Vybrané kapitoly z fyziky kosmického plazmatu. P. Hadrava Astronomický ústav AVČR, Ondřejov

Transkript

1 Vybrané kapitoly z fyziky kosmikého plazmatu P. Hadrava Astronomiký ústav AVČR, Ondřejov 13. října 2014

2 Obsah 1 Základy teorie plazmatu Kinetikýpopisplazmatu Kinetikárovnie IonizačnírovnováhaaDebyovskéstínění Boltzmannovarovnie Momentovérovnieahydrodynamikáaproximae Magnetohydrodynamika Srážkovýčlen Binárnísrážky Obenýtvar Momentovýrozvoj Termodynamikárovnováha EntropieaH teorém Rovnovážnérozdělení Rovnováhahemikýhreakí Literatura 26 1

3 Kapitola 1 Základy teorie plazmatu Tato kapitola shrnuje látku přednesenou autorem v zimním semestru 2013/2014 v rámi přednášky NTMF020 Základy teorie plazmatu. Další část tohoto předmětu tvoří přednášky dr. R. Pánka. 1.1 Kinetiký popis plazmatu Plazma je silně ionizovaný plyn. Pro hování plazmatu jako elku jsou proto důležité nejen vzájemné srážky jeho části, ale také elektromagnetiká interake, především působení vnějšího nebo kolektivního magnetikého pole, zároveň však i interake se zářením. Pro velmi řídké plazma lze dynamiku plazmatu do značné míry odvodit z pohybovýh rovni nabitýh části ve vnějším poli. Přivyššíhhustotáhnabývánadůležitostikolektivníhováníčásti, 1 kjehožmatematikému popisu je třeba vyházet ze statistikýh metod kinetiké teorie. Z té lze užitím zjednodušujííh předpokladů odvodit i magnetohydrodynamiké rovnie, jak ukážeme v této podkapitole Kinetiká rovnie Vyšetřujmenejprvepravděpodobnostobsazení f i vsystémuskonečnýmpočtemstavů {i n i=1 } (např. exitační stavy elektronu v atomu vodíku). Pro časový vývoj obsazení stavů nekvantového systému 2 platítzv.kinetikárovnie d dt fi = j (P ji f j P ij f i ), (1.1) kde P ij jepravděpodobnostpřehodusystémuzestavu idostavu jzajednotkučasu.vdůsledku symetrie kvantově mehanikého popisu vůči inverzi času platí(pro přehod mezi elementárními kvantovými stavy) prinip vratnosti P ij = P ji, (1.2) a v důsledku zahování energie(a tedy homogenity v čase) jsou možné přehody pouze mezi stavy sestejnouenergií E i, P ij δ(e i E j ). (1.3) 1 Vužšímsmysluslovabýváplazmadefinovánoprávějakokvazineutrálníplyndominovanýkolektivnímhováním. V reálném vesmíru ovšem není ostrá hranie mezi plazmatem a dalšími stavy látky a v hování plazmatu často hrají podstatnou roli i další proesy. 2 Vodstavi1.2.2sebudemezabývatmodifikaítohotovztahuprokvantovýpřípadfermionovénebobosonové povahy systému. To může být důležité např. pro volné stavy elektronů v plazmatu. Pro diskrétní stavy ovšem zpravidla předpokládáme jediný elektron v poli jádra, resp. statistiku exitaí vzájemně nezávislýh iontů. 2

4 To platí pro izolovanou soustavu. Pokud je soustava v interaki s vnější soustavou( tepelným rezervoárem ; např. s kinetikými stupni volnosti okolníh vodíkovýh atomů, nebo s polem záření) popsanouobsazovaímičísly F k vesvýhstaveh,musímevyjítzrovnie(1.1)prosjednoeníobou podsoustav d dt (fi F k ) = (P jl,ik f j F l P ik,jl f i F k ). (1.4) jl Pouzeprototosjednoenínyníplatívratnostizahováníenergie(P ik,jl = P jl,ik δ(e i + E k E j E l d )).Jestližerezervoármůžemepovažovatzastaionární, dt Fk = 0,pakvystředováním rov.(1.4)přesrozdělení F k dostanemeformálněopětrov.(1.1),kdeovšempravděpodobnosti přehodu sledované podsoustavy P ji kl P jl,ikf l kl m, P Fm ij P ik,jlf k, (1.5) m Fm samostatně nesplňují ani(1.2) ani(1.3). Pokud naše sledovaná soustava interaguje současně s víe vnějšími soustavami(např. opět exitační stupně volnosti se zářením i srážkově s nalétávajíími částiemi), můžeme elkové pravděpodobnosti přehodu zapsat jako součet příspěvků od jednotlivýh proesů(p ij = Pij rad +Pij ol). Rovnie(1.1) můžeme integrovat v čase, přičemž vyházíme ze zvolenýh počátečníh podmínek. Výsledkem integrae je exponeniální relaxae do stavu, v němž mají všehny stavy(mezi nimiž může doházet k přehodům a mají tedy stejnou energii ev. další zahovávajíí se veličiny) stejné obsazení. Např. pro dvou-stavový systém má kinetiká rovnie(1.1) tvar a její časové řešení ( f1 f 2 d dt ( f1 f 2 ) (t) = 1 ( f1 +f 2 2 f 1 +f 2 ) ( P P = P P ) t=0 )( f1 f 2 ) exp( 2Pt) ( f1 f 2 f 2 f 1 ) t=0 (1.6). (1.7) Cvičení 1 Napište a vyřešte kinetikou rovnii pro troj-stavový systém, ve kterém pravděpodobnostipřehodů P 23 = 0 < P 13 = εp 12.Diskutejtepřípad ε 1. Můžeme tedy hledat staionární řešení kinetiké rovnie, d dt fi = 0,kekterémubymělystavy asymptotiky konvergovat. V tom případě se kinetiká rovnie redukuje na soustavu lineárníh algebraikýh rovni statistiké rovnováhy 0 = j (P ji f j P ij f i ). (1.8) Tato soustava je homogenní a protože vzhledem ke svému fyzikálnímu smyslu má mít netriviální řešení, musí být singulární(ož vyplývá i z rov.(1.2)). Proto k ní musíme doplnit normovaí podmínku, např. f i = 1. (1.9) i Jak si ukážeme v odstavi 1.3, v termodynamiké rovnováze je obsazení jednotlivýh stavů dáno jistými funkemi jejih energie, parametrizovanými teplotou. Rovnovážnému rozdělení se stejnou teplotou musí odpovídat všehny vzájemně interagujíí stupně volnosti všeh části. Jestliže některý z nih má odlišné rozdělení, může způsobit odhylky od rovnováhy i ostatníh stupňů 3

5 volnosti. Pokud pravděpodobnosti přehodů mezi různými stavy jistého podsystému jsou mnohem větší než jeho interake s ostatními(např. nerovnovážnými) podsystémy, může se ustavit jeho vnitřní rozdělení velmi blízké rovnovážnému s takovou teplotou, při které je splněna jeho energetiká rovnováha s ostatními podsystémy. Takový předpoklad může podstatně snížit počet neznámýh v soustavě kinetikýh rovni a tím zjednodušit její řešení. Pro stavy, jejihž interaki s nerovnovážnými podsystémy nelze zanedbat, je třeba vyjádřit všehny pravděpodobnosti přehodů(tzv. rate(s) ) a řešit pro ně kinetiké rovnie. Příkladem mohou být hvězdné atmosféry, kde srážky mezi kinetikými stupni volnosti zpravidla dosti dobře zabezpečují ustavení termodynamiké rovnováhy s kinetikou teplotou, která je ovšem závislá na hloube v atmosféře(tzv. lokální termodynamiká rovnováha, LTE). Naproti tomu záření je spektrálně i směrově odlišné od Plankova rovnovážného záření černého tělesa, protože z hlubšíh vrstev s vyšší teplotou přihází teplejší a z vnějšíh vrstev hladnější záření a tyto odhylky jsou větší ve frekveníh, ve kterýh má atmosfériký materiál menší opaitu a tedy větší střední volnou dráhu fotonů. Exitační stupně volnosti interagují srážkově s kinetikými stupni volnosti, čímž se jejih rozdělení přibližuje LTE, ale současně zářivé přehody(zejména v nejsilnějšíh čaráh) mohou tuto rovnováhu narušovat a způsobovat NLTE( non-lte ) rozdělení především základní a nejnižšíh exitovanýh hladin vzhledem ke kontinuu a jeho kinetiké teplotě. Protože prostřednitvím přeskoků do těhto nerovnovážnýh hladin se také vyměňuje energie mezi kinetikými stupni volnosti a zářením, může výsledek řešení NLTE podstatně ovlivnit i prostorovou závislost teploty těh stupňů volnosti, které v LTE jsou. Ještě extrémnějším případem je statistiká rovnováha okolohvězdné a mezihvězdné hmoty, kde díky nízké hustotě a tedy malému vzájemnému rušení mají ionty velký počet diskrétníh hladin. Jejih obsazení je dominováno interakí se zářením entrálníh(pro planetární mlhoviny) či okolníh hvězd.totozářenímíváspektrumodpovídajííteplotámřádu 10 4 K,aledíkyvelkémuzředění hustotuodpovídajííteplotámřádupouze 10 1±1 K.Vrovniistatistikérovnováhyprotozpravidla převažují členy fotoinizae ze základní(nejpopulovanější) hladiny, rekombinae do vyššíh hladin a deexitae, tj. postupné kaskádování zpět do nižšíh hladin Ionizační rovnováha a Debyovské stínění I když plazma může být i v nerovnovážném stavu, předpoklad termodynamiké rovnováhy, kterému je věnována kapitola 1.3, často umožňuje alespoň přibližně popsat jeho vlastnosti. Předpokládejme tedy, že částie plazmatu obsazují diskrétní stavy(např. vnitřní stupně volnosti) i spojité(např. kinetiké) stupně volnosti s pravděpodobností danou Boltzmannovým rovnovážným rozdělením f exp( E/kT), kde E je energie stavu, k je Boltzmannova konstanta a T je teplota, která rozděleníparametrizuje. 3 Vtermodynamikérovnovázejepočet n i subsytémůvestavu i n i = n ( Z exp E ) i, (1.10) kt kde E i jeenergiestavu i, njeelkovýpočetsubsystémůvevšehstaveha Z = ( exp E ) i kt i (1.11) je tzv. stavová suma. Pokud stavem i rozumíme např. elementární kvantový stav elektronové obálky vodíku podobného iontu, pak tento index zastupuje čtveřii kvantovýh čísel n, l, m, s, přičemž energie elektronu v 3 SpeiálnímpřípademjeMaxwellovorozděleníryhlostí včásti,kterédostanemeprokinetikouenergiičásti E = mv 2 /2,nebobarometrikáformulepropoteniálníenergiičásti E = mϕ. 4

6 tomtostavujevaproximaibohrovamodeludánapouzehlavnímkvantovýmčíslem, E n = E 1 /n 2, ajestejnápro g n = 2n 2 elementárníhstavů(l = 0,1,...,n 1, m = l,...,l, s = ±1).Protose vyjádření stavové sumy zpravidla zjednodušuje na součet přes všehny rozdílné energetiké hladiny i n Z = ( g i exp E ) i. (1.12) kt i Pokudje kt E 1,pak(vzhledemktomu,že E 1 < 0,např.prozákladníhladinuvodíku E eV k k)je n 1 n 2 n 3...,alestavovásumabypřestopronekonečnýpočet hladin divergovala, protože samotná exponeniála v ní pro i konverguje k jedniče a váha g i stavu ikvadratikyroste.bohrůvmodelovšempopisujeidealizovanýstavjedinéhoatomuv nekonečném prostoru a střední poloměry elektronovýh drah v něm s hlavním kvantovým číslem rostou( r r 1 (3n 2 l(l +1))/2,kde r 1 = h 2 /(4π 2 m e e 2 ) 0, mjebohrůvpoloměr), takže v reálném plynu jsou vysoké exitované stavy rušeny polem okolníh části. Tomu do jisté míry odpovídá také např. Inglisův Tellerův vztah log(n i +n e ) log(n m ) (1.13) pronejvyššíbalmerovučáruzhladiny n m pozorovatelnouvespektruatmosféryhvězdyshustotami iontů n i aelektronů n e (nam 3 ),nežjejírozšířenístarkovýmjevemzpůsobísplynutísesousední hladinou. Rovnie(1.10) určuje také stupeň ionizae v termodynamiké rovnováze. Proes ionizae a rekombinae X i,j X i,j+1 +e, (1.14) kde X i,j je j-krátionizovanýprvek X i a ejeelektron,můžemehápatjakohemikoureaki(srov. kapitolu 1.3.3) a její levou a pravou stranu za dva různé stavy(přesněji dvě množiny elementárníh stavů,kteréoznačíme LaP)téžefyzikálnísoustavy.Potom kde n L = n Z L Z, n P = n Z P Z, (1.15) n = n L +n P, Z = Z L +Z P, (1.16) a stavové sumy každé strany hemiké reake lze napsat jako součin stavovýh sum příslušejííh jednotlivým stupňům volnosti α(vnitřním i kinetikým), Z L,P = ( ) exp 1 E i,α = ( exp 1 ) kt kt E i,α. (1.17) i α α i Stavovou sumu příslušejíí nerelativistikému translačnímu pohybu částie o hmotnosti m můžeme napsatjakosoučetpřeselementárníkvantovéstavyvelikosti d 6 Γ = d 3 xd 3 p h 3 vefázovém prostoru ) Z tr = exp ( p2 d 3 xd 3 ( ) 3/2 p 2πmkT 2mkT h 3 = V h 2, (1.18) kde V jejednotkovýobjem,astavovousumuvnitřníhstupňůvolnostiiontu X i,j jakosoučin stavovésumyodpovídajííionizačníenergii E i,j,1 zezákladníhladiny(tj.jednoduhéhosoučinitele exp( E i,j,1 /kt),kde E i,j,1 < 0)asumyodpovídajííexitačníenergii E i,j,1 E i,j,k dohladiny k U i,j = ( ) Ei,j,1 E i,j,k exp. (1.19) kt k 5

7 Z rovnie(1.15) tak můžeme odvodit Sahovu rovnii ionizační rovnováhy n i,j+1 n e n i,j n P = Z ( ) 3/2 P 2πme kt = n L Z L h 2 exp ( Ei,j,1 kt ) Ui,j+1 U i,j K ij, (1.20) kde n i,j a n e jsounyníčíselnéhustotyiontů X i,j aelektronů(tj.jejihpočtyvjednotkovémobjemu V).Stavovésumy Z tr iontůjsmezkrátilivpřiblížení m i,j m i,j+1,přesnějibyhommělibrát m e jako redukovanou hmotu. Doplníme-li podmínku kvasineutrality n e = i,j jn i,j, (1.21) můžemeprozadanéhustoty n i = j n i,jjednotlivýhdruhůčástiřešenímsoustavyrovni(1.20) vypočítatelektronovouhustotu n e astupněionizaevšehčásti. Cvičení 2 Odvoďte a řešte Sahovu rovnii pro čistě vodíkové plazma. Z předpokladu Boltzmannova rovnovážného rozdělení můžeme odvodit také například střední hustotu prostorového rozdělení kladně i záporně nabitýh části v okolí každé zvolené nabité částie. Hustota n q částisnábojem qvevzdálenosti rodzvolenéčástiejetedy ( n q (r) = n q0 exp qφ(r) ) ( n q0 1 qφ ) +o(φ 2 ), (1.22) kt q kt q kde n q0 jestředníhustotaat q teplotatěhtočástiaφ(r)jeelektrostatikýpoteniál.tenje řešením Poissonovy rovnie ( ) 2 φ 1 d r 2 dr (r2dφ dr ) = 4π q 2 n q0 qn q 4π φ. (1.23) kt q q Vúpravětétorovniejsmevyužilipředpokladukvasineutralityplazmatu q qn q0 = 0azanedbali jsmečlenynelineárníve φ.řešenítétorovniemátvar 4 φ = q ( r exp r ), (1.24) λ D q kde λ 2 D = 4π q q 2 n q0 kt q (1.25) udávátzv.debyeůvstíníípoloměr λ D,naškálejehožvelikostijeexponeniálnětlumenoulombikýpoteniálnáboje qzvolenéčástie. 5 Aby mohly být užity postupy tohoto statistikého výpočtu, musí být splněna podmínka, že uvnitřobjemuovelikosti λ D senaházívelkýpočetnabitýhčásti,čiližetzv.plazmovýparametr Λ q n q0 λ 3 D 1. (1.26) 4 ShodnýtvarmátakéYukawůvpoteniálvjadernéfyzie. 5 Vliteratuřeseněkdytradujehybnétvrzení,žekdebyeovskémustíněnípřispívajípouzeelektrony,protože ionizované atomy jsou těžké a málo pohyblivé. Rovnovážné řešení ovšem nezávisí na tepelné ryhlosti různýh části a z kvadratiké závislosti na q je zřejmé, že jednou ionizované atomy přispívají ke stínění stejně a víekrát ionizované atomy dokone ještě víe než elektrony. 6

8 Výpočet relativního obsazení diskrétníh(např. exitačníh) i spojitýh stavů(ve fázovém prostoru) v rovnováze pomoí Boltzmannova rozdělení je přímočarý. Při výpočtu ionizační rovnováhy ovšem musíme vzájemně porovnávat počty elementárníh kvantovýh diskrétníh i spojitýh stavů. Fázový prostor tedy musíme kvantovat pomoí relaí neurčitosti, abyhom dostali spočetnou(stále všaknekonečnou)množinuelementárníhstavůofázovémobjemu d 6 Γ = d 3 xd 3 p h 3.Vpřípadě jednoduhého Bohrova modelu atomu vodíku(a podobně i pro složitější atomy) je nekonečný také počet vázanýh stavů, v nihž mají elektrony nižší energii a tedy větší pravděpodobnost výskytu než ve volnýh ionizovanýh staveh. To by ovšem platilo pouze pro atom osamoený v elém vesmíru. Ve vyššíh hladináh jsou vlnové funke prostorově rozlehlejší a proto jsou v reálném plynu či plazmatu rušeny okolními částiemi. Faktiký počet hladin je tedy konečný a musí být omezen v závislosti na hustotě části. Alternativní způsob odhadu počtu stabilníh hladin je založen na řešení Shrödingerovy v debyeovsky stíněném poteniálu, v němž je počet vázanýh stavů redukován v závislosti na velikosti stínění. V poruhovém přiblížení mají vyšší hladiny pozitivní energii a jsou tedy nestabilní Boltzmannova rovnie Předpokládejme, že plyn se skládá z velkého počtu(n) části jednoho druhu, jejihž stav je popsán souřadniemi x i ahybnostmi p i (i = 1,2,3).Stavplynulzepotompopsattzv.jednočástiovou rozdělovaífunkí f = f(t,x i,p i )udávajíípočetčástivjednotkovémobjemufázovéhoprostoru d 6 N = f(t,x i,p i )d 3 xd 3 p. (1.27) Za jednotku fázového objemu můžeme zvolit objem elementárního kvantového stavu (d 6 Γ = (dxdp) 3 h 3 )afpotombudeznamenatpravděpodobnostobsazenístavu. Z jednočástiové rozdělovaí funke f můžeme vypočítat některé makroskopiké veličiny harakterizujíí plyn. Z nih nejdůležitější jsou hustota části n(hmoty ρ), hustota hybnosti π(ryhlost v) a složky tenzoru napětí T (vůči souřadniové soustavě, resp. τ vůči vlastní klidové soustavě plynu), tj. složky tenzoru energie-hybnosti, které jsou dány jako momenty f n = ρ/m = f fd 3 p (1.28) π i = ρv i = p i f p i fd 3 p (1.29) mt ij = m(ρv i v j +τ ij ) = p i p j f p i p j fd 3 p, (1.30) kde m je hmotnost jedné částie. Ze stopy tenzoru napětí můžeme vypočítat i hustotu kinetiké energie(nerelativistikýh části) ε = 1 2 Tr(T) = 1 2 ρv2 +ε 0 = 1 p 2 2m p ip i f 2m fd3 p, (1.31) kde ε 0 = 1 2 i τii jehustotatepelnéenergie. Všimněmesi,žezatímoveličiny n, ρ, πat jsoulineárnífunkionályrozdělovaífunke f, veličiny vaτčastějiužívanévhydrodynamikémpopisu(místo πat)jsounelineární. Pohybkaždéčástielzepopsattrajektoriemi x = x(t), p = p(t)vefázovémprostoru(viznapř. obr. 1.1.a). Jestliže částie nemohou s časem vznikat ani zanikat a jestliže platí tzv. Liouvilleův 7

9 a) p b) t x p x x Obrázek 1.1: Fázové trajektorie. Jednorozměrný pohyb a) neinteragujííh části ve vnějším poli poteniálovébariéry Φ(x) = x 2,b)volnýhčástiinteragujííh Φ int. (x A x B ) = (x A x B ) 2. teorém 6 ( 1 dγ 3 Γ dt = ) x i x i + p i = 0, (1.32) p i=1 i tj. fázový objem je invariantem pohybu, pak je také f invariantem pohybu a platí pro něj bezesrážková Boltzmannova rovnie df dt f t + dxi f dt x i + dp i f = 0. (1.33) dt p i Speiálním, ale přitom dosti obeným, případem kdy platí Liouvilleův teorém(1.32) je případ hamiltonovského pohybu popsaného kanonikými pohybovými rovniemi Pak totiž dx i dt = H p i, ( 1 dγ 3 Γ dt = ) x i x i + p i = p i=1 i dp i dt = H x i. (1.34) 3 i=1 ( 2 ) H p i x i 2 H x i = 0. (1.35) p i Boltzmannovu rovnii(1.33) lze v tom případě zapsat také pomoí Poissonovýh závorek f t [H,f] = 0. (1.36) Pohyb každé částie je obeně určen jednak působením vnějšíh polí ale i vzájemnou interakí s ostatními částiemi plynu. Hamiltonián každé částie je tedy závislý i na staveh ostatníh části a pohybové rovnie(1.34) všeh N části jsou vzájemně svázané. V tom případě je invariantní pouzefázovýobjem d 6N Γvprostorustavůeléhosystému Nčástiamístorovnie(1.36)platí pouze rovnie f N [H N,f N ] = 0, (1.37) t 6 Při jednoparametriké grupě transformaí ξ = ξ(t,ξ 0 ) v N-dim prostoru se totiž objem Γ = d N ξ = ξ d ξ N ξ 0 mění Γ ξ(t+ t) = d 0 dt ξ d ξ N 1 ξ(t) ξ 0 = lim 0 t 0 ξ(t) d t ξ N N ξ 0 = ξ i 0 i=1 ξ i ξ d ξ N ξ 0 = 0 N ξ i i=1 ξ i Γ(vizspe.rov.(??)aprorelativistikézobeněnírov.(??)). 8

10 pro N-částiovourozdělovaífunki f N = f N (x 1,...,x N,p 1,...,p N,t)reprezentujíípravděpodobnost výskytu elého systému v daném stavu, resp. počet systémů z nějakého velkého souboru systémů,kteréjsouvdanémstavu.pro Kčásti(K = 1,...,N 1)můžemezavést K-částiovou rozdělovaí funki f K (x 1,...,x K,p 1,...,p K,t) = f N (x 1,...,x N,p 1,...,p N,t) N i=k+1 d 3 x i d 3 p i, (1.38) vyjadřujíí pravděpodobnost jejih výskytu v jistém stavu z 6K-dimenzionálního podprostoru prostoru stavů všeh části bez ohledu na stav zbývajííh N K části(předpokládáme impliitně, že všehny částie jsou stejného druhu a záměna stavů každé dvojie je nerozlišitelná). Hamiltonián H N můžemezpravidlapovažovatzasoučetjednočástiovýhhamiltoniánů H 1 jednotlivýh části pohybujííh se nezávisle ve vnějšíh a kolektivníh políh a dvoučástiovýh (popřípadě několika málo víe částiovýh) interakčníh hamiltoniánů Φ, vyjadřujííh vzájemnou interaki pro každou dvojii části N H N (x 1,...,x N,p 1,...,p N ) = 1 (x i,p i i=1h )+ Φ(x i,x j,p i,p j ). (1.39) i<j Vyintegrováním rovnie(1.37) přes stavy části i = K + 1,..., N(analogiky definii(1.38)) dostanemepohybovourovniipro f K.Integraíperpartes ( H1 f N [H 1,f N ]dx i dp i = H ) 1 f N dx i dp i x i p i p i x i [ ] + [ ] + H1 H1 = f N dx i f N dp i = 0 (1.40) x i p i= p i x i= selzepřesvědčit,žepříspěvkyjednočástiovýhhamiltoniánů H 1 (x i,p i )pro i > Kjsounulové. Analogikysevyrušíipříspěvkyinterakčníhhamiltoniánů Φ i,j pro K < i < j.všehnyinterakční členyspro i K < j jsoudohromady N K násobkemčlenusj = K + 1azbyléčleny jednočástiovéiinterakčnísi,j Kdávajíanalogiky(1.39)hamiltonián H K soustavy Kčásti. Pohybovárovniepro f K mátedytvar f K t K [H K,f K ] = (N K) [Φ i,k+1,f K+1 ]d 3 x K+1 d 3 p K+1. (1.41) i=1 Tytorovnieprorůzná Ktvořítzv.hierarhiiBBGKY. 7 Prvnírovnieztétosoustavy f 1 t [H 1,f 1 ] = (N 1) [Φ 1,2,f 2 ]d 3 x 2 d 3 p 2 (1.42) je analogiky(1.36) jednočástiová Boltzmannova rovnie na jejíž pravé straně však stojí příspěvek dvojčástiové rozdělovaí funke. Pro tu platí rovnie f 2 t [H 2,f 2 ] = (N 2) 2 [Φ i,3,f 3 ]d 3 x 3 d 3 p 3, (1.43) i=1 7 Bogoljubov,Born,Green,Kirkwood,Yvon podrobnějiviz[3]. 9

11 atd. Pravou stranu rovnie(1.42) lze hápat rovněž jako změnu jednočástiové rozdělovaí funke v důsledku vzniku nebo zániku částie v daném stavu v důsledku její interake(srážky) s ostatními částiemi. Mezi srážkami se každá částie pohybuje nezávisle na ostatníh(viz obr.1.1.b nahoře) podle rovni(1.34), kde hamiltonián je již závislý pouze na souřadniíh dané částie(vnější a kolektivní pole vstupují do hamiltoniánu pouze jako parametry) a tedy jednočástiový fázový objem se zahovává. Srážka, jejíž pravděpodobnost je dána jednočástiovou rozdělovaí funkí druhé interagujíí částie(pokud jsou stavy různýh části nezávislé, nebo dvojčástiovou rozdělovaí funkí, pokud jsou jejih stavy korelované), se projeví jako přehod sledované částie na jinou fázovou trajektorii(viz obr. 1.1.b dole), tj. jako zánik částie na její původní trajektorii a vznik na nové trajektorii(popřípadě pouze zánik nebo pouze vznik, jestliže jde o nepružnou srážku či hemikou reaki, při které se změní typ vstupujííh části). Působení srážek je zahrnuto do Boltzmannovy rovnie pomoí tzv. srážkového členu na pravé straně, která vyjadřuje pravděpodobnost vzniku částie(se záporným znaménkem též zániku), f t + dxi f dt x i + dp i f = dt p i ( ) δf Momentové rovnie a hydrodynamiká aproximae. (1.44) Vypočteme-li momenty Boltzmannovy rovnie(1.44) v prostoru hybností, dostaneme pariální difereniální rovnie pro momenty definované rovniemi(1.28) až(1.30). Odvoďme si tyto rovnie pro jednoduhý případ části ve skalárním poteniálovém poli, kdy hamiltonián podle(1.34) tedy takže(1.44) má konkrétně tvar H = p2 +mφ(x), (1.45) 2m dx i dt = p i m, f t + p i f m x i m Φ f x i = p i Nultýmoment(tj. d 3 p)tétorovniedává n t + 1 π i m x i = dp i dt = m Φ x i, (1.46) ( ) δn ( ) δf. (1.47), (1.48) kde na pravé straně je moment srážkového členu definovaný analogiky(1.28), který udává číselnou hustotu části vzniklýh srážkami za jednotku času(ož musí být nula, pokud nedohází k hemikým reakím). Integrál třetího členu na levé straně rovnie(1.47) je nulový, protože je to integrál derivae rozdělovaí funke f, která musí jít pro nekonečné p k nule, aby dávala konečnou hustotu.přepíšeme-litutorovniipomoíryhlosti v i zavedenév(1.29),dostanemeznámourovnii kontinuity ρ ρ +vi t x i +ρ vi x i = ( ) δρ. (1.49) Prvnímomentyrovnie(1.47)dostanemevynásobením p j avyintegrováním(tj. d 3 pp j ) π j t + Tji x i +ρ Φ ( ) δπ j x j =. (1.50) 10

12 Třetíčlennalevéstranějsmeupraviliintegraíperpartes p j f p i = δ j i f,napravéstraněje opět hustota hybnosti předaná srážkami za jednotku času(která musí být nulová, jestliže dohází pouze ke srážkám mezi částiemi téhož druhu). Kombinaí s rovnií kontinuity(1.49) odtud můžeme dostat pohybovou rovnii pro jednosložkový plyn ve tvaru obvyklejším v hydrodynamie ( v j ρ t +vi vj x i )+ τji x i +ρ Φ x j = ( ) δπ j v j ( δρ ). (1.51) Podobněprodruhémomentyrovnie(1.47)dostaneme(vyintegrováním d 3 pp j p k /m)rovnii pro složky tenzoru napětí T jk ( ) + Qijk Φ t x i +π j x k +π Φ δt jk k x j =, (1.52) kde na pravé straně je opět příspěvek srážkového členu ke změně tenzoru napětí. Tato rovnie obsahuje divergeni momentu vyššího řádu, a to toku složek tenzoru napětí(resp. energie, která je úměrná jeho stopě) Q ijk m 2 p i p j p k f. (1.53) Jestližetenzor Q ijk přepíšeme(analogiky(1.30))pomoítransformaedovlastníklidovésoustavy plynu(vnížbymělhodnotu q ijk ) Q ijk = q ijk +v i τ jk +v k τ ij +v j τ ki +v i v j v k ρ, (1.54) pak rovnii(1.52) můžeme užitím nižšíh momentovýh rovni přepsat τ jk t x i + (vi τ jk ) x i +τ ki vj x i +τji vk x i = (1.55) ( ) ( ) ( ) ( ) δt jk δρ δπ = +v j v k v j k δπ v k j. + qijk Momentové rovnie(1.48),(1.50),(1.52) a další lze zapsat jednotně zavedením momentů M α = p α f = p α fd 3 p (1.56) zobeňujííhdefinie(1.28),(1.29),(1.30),(1.53)adalší,kde αjetzv.multi-index 8,jehožnorma udává stupeň(řád) momentu. Obený moment rovnie(1.47) má potom tvar t Mα + 1 m x imα+i +mα i Φ ( ) δm α x imα i =, (1.57) 8 Multi-index αjevektorovýindex(vektorseločíselnýmisložkami),pomoíkteréhomůžemedefinovatmoninu p α vektoru p Jeho norma je definovaná vztahem p α = α = 3 (p i ) αi. i=1 3 α i. i=1 Index i 3 i=1můžemehápatsoučasnějakojednotkovýmulti-indexvesměru i,takženapř. p i p α = p α+i. 11

13 kde na pravé straně je příslušný moment srážkového členu. Vidíme tedy, že každá momentová rovnie vždy obsahuje i momenty vyššího řádu, takže tyto rovnie tvoří nekonečnou soustavu pariálníh difereniálníh rovni(ovšem v prostoru s nižší dimenzí než původní Boltzmannova rovnie, protože závislost rozdělovaí funke na hybnosti vlastně representujeme spočetnou posloupností momentů, z nihž lze tuto funki v prinipu zpětně rekonstruovat). Aby soustava momentovýh rovni byla uzavřená, musíme některé z vyššíh momentů apriorně vyjádřit pomoí nižšíh momentů. Můžeme například učinit nejjednodušší předpoklad, že f bude dáno rovnovážným maxwellovským rozdělením(srovnej rov.(1.133)) ( ) f = n(2πmkt) 3 2 exp (p mv)2, (1.58) 2mkT kdevýškaastředgausovskékřivkyjsouvsouhlases(1.28)a(1.29)dány ρav,kterémusí splňovat pohybové rovnie(1.49) a(1.51). Podle(1.30) je pro rozdělení(1.58) tenzor napětí ve vlastní soustavě izotropní, úměrný teplotě rozdělení T, τ ij = δ ij P = δ ij nkt = δ ij2ǫ 3, (1.59) kde P jetlakaǫjehustotatepelnéenergie.teplotamůžebýtpředemzadaná(např.určená rovnováhousezářením),neboproni(resp.pro ǫ)zestopyrovnie(1.55),kdetoktepla q = 0 v důsledku předpokladu(1.58), dostáváme rovnii energetiké rovnováhy ) )ǫ+. (1.60) ( t +vi x i 53 ǫ vi x i = Druhý člen na levé straně této rovnie udává změnu vnitřní energie v důsledku práe vykonané stlačováním plynu proti jeho tlaku. Srážkový člen na pravé straně by byl nulový pro adiabatiký pohyb jednosložkového plynu, nebo může vyjadřovat příspěvek výměny energie s ostatními složkami nebo zářením tento člen by v případě zářivé rovnováhy musel dominovat. Podobně i ostatní složky rovnie(1.55) mají význam kritéria oprávněnosti předpokladu(1.58) srážkové členy na pravé straně musí být dostatečně dominantní aby zajistily relaxai odhylek od rovnovážného rozdělení způsobovanýh gradienty na levé straně. Jestliže srážky nejsou dostatečně účinné aby zajistily platnost přiblížení(1.58), musíme do Boltzmannovy rovnie resp. jejíh momentů pravou stranu dosadit a počítat odhylky skutečné rozdělovaí funke od(1.58). Skutečným tvarem srážkového členu se budeme zabývat v kapitole 1.2. Pro ilustrai jeho vlivu na řešení Boltzmannovy rovnie však můžeme vystačit se zjednodušeným BGK - modelem(bhatnagar, Gross, Krook[1],[5]) ( δf ) = f f 0 t ( δǫ, (1.61) kde tjenějakýrelaxačníčas 9 a f 0 jerovnovážnározdělovaífunkedaná(vnerelativistikém případě) vztahem(1.58). Obený moment tohoto srážkového členu má tvar ( ) δm α = Mα M0 α, (1.62) t takže např. v případě jednosložkového plynu je jeho příspěvek k hustotě a hybnosti(popřípadě ihustotěenergie)nulový,protože f 0 jsmevolilitak,abydávalostejnéhodnotytěhtomomentů 9 NepřesnostBGK-aproximaespočívápředevšímvpředpokladužektétorelaxaidoházívelémryhlostním prostoru stejnou ryhlostí. 12

14 jako f. Vyšší momenty, jako např. složky tenzoru napětí(resp. pouze jeho odhylky od izotropního tlaku) nebo tenzoru Q, pak můžeme odhadnout pomoí rozvoje podle malého parametru t z dosazení(1.62) do(1.57) ( M α = M0 α t t Mα m x imα+i 0 +mα i Φ ) x imα i 0 +o( t 2 ), (1.63) a po jejih dosazení do příslušnýh nižšíh momentovýh rovni dostaneme difúzní aproximai, přičemž t určuje příslušné difúzní koefiienty(viskozitu, tepelnou vodivost aj.). Všehnymomenty M α 0 přitommůžemeexpliitněvypočítatdosazením(1.58)do(1.56).je zřejmé,ževevlastnísoustavěplynu(vekteré v = 0)budouvšehnymomenty M α 0,prokteréje alespoňjednasložka α i lihá,rovnynule,alenekonečnýpočetsudýhmomentůbudenenulový. V obené(nikoliv vlastní) soustavě pak bude podle binomiké formule každý moment lineární kombinaístejnéhoanižšíhmomentůklidovýh.propraktikévýpočtyprotomůžebýtvýhodné 10 přejít od reprezentae f v p-prostoru nikoliv k moninným momentům(1.56), ale k rozvoji f do vhodné soustavy funkí( ket-vektorů ) α f = f α α. (1.64) Koefiientyrozvojef α jsoupotomzobeněnémomenty,kterédostanemevynásobenímfsduálními bra-vektory f α = α f (kde α β = δ αβ )akonkrétnítvarmomentovýhrovnianalogikýh (1.57)pronědostanemedosazenímvyjádřeníoperátorů ˆpa ˆ p v α -reprezentaidoboltzmannovy rovnie(1.44)skonkrétnímvyjádřenímsložekliouvilleovaoperátoru d dtjakofunkí p.například, jestliže lze očekávat, že odhylky od rovnovážného rozdělení(1.58) části budou malé, pak je výhodné užít tzv. Gradovy metody(viz např.[3]), ve které je reprezentae α tvořena Hermiteovými polynomy vynásobenými gaussovskou váhou(1.58) vůči níž jsou ortonormální, takže α jsou samotné hermiteovské polynomy. Hermiteovské momenty jsou lineárními kombinaemi fyzikálně významnýh momentů(1.56) a kromě nultého jsou nulové pro(lokálně) rovnovážné rozdělení se správnou ryhlostí a teplotou. Proto zpravidla stačí uvažovat prvníh 20 momentů(tj. do třetího stupně)nebo13momentů(dodruhéhostupněatokyenergie Q ijj ) Magnetohydrodynamika Předpokládejme,žeplazmaseskládázedvoudruhůčástiskladnýmazápornýmnábojem q ± ahmotami m ±.Každýztěhtodruhůčástijepopsánrozdělovaífunkí f ±,kterásplňujeboltzmannovu rovnii ( ) t f ± + x i x if ± + p δ i p if ± = f ±, (1.65) kde ryhlost každé částie(srovnej s(1.46)) x i = pi m ±, (1.66) a zryhlení je nyní působeno nejen gravitační, ale i elektrostatikou a Lorentzovou silou p i = m ± i Φ+q ± E i + q ± m ± ε ijk p j B k. (1.67) 10 Přehodknovéreprezentaijevýhodnýtehdy,jestližetatoreprezentaevystihuje(předpokládanou)symetrii řešení konkrétní úlohy, takže stačí nezanedbat menší počet zobeněnýh momentů. Ze stejnýh důvodů může být výhodné přejít k diskrétní reprezentai i ve smíšeném x- a p- řezu fázovým prostorem. 13

15 Nultémomentyrovni(1.65)majítvar 11 a první momenty t ρ ± + i (π i ±) = t π i ± + j T ij ± +ρ ± i Φ q ± m ± ρ ± E i q ± m ± ε ijk π j ±B k = ( ) δ ρ ±, (1.68) ( ) δ πi ±. (1.69) Zavedeme-lielkovouhustotuhmoty ρ = ρ + + ρ aelkovouryhlost v = (π + + π )/ρ,pak sečtením rovni(1.68) pro oba druhy části dostaneme rovnii kontinuity hmoty ( ) δ t ρ+ i (ρv i ) = ρ = 0, (1.70) kde jsme zároveň předpokládali, že v proeseh srážek částie žádného druhu nevznikají ani nezanikajíapravéstranyrovni(1.68)protomusíbýtnulové. 12 Podobně,zavedeme-lielkovouhustotu náboje η = q+ m + ρ + + q m ρ aproud J = ( q+ m + π + + q m π ),pakváhovanýmsoučtemrovni(1.68) dostaneme rovnii kontinuity náboje ( ) δ t η + i (J i ) = η = 0. (1.71) Sečtením rovni(1.69) dostaneme pohybovou rovnii ve tvaru t (ρv i )+ j T ij +ρ i Φ ηe i 1 εijk J j B k = ( ) δ πi = 0, (1.72) kde vzhledem k zahování hybnosti při srážkáh musí součet srážkovýh členů vymizet. Celkový tenzornapětímůžemerozložitnačástpříslušejííuspořádanémupohybu ρv i v j ačásttlakovou 13 P ij,tj. T ij T ij + +T ij = ρv i v j +P ij.předpokládáme-litlakizotropní(ožjeovšempřiexisteni proudu, tj. nenulovýh prvníh momentů rozdělovaíh funkí, těžko přesně splnitelné) a předpokládámenulovýelkovýnáboj η,pakpoúpravě t (ρv i ) = ρ d dt vi j (ρv i v j )využívajíírovnie kontinuity(1.70) dostáváme pohybovou rovnii ve tvaru ρ d dt v = P ρ Φ+ 1 J B. (1.73) Váhovaným součtem rovni(1.69) dostaneme pohybovou rovnii pro proud ( ) t J i q ± + j T ij ± +η i Φ q2 ± m ± m 2 ρ ± E i q2 ± ± m 2 ε ijk π±b j δ k = ± Ji. (1.74) Srážkový člen na pravé straně je zde obeně nenulový, protože obě složky si ve srážkáh vyměňují hybnost a tím disipuje proud. Jestliže předpokládáme harakteristiký relaxační čas pro ustavení 11 Neboť p εijk p j p if ± = p εijk δ j i f ± = Vreálnémplazmatumůžedoházetkrekombinaiaionizai.Pakjezapotřebípřidatještěalespoňrovniipro neutrální částie a nulový bude pouze součet pravýh stran. 13 Tj.napětívzhledemkvlastnímuklidovémusystémuplazmatu.Tlakjesoučtempariálníhtlakůoboudruhů části. 14

16 rovnováhy(tj. pro vymizení proudu po vypnutí síly, která jej způsobuje) t, pak v BGK aproximai ( ( δ J) = J t )mátatorovnietvar ( ) J i q ± = t j T ij ± η i Φ+ q2 ± m ± m 2 ρ ± E i + q2 ± ± m 2 ε ijk π±b j k, (1.75) ± tj. po rozepsání hybností obou složek jako lineárníh kombinaí v a J kde a α i ( ( = t j ηv i v j q+ j P ij + + q m + q +q m + m ε ijk ρv j B k Řešenírovnie(1.76)mátvar 14 J i = α i +ε ijk J j β k, (1.76) ) η i Φ q ( +q ρe i q+ + + q ) ηe i m + m m + m P ij m ), (1.77) β k = t ( q+ + q ) B k. (1.78) m + m J i = 1 1+β 2 ( α i +β i β j α j +ε ijk α j β k). (1.79) Jestližezanedbámečlenyoddruhéhořáduv t(ožznamenávšehnyčlenysβ),vrovnii(1.77) předpokládáme nulovou hustotu náboje a zanedbáme gradienty pariálníh tlaků obou složek, pak se tato rovnie redukuje na Ohmův zákon kde vodivost J = σ(e + v B). (1.80) σ = q +q m + m ρ t. (1.81) Rovnie(1.73) a(1.80) popisují vliv elektromagnetikého pole na pohyb plazmatu. Naproti tomu Maxwellovy rovnie a B 1 te = 4π J, (1.82) E = 4πη 0, (1.83) E + 1 tb = 0, (1.84) B = 0, (1.85) popisují vliv zdrojů na pole. V rovnii(1.83) jsme opět zanedbali hustotu náboje. Jestliže v rovnii (1.82) zanedbáme polarizai vakua proti el. proudu J, pak se zjednoduší na t E 0 J = B. (1.86) 4π 14 Opakovanýmzpětnýmdosazenímtotiž J = α+j β = α+α β+(jβ)β (ββ)j = α+α β+(αβ)β (ββ)j. 15

17 Dosadíme-li odsud proud do rovnie(1.73), dostaneme pohybovou rovnii pro plazma v zadaném magnetikémpoli 15 ρ d 1 v = P ρ Φ dt 8π (B.B)+ 1 (B. )B. (1.87) 4π Naproti tomu vývoj magnetikého pole je dán rovnií(1.84), kde můžeme z Ohmova zákona(1.80) vyloučit Eaz(1.86)opětiJ,takžedostanemepohybovourovniipro B t B = E = ( 2 J +v B) = ( B)+ (v B). (1.88) σ 4πσ Můžeme ji dále přepsat do lagrangeovskýh souřadni d dt B = tb +(v. )B = 2 4πσ 2 B +(B. )v B(.v). (1.89) První člen na pravé straně popisuje difúzi magnetikého pole, zatímo druhé dva členy jeho zamrznutí do plazmatu. 15 Přitomjsmeužilirelae ((a b) ) i = ε ijk ε jlm a l b m k = (δ kl δ im δ il δ km )a l b m k = (a)b i (b)a i. 16

18 p z 1.2 Srážkový člen Binární srážky Metodou řetěze BBGKY jsme nalezli srážkový člen Boltzmannovy rovnie(1.42) ve tvaru ( ) δf = (N 1) [Φ 1,2,f 2 ]d 3 x 2 d 3 p 2. (1.90) Předpokládejme,žebinárníinterakčnípoteniál Φ 1,2 = Φ( r ),kde r = x 2 x 1 jevzájemná vzdálenostčásti,aže Φ( r ) = 0pro r > R,tj.vnějistéhomaléhopoloměruinterake.Vnětohoto poloměru můžeme očekávat náhodné, vzájemně nekorelované rozdělení části, f 2 (x 1,p 1,x 2,p 2 ) = f 1 (x 1,p 1 )f 1 (x 2,p 2 ). (1.91) Naprotitomupromenšívzdálenostimůže Φdivergovat,apotom f 2 musíklesatknule,ožodpovídá skutečnosti, že částie se k sobě nemohou v důsledku své interake neomezeně přiblížit. Abyhom mohli podle(1.90) vyčíslit srážkový člen, musíme nalézt(anti-)korelai části v malýh vzdálenosteh. Předpokládejme, že dvojčástiová rozdělovaí funke je časově nezávislá, prostorově závislá pouze na r, a že její ovlivnění dalšími částiemi je(alespoň během binární srážky) zanedbatelné. Dostáváme tak pro ni další rovnii(1.43) v expliitním tvaru [ p 2 [H 2,f 2 ] 1 +p 2 ] 2 2m +Φ(r),f 2 = [Φ(r),f 2 ]+ pi 1 p i 2 f 2 = 0. (1.92) m ri Odtudmůžemevyjádřit [Φ(r),f 2 ]apodosazenído(1.90)dostáváme ( ) δf p i = (N 1) 2 p i 1 f2 m r id3 rd 3 p 2. (1.93) Vnitřní integrál gradientu dvojčástiové rozdělovaí funke přehází na integrál této funke přes plohukolmoukesměru p i 2 p i 1,tj.veválovýhsouřadniíh b,ϕ,z(bjesrážkovýparametr) f2 r id3 r = [f 2 ] z=+z z= Zbdbdϕ, (1.94) p Obrázek 1.2: Geometrie binární srážky. 17

19 kde Z R je poloviční výška vále obsahujíí sféru binární interake(přitom však stále podstatně menšínežjsouprostorovénehomogenityvyjádřenézávislostí f 1 (x)).vz = Z jepodlepředpokladu(1.91) dvojčástiová rozdělovaí funke vyjadřujíí hustotu vzájemně proti sobě nalétávajííh části dána součinem lokálníh(na prostorové škále b R homogenníh) jednočástiovýh funkí.naprotitomuvz = +Zjehustotavylétávajííhčásti f 2 (b)obeněnehomogenní.protože proes srážky dvou části vyšetřujeme jako pohyb(neovlivněný interakí s dalšími částiemi) ve dvoučástiovémfázovémprostoru, f 2 jekonstantnípodélpříslušnéfázovétrajektorie,takže f 2 (b,z = +Z,p 2 p 1 ) = f 2 (r > R,p 2 p 1) = f 1 (p 1)f 1 (p 2), (1.95) kde p 1,2jsouhybnostikterémusímítnalétávajííčástieabyseposrážedostalydosměrů p 1,2 asrážkovéhoparametru b(vzhledemkčasovéreverzibilitě 16 takjdeovyšetřovánídifereniálního účinnéhoprůřezu dσ = 2πbdbrozptylu p 1,2 p 1,2).Podosazenído(1.93)takdostáváme srážkový člen ve tvaru ( δf ) = (N 1) p i 2 p i 1 m (f 1 (p 1)f 1 (p 2) f 1 (p 1 )f 1 (p 2 ))2πbdbd 3 p 2. (1.96) Tentovýrazobsahujerelativníryhlost p2 p1 m částivynásobenoudifereniálnímúčinnýmprůřezem, čili, v souhlase s představou znázorněnou v obr. 1.1 b, pravděpodobnost proesu srážek, při nihžčástieodejdouzfázovéhoelementuurčeného p 1,2 do p 1,2nebonaopak.Tentovýsledekmůže být zobeněn i pro kvantové proesy a různé počty interagujííh části(např. pro rozpady části na částie jinýh druhů), kdy mehaniká analogie dvojčástiové srážky je neplatná Obený tvar Srážkový člen na pravé straně Boltzmannovy rovnie(1.44) pro jednočástiovou rozdělovaí funki části typu A udává elkovou fázovou hustotu pravděpodobnosti vzniku(nebo negativní hodnota zániku) těhto části interakí s ostatními částiemi téhož nebo jiného druhu. Proto jej můžeme vyjádřit jako součet kladnýh příspěvků od jednotlivýh elementárníh proesů, při nihž dohází ke vzniku takovéto částie ve sledovaném elementu fázového prostoru, a zápornýh příspěvků od proesů, při nihž částie zaniká. To znamená, že například rozptyl, ož je přehod částie z jednoho boduvprostoruhybnostídodruhého,hápemejakozánikčástievpůvodnímavznikvnovém elementufázovéhoprostoru.uvažujmetedyobenou( hemikou )reakimezičástiemi X B M B=1, přinížvznikajíčástie X B N B=M+1 M N X B X B. (1.97) B=1 B=M+1 Pokudvšehna X B můžemepovažovatzanekvantovéčástie(tj.jestližemůžemezanedbat stimulovanou emisi pro bosony a vylučovaí prinip pro fermiony, ož lze vždy, když jsou rozdělovaí funkezanedbatelnévůčifázovéhustotě φ B elementárníhkvantovýhstavů),pakpříspěvekreake (1.97)kesrážkovémučlenučástie X A bude ( δfa ) (p A ) = ν C C,X C X A [ P(p 1,...,p N ) ] M f B (p B ) B=1 N p C=p A B=1,B C d 3 p B, (1.98) 16 BezesrážkováBoltzmannovarovniepro N-částiovourozdělovaífunkiječasověreverzibilní.Binárníinterake původně nekorelovanýh nalétávajííh části způsobuje korelai mezi vylétávajíími částiemi, kterou by bylo třeba si zapamatovat, aby byl elý systém stále vratný. Přiblížením dvojčástiové rozdělovaí funke vylétávajííh části opět nekorelovaným rozdělením v jiném elementu dvojčástiového fázového prostoru předpokládáme, že srážková korelae je vlivem dalšího vývoje zapomenuta a proto takto odvozená jednočástiová Boltzmannova rovnie s pravou stranou se stává časově ireverzibilní. 18

20 kde stehiometrikékoefiienty ν C = +1pročástievznikajíí(C > M)aν C = 1pročástie zanikajíí(c M). P(p 1,...,p N )jepravděpodobnostproběhnutíreake(1.97)zajednotkučasu mezičástiemispočátečnímihybnostmi p 1,...,p M dokonovýhhybností p M+1,...,p N.Srážkový člen na pravé straně Boltzmannovy rovnie je tedy(na rozdíl od levé strany) obeně nelineární v rozdělovaí funki části. Jestližerozdělovaífunkeněkterézevznikajííhčásti(např. X C )nenízanedbatelnávůči φ C můžeme do výrazu(1.98) zabudovat bosonové nebo fermionové hování této částie přidáním do integrandunapravéstraněčlenu(jakési modifikované rozdělovaífunke 17 ) ˆf C 1± f C φ C, (1.99) kde horní znaménko(+) platí pro bosony(a člen udává zvýšení pravděpodobnosti reake(1.97) v důsledku stimulované emise) a dolní znaménko( ) pro fermiony(a člen pak udává snížení pravděpodobnosti reake vlivem Pauliho vylučovaího prinipu). Takto zobeněný výraz(1.98) však můžeme formálně považovat za příspěvek reake jejíž pravděpodobnost X C + M X B B=1 N B=M+1 X B +X C, (1.100) P(p C,p 1,...,p N,p C) = ±φ 1 C P(p 1,...,p N )δ(p C p C )δ(p C p C ), (1.101) takže výraz(1.98) lze brát jako obený tvar srážkového členu Momentový rozvoj K řešení Boltzmannovy rovnie metodou rozvoje do zobeněnýh momentů ve tvaru(1.64) potřebujeme rozvinout i srážkový člen ( ) ( ) α δfa δfa = α (1.102) a jeho momenty vyjádřit pomoí momentů rozdělovaíh funkí části účastnííh se srážky. Podle (1.98) jsou momenty srážkového členu dány integrálem pravděpodobnosti P(p 1,...,p N ) reake (1.97) přes všehny hybnosti ( ) α ( ) δfa δfa = α = ν C C,X C X A M N α(p C ) P(p 1,...,p N ) f B (p B ) d 3 p B. (1.103) B=1 Tuto pravděpodobnost můžeme považovat za integrační jádro operátoru B=1 P = α M+1,...,α N P αm+1,...,αn α 1,...,α M α 1,...,α M, (1.104) přiřazujííhojistémurozdělení f(p 1,...,p M ) = M B=1 f B(p B )částivstupujííhdoreake(1.97) rozdělení f(p M+1,...,p N )částivystupujííh(bázetěhtosoučinovýhprostorůjsoutvořenysoučiny bázovýh prvků v jednočástiovýh prostoreh). Dosazením příslušnýh rozvojů(1.64) do 17 Zdejezřejmávýhodnostvolbyelementárníhokvantovéhostavuzajednotkufázovéhoobjemu,kdy φ C 1. 19

21 (1.103) dostaneme moment srážkového členu ve tvaru multilineární kombinae momentů rozdělovaíh funkí části do reake(1.97) vstupujííh ( ) α δfa = PA α α 1,...,α M α 1,...,α M M B=1 kdekoefiienty PA α α 1,...,α M jsoudánymatiovýmielementy Pα αm+1,...,αn 1,...,α M N PA α α 1,...,α M = + δα α C Pα αm+1,...,αn 1,...,α M C=M+1,X C X A M Q αβc α C P αm+1,...,αn α 1,...,β C,...,α M C=1,X C X A f αb B, (1.105) N B=M+1,B C N B=M+1 operátoru P 1 α B, 1 α B (1.106) kde Q αβc α C = β C ( α(p) ) α C. (1.107) Koefiient 1 α 1 α jezpravidla δα(jestližejedničkajezákladnímčlenemortonormálníbáze 0 funkí),takžekladnéčlenyvtomtosoučtupřes C,tj.členypročástii X C vystupujíí(c > M), jsou přímo rovné některým matiovým elementům. Záporné členy(pro částie vstupujíí, C M) jsou naproti tomu zpravidla lineární kombinaí víe matiovýh elementů, protože v integrálu (1.103)sekjednomuket-vektoru(v f C )vyskytujídvabra-vektory(v P a α ),jejihžsoučinje nutné nejprve pomoí koefiientů Q rozložit na součet jednotlivýh bra-vektorů. Přímočarývýpočetkoefiientů PA α α 1,...,α M nebo Pα αm+1,...,αn 1,...,α M bybylznačněobtížný,protože vyžaduje trojnásobnou integrai přes hybnost každé z N části. Přitom počet těhto koefiientů roste alespoň s M + 1. resp. N-tou moninou počtu uvažovanýh momentů rozdělovaí funke. Řada z těhto koefiientů však vypadne a zbylé lze zjednodušit díky symetriím srážky. Je například zřejmé, že pro identiké vstupujíí nebo vystupujíí částie musí tyto koefiienty být symetriké vůči záměně příslušnýh indexů. Jestliže P závisí pouze na relativní orientai hybností části účastnííh se srážky(tj. srážka není anizotropní např. v důsledku vnějšího elektromagnetikého pole), pak musí být shodné koefiienty lišíí se pouze prohozením prostorovýh os. Další symetrie koefiientů musí vyplývat ze zákonů zahování hybnosti, popřípadě energie(pro pružnou srážku). Nehť, obeně, P(p 1,...,p N )jeinvariantnívůčijistégrupětransformaí p p = p (p,ξ) (1.108) parametrizovanéparametrem ξ.báze { α }rozvoje(1.64)indukujejistoureprezentai T ξ této grupy α (p ) = Tξ α α α(p), (1.109) kteráurčujetransformačnívztahypromatiovéelementy P α β P β α = (T 1 ξ ) α αp α βt β ξ β. (1.110) Vdůsledkuinvariane P(p 1,...,p N )vůči(1.108)tedymusímatiovéelementyvyhovovathomogenním lineárním rovniím [ (T 1 ξ ) α αt β ξ β δ α αδ β β ]P α β = 0, (1.111) z nihž můžeme některé elementy vyjádřit jako lineární kombinae jinýh. Protože v praxi může být i řešení těhto rovni obtížné, je výhodnější využívat symetrií P přeházením k takovým bázím v prostoreh hybností, v nihž se matiové elementy zjednoduší(např. se stanou diagonální). 20

22 Rozvoj pro binární srážku. Jako příklad uveďme výpočet rozvoje srážkového členu do prostorovýhhermiteovýhpolynomů α = Π 3 i=1 P α i (p i )probinárnísrážku X 1 +X 2 X 1 +X 2. (1.112) Pokud se omezíme na rozvoj do druhého řádu, tj. na 10 momentů, pak potřebujeme vypočítat řádově 10 3 matiovýhelementů 18 zelkovéhopočtu 10 4 koefiientůrozvojepravděpodobnosti P(p 1,p 2,p 1,p 2)tétoreakejakofunkevšehproměnnýh.Pokudovšemprovedemetransformai {p 1,p 2 } {p T,p}(aanalogikypročárkovanéveličiny)dotěžišťovýhsystémůpředaposráže, p 1,2 = m 1,2 m 1 +m 2 p T p, (1.113) kde p T jehybnostelésoustavyaphybnostčástiesrelativníryhlostí(v = v 2 v 1 )aredukovanou hmotností(m = m1m2 m 1+m 2 ),pakvzhledemkzahováníhybnostipřisrážemusíbýtmatiovéelementy funke Púměrnéjednotkovématiivindexeh α T, α T odpovídajííhproměnným p T, p T.Všeh 10 4 elementůfunke P(p 1,p 2,p 1,p 2)jetaklineárníkombinaípouhýh 10 2 členůrozvojetéže funke P(p,p )vyjádřenépouzevproměnnýhhybnostirelativníhopohybusrážejííhsečásti, α 1α 2 P α 1 α 2 = α 1α 2 α Tα α P α α T α α 1 α 2. (1.114) Pravděpodobnost P může kromě invariane vůči volbě ryhlosti ineriálního systému(která je speiálním důsledkem výše započteného zákona zahování hybnosti) mít i další symetrie, např. může splňovat zahování energie nebo být invariantní vůči natočení vztažné soustavy. Vliv těhto symetriísenejsnázevyjádřívreprezentaisférikýhharmonik 19 nlm = α =2n+l α nlm α. (1.115) Vpřípaděpružnésrážkysezahovávákinetikáenergierelativníhopohybu,tj. p = p.vobeném případěsezměníouvolněnouenergiivnitřníhstupňůvolnosti,tj. P(p,p ) δ( p p 2 +2mE). Voboupřípadehvšakmůžemeseparovataintegrovatradiálníčást P(p,p )vproměnné p.úhlová závislost pravděpodobnosti rozptylu P zpravidla bývá invariantní vůči rotai prostoru hybností azávisípouzenaúhlu χrozptylumezisměry ϑϕaϑ ϕ nalétávajííarozptýlenéčástie, P(p,p ) = δ( p p 2 +2mE) p σ(χ), (1.116) m kde σ je difereniální účinný průřez. Vhodnou rotaí prostoru hybností pak můžeme dosáhnout splynutísměru ϑϕsosou zasměru ϕ = 0sosou x,takžezbývározvinoutúhlovouzávislost rozptylu pouze do Legendreovýh polynomů v os χ, n l m P nlm = n l δ( p p 2 +2mE) p m l m σ(χ, p ) lm nl = δ l l δ m m n l δ( p p 2 +2mE) p m σl ( p ) nl. (1.117) Všehny matiové elementy se tak redukují na lineární kombinae několika málo integrálů úhlové a ryhlostní závislosti účinného průřezu srážky. 18 Tj.provšehnyindexyčástie,pronížsrážkovýčlenpočítáme,aproindexyoboučástidoreakevstupujííh. 19 ProtožeHermiteovypolynomyjsouvlastnífunke1-dim.kvantovéhoharmonikéhoosilátoru,jezřejmé,že prostorové Hermiteovy polynomy musí být lineární kombinaí vlastníh funkí nlm = nl lm příslušného sfériky symetrikého hamiltoniánu. Radiální část nl je přitom dána zobeněnými Laguerrovými polynomy. 21

23 1.3 Termodynamiká rovnováha Entropie a H teorém Rozdělovaí funke f umožňuje konkrétně vypočítat střední hodnoty různýh makroskopikýh veličin pro jí popsané makroskopiké rozdělení části a obeně tedy nese jistou informai o stavu souboru těhto části. Mírou této informae je Boltzmannova entropie S = klnw, (1.118) kde k je Boltzmannova konstanta a W je počet různýh mikrostavů odpovídajííh danému makrostavu. 20 Máme-linapř.gstavůproNidentikýhklasikýhčásti,pakW kl = g N /N!.ProFermiho Diraovyčástie W FD = g!/(g N)!/N!(protožeskaždoučástiíubydejedenstavkdispozii proostatní)aproboseho Einsteinovyčástie W BE = (N+g 1)!/(g 1)!/N!(protožeskaždým bosonem roste pravděpodobnost přehodu jiného bosonu do téhož stavu, tedy efektivně přibývá dalšístav).dosazením W kl do(1.118)dostanemepro N = f gčástiv gstavehentropii 21 S kl = kln ( g N /N! ) = kn (ln g lnn +1) = kf (1 lnf) g, (1.119) takžeobjemováhustotaentropieklasikéhoplynu 22 s kl = k f (1 lnf)h 3 d 3 p. (1.120) Podobněprobosonovýnebofermionovýplyn 23 (srozdělovaífunkí fnormovanounaelementární kvantový objem fázového prostoru) ( s = k flnf ˆflnˆf ) h 3 d 3 p, (1.121) kdeveshoděs(1.99) ˆf = 1 ± f (horníznaménkoplatíprobosonyadolníprofermiony;výraz (1.120)odtuddostanemepro f 1). Pro elkovou entropii S, která je integrálem s přes objem, platí tzv. Boltzmannův H teorém, podle něhož je S veličina neklesajíí během časového vývoje. Jestliže totiž vyjádříme entropii jako sumu přes elementární kvantové stavy S = k i f i (1 lnf i ), (1.122) projejihžobsazovaíčísla f i platíkinetikárovnie(vizrov.(1.1)) df i dt = (P ji f j P ij f i ), (1.123) j,i j kde P ij jepravděpodobnostpřehodusystémuzestavu idostavu j,pakderivováním(1.122) a dosazením(1.123) dostaneme ds dt = k df i dt lnfi = k (P ji f j P ij f i )lnf i = i i j = k ( P ji f j Pij f i ) P i<j ji f j 1 ln fi f j 0. (1.124) 20 Početmožnýhkombinaí,resp.pravděpodobnostkaždéznihjetotižmultiplikativníveličinapřesjednotlivé podsystémy, zatímo množství informae o nih je aditivní. 21 Předpokládáme,že N 1,takžemůžemeužítStirlingovyformule lnn! N(lnN 1).Cf.[4]. 22 Sčítánípřesjednotlivéstavypřitomnahradímeintegraípřesprostorhybností, d 3 g = h 3 d 3 p. 23 Vevýrazupro W BE zanedbáváme1.dálepředpokládáme,žetaké g 1a(g N) 1. 22

24 PropravděpodobnostipřehodůmezielementárnímikvantovýmistavyplatíP ij = P ji (vizrov.(1.2) aprotokaždýčlentétosumyjenezáporný(protožejeúměrnývýrazutvaru (x 1)lnx).Entropie je tedy konstantní právě když všehny přehody s nenulovou pravděpodobností jsou v detailní rovnováze 24 P ji f j P ij f i = 0. (1.125) V opačném případě roste, dokud není dosaženo tohoto rovnovážného stavu. Ke stejnému výsledku dojdeme vyjdeme-li místo z rov.(1.122) z výrazu pro bosony nebo fermiony analogikého(1.121) anapravéstraněrov.(1.123)doplnímemodifikovanérozdělovaífunke ˆfkonovýhstavů. Cvičení 3 Dokažte Boltzmannův H-teorém pro kvantový plyn. Uvažte, jaký tvar má v tomto případě mít rov.(1.123) Rovnovážné rozdělení Hledejme nyní expliitní tvar rozdělení v rovnovážném stavu. Při rovnováze s tepelnou lázní o dané teplotě prostřednitvím anihilae a kreae části musí být hustota energie ε = Efh 3 d 3 p, (1.126) kde E = E(p) je energie jedné částie(tento vztah je zobeněním(1.31)),rovna zadané hodnotě. Při rovnováze s lázní pouze prostřednitvím srážek, při nihž se počet části zahovává, musí být naví i hustota části daná výrazem(1.28) rovná zadané hodnotě. V obou případeh tedy bude rovnovážný stav určen vázaným extrémem hustoty entropie s s vazbovými podmínkami ε = konst. nebo ε = konst. a n = konst.(přitom impliitně předpokládáme, že f vyjadřujeme ve vlastní klidové soustavě plynu, takže nemusíme klást další podmínku na hodnotu hustoty hybnosti, která je nulová) 0 = δs αδn βδε. (1.127) Pro fermionový nebo bosonový plyn podle(1.121) ( δs = k (lnf +1)δf (lnˆf +1)δ ˆf ) ( ) h 3 d 3 p = k lnf lnˆf δfh 3 d 3 p, (1.128) neboť δ ˆf = ±δf.prototedypodle(1.127),(1.28)a(1.126) prokaždé δf,takže [ ( ) ] 0 = k lnf lnˆf +α+βe δfh 3 d 3 p, (1.129) ln 1±f f Odtud po přeznačení lagrangeovskýh součinitelů = α k + β k E. (1.130) α = µ T, β = 1 T (1.131) 24 Jetřebasiuvědomit,že P ij 0pouzeprostavy iaj(vizrov.(1.3))sestejnouenergiíaprotojevpořádku, že i obsazení těhto stavů jsou v rovnováze stejná. Přehody mezi stavy s různou energií(a rozdílným obsazením) jsou možné pouze interakí a výměnou energie s jiným systémem např. exitae atomu zářením, nebo změna kinetiké energie částie srážkou s jinou částií. V tom případě však indexy i, j musí určovat elementární stavy obou podsystémůaf i, f j jsousoučinyobsazeníoboupodsystémů. 23

25 dostaneme rovnovážné rozdělení bosonového nebo fermionového plynu ve tvaru f = exp 1 ( E µ kt ). (1.132) 1 Podobněproklasikýplynmůžemevariovatvztah(1.120),takžeodpadnečlenslnˆf(ožodpovídá předpokladu f 1) a výsledkem je Boltzmanovo rozdělení ( f = exp E µ ), (1.133) kt které lze dostat rovněž jako limitu zanedbáním jedničky ve jmenovateli(1.132). V případě volného vzniku a zániku části(např. pro fotony absorbované a vyzařované jinými částiemi)bude nlibovolnéaproto α=0ihemikýpoteniál µ=0.přidanéhustotě nčástije vztah n = fh 3 d 3 p = exp h 3 d 3 p ( E µ kt ) 1 (1.134) impliitní rovnií pro hemiký poteniál µ = µ(n, T), nebo spolu s rovnií(1.126) soustavou rovni pro µ = µ(n,ε), T = T(n,ε).Proproměnné nje(1.126)impliitnírovniípro T = T(ε)arovnie (1.134)pakudávázávislost n = n(t). Např.prodegenerovanýfermionovýplyn,tj.proteploty kt µ,je f exp( E µ kt ) 0pro E > µaf 1 exp( E µ kt ) 1pro E < µ,takže25 n = = 4π fh 3 d 3 p 4πh 3 [ pµ 3h 3p3 µ 1+ 0 [ ] 2 πkt p de dp p µ p 2 dp+ 0 4p µ 1+exp( kt de dp )d, (1.135) kdejsmezavedlitransformai p = p p µ a p µ jeřešenímrovnie E µ E(p µ ) = µ.pro nulovouteplotuje p µ rovnofermihohybnosti p F definovanévztahem n = 4π 3h 3p3 F. (1.136) PronenulovouteplotusehemikýpoteniállišíodFermihoenergie E F = E(p F )oveličinuřádu o(t 2 ).Podobněhustotaenergie [ pµ de 2p ε = fe(p)h 3 d 3 p 4πh 3 E(p)p 2 µ (2E µ +p µ dp dp+ ) ] exp( de kt dp ) d = [ ] 2 pµ = 4πh 3 E(p)p 2 de dp+2p µ (2E µ +p µ 0 dp ) πkt. (1.137) de dp p µ [ ] 25 de Užívámepřitomsubstitue p = p µ + pro p > p µa p = p µ pro p < p µapřiblížení E(p) µ+, dp p µ vněmž p 2 /[exp( E µ kt )+1] (pµ + )2 /[1+exp(E /kt)] = p 2 (p µ + ) 2 /[1+exp( E /kt)]. ] = 24