáeným tepotním poem T a = 6 C, T b = 3 C (stejné parametry jako v příkadu ). Nic nebrání v jeho dékové diataci. T ρ =C D n ρ. Jaká vzniknou ve váci napětí? a b Obr. 6.6 Řešení: Jedná se o rovinnou deformaci, kdy v dostatečné vzdáenosti od konců je ε a =konst.. Použijeme vztahy pro deformace při trojosé napjatosti a vypočteme axiání napětí σ a =E ε a E α T ρ ν σ r σ t, ε a =konst. Ve vztazích pro napětí σ r a σ t tedy přibude konstantní čen E ε a ν ν ν. Pravá strana diferenciání rovnice pro radiání posuv se nezmění, tedy

49 b ν ν α d T ρ ν =b α d ρ ν D ρ =R* ρ. Vztahy pro napětí jsou σ ** r = A ** B ** ρ R* b σ ** t = A ** B ** ρ R* b a axiání napětí je E ν ν E ν ν ν n ρ E α T ρ ν E ε a ν ν ν, ν n ρ E α T ρ ν E ε a ν ν ν σ ** a =ν [ A** R* E b ν ν ] n ρ E α T ρ ν E ε a. Konstanty A ** a B ** určíme z okrajových podmínek Odtud σ r ** a b =, σ r ** =. E ε B ** =B *, A ** =A * a ν ν ν, tedy σ r ** =σ r *, σ t ** =σ t * (napětí budou stejná jako v předchozím příkadě) a konstantu ε a určíme z podmínky σ ** a ds=. S Prodoužení váce bude =ε a.

50 Literatura: [] Hoesch, C.: Viv tepoty na napjatost a pevnost částí. Dům techniky ČSVTS, Praha 986 [] Boey, B.,A., Weiner, J.H.: Theory of therma stresses, Wiey, New York 96 [3] Noda, N., Hetnarski, R.B., Tanigawa, Y.: Therma stresses. Tayor&Francis, New York 3 [4]Kovaenko, A.D.: Termouprugost, Izd. Vyša škoa, Kiev, 975 [5] Stříž,B.: Pružnost a pevnost II.dí. Skripta VŠST, Liberec 986 [6] Bojaršinov,S.V.: Osnovy strojitěnoj mechaniky. Mašinostrojenije, Moskva 973