Vybrané kapitoly z fyziky kosmického plazmatu

Transkript

1 Vybrané kapitoly z fyziky kosmikého plazmatu P. Hadrava Astronomiký ústav AVČR, Ondřejov had/ztp.pdf 20. listopadu 2018

2 Obsah 1 Základy teorie plazmatu Kinetiký popis plazmatu Kinetiká rovnie Ionizační rovnováha a Debyovské stínění Boltzmannova rovnie Momentové rovnie a hydrodynamiká aproximae Magnetohydrodynamika Srážkový člen Binární srážky Obený tvar Momentový rozvoj Termodynamiká rovnováha Entropie a H teorém Rovnovážné rozdělení Rovnováha hemikýh reakí Teorie kosmikého plazmatu Zářivá hydrodynamika Klasiká teorie přenosu záření Fenomenologiká hydrodynamika a zářivá hydrodynamika Radiální akree a hvězdný vítr Rázové vlny Relativistiká kinetiká teorie Fázový prostor Liouvilleův teorém a Boltzmannova rovnie Makroskopiké veličiny a jejih dynamiké vztahy Lokálně dynamiky symetriké rozdělení Numeriké metody dynamiky plynů Metody sítí N-částiové metody A Výběr z difereniální geometrie 54 A.1 Tenzorová algebra A.1.1 Vektory a kovektory, tenzorový součin a úžení A.1.2 Vnější algebra A.1.3 Skalární součin A.2 Tenzorová analýza

3 A.2.1 Tečné vektory a n-formy na varietáh A.2.2 Afinní konexe A.2.3 Riemannovská geometrie A.3 Lieova derivae a Killingovy vektory B Variační prinipy 67 B.1 Soustava s konečným počtem stupňů volnosti B.2 Pole C Výběr z elektrodynamiky 71 C.1 Algebraiké vlastnosti elektromagnetikého pole C.1.1 Lorentzova síla C formalismus C.1.3 Lorentzova transformae C.1.4 Variační prinip Literatura 76 2

4 Kapitola 1 Základy teorie plazmatu Tato kapitola shrnuje látku přednesenou autorem v zimním semestru 2013/2014 v rámi přednášky NTMF020 Základy teorie plazmatu. Další část tohoto předmětu tvoří přednášky dr. R. Pánka. 1.1 Kinetiký popis plazmatu Plazma je silně ionizovaný plyn. Pro hování plazmatu jako elku jsou proto důležité nejen vzájemné srážky jeho části, ale také elektromagnetiká interake, především působení vnějšího nebo kolektivního magnetikého pole, zároveň však i interake se zářením. Pro velmi řídké plazma lze dynamiku plazmatu do značné míry odvodit z pohybovýh rovni nabitýh části ve vnějším poli. Při vyššíh hustotáh nabývá na důležitosti kolektivní hování části, 1 k jehož matematikému popisu je třeba vyházet ze statistikýh metod kinetiké teorie. Z té lze užitím zjednodušujííh předpokladů odvodit i magnetohydrodynamiké rovnie, jak ukážeme v této podkapitole Kinetiká rovnie Vyšetřujme nejprve pravděpodobnost obsazení f i v systému s konečným počtem stavů {i n i=1 } (např. exitační stavy elektronu v atomu vodíku). Pro časový vývoj obsazení stavů nekvantového systému 2 platí tzv. kinetiká rovnie d dt fi = j (P ji f j P ij f i ), (1.1) kde P ij je pravděpodobnost přehodu systému ze stavu i do stavu j za jednotku času. V důsledku symetrie kvantově mehanikého popisu vůči inverzi času platí (pro přehod mezi elementárními kvantovými stavy) prinip vratnosti P ij = P ji, (1.2) a v důsledku zahování energie (a tedy homogenity v čase) jsou možné přehody pouze mezi stavy se stejnou energií E i, P ij δ(e i E j ). (1.3) 1 V užším smyslu slova bývá plazma definováno právě jako kvazineutrální plyn dominovaný kolektivním hováním. V reálném vesmíru ovšem není ostrá hranie mezi plazmatem a dalšími stavy látky a v hování plazmatu často hrají podstatnou roli i další proesy. 2 V odstavi se budeme zabývat modifikaí tohoto vztahu pro kvantový případ fermionové nebo bosonové povahy systému. To může být důležité např. pro volné stavy elektronů v plazmatu. Pro diskrétní stavy ovšem zpravidla předpokládáme jediný elektron v poli jádra, resp. statistiku exitaí vzájemně nezávislýh iontů. 3

5 To platí pro izolovanou soustavu. Pokud je soustava v interaki s vnější soustavou ( tepelným rezervoárem ; např. s kinetikými stupni volnosti okolníh vodíkovýh atomů, nebo s polem záření) popsanou obsazovaími čísly F k ve svýh staveh, musíme vyjít z rovnie (1.1) pro sjednoení obou podsoustav d dt (fi F k ) = (P jl,ik f j F l P ik,jl f i F k ). (1.4) jl Pouze pro toto sjednoení nyní platí vratnost i zahování energie (P ik,jl = P jl,ik δ(e i + E k E j E l d )). Jestliže rezervoár můžeme považovat za staionární, dt Fk = 0, pak vystředováním rov. (1.4) přes rozdělení F k dostaneme formálně opět rov. (1.1), kde ovšem pravděpodobnosti přehodu sledované podsoustavy P ji kl P jl,ikf l kl m, P Fm ij P ik,jlf k, (1.5) m Fm samostatně nesplňují ani (1.2) ani (1.3). Pokud naše sledovaná soustava interaguje současně s víe vnějšími soustavami (např. opět exitační stupně volnosti se zářením i srážkově s nalétávajíími částiemi), můžeme elkové pravděpodobnosti přehodu zapsat jako součet příspěvků od jednotlivýh proesů (P ij = Pij rad +Pij ol). Rovnie(1.1) můžeme integrovat v čase, přičemž vyházíme ze zvolenýh počátečníh podmínek. Výsledkem integrae je exponeniální relaxae do stavu, v němž mají všehny stavy (mezi nimiž může doházet k přehodům a mají tedy stejnou energii ev. další zahovávajíí se veličiny) stejné obsazení. Např. pro dvou-stavový systém má kinetiká rovnie (1.1) tvar a její časové řešení ( f1 f 2 d dt ( f1 f 2 ) (t) = 1 ( f1 +f 2 2 f 1 +f 2 ) ( P P = P P ) t=0 )( f1 f 2 ) exp( 2Pt) ( f1 f 2 f 2 f 1 ) t=0 (1.6). (1.7) Cvičení 1 Napište a vyřešte kinetikou rovnii pro troj-stavový systém, ve kterém pravděpodobnosti přehodů P 23 = 0 < P 13 = εp 12. Diskutejte případ ε 1. Můžeme tedy hledat staionární řešení kinetiké rovnie, d dt fi = 0, ke kterému by měly stavy asymptotiky konvergovat. V tom případě se kinetiká rovnie redukuje na soustavu lineárníh algebraikýh rovni statistiké rovnováhy 0 = j (P ji f j P ij f i ). (1.8) Tato soustava je homogenní a protože vzhledem ke svému fyzikálnímu smyslu má mít netriviální řešení, musí být singulární (ož vyplývá i z rov. (1.2)). Proto k ní musíme doplnit normovaí podmínku, např. f i = 1. (1.9) i Jak si ukážeme v odstavi 1.3, v termodynamiké rovnováze je obsazení jednotlivýh stavů dáno jistými funkemi jejih energie, parametrizovanými teplotou. Rovnovážnému rozdělení se stejnou teplotou musí odpovídat všehny vzájemně interagujíí stupně volnosti všeh části. Jestliže některý z nih má odlišné rozdělení, může způsobit odhylky od rovnováhy i ostatníh stupňů 4

6 volnosti. Pokud pravděpodobnosti přehodů mezi různými stavy jistého podsystému jsou mnohem větší než jeho interake s ostatními (např. nerovnovážnými) podsystémy, může se ustavit jeho vnitřní rozdělení velmi blízké rovnovážnému s takovou teplotou, při které je splněna jeho energetiká rovnováha s ostatními podsystémy. Takový předpoklad může podstatně snížit počet neznámýh v soustavě kinetikýh rovni a tím zjednodušit její řešení. Pro stavy, jejihž interaki s nerovnovážnými podsystémy nelze zanedbat, je třeba vyjádřit všehny pravděpodobnosti přehodů (tzv. rate(s) ) a řešit pro ně kinetiké rovnie. Příkladem mohou být hvězdné atmosféry, kde srážky mezi kinetikými stupni volnosti zpravidla dosti dobře zabezpečují ustavení termodynamiké rovnováhy s kinetikou teplotou, která je ovšem závislá na hloube v atmosféře (tzv. lokální termodynamiká rovnováha, LTE). Naproti tomu záření je spektrálně i směrově odlišné od Plankova rovnovážného záření černého tělesa, protože z hlubšíh vrstev s vyšší teplotou přihází teplejší a z vnějšíh vrstev hladnější záření a tyto odhylky jsou větší ve frekveníh, ve kterýh má atmosfériký materiál menší opaitu a tedy větší střední volnou dráhu fotonů. Exitační stupně volnosti interagují srážkově s kinetikými stupni volnosti, čímž se jejih rozdělení přibližuje LTE, ale současně zářivé přehody (zejména v nejsilnějšíh čaráh) mohou tuto rovnováhu narušovat a způsobovat NLTE ( non-lte ) rozdělení především základní a nejnižšíh exitovanýh hladin vzhledem ke kontinuu a jeho kinetiké teplotě. Protože prostřednitvím přeskoků do těhto nerovnovážnýh hladin se také vyměňuje energie mezi kinetikými stupni volnosti a zářením, může výsledek řešení NLTE podstatně ovlivnit i prostorovou závislost teploty těh stupňů volnosti, které v LTE jsou. Ještě extrémnějším případem je statistiká rovnováha okolohvězdné a mezihvězdné hmoty, kde díky nízké hustotě a tedy malému vzájemnému rušení mají ionty velký počet diskrétníh hladin. Jejih obsazení je dominováno interakí se zářením entrálníh(pro planetární mlhoviny) či okolníh hvězd. Toto záření mívá spektrum odpovídajíí teplotám řádu 10 4 K, ale díky velkému zředění hustotu odpovídajíí teplotám řádu pouze 10 1±1 K. V rovnii statistiké rovnováhy proto zpravidla převažují členy fotoinizae ze základní (nejpopulovanější) hladiny, rekombinae do vyššíh hladin a deexitae, tj. postupné kaskádování zpět do nižšíh hladin Ionizační rovnováha a Debyovské stínění I když plazma může být i v nerovnovážném stavu, předpoklad termodynamiké rovnováhy, kterému je věnována kapitola 1.3, často umožňuje alespoň přibližně popsat jeho vlastnosti. Předpokládejme tedy, že částie plazmatu obsazují diskrétní stavy (např. vnitřní stupně volnosti) i spojité (např. kinetiké) stupně volnosti s pravděpodobností danou Boltzmannovým rovnovážným rozdělením f exp( E/kT), kde E je energie stavu, k je Boltzmannova konstanta a T je teplota, která rozdělení parametrizuje. 3 V termodynamiké rovnováze je počet n i subsytémů ve stavu i n i = n ( Z exp E ) i, (1.10) kt kde E i je energie stavu i, n je elkový počet subsystémů ve všeh staveh a Z = ( exp E ) i kt i (1.11) je tzv. stavová suma. Pokud stavem i rozumíme např. elementární kvantový stav elektronové obálky vodíku podobného iontu, pak tento index zastupuje čtveřii kvantovýh čísel n, l, m, s, přičemž energie elektronu v 3 Speiálním případem je Maxwellovo rozdělení ryhlostí v části, které dostaneme pro kinetikou energii části E = mv 2 /2, nebo barometriká formule pro poteniální energii části E = mϕ. 5

7 tomto stavu je v aproximai Bohrova modelu dána pouze hlavním kvantovým číslem, E n = E 1 /n 2, a je stejná pro g n = 2n 2 elementárníh stavů (l = 0,1,...,n 1, m = l,...,l, s = ±1). Proto se vyjádření stavové sumy zpravidla zjednodušuje na součet přes všehny rozdílné energetiké hladiny i n Z = ( g i exp E ) i. (1.12) kt i Pokud je kt E 1, pak (vzhledem k tomu, že E 1 < 0, např. pro základní hladinu vodíku E eV k k) je n 1 n 2 n 3..., ale stavová suma by přesto pro nekonečný počet hladin divergovala, protože samotná exponeniála v ní pro i konverguje k jedniče a váha g i stavu i kvadratiky roste. Bohrův model ovšem popisuje idealizovaný stav jediného atomu v nekonečném prostoru a střední poloměry elektronovýh drah v něm s hlavním kvantovým číslem rostou ( r r 1 (3n 2 l(l +1))/2, kde r 1 = h 2 /(4π 2 m e e 2 ) 0, m je Bohrův poloměr), takže v reálném plynu jsou vysoké exitované stavy rušeny polem okolníh části. Tomu do jisté míry odpovídá také např. Inglisův Tellerův vztah log(n i +n e ) log(n m ) (1.13) pro nejvyšší Balmerovu čáru z hladiny n m pozorovatelnou ve spektru atmosféry hvězdy s hustotami iontů n i a elektronů n e (na m 3 ), než její rozšíření Starkovým jevem způsobí splynutí se sousední hladinou. Rovnie (1.10) určuje také stupeň ionizae v termodynamiké rovnováze. Výpočet relativního obsazení diskrétníh(např. exitačníh) i spojitýh stavů(ve fázovém prostoru) v rovnováze pomoí Boltzmannova rozdělení je přímočarý. Při výpočtu ionizační rovnováhy ovšem musíme vzájemně porovnávat počty elementárníh kvantovýh diskrétníh i spojitýh stavů. Fázový prostor tedy musíme kvantovat pomoí relaí neurčitosti, abyhom dostali spočetnou (stále však nekonečnou) množinu elementárníh stavů o fázovém objemu d 6 Γ = d 3 xd 3 p h 3. Proes ionizae a rekombinae X i,j X i,j+1 +e, (1.14) kde X i,j je j-krát ionizovaný prvek X i a e je elektron, můžeme hápat jako hemikou reaki (srov. kapitolu 1.3.3) a její levou a pravou stranu za dva různé stavy (přesněji dvě množiny elementárníh stavů, které označíme L a P) téže fyzikální soustavy. Potom kde n L = n Z L Z, n P = n Z P Z, (1.15) n = n L +n P, Z = Z L +Z P, (1.16) a stavové sumy každé strany hemiké reake lze napsat jako součin stavovýh sum příslušejííh jednotlivým stupňům volnosti α (vnitřním i kinetikým), Z L,P = ( ) exp 1 E i,α = ( exp 1 ) kt kt E i,α. (1.17) i α α i Stavovou sumu příslušejíí nerelativistikému translačnímu pohybu částie o hmotnosti m můžeme napsat jako součet přes elementární kvantové stavy velikosti d 6 Γ = d 3 xd 3 p h 3 ve fázovém prostoru ) Z tr = exp ( p2 d 3 xd 3 ( ) 3/2 p 2πmkT 2mkT h 3 = V h 2, (1.18) 6

8 kde V je jednotkový objem, a stavovou sumu vnitřníh stupňů volnosti iontu X i,j jako součin stavovésumyodpovídajííionizačníenergii E i,j,1 zezákladníhladiny(tj.jednoduhéhosoučinitele exp( E i,j,1 /kt), kde E i,j,1 < 0) a sumy odpovídajíí exitační energii E i,j,1 E i,j,k do hladiny k U i,j = ( ) Ei,j,1 E i,j,k exp. (1.19) kt k Z rovnie (1.15) tak můžeme odvodit Sahovu rovnii ionizační rovnováhy n i,j+1 n e n i,j n P = Z ( ) 3/2 P 2πme kt = 2 n L Z L h 2 exp ( Ei,j,1 kt ) Ui,j+1 U i,j K ij, (1.20) kde n i,j a n e jsou nyní číselné hustoty iontů X i,j a elektronů (tj. jejih počty v jednotkovém objemu V). Koefiient 2 před Z tr volnýh elektronů odpovídá jejih vnitřnímu stupni volnosti orientae spinu, na němž jejih energie nezávisí. Stavové sumy Z tr iontů jsme zkrátili v přiblížení m i,j m i,j+1, přesněji byhom měli m e nahradit redukovanou hmotou elektronu m e m i,j+1 /m i,j. Doplníme-li podmínku kvasineutrality n e = i,j jn i,j, (1.21) můžeme pro zadané hustoty n i = j n i,j jednotlivýh druhů části řešením soustavy rovni (1.20) vypočítat elektronovou hustotu n e a stupně ionizae všeh části. Cvičení 2 Odvod te a řešte Sahovu rovnii pro čistě vodíkové plazma. Z předpokladu Boltzmannova rovnovážného rozdělení můžeme odvodit také například střední hustotu prostorového rozdělení kladně i záporně nabitýh části v okolí každé zvolené nabité částie. Hustota n q části s nábojem q ve vzdálenosti r od zvolené částie s nábojem Q je tedy ( n q (r) = n q0 exp qφ(r) ) ( n q0 1 qφ ) +o(φ 2 ), (1.22) kt q kt q kde n q0 je střední hustota a T q teplota těhto části a φ(r) je elektrostatiký poteniál. Ten je řešením Poissonovy rovnie ( 2 φ 1 d r 2 dr (r2dφ dr ) = 4π Qδ(r)+ ) ( qn q 4π Qδ ) q 2 n q0 φ. (1.23) kt q q q V úpravě této rovnie jsme využili předpokladu kvasineutrality plazmatu q qn q0 = 0 a zanedbali jsme členy nelineární ve φ. Řešení této rovnie má tvar4 φ = Q ( r exp r ), (1.24) λ D kde λ 2 D = 4π q q 2 n q0 kt q (1.25) 4 Shodný tvar má také Yukawův poteniál v jaderné fyzie. 7

9 udává tzv. Debyeův stíníí poloměr λ D, na škále jehož velikosti je exponeniálně tlumen oulombiký poteniál náboje q zvolené částie. 5 Aby mohly být užity postupy tohoto statistikého výpočtu, musí být splněna podmínka, že uvnitř objemu o velikosti λ D se nahází velký počet nabitýh části, čili že tzv. plazmový parametr Λ q n q0 λ 3 D 1. (1.26) V rozvoji (1.22) jsme k tomu užili předpokladu, že kinetiká energie části v Debyeově sféře je mnohem větší než jejih poteniální energie kt q qφ(r) q2 λ D. (1.27) V případě jednoduhého Bohrova modelu atomu vodíku (a podobně i pro složitější atomy) je nekonečný také počet vázanýh stavů, v nihž mají elektrony nižší energii a tedy větší pravděpodobnost výskytu než ve volnýh ionizovanýh staveh. To by ovšem platilo pouze pro atom osamoený v elém vesmíru. Ve vyššíh hladináh jsou vlnové funke prostorově rozlehlejší a proto jsou v reálném plynu či plazmatu rušeny okolními částiemi. Faktiký počet hladin je tedy konečný a musí být omezen v závislosti na hustotě části. Alternativní způsob odhadu počtu stabilníh hladin je založen na řešení Shrödingerovy v debyeovsky stíněném poteniálu, v němž je počet vázanýh stavů redukován v závislosti na velikosti stínění. V poruhovém přiblížení mají vyšší hladiny pozitivní energii a jsou tedy nestabilní Boltzmannova rovnie Předpokládejme, že plyn se skládá z velkého počtu (N) části jednoho druhu, jejihž stav je popsán souřadniemi x i a hybnostmi p i (i = 1,2,3). Stav plynu lze potom popsat tzv. jednočástiovou rozdělovaí funkí f = f(t,x i,p i ) udávajíí počet části v jednotkovém objemu fázového prostoru d 6 N = f(t,x i,p i )d 3 xd 3 p. (1.28) Za jednotku fázového objemu můžeme zvolit objem elementárního kvantového stavu (d 6 Γ = (dxdp) 3 h 3 ) a f potom bude znamenat pravděpodobnost obsazení stavu. Z jednočástiové rozdělovaí funke f můžeme vypočítat některé makroskopiké veličiny harakterizujíí plyn. Z nih nejdůležitější jsou hustota části n (hmoty ρ), hustota hybnosti π (ryhlost v) a složky tenzoru napětí T (vůči souřadniové soustavě, resp. τ vůči vlastní klidové soustavě plynu), tj. složky tenzoru energie-hybnosti, které jsou dány jako momenty f n = ρ/m = f fd 3 p (1.29) π i = ρv i = p i f p i fd 3 p (1.30) mt ij = m(ρv i v j +τ ij ) = p i p j f p i p j fd 3 p, (1.31) 5 V literatuře se někdy traduje hybné tvrzení, že k debyeovskému stínění přispívají pouze elektrony, protože ionizované atomy jsou těžké a málo pohyblivé. Rovnovážné řešení ovšem nezávisí na tepelné ryhlosti různýh části a z kvadratiké závislosti na q je zřejmé, že jednou ionizované atomy přispívají ke stínění stejně a víekrát ionizované atomy dokone ještě víe než elektrony. 8

10 kde m je hmotnost jedné částie. Ze stopy tenzoru napětí můžeme vypočítat i hustotu kinetiké energie (nerelativistikýh části) ε = 1 2 Tr(T) = 1 2 ρv2 +ε 0 = 1 p 2 2m p ip i f 2m fd3 p, (1.32) kde ε 0 = 1 2 i τii je hustota tepelné energie. Všimněme si, že zatím o veličiny n, ρ, π a T jsou lineární funkionály rozdělovaí funke f, veličiny v a τ častěji užívané v hydrodynamikém popisu (místo π a T) jsou nelineární. Pohyb každé částie lze popsat trajektoriemi x = x(t), p = p(t) ve fázovém prostoru (viz např. obr. 1.1.a). Jestliže částie nemohou s časem vznikat ani zanikat a jestliže platí tzv. Liouvilleův teorém 6 ( 1 dγ 3 Γ dt = ) x i x i + p i = 0, (1.33) p i=1 i tj. fázový objem je invariantem pohybu, pak je také f invariantem pohybu a platí pro něj bezesrážková Boltzmannova rovnie df dt f t + dxi f dt x i + dp i f = 0. (1.34) dt p i Speiálním, ale přitom dosti obeným, případem kdy platí Liouvilleův teorém (1.33) je případ hamiltonovského pohybu popsaného kanonikými pohybovými rovniemi dx i dt = H p i, dp i dt = H x i. (1.35) Pak totiž ( 1 dγ 3 Γ dt = ) x i x i + p i = p i=1 i 3 i=1 ( 2 ) H p i x i 2 H x i = 0. (1.36) p i Boltzmannovu rovnii (1.34) lze v tom případě zapsat také pomoí Poissonovýh závorek f t [H,f] = 0. (1.37) Pohyb každé částie je obeně určen jednak působením vnějšíh polí ale i vzájemnou interakí s ostatními částiemi plynu. Hamiltonián každé částie je tedy závislý i na staveh ostatníh části a pohybové rovnie (1.35) všeh N části jsou vzájemně svázané. V tom případě je invariantní pouze fázový objem d 6N Γ v prostoru stavů elého systému N části a místo rovnie (1.37) platí pouze rovnie f N [H N,f N ] = 0, (1.38) t pro N-částiovou rozdělovaí funki f N = f N (x 1,...,x N,p 1,...,p N,t) reprezentujíí pravděpodobnost výskytu elého systému v daném stavu, resp. počet systémů z nějakého velkého souboru 6 Při jednoparametriké grupě transformaí ξ = ξ(t,ξ 0 ) v N-dim prostoru se totiž objem Γ = d N ξ = ξ d ξ N ξ 0 mění Γ ξ(t+ t) = d 0 dt ξ d ξ N 1 ξ(t) ξ 0 = lim 0 t 0 ξ(t) d t ξ N N ξ 0 = ξ i 0 i=1 ξ i ξ d ξ N ξ 0 = 0 N ξ i i=1 ξ i Γ (speiálním případem je časová změna d dt V = V vi x i objemu V elementu tekutiny v ryhlostním poli v i.) 9

11 a) p b) t x p x x Obrázek 1.1: Fázové trajektorie. Jednorozměrný pohyb a) neinteragujííh části ve vnějším poli poteniálové bariéry Φ(x) = x 2, b) volnýh části interagujííh Φ int. (x A x B ) = (x A x B ) 2. systémů, které jsou v daném stavu. Pro K části (K = 1,...,N 1) můžeme zavést K-částiovou rozdělovaí funki N f K (x 1,...,x K,p 1,...,p K,t) = f N (x 1,...,x N,p 1,...,p N,t) d 3 x i d 3 p i, (1.39) i=k+1 vyjadřujíí pravděpodobnost jejih výskytu v jistém stavu z 6K-dimenzionálního podprostoru prostoru stavů všeh části bez ohledu na stav zbývajííh N K části (předpokládáme impliitně, že všehny částie jsou stejného druhu a záměna stavů každé dvojie je nerozlišitelná). Hamiltonián H N můžeme zpravidla považovat za součet jednočástiovýh hamiltoniánů H 1 jednotlivýh části pohybujííh se nezávisle ve vnějšíh a kolektivníh políh a dvoučástiovýh (popřípadě několika málo víe částiovýh) interakčníh hamiltoniánů Φ, vyjadřujííh vzájemnou interaki pro každou dvojii části N H N (x 1,...,x N,p 1,...,p N ) = 1 (x i,p i i=1h )+ Φ(x i,x j,p i,p j ). (1.40) i<j Vyintegrováním rovnie (1.38) přes stavy části i = K + 1,...,N (analogiky definii (1.39)) dostaneme pohybovou rovnii pro f K. Integraí per partes ( H1 f N [H 1,f N ]dx i dp i = H ) 1 f N dx i dp i x i p i p i x i [ ] + [ ] + H1 H1 = f N dx i f N dp i = 0 (1.41) x i p i= p i x i= se lze přesvědčit, že příspěvky jednočástiovýh hamiltoniánů H 1 (x i,p i ) pro i > K jsou nulové. Analogiky se vyruší i příspěvky interakčníh hamiltoniánů Φ i,j pro K < i < j. Všehny interakční členy s pro i K < j jsou dohromady N K násobkem členu s j = K + 1 a zbylé členy jednočástiové i interakční s i,j K dávají analogiky (1.40) hamiltonián H K soustavy K části. Pohybová rovnie pro f K má tedy tvar f K t K [H K,f K ] = (N K) [Φ i,k+1,f K+1 ]d 3 x K+1 d 3 p K+1. (1.42) i=1 10

12 Tyto rovnie pro různá K tvoří tzv. hierarhii BBGKY. 7 První rovnie z této soustavy f 1 t [H 1,f 1 ] = (N 1) [Φ 1,2,f 2 ]d 3 x 2 d 3 p 2 (1.43) je analogiky (1.37) jednočástiová Boltzmannova rovnie na jejíž pravé straně však stojí příspěvek dvojčástiové rozdělovaí funke. Pro tu platí rovnie f 2 t [H 2,f 2 ] = (N 2) 2 [Φ i,3,f 3 ]d 3 x 3 d 3 p 3, (1.44) atd. Pravou stranu rovnie (1.43) lze hápat rovněž jako změnu jednočástiové rozdělovaí funke v důsledku vzniku nebo zániku částie v daném stavu v důsledku její interake (srážky) s ostatními částiemi. Mezi srážkami se každá částie pohybuje nezávisle na ostatníh (viz obr.1.1.b nahoře) podle rovni (1.35), kde hamiltonián je již závislý pouze na souřadniíh dané částie (vnější a kolektivní pole vstupují do hamiltoniánu pouze jako parametry) a tedy jednočástiový fázový objem se zahovává. Srážka, jejíž pravděpodobnost je dána jednočástiovou rozdělovaí funkí druhé interagujíí částie (pokud jsou stavy různýh části nezávislé, nebo dvojčástiovou rozdělovaí funkí, pokud jsou jejih stavy korelované), se projeví jako přehod sledované částie na jinou fázovou trajektorii (viz obr. 1.1.b dole), tj. jako zánik částie na její původní trajektorii a vznik na nové trajektorii (popřípadě pouze zánik nebo pouze vznik, jestliže jde o nepružnou srážku či hemikou reaki, při které se změní typ vstupujííh části). Působení srážek je zahrnuto do Boltzmannovy rovnie pomoí tzv. srážkového členu na pravé straně, která vyjadřuje pravděpodobnost vzniku částie (se záporným znaménkem též zániku), i=1 f t + dxi f dt x i + dp i f = dt p i ( ) δf δt Momentové rovnie a hydrodynamiká aproximae. (1.45) Vypočteme-li momenty Boltzmannovy rovnie (1.45) v prostoru hybností, dostaneme pariální difereniální rovnie pro momenty definované rovniemi (1.29) až (1.31). Odvod me si tyto rovnie pro jednoduhý případ části ve skalárním poteniálovém poli, kdy hamiltonián podle (1.35) tedy takže (1.45) má konkrétně tvar H = p2 +mφ(x), (1.46) 2m dx i dt = p i m, f t + p i f m x i m Φ f x i = p i Nultý moment (tj. d 3 p) této rovnie dává n t + 1 π i m x i = dp i dt = m Φ x i, (1.47) ( ) δn δt 7 Bogoljubov, Born, Green, Kirkwood, Yvon podrobněji viz [6]. ( ) δf δt. (1.48), (1.49) 11

13 kde na pravé straně je moment srážkového členu definovaný analogiky (1.29), který udává číselnou hustotu části vzniklýh srážkami za jednotku času (ož musí být nula, pokud nedohází k hemikým reakím). Integrál třetího členu na levé straně rovnie (1.48) je nulový, protože je to integrál derivae rozdělovaí funke f, která musí jít pro nekonečné p k nule, aby dávala konečnou hustotu. Přepíšeme-li tuto rovnii pomoí ryhlosti v i zavedené v (1.30), dostaneme známou rovnii kontinuity ρ ρ +vi t x i +ρ vi x i = ( ) δρ δt. (1.50) První momenty rovnie (1.48) dostaneme vynásobením p j a vyintegrováním (tj. d 3 pp j ) π j t + Tji x i +ρ Φ x j = ( ) δπ j δt. (1.51) Třetí člen na levé straně jsme upravili integraí per partes p j f p i = δ j i f, na pravé straně je opět hustota hybnosti předaná srážkami za jednotku času (která musí být nulová, jestliže dohází pouze ke srážkám mezi částiemi téhož druhu). Kombinaí s rovnií kontinuity (1.50) odtud můžeme dostat pohybovou rovnii pro jednosložkový plyn ve tvaru obvyklejším v hydrodynamie ( v j ρ t +vi vj x i )+ τji x i +ρ Φ x j = ( ) δπ j δt ( ) δρ v j δt. (1.52) Podobně pro druhé momenty rovnie (1.48) dostaneme (vyintegrováním d 3 pp j p k /m) rovnii pro složky tenzoru napětí T jk t + Qijk Φ x i +π j x k +π k ( ) Φ δt jk x j = δt, (1.53) kde na pravé straně je opět příspěvek srážkového členu ke změně tenzoru napětí. Tato rovnie obsahuje divergeni momentu vyššího řádu, a to toku složek tenzoru napětí (resp. energie, která je úměrná jeho stopě) Q ijk m 2 p i p j p k f. (1.54) Jestliže tenzor Q ijk přepíšeme (analogiky (1.31)) pomoí transformae do vlastní klidové soustavy plynu (v níž by měl hodnotu q ijk ) Q ijk = q ijk +v i τ jk +v k τ ij +v j τ ki +v i v j v k ρ, (1.55) pak rovnii (1.53) můžeme užitím nižšíh momentovýh rovni přepsat τ jk t + qijk x i + (vi τ jk ) x i +τ ki vj x i +τji vk x i = (1.56) ( ) ( ) ( ) ( ) δt jk δρ δπ = +v j v k v j k δπ v k j. δt δt δt δt Momentové rovnie (1.49), (1.51), (1.53) a další lze zapsat jednotně zavedením momentů M α = p α f = p α fd 3 p (1.57) 12

14 zobeňujííh definie (1.29), (1.30), (1.31), (1.54) a další, kde α je tzv. multi-index 8, jehož norma udává stupeň (řád) momentu. Obený moment rovnie (1.48) má potom tvar t Mα + 1 m x imα+i +mα i Φ ( ) δm α x imα i =, (1.58) δt kde na pravé straně je příslušný moment srážkového členu. Vidíme tedy, že každá momentová rovnie vždy obsahuje i momenty vyššího řádu, takže tyto rovnie tvoří nekonečnou soustavu pariálníh difereniálníh rovni (ovšem v prostoru s nižší dimenzí než původní Boltzmannova rovnie, protože závislost rozdělovaí funke na hybnosti vlastně representujeme spočetnou posloupností momentů, z nihž lze tuto funki v prinipu zpětně rekonstruovat). Aby soustava momentovýh rovni byla uzavřená, musíme některé z vyššíh momentů apriorně vyjádřit pomoí nižšíh momentů. Můžeme například učinit nejjednodušší předpoklad, že f bude dáno rovnovážným maxwellovským rozdělením (srovnej rov. (1.140)) ( ) f = n(2πmkt) 3 2 exp (p mv)2, (1.59) 2mkT kde výška a střed gausovské křivky jsou v souhlase s (1.29) a (1.30) dány ρ a v, které musí splňovat pohybové rovnie (1.50) a (1.52). Podle (1.31) je pro rozdělení (1.59) tenzor napětí ve vlastní soustavě izotropní, úměrný teplotě rozdělení T, τ ij = δ ij P = δ ij nkt = δ ij2ε 3, (1.60) kde P je tlak a ε je hustota tepelné energie. Teplota může být předem zadaná (např. určená rovnováhou se zářením), nebo pro ni (resp. pro ε) ze stopy rovnie (1.56), kde tok tepla q = 0 v důsledku předpokladu (1.59), dostáváme rovnii energetiké rovnováhy ( )ε+ t +vi x i 53 ε vi x i = ( δε δt ). (1.61) Druhý člen na levé straně této rovnie udává změnu vnitřní energie v důsledku práe vykonané stlačováním plynu proti jeho tlaku. Srážkový člen na pravé straně by byl nulový pro adiabatiký pohyb jednosložkového plynu, nebo může vyjadřovat příspěvek výměny energie s ostatními složkami nebo zářením tento člen by v případě zářivé rovnováhy musel dominovat. Podobně i ostatní složky rovnie (1.56) mají význam kritéria oprávněnosti předpokladu (1.59) srážkové členy na pravé straně musí být dostatečně dominantní aby zajistily relaxai odhylek od rovnovážného rozdělení způsobovanýh gradienty na levé straně. 8 Multi-index α je vektorový index (vektor s eločíselnými složkami), pomoí kterého můžeme definovat moninu p α vektoru p Jeho norma je definovaná vztahem p α = α = 3 (p i ) αi. i=1 3 α i. Index i 3 i=1 můžeme hápat současně jako jednotkový multi-index ve směru i, takže např. i=1 p i p α = p α+i. 13

15 Jestliže srážky nejsou dostatečně účinné aby zajistily platnost přiblížení (1.59), musíme do Boltzmannovy rovnie resp. jejíh momentů pravou stranu dosadit a počítat odhylky skutečné rozdělovaí funke od(1.59). Skutečným tvarem srážkového členu se budeme zabývat v kapitole 1.2. Pro ilustrai jeho vlivu na řešení Boltzmannovy rovnie však můžeme vystačit se zjednodušeným BGK - modelem (Bhatnagar, Gross, Krook [1], [12]) ( ) δf = f f 0, (1.62) δt t kde t je nějaký relaxační čas 9 a f 0 je rovnovážná rozdělovaí funke daná (v nerelativistikém případě) vztahem (1.59). Obený moment tohoto srážkového členu má tvar ( ) δm α = Mα M0 α, (1.63) δt t takže např. v případě jednosložkového plynu je jeho příspěvek k hustotě a hybnosti (popřípadě i hustotě energie) nulový, protože f 0 jsme volili tak, aby dávalo stejné hodnoty těhto momentů jako f. Vyšší momenty, jako např. složky tenzoru napětí(resp. pouze jeho odhylky od izotropního tlaku) nebo tenzoru Q, pak můžeme odhadnout pomoí rozvoje podle malého parametru t z dosazení (1.63) do (1.58) ( M α = M0 α t t Mα m x imα+i 0 +mα i Φ ) x imα i 0 +o( t 2 ), (1.64) a po jejih dosazení do příslušnýh nižšíh momentovýh rovni dostaneme difúzní aproximai, přičemž t určuje příslušné difúzní koefiienty (viskozitu, tepelnou vodivost aj.). Všehny momenty M α 0 přitom můžeme expliitně vypočítat dosazením (1.59) do (1.57). Je zřejmé, že ve vlastní soustavě plynu (ve které v = 0) budou všehny momenty M α 0, pro které je alespoň jedna složka α i lihá, rovny nule, ale nekonečný počet sudýh momentů bude nenulový. V obené (nikoliv vlastní) soustavě pak bude podle binomiké formule každý moment lineární kombinaí stejného a nižšíh momentů klidovýh. Pro praktiké výpočty proto může být výhodné 10 přejít od reprezentae f v p-prostoru nikoliv k moninným momentům (1.57), ale k rozvoji f do vhodné soustavy funkí ( ket-vektorů ) α f = f α α. (1.65) Koefiientyrozvojef α jsoupotomzobeněnémomenty,kterédostanemevynásobenímf sduálními bra-vektory f α = α f (kde α β = δ αβ ) a konkrétní tvar momentovýh rovni analogikýh (1.58) pro ně dostaneme dosazením vyjádření operátorů ˆp a ˆ p v α -reprezentai do Boltzmannovy rovnie (1.45) s konkrétním vyjádřením složek Liouvilleova operátoru d dt jako funkí p. Například, jestliže lze očekávat, že odhylky od rovnovážného rozdělení (1.59) části budou malé, pak je výhodné užít tzv. Gradovy metody (viz např. [6]), ve které je reprezentae α tvořena Hermiteovými polynomy vynásobenými gaussovskou váhou (1.59) vůči níž jsou ortonormální, takže α jsou samotné hermiteovské polynomy. Hermiteovské momenty jsou lineárními kombinaemi fyzikálně významnýh momentů (1.57) a kromě nultého jsou nulové pro (lokálně) rovnovážné rozdělení se správnou ryhlostí a teplotou. Proto zpravidla stačí uvažovat prvníh 20 momentů (tj. do třetího stupně) nebo 13 momentů (do druhého stupně a toky energie Q ijj ). 9 Nepřesnost BGK-aproximae spočívá především v předpokladu že k této relaxai dohází v elém ryhlostním prostoru stejnou ryhlostí. 10 Přehod k nové reprezentai je výhodný tehdy, jestliže tato reprezentae vystihuje (předpokládanou) symetrii řešení konkrétní úlohy, takže stačí nezanedbat menší počet zobeněnýh momentů. Ze stejnýh důvodů může být výhodné přejít k diskrétní reprezentai i ve smíšeném x- a p- řezu fázovým prostorem. 14

16 1.1.5 Magnetohydrodynamika Předpokládejme, že plazma se skládá ze dvou druhů části s kladným a záporným nábojem q ± a hmotami m ±. Každý z těhto druhů části je popsán rozdělovaí funkí f ±, která splňuje Boltzmannovu rovnii ( ) t f ± + x i x if ± + p δ i p if ± = δt f ±, (1.66) kde ryhlost každé částie (srovnej s (1.47)) x i = pi m ±, (1.67) a zryhlení je nyní působeno nejen gravitační, ale i elektrostatikou a Lorentzovou silou Nulté momenty rovni (1.66) mají tvar 11 a první momenty p i = m ± i Φ+q ± E i + q ± m ± ε ijk p j B k. (1.68) t ρ ± + i (π i ±) = t π i ± + j T ij ± +ρ ± i Φ q ± m ± ρ ± E i q ± m ± ε ijk π j ±B k = ( ) δρ±, (1.69) δt ( δπ i ) ±. (1.70) δt Rovnie (1.53) pro druhé momenty zobeněná pro nabité částie má tvar ( ) t T jk ± + i Q ijk ± +π± j k Φ+π± k j Φ q ± (π j m ±E k +π±e k j ) q ±B i δt jk (ε ijl T± lk +ε ikl T jl ± ± m ±) =. ± δt (1.71) Zavedeme-li elkovou hustotu hmoty ρ = ρ + + ρ a elkovou ryhlost v = (π + + π )/ρ, pak sečtením rovni (1.69) pro oba druhy části dostaneme rovnii kontinuity hmoty ( ) δ t ρ+ i (ρv i ) = δt ρ = 0, (1.72) kde jsme zároveň předpokládali, že v proeseh srážek částie žádného druhu nevznikají ani nezanikají a pravé strany rovni (1.69) proto musí být nulové. 12 Rovnii kontinuity můžeme upravit také do tvaru d dt ρ+ρ iv i = 0. (1.73) Podobně, zavedeme-li elkovou hustotu náboje η = q+ m + ρ + + q m ρ a proud J = ( q+ m + π + + q m π ), pak váhovaným součtem rovni (1.69) dostaneme rovnii kontinuity náboje ( ) δ t η + i (J i ) = δt η = 0. (1.74) 11 Nebot p εijk p j p if ± = p εijk δ j i f ± = V reálném plazmatu může doházet k rekombinai a ionizai. Pak je zapotřebí přidat ještě alespoň rovnii pro neutrální částie a nulový bude pouze součet pravýh stran. 15

17 Sečtením rovni (1.70) dostaneme pohybovou rovnii ve tvaru t (ρv i )+ j T ij +ρ i Φ ηe i 1 εijk J j B k = ( ) δ δt πi = 0, (1.75) kde vzhledem k zahování hybnosti při srážkáh musí součet srážkovýh členů vymizet. Celkový tenzor napětí můžeme rozložit na část příslušejíí uspořádanému pohybu ρv i v j a část tlakovou 13 P ij, tj.t ij T++T ij ij = ρv i v j +P ij.předpokládáme-litlakizotropní(ožjeovšempřiexisteniproudu, tj. nenulovýh prvníh momentů rozdělovaíh funkí, těžko přesně splnitelné) a předpokládáme nulový elkový náboj η, pak po úpravě t (ρv i ) = ρ d dt vi j (ρv i v j ) využívajíí rovnie kontinuity (1.72) dostáváme pohybovou rovnii ve tvaru ρ d dt v = P ρ Φ+ 1 J B. (1.76) Váhovaným součtem rovni (1.70) dostaneme pohybovou rovnii pro proud ( ) t J i q ± + j T ij ± +η i Φ q2 ± m ± m 2 ρ ± E i q2 ± ± m 2 ε ijk π±b j δ k = ± δt Ji. (1.77) Srážkový člen na pravé straně je zde obeně nenulový, protože obě složky si ve srážkáh vyměňují hybnost a tím disipuje proud. Jestliže předpokládáme harakteristiký relaxační čas pro ustavení rovnováhy(tj. pro vymizení proudu po vypnutí síly, která jej způsobuje) t, pak v BGK aproximai ( ( δ δt J) = J t ) má tato rovnie tvar J i = t ( ) q ± j T ij ± η i Φ+ q2 ± m ± m 2 ρ ± E i + q2 ± ± m 2 ε ijk π±b j k, (1.78) ± tj. po rozepsání hybností obou složek jako lineárníh kombinaí v a J kde a α i ( ( = t j ηv i v j q+ j P ij + + q m + q +q m + m ε ijk ρv j B k Řešení rovnie (1.79) má tvar 14 J i = α i +ε ijk J j β k, (1.79) ) η i Φ q ( +q ρe i q+ + + q ) ηe i m + m m + m P ij m ), (1.80) β k = t ( q+ + q ) B k. (1.81) m + m J i = 1 1+β 2 ( α i +β i β j α j +ε ijk α j β k). (1.82) Jestliže zanedbáme členy od druhého řádu v t (ož znamená všehny členy s β), v rovnii (1.80) předpokládáme nulovou hustotu náboje a zanedbáme gradienty pariálníh tlaků obou složek, pak se tato rovnie redukuje na Ohmův zákon J = σ(e + v B). (1.83) 13 Tj. napětí vzhledem k vlastnímu klidovému systému plazmatu. Tlak je součtem pariálníh tlaků obou druhů části. 14 Opakovaným zpětným dosazením totiž J = α+j β = α+α β+(jβ)β (ββ)j = α+α β+(αβ)β (ββ)j. 16

18 kde vodivost σ = q +q m + m ρ t. (1.84) Rovnie (1.76) a (1.83) popisují vliv elektromagnetikého pole na pohyb plazmatu. Naproti tomu Maxwellovy rovnie a B 1 te = 4π J, (1.85) E = 4πη 0, (1.86) E + 1 tb = 0, (1.87) B = 0, (1.88) popisují vliv zdrojů na pole. V rovnii (1.86) jsme opět zanedbali hustotu náboje. Jestliže v rovnii (1.85) zanedbáme polarizai vakua proti el. proudu J, pak se zjednoduší na t E 0 J = B. (1.89) 4π Dosadíme-li odsud proud do rovnie (1.76), dostaneme pohybovou rovnii pro plazma v zadaném magnetikém poli 15 ρ d 1 v = P ρ Φ dt 8π (B.B)+ 1 (B. )B. (1.90) 4π Naproti tomu vývoj magnetikého pole je dán rovnií (1.87), kde můžeme z Ohmova zákona (1.83) vyloučit E a z (1.89) opět i J, takže dostaneme pohybovou rovnii pro B t B = E = ( 2 J +v B) = ( B)+ (v B). (1.91) σ 4πσ Můžeme ji dále přepsat do lagrangeovskýh souřadni d dt B = tb +(v. )B = 2 4πσ 2 B +(B. )v B(.v). (1.92) První člen na pravé straně popisuje difúzi magnetikého pole, zatímo druhé dva členy jeho zamrznutí do plazmatu. Difúzní člen dominuje v případě malé vodivosti σ, malýh gradientů ryhlosti v a naopak velkýh nehomogenit magnetikého pole 2 B, jejihž relaxai způsobuje. V opačném případě vysoké vodivosti σ můžeme tento člen zanedbat a z kombinae s rovnií kontinuity (1.73) odvodit vztah d dt ( ) B = 1 (B. )v (1.93) ρ ρ pro vývoj magnetikého pole. Jestliže vyjádříme souřadnie magnetikýh siločar proházejííh zvoleným elementem plazmatu v parametrikém tvaru x i = x i (t,s,ξ 1,2 ) tak, že vektor b i Bi ρ = xi s (1.94) 15 Přitom jsme užili relae ((a b) ) i = ε ijk ε jlm a l b m k = (δ kl δ im δ il δ km )a l b m k = (a)b i (b)a i. 17

19 je tečný k siločáře a ryhlost plazmatu v i = xi t (1.95) (souřadnie ξ 1,2 se pohybují s plazmatem a parametrizují volbu siločáry), pak v souhlase s rov. (1.93) db i dt = 2 x i s t = vi s = vi x k x k s = bk vi x k. (1.96) 18

20 p z 1.2 Srážkový člen Binární srážky Metodou řetěze BBGKY jsme nalezli srážkový člen Boltzmannovy rovnie (1.43) ve tvaru ( ) δf = (N 1) [Φ 1,2,f 2 ]d 3 x 2 d 3 p 2. (1.97) δt Předpokládejme, že binární interakční poteniál Φ 1,2 = Φ( r ), kde r = x 2 x 1 je vzájemná vzdálenost části, a že Φ( r ) = 0 pro r > R, tj. vně jistého malého poloměru interake. Vně tohoto poloměru můžeme očekávat náhodné, vzájemně nekorelované rozdělení části, f 2 (x 1,p 1,x 2,p 2 ) = f 1 (x 1,p 1 )f 1 (x 2,p 2 ). (1.98) NaprotitomupromenšívzdálenostimůžeΦdivergovat,apotomf 2 musíklesatknule,ožodpovídá skutečnosti, že částie se k sobě nemohou v důsledku své interake neomezeně přiblížit. Abyhom mohli podle (1.97) vyčíslit srážkový člen, musíme nalézt (anti-)korelai části v malýh vzdálenosteh. Předpokládejme, že dvojčástiová rozdělovaí funke je časově nezávislá, prostorově závislá pouze na r, a že její ovlivnění vnějšími poli vystupujíími v Hamiltoniánu (např. gravitačním, elektromagnetikým) i ovlivnění dalšími částiemi je (alespoň během binární srážky) zanedbatelné. Dostáváme tak pro ni další rovnii (1.44) v expliitním tvaru [H 2,f 2 ] [ p 2 1 +p 2 ] 2 2m +Φ(r),f 2 = [Φ(r),f 2 ]+ pi 1 p i 2 m f 2 = 0. (1.99) ri Odtud můžeme vyjádřit [Φ(r),f 2 ] a po dosazení do (1.97) dostáváme ( ) δf p i = (N 1) 2 p i 1 f2 δt m r id3 rd 3 p 2. (1.100) Vnitřní integrál gradientu dvojčástiové rozdělovaí funke přehází na integrál této funke přes plohu kolmou ke směru p i 2 p i 1, tj. ve válovýh souřadniíh b,ϕ,z (b je srážkový parametr) f2 r id3 r = [f 2 ] z=+z z= Zbdbdϕ, (1.101) p Obrázek 1.2: Geometrie binární srážky. 19

21 kde Z R je poloviční výška vále obsahujíí sféru binární interake (přitom však stále podstatně menší než jsou prostorové nehomogenity vyjádřené závislostí f 1 (x)). V z = Z je podle předpokladu (1.98) dvojčástiová rozdělovaí funke vyjadřujíí hustotu vzájemně proti sobě nalétávajííh části dána součinem lokálníh (na prostorové škále b R homogenníh) jednočástiovýh funkí. Naproti tomu v z = +Z je hustota vylétávajííh části f 2 (b) obeně nehomogenní. Protože proes srážky dvou části vyšetřujeme jako pohyb(neovlivněný interakí s dalšími částiemi) ve dvoučástiovém fázovém prostoru, f 2 je konstantní podél příslušné fázové trajektorie, takže f 2 (b,z = +Z,p 2 p 1 ) = f 2 (r > R,p 2 p 1) = f 1 (p 1)f 1 (p 2), (1.102) kde p 1,2 jsou hybnosti které musí mít nalétávajíí částie aby se po sráže dostaly do směrů p 1,2 a srážkového parametru b (vzhledem k časové reverzibilitě 16 tak jde o vyšetřování difereniálního účinného průřezu dσ = 2πbdb rozptylu p 1,2 p 1,2). Po dosazení do (1.100) tak dostáváme srážkový člen ve tvaru ( ) δf p i = (N 1) 2 p i 1 (f 1 (p δt m 1)f 1 (p 2) f 1 (p 1 )f 1 (p 2 ))2πbdbd 3 p 2. (1.103) Tentovýrazobsahujerelativníryhlost p2 p1 m částivynásobenoudifereniálnímúčinnýmprůřezem, čili, v souhlase s představou znázorněnou v obr. 1.1 b, pravděpodobnost proesu srážek, při nihž částie odejdou z fázového elementu určeného p 1,2 do p 1,2 nebo naopak. Tento výsledek může být zobeněn i pro kvantové proesy a různé počty interagujííh části (např. pro rozpady části na částie jinýh druhů), kdy mehaniká analogie dvojčástiové srážky je neplatná Obený tvar Srážkový člen na pravé straně Boltzmannovy rovnie (1.45) pro jednočástiovou rozdělovaí funki části typu A udává elkovou fázovou hustotu pravděpodobnosti vzniku (nebo negativní hodnota zániku) těhto části interakí s ostatními částiemi téhož nebo jiného druhu. Proto jej můžeme vyjádřit jako součet kladnýh příspěvků od jednotlivýh elementárníh proesů, při nihž dohází ke vzniku takovéto částie ve sledovaném elementu fázového prostoru, a zápornýh příspěvků od proesů, při nihž částie zaniká. To znamená, že například rozptyl, ož je přehod částie z jednoho bodu v prostoru hybností do druhého, hápeme jako zánik částie v původním a vznik v novém elementu fázového prostoru. Uvažujme tedy obenou ( hemikou ) reaki mezi částiemi X B M B=1, při níž vznikají částie X B N B=M+1 M N X B X B. (1.104) B=1 B=M+1 Pokud všehna X B můžeme považovat za nekvantové částie (tj. jestliže můžeme zanedbat stimulovanou emisi pro bosony a vylučovaí prinip pro fermiony, ož lze vždy, když jsou rozdělovaí funke zanedbatelné vůči fázové hustotě φ B elementárníh kvantovýh stavů), pak příspěvek reake (1.104) ke srážkovému členu částie X A bude ( δfa δt ) (p A ) = ν C C,X C X A [ P(p 1,...,p N ) ] M f B (p B ) B=1 N p C=p A B=1,B C d 3 p B, (1.105) 16 Bezesrážková Boltzmannova rovnie pro N-částiovou rozdělovaí funki je časově reverzibilní. Binární interake původně nekorelovanýh nalétávajííh části způsobuje korelai mezi vylétávajíími částiemi, kterou by bylo třeba si zapamatovat, aby byl elý systém stále vratný. Přiblížením dvojčástiové rozdělovaí funke vylétávajííh části opět nekorelovaným rozdělením v jiném elementu dvojčástiového fázového prostoru předpokládáme, že srážková korelae je vlivem dalšího vývoje zapomenuta a proto takto odvozená jednočástiová Boltzmannova rovnie s pravou stranou se stává časově ireverzibilní. 20

22 kde stehiometriké koefiienty ν C = +1 pro částie vznikajíí (C > M) a ν C = 1 pro částie zanikajíí (C M). P(p 1,...,p N ) je pravděpodobnost proběhnutí reake (1.104) za jednotku času mezi částiemi s počátečními hybnostmi p 1,...,p M do konovýh hybností p M+1,...,p N. Srážkový člen na pravé straně Boltzmannovy rovnie je tedy (na rozdíl od levé strany) obeně nelineární v rozdělovaí funki části. Jestliže rozdělovaí funke některé ze vznikajííh části (např. X C ) není zanedbatelná vůči φ C můžeme do výrazu (1.105) zabudovat bosonové nebo fermionové hování této částie přidáním do integrandu na pravé straně členu (jakési modifikované rozdělovaí funke 17 ) ˆf C 1± f C φ C, (1.106) kde horní znaménko (+) platí pro bosony (a člen udává zvýšení pravděpodobnosti reake (1.104) v důsledku stimulované emise) a dolní znaménko ( ) pro fermiony (a člen pak udává snížení pravděpodobnosti reake vlivem Pauliho vylučovaího prinipu). Takto zobeněný výraz (1.105) však můžeme formálně považovat za příspěvek reake jejíž pravděpodobnost X C + M X B B=1 N B=M+1 X B +X C, (1.107) P(p C,p 1,...,p N,p C) = ±φ 1 C P(p 1,...,p N )δ(p C p C )δ(p C p C ), (1.108) takže výraz (1.105) lze brát jako obený tvar srážkového členu Momentový rozvoj K řešení Boltzmannovy rovnie metodou rozvoje do zobeněnýh momentů ve tvaru(1.65) potřebujeme rozvinout i srážkový člen ( ) ( ) α δfa δfa = α (1.109) δt δt a jeho momenty vyjádřit pomoí momentů rozdělovaíh funkí části účastnííh se srážky. Podle (1.105) jsou momenty srážkového členu dány integrálem pravděpodobnosti P(p 1,...,p N ) reake (1.104) přes všehny hybnosti ( ) α ( ) δfa δfa = α = ν C δt δt C,X C X A M N α(p C ) P(p 1,...,p N ) f B (p B ) d 3 p B. (1.110) B=1 Tuto pravděpodobnost můžeme považovat za integrační jádro operátoru B=1 P = α M+1,...,α N P αm+1,...,αn α 1,...,α M α 1,...,α M, (1.111) přiřazujíího jistému rozdělení f(p 1,...,p M ) = M B=1 f B(p B ) části vstupujííh do reake (1.104) rozdělení f(p M+1,...,p N ) části vystupujííh (báze těhto součinovýh prostorů jsou tvořeny součiny bázovýh prvků v jednočástiovýh prostoreh). Dosazením příslušnýh rozvojů (1.65) do 17 Zde je zřejmá výhodnost volby elementárního kvantového stavu za jednotku fázového objemu, kdy φ C 1. 21

23 (1.110) dostaneme moment srážkového členu ve tvaru multilineární kombinae momentů rozdělovaíh funkí části do reake (1.104) vstupujííh ( ) α δfa = PA α α δt 1,...,α M α 1,...,α M M B=1 kde koefiienty PA α α 1,...,α M jsou dány matiovými elementy Pα αm+1,...,αn 1,...,α M N PA α α 1,...,α M = + δα α C Pα αm+1,...,αn 1,...,α M C=M+1,X C X A M Q αβc α C P αm+1,...,αn α 1,...,β C,...,α M C=1,X C X A f αb B, (1.112) N B=M+1,B C N B=M+1 operátoru P 1 α B, 1 α B (1.113) kde Q αβc α C = β C ( α(p) ) α C. (1.114) Koefiient 1 α 1 α je zpravidla δα 0 (jestliže jednička je základním členem ortonormální báze funkí), takže kladné členy v tomto součtu přes C, tj. členy pro částii X C vystupujíí (C > M), jsou přímo rovné některým matiovým elementům. Záporné členy (pro částie vstupujíí, C M) jsou naproti tomu zpravidla lineární kombinaí víe matiovýh elementů, protože v integrálu (1.110) se k jednomu ket-vektoru (v f C ) vyskytují dva bra-vektory (v P a α ), jejihž součin je nutné nejprve pomoí koefiientů Q rozložit na součet jednotlivýh bra-vektorů. Přímočarý výpočet koefiientů PA α α 1,...,α M nebo Pα αm+1,...,αn 1,...,α M by byl značně obtížný, protože vyžaduje trojnásobnou integrai přes hybnost každé z N části. Přitom počet těhto koefiientů roste alespoň s M + 1. resp. N-tou moninou počtu uvažovanýh momentů rozdělovaí funke. Řada z těhto koefiientů však vypadne a zbylé lze zjednodušit díky symetriím srážky. Je například zřejmé, že pro identiké vstupujíí nebo vystupujíí částie musí tyto koefiienty být symetriké vůči záměně příslušnýh indexů. Jestliže P závisí pouze na relativní orientai hybností části účastnííh se srážky(tj. srážka není anizotropní např. v důsledku vnějšího elektromagnetikého pole), pak musí být shodné koefiienty lišíí se pouze prohozením prostorovýh os. Další symetrie koefiientů musí vyplývat ze zákonů zahování hybnosti, popřípadě energie (pro pružnou srážku). Neht, obeně, P(p 1,...,p N ) je invariantní vůči jisté grupě transformaí p p = p (p,ξ) (1.115) parametrizované parametrem ξ. Báze { α } rozvoje (1.65) indukuje jistou reprezentai T ξ této grupy α (p ) = Tξ α α α(p), (1.116) která určuje transformační vztahy pro matiové elementy P α β P β α = (T 1 ξ ) α αp α βt β ξ β. (1.117) V důsledku invariane P(p 1,...,p N ) vůči (1.115) tedy musí matiové elementy vyhovovat homogenním lineárním rovniím [ (T 1 ξ ) α αt β ξ β δ α αδ β β ]P α β = 0, (1.118) z nihž můžeme některé elementy vyjádřit jako lineární kombinae jinýh. Protože v praxi může být i řešení těhto rovni obtížné, je výhodnější využívat symetrií P přeházením k takovým bázím v prostoreh hybností, v nihž se matiové elementy zjednoduší (např. se stanou diagonální). 22

24 Rozvoj pro binární srážku. Jako příklad uved me výpočet rozvoje srážkového členu do prostorovýh Hermiteovýh polynomů α = Π 3 i=1 P α i (p i ) pro binární srážku X 1 +X 2 X 1 +X 2. (1.119) Pokud se omezíme na rozvoj do druhého řádu, tj. na 10 momentů, pak potřebujeme vypočítat řádově 10 3 matiovýh elementů 18 z elkového počtu 10 4 koefiientů rozvoje pravděpodobnosti P(p 1,p 2,p 1,p 2) této reake jako funke všeh proměnnýh. Pokud ovšem provedeme transformai {p 1,p 2 } {p T,p} (a analogiky pro čárkované veličiny) do těžišt ovýh systémů před a po sráže, p 1,2 = m 1,2 m 1 +m 2 p T p, (1.120) kde p T je hybnost elé soustavy a p hybnost částie s relativní ryhlostí (v = v 2 v 1 ) a redukovanou hmotností(m = m1m2 m 1+m 2 ),pakvzhledemkzahováníhybnostipřisrážemusíbýtmatiovéelementy funke P úměrné jednotkové matii v indexeh α T, α T odpovídajííh proměnným p T, p T. Všeh 10 4 elementů funke P(p 1,p 2,p 1,p 2) je tak lineární kombinaí pouhýh 10 2 členů rozvoje téže funke P(p,p ) vyjádřené pouze v proměnnýh hybnosti relativního pohybu srážejííh se části, α 1α 2 P α 1 α 2 = α 1α 2 α Tα α P α α T α α 1 α 2. (1.121) Pravděpodobnost P může kromě invariane vůči volbě ryhlosti ineriálního systému (která je speiálním důsledkem výše započteného zákona zahování hybnosti) mít i další symetrie, např. může splňovat zahování energie nebo být invariantní vůči natočení vztažné soustavy. Vliv těhto symetrií se nejsnáze vyjádří v reprezentai sférikýh harmonik 19 nlm = α =2n+l α nlm α. (1.122) Vpřípaděpružnésrážkysezahovávákinetikáenergierelativníhopohybu,tj. p = p.vobeném případě se změní o uvolněnou energii vnitřníh stupňů volnosti, tj. P(p,p ) δ( p p 2 +2mE). V obou případeh však můžeme separovat a integrovat radiální část P(p,p ) v proměnné p. Úhlová závislost pravděpodobnosti rozptylu P zpravidla bývá invariantní vůči rotai prostoru hybností a závisí pouze na úhlu χ rozptylu mezi směry ϑϕ a ϑ ϕ nalétávajíí a rozptýlené částie, P(p,p ) = δ( p p 2 +2mE) p σ(χ), (1.123) m kde σ je difereniální účinný průřez. Vhodnou rotaí prostoru hybností pak můžeme dosáhnout splynutí směru ϑϕ s osou z a směru ϕ = 0 s osou x, takže zbývá rozvinout úhlovou závislost rozptylu pouze do Legendreovýh polynomů v os χ, n l m P nlm = n l δ( p p 2 +2mE) p m l m σ(χ, p ) lm nl = δ l l δ m m n l δ( p p 2 +2mE) p m σl ( p ) nl. (1.124) Všehny matiové elementy se tak redukují na lineární kombinae několika málo integrálů úhlové a ryhlostní závislosti účinného průřezu srážky. 18 Tj. pro všehny indexy částie, pro níž srážkový člen počítáme, a pro indexy obou části do reake vstupujííh. 19 Protože Hermiteovy polynomy jsou vlastní funke 1-dim. kvantového harmonikého osilátoru, je zřejmé, že prostorové Hermiteovy polynomy musí být lineární kombinaí vlastníh funkí nlm = nl lm příslušného sfériky symetrikého hamiltoniánu. Radiální část nl je přitom dána zobeněnými Laguerrovými polynomy. 23