Tomáš Karel LS 2013/2014
|
|
- Irena Lišková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Tomáš Karel LS 2013/2014
2 Vypočítejte: ?? Tomáš Karel - 4ST201 2
3 n n! 8! k (n k)! k! (8 3)! 3! (5 4321) n n! 10! k (n k)! k! (10 9)! 9! (1) ( ) Tomáš Karel - 4ST
4 Statistické znaky kvantitativní kvalitativní ordinální (pořadové) měřitelné alternativní (binomické) množné Tomáš Karel - 4ST201
5 Pomocí metody dotazování získáme údaje o 10 studentech v této třídě: pohlaví studenta (x 1 ) věk studenta (x 2 ) studovaná fakulta (x 3 ) semestr (x 4 ) založení facebook účtu (x 5 ) počet přátel na facebooku (x 6 ) Tomáš Karel - 4ST201
6 Získaná data uspořádáme do přehledné tabulky tzv. datové matice (viz soubor cviceni_1.xlsx) číslo pohlaví věk fakulta semestr facebook Fb přátelé x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x Tomáš Karel - 4ST201
7 1) Určete typy proměnných x 1 x 6 dle výše uvedeného schématu na jednom z předchozích slidů x 1 pohlaví studenta x 2 věk studenta x 3 studovaná fakulta x 4 semestr ve kterém jste si zapsali tento předmět x 5 založení facebooku x 6 počet přátel na Vašem facebooku 2) Pro proměnnou x 2 věk studenta sestrojte tabulku rozdělení četností (absolutních, relativních, kumulativních absolutních a kumulativních relativních) Tomáš Karel - 4ST201
8 absolutní četnosti n i, i 1,2,..., k relativní četnosti p i ni n kumulativní absolutní četnosti platí: k i1 n i kumulativní relativní četnosti n n p 1n2 1 p platí: k i1 p i Tomáš Karel - 4ST201 8
9 3) Sestrojte tabulku rozdělení četností pro proměnnou x 6 počet facebookových přátel proměnná x 4 nabývá mnoha obměn (tabulka četností i graf by nevypadaly dobře) vhodnější je intervalové rozdělení četností musíme zvolit vhodný počet a šířku intervalu Tomáš Karel - 4ST201
10 Sturgesovo pravidlo pro počet intervalů šířka jednoho intervalu: variační rozpětí: R x max x min Tomáš Karel - 4ST201 10
11 průměr (aritmetický, geometrický, harmonický, kvadratický) modus = hodnota s nejvyšší četností a%-ní kvantil = dělí soubor uspořádaný podle velikosti (od nejnižších hodnot po nejvyšší) na prvních a% hodnot a zbývajících (100-a)% medián = prostřední hodnota v souboru uspořádaném podle velikosti = 50% kvantil dolní kvartil = 25% kvantil horní kvartil = 75% kvantil Tomáš Karel - 4ST201
12 Tomáš Karel - 4ST201
13 Jaký je průměrný počet věk vybraných spolužáků? (vypočtěte dvojím způsobem - nejdříve ze základní tabulky a poté z tabulky rozdělení četností) ze základní tabulky (prostý aritmetický průměr) x n i 1 n x i z tabulky rozdělení četností (vážený aritmetický průměr) x k i1 k i1 x i n n i i Tomáš Karel - 4ST201 13
14 Závodní okruh Sosnová má délku základní trasy 1,075 km. Testovací závodník projel tento okruh celkem třikrát. V prvním kole byla jeho průměrná rychlost 60 km/h, v druhém kole už 72 km/h a ve třetím kole dosáhl průměrné rychlosti 80 km/h. Vypočítejte průměrnou rychlost jezdce za celou dobu jízdy, definovanou jako podíl celkové dráhy za celkový čas s = 1,075 km Tomáš Karel - 4ST201 14
15 t Celkový čas celé jízdy t celk. se skládá ze součtu času prvního okruhu t1, času druhého okruhu t2 a času třetího okruhu t3. Délka prvního okruhu (v km) s 1, v1 60 Průměrná rychlost v prvním okruhu Čas v prvním okruhu 0, 0179h t t 2 s 1, 075 v s 1, v3 80 0, 0143h 0, 0134h Průměrná rychlost za celou jízdu (km/h) Celková ujetá vzdálenost (v km) s 3s 31, 075 celk. vp 70,588 tcelk. t1 t2 t3 0, , , 0134 Celkový čas celé jízdy (hod) Průměrná rychlost cyklisty za celou jízdu je dána prostým harmonickým průměrem průměrných rychlostí za jednotlivé okruhy. Tomáš Karel - 4ST
16 Pro proměnnou x 2 - věk určete následující kvantily: a) medián x 0,5 b) horní kvartil x 0,25 c) dolní kvartil x 0, Tomáš Karel - 4ST201
17 hodnoty uspořádáme podle velikosti každá hodnota se musí vyskytovat tolikrát, kolik je její absolutní četnost výpočet kvantilů: p p dolní kvartil medián horní kvartil n z 100 p n x (1);x (2);x(3);x(4);x(5);x(6);x(7);x(8);x(9);x(10) p 25 x x x0,25 n p 50 x x x0,5 n p 75 x x x0,75 n (2) (3) (5) (6) (7) (8) Tomáš Karel - 4ST201 17
18 Kombinační čísla Četnosti Absolutní Relativní Kumulativní Charakteristiky úrovně Průměr Prostý aritmetický Vážený aritmetický Harmonický/vážený harmonický Medián Kvartily n k n i, i 1,2,..., k x n! ( n k)! k! n i 1 x n n x i1 i n 1 x i ni n k n n... p p absolutní i1 n p i i n 1 2 -relativní x k i1 k i1 x n i n i i k i1 p i 1 medián 21; 21; 22; 22; 22; 23; kvartil 2.kvartil
19 Prostý aritmetický průměr Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 5-ti tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval údaje o deseti statistických jednotkách (respondentech - těch, kteří odpověděli). x n i 1 soubor Počet respondentů Průměr v souboru (tis. Kč) 18,5 21,2 24, ,2 n x i Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu ze všech získaných dat.
20 soubor Počet respondentů Průměr v souboru (tis. Kč) 18,5 21,2 24, ,2 Prostý aritmetický průměr n xi i1 18,5 21, 2 24, , 2 109,1 x 21,82 n 5 5
21 Vážený aritmetický průměr x k i1 k i1 x i n n i i Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 5-ti tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný počet údajů o statistických jednotkách (respondentech - těch, kteří odpověděli). soubor Počet respondentů Průměr v souboru (tis. Kč) 18,5 21,2 24, ,2 Vypočítejte celkovou průměrnou hodnotu ze všech získaných dat.
22 soubor Počet respondentů - n i Průměr v souboru x i (tis. Kč) 18,5 21,2 24, ,2 Vážený aritmetický průměr k xn i i i1 18,510 21, , , ,9 x 21, 75 k n i1 i
23 Jak je možné, že průměrná mzda v České republice je 24,5 tis Kč a více jak 60 % obyvatel ČR má plat nižší??? Datový soubor od prvního tazatele: respondent průměr příjem 10,5 11 9,5 11,5 15,5 16, , ,5 n xi i1 10,5 11 9,5 11,5 15,5 16, ,5 63 x 18,5 n 10 Odkaz 1 Odkaz2
24 1) Seřadit podle velikosti respondent průměr příjem 9,5 10, , , ,5 16, ,5 medián průměr 63, ,0 22,5 22,0 21,5 21,0 20,5 20,0 19,5 19,0 18,5 18,0 17,5 17,0 16,5 16,0 15,5 15,0 14,5 14,0 13,5 13,0 12,5 12,0 11,5 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0 2) Určit prostřední hodnotu x x 15 15,5 2 2 (5) (6) x0,5 x 15, 25 90% hodnot menších než průměr!!!
25 1) Seřadit podle velikosti respondent průměr příjem 9,5 10, , , ,5 16,5 63,1 18,5 medián průměr 63, ,0 22,5 22,0 21,5 21,0 20,5 20,0 19,5 19,0 18,5 18,0 17,5 17,0 16,5 16,0 15,5 15,0 14,5 14,0 13,5 13,0 12,5 12,0 11,5 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0 2) Určit 1. kvartil x 0,25 3) Určit 3. kvartil x 0,75 p p n zp n 1 x0,25 x(3) p p n zp n 1 x0,75 x(8) 16, % hodnot menších než průměr!!!
26 Modus (modální hodnota) je taková hodnota, která je v souboru nejčastěji zastoupena (má největší četnost) modus medián průměr 63, ,0 22,5 22,0 21,5 21,0 20,5 20,0 19,5 19,0 18,5 18,0 17,5 17,0 16,5 16,0 15,5 15,0 14,5 14,0 13,5 13,0 12,5 12,0 11,5 11,0 10,5 10,0 9,5 9,0 Průměr 18,5 tis Kč průměrná hodnota Modus 16,5 tis Kč nejčastěji zastoupená hodnota Medián 15,25 tis Kč prostřední hodnota
27 Rozptyl směrodatná odchylka variační koeficient variační rozpětí Rozklad rozptylu vnitroskupinový rozptyl meziskupinový rozptyl Vlastnosti rozptylu
28 Sociální nůžky Představme si dvě městečka v Jihočeském kraji* Levicov a Pravicov V obou městech bylo provedeno šetření o průměrném měsíčním příjmu obyvatel. Z výzkumu vyšlo, že v obou městech je průměrný měsíční příjem stejný a to 20 tis. Kč. Zdá se, že se v průměru se daří obyvatelům obou měst stejně. Pokud se však podíváme na bodový graf podrobněji v něčem se tato města liší. Přestože průměrný příjem jejich obyvatel je stejný. Jak to ale číselně vyjádřit? průměr Pravicov průměr x 20 tis Kč x 20 tis Kč Levicov
29 Na minulém cvičení jsme se zabývali měrami polohy (průměry, medián, modus), které charakterizovaly hodnotovou úroveň souboru, typickou hodnotu v souboru apod. Často je však zapotřebí kromě typické hodnotové úrovně poznat i to, jak moc se jednotlivé hodnoty souboru od sebe odlišují (tzv. variabilitu souboru Levicov vs. Pravicov). K tomuto účelu slouží právě míry variability. Abychom zachytili vzájemnou odlišnost hodnot souboru, můžeme studovat například to, jak se jednotlivé hodnoty liší od průměru. Abychom dokázali kvantifikovat (číselně vajádřit) tuto vlastnost (tj. odlišnost hodnot souboru od průměru) můžeme zvolit několik různých přístupů. Můžeme např. studovat průměrnou absolutní odchylku hodnot souboru od průměru, nebo průměrnou kvadratickou odchylku hodnot souboru od průměru apod. Právě průměrná kvadratická odchylka hodnot souboru od průměru je základem definice rozptylu jako jedné z nejvýznamnějších měr variability souboru. Existují však samozřejmě i jiné míry variability
30 Absolutní Rozptyl kvadratická odchylka od průměru (Klasický) rozptyl známe všechny hodnoty všech jednotek 1 s (x x) n 2 2 x i n i 1 (v každém městě je pouze 10 obyvatel) Výběrový rozptyl známe pouze některé hodnoty ze souboru (v každém městě je víc jak 10 obyvatel) n s x (xi x) n1 i 1 x x Směrodatná odchylka je druhá odmocnina z rozptylu Variační rozpětí - nejvyšší hodnota mínus nejnižší s nebo s R x x max min Relativní Variační koeficient směrodatná odchylka dělená průměrem s s x x x V x,nebo V x x
31 s (x x) ( ) ( )... n x i n 1 i Pravicov 1... ( ) ( ) ( 11000) ( 11000) ) Směrodatná odchylka: Variační koeficient: Variační rozpětí: 2 6 s x s s V 0, 689 x Rozptyl: x R x x max min x x Rozptyl: 1 1 s (x x) ( ) ( )... n x i n 1 i Levicov ( ) ( ) ( 2000) ( 1000) ) 1, Směrodatná odchylka: Variační koeficient: s s 1, Variační rozpětí: x 2 6 x R x x max min s 1154 x x V x 0, 058
32 Míra variability Pravicov Levicov Výběrový rozptyl 190x10 6 1,333x10 6 Výběrová směrodatná odchylka Variační rozpětí Variační koeficient 0,689 0,058 Míra úrovně (polohy) Pravicov Levicov Průměr Medián Modus
33 Co by se stalo s mírami variability v jednotlivých městech, pokud by Česká republika vstoupila do měnové unie se směným kurzem 26 Kč/EUR?
34 Míra variability Pravicov (CZK) Levicov (CZK) Pravicov (EUR) Levicov (EUR) absolutní Výběrový rozptyl 190x10 6 1,333x Výběrová směrodatná odchylka Variační rozpětí relativní Variační koeficient 0,689 0,058 0,689 0,058 Míra úrovně (polohy) Pravicov (CZK) Levicov (CZK) Pravicov (EUR) Levicov (EUR) Průměr Medián Modus
35 Vypočítejte míry variability (rozptyl, směrodatnou odchylku), jestliže jsou údaje z předešlého příkladu zadány v relativních četnostech a známy pro celé město (=základní rozptyl). Levicov 1/10 obyvatel má příjem Kč 2/10 obyvatel má příjem Kč 4/10 obyvatel má příjem Kč 2/10 obyvatel má příjem Kč zbytek obyvatel má příjem Kč
36 Příjem Kč má: Průměr z relativních četností n x xipi i1 k k Rozptyl z relativních četností sx x x xi pi xi pi i1 i , Směrodatná odchylka s s 1, x 2 6 x
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49 Náhodný pokus pokus, jehož výsledek se i při dodržení podmínek mění, tj. jehož výsledek závisí na náhodě (např. hod kostkou). Náhodný jev výsledek náhodného pokusu (např. na kostce padla šestka). Náhodný jev budeme značit většinou velkými písmeny, např. A, B atd. Pravděpodobnost náhodného jevu A budeme označovat jako P(A). Jev jistý (označíme např. jako nebo E) Jev, jež nastane vždy, tj. při každém opakování náhod. pokusu (např. na kostce padne nějaké číslo z 1, 2, 3, 4, 5, 6), P( ) =1 Jev nemožný (označíme jako Ø) Jev, jež nikdy nenastane (např. na kostce padne číslo 7), P(Ø ) = 0 Elementární jev nelze vyjádřit jako sjednocení (viz. další slide) dvou jevů, jež jsou různé od tohoto jevu. Doplňkový (opačný) jev k jevu A (označíme A) Jev jež nastane právě, když nenastane jev A, P( A) = 1 - P( A )
50
51 Jednou hodíme klasickou hrací kostkou. Znázorněte pomocí Vennových diagramů následující jevy: a) jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček b) jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi c) jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček d) jev D spočívající v padnutí více než šesti teček (jev jistý značíme E a jev nemožný Ø)
52 a) jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček b) jev A spočívající v padnutí šesti teček a jev B spočívající v padnutí sudého počtu teček dělitelných třemi
53 c) jev C spočívající v padnutí šesti teček, jestliže jev A znamená padnutí sudého počtu teček a jev B padnutí pěti nebo šesti teček d) jev D spočívající v padnutí více než šesti teček
54 KLASICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je rovna podílu počtu výsledků, jež jsou danému jevu příznivé, ku celkovému (konečnému) počtu výsledků, jež jsou apriori stejně pravděpodobné. STATISTICKÁ DEFINICE PRAVDĚPODOBNOSTI říká, že pravděpodobnost nějakého jevu je relativní četností výskytu tohoto jevu v souboru o velké velikosti (v limitě blížící se k nekonečnu).
55
56
57 Příklad nezávislých jevů při hodu dvěma kostkami: A = na první kostce padne 1, B = na druhé kostce padne 1. Příklad závislých jevů při hodu dvěma kostkami: A = na první kostce padne 1, B = součet na obou kostkách bude 10. Jev je jevem nemožným (nemůže na první kostce padnou 1 a zároveň být součet 10), proto: ) ( ) ( ) ( B P A P B A P ) ( ) ( ) ( B P A P B A P ) ( ) ( ) ( 0 B P A P B A P
58 plocha průniku je při součtu P(A)+P(B) započítána 2x, proto jí musíme 1x odečíst pokud jevy A a B nemají průnik, nazýváme je neslučitelné (disjunktní) pokud jevy A a B jsou neslučitelné, přechází pravidlo o sčítání PP. na: ) ( ) ( ) ( ) ( B A P B P A P B A P ) ( ) ( ) ( B P A P B A P
59 Příklad neslučitelných jevů při hodu jednou kostkou: A = padne liché číslo B = padne sudé číslo 3 3 P(A B) P(A) P(B) Příklad jevů, které nejsou neslučitelné při hodu jednou kostkou: A = padne některé z čísel 1, 2, 3 nebo 4 B = padne 4, 5 nebo P(A B) P(A) P(B) P(A B)
60 Jaká je pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padne: a) na obou kostkách šestka b) alespoň jedna šestka c) právě jedna šestka d) žádná šestka e) na obou kostkách sudé číslo Jev A... padla šestka na první kostce Jev B... padla šestka na druhé kostce Jev C... padlo sudé číslo na první kostce Jev D... padlo sudé číslo na druhé kostce
61
62
63
64
65
66 Z publikací Českého statistického úřadu byl převzat počet narozených chlapců a děvčat v letech Vypočítejte přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude chlapec a přibližnou pravděpodobnost, že narozené dítě bude děvče. Absolutní četnosti Rok Chlapci Děvčata Celkem Celkem
67 P(chlapec) P(chlapec) 0,514 P(celkem) P(dívka) P(dívka) 0, 486 P(celkem)
68 - proměnná, která v závislosti na náhodě nabývá různých hodnot - její hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu, před provedením náhodného pokusu nelze určit její konkrétní hodnotu - podle typu dělíme náhodné veličiny na DISKRÉTNÍ náhodné veličiny SPOJITÉ náhodné veličiny
69 !!! Prosím rozlišujte mezi velkým X pro označení náhodné veličiny a malým x pro označení hodnoty, které veličina X nabyla!!! X = počet koupených piv v El Magicu náhodně vybraným studentem za dnešní večer (středa) (program) x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6... ; diskrétní náhodná veličina X = počet pivních tácků ve stojánku, x = 2, 3, 4,.. diskrétní náhodná veličina X = počet hostů v plackárně na Blanici, x = 1, 2, 3,... ; diskrétní náhodná veličina X = počet SMS obdržených v průběhu téhle hodiny statistiky, x = 0, 1, 2, 3,... ; diskrétní náhodná veličina
70 Je pravidlo, které každé hodnotě nebo množině hodnot z každého intervalu přiřazuje pravděpodobnost, že NV nabude této hodnoty nebo hodnoty z určitého intervalu Distribuční funkce F(x) Udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné hodnotě x F( x) P( X x) Pravděpodobnostní funkce P(x) Udává pravděpodobnost, že veličina X nabude hodnoty x. P( x) P( X x)
71 Podávají souhrnnou informaci o náhodné veličině Střední hodnota E ( X ) x P( x) x Rozptyl 2 2 D(X) EX E(X) x P(x) xp(x) x x 2 příslušné vztahy pro střední hodnotu a rozptyl náhodné veličiny též ve vzorcích z webu porovnejte s výpočtem rozptylu a průměru ze souboru dat za pomoci relativních četností Průměr x i x i p i Rozptyl s 2 x 2 xi pi xi pi i i 2
72 Nejmenovaný klub umístěný pod studentskou kolejí Vltava očekává v příštím roce čtyři možné zisky (před zdaněním) s následujícími pravděpodobnostmi: -1 mil. Kč s pravděpodobností 0,1 1 mil. Kč s pravděpodobností 0,4 2 mil. Kč s pravděpodobností 0,3 3 mil. Kč s pravděpodobností 0,2 a) Sestrojte pravděpodobnostní a distribuční funkci pro náhodnou veličinu zisk. b) Sestavte graf distribuční funkce. c) Jaká je střední hodnota zisku podniku? Co tato hodnota představuje? d) Jak byste ohodnotili nejistotu, že tento očekávaný zisk bude realizován?
73 Náhodnou veličinu zisk podniku v následujícím roce označme jako X Pravděpodobnostní funkce (zadaná tabulkou) x P(x) 0,1 0,4 0,3 0,2 F(x) 0,1 0,5 0,8 1 Distribuční funkce F(x) 0 x 1 F(x) 0,1 1 x 1 F(x) 0,5 1 x 2 F(x) 0,8 2 x 3 F(x) 1, 0 x 3
74 Distribuční funkce: Spojitá zprava Neklesající F(X) nabývá hodnot z intervalu <0;1>
75 Střední (očekávaná) hodnota zisku podniku E(X) x P(x) ( 1) 0,110, 4 20,3 30, 2 1,5 x Pokud by pravděpodobnosti jednotlivých zisků v zadání platily pro každý rok, a pokud bychom každý rok po mnoho let zaznamenávali zisky podniku, pak by se průměrný zisk za jeden rok blížil k hodnotě 1,5 mil. CZK. Neformálně řečeno: podnik je v průměru ziskový, v průměru očekáváme v dlouhodobém horizontu zisk 1,5 milion CZK za rok.
76 Nejistotu (riziko) spojené s podnikáním můžeme charakterizovat charakteristikami variability např. rozptylem D(X) náhodné veličiny X směrodatnou odchylkou s(x) náhodné veličiny X. Rozptyl D(X) můžeme počítat dvěma ekvivalentními tvary:
77 Po dosazení do druhého výpočetního tvaru získáváme D(X) E(X ) E(X) x P(x) xp(x) x x ( 1).0,1 (1).0, 4 (2).0,3 (3).0, 2 1,5 3,5 2, 25 1, 25 D(X) 1, 25 1,12 2 Pokud by pravděpodobnosti jednotlivých zisků v zadání platily pro každý rok, a pokud bychom každý rok po mnoho let zaznamenávali zisky podniku, a počítali směrodatnou odchylku těchto zisků, potom by se tato odchylka blížila 1,12 milionům CZK (s velmi velkou pravděpodobností). Řečeno jinak: očekávaná typická odchylka zisku od očekávaného zisku 1,5 milion CZK je 1,12 miliony CZK.
78 Výsledné známek z předmětu statistika byly v minulém semestru 2012/2013 popsány následující tabulkou. Výsledná známka celkem Počet studentů Určete přibližně pravděpodobnost, že náhodně vybraný student statistiky z minulého semestru získal výslednou známku: a) jedna b) lepší než tři c) prospěl d) neprospěl
79 Tabulka četností: Výsledná známka celkem Počet studentů => Tabulka rozdělení pravděpodobnosti Výsledná známka celkem pravděpodobnost 0,23 0,33 0,28 0,16 1 A) B) C) D) P(1) P(X 1) 0, 23 P(X 3) 0, 23 0,33 0,56 P(X 3) 0, 23 0,33 0, 28 0,84 P(X 4) 1 P(X 3) 10,84 0,16
80 některé náhodné veličiny mají jistý specifický tvar pravděpodobnostní funkce, resp. pravděpodobnostního rozdělení. Mezi nejznámější modelová pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny patří např.: diskrétní náhodné veličiny: Alternativní Binomické Poissonovo Hypergeometrické
81 Pokus: Házíme jednou kostkou a potřebujeme, aby padla šestka. Náš pokus má tedy pouze dva výsledky (v jednom náhodném pokusu může nabýt pouze dvou hodnot) x = 1 jev nastane P(X=1)=p16 x = 0 jev nenastane P(X=0)=1-p 56 Pravděpodobnostní funkce střední hodnota rozptyl x 1 x ( x) p (1 p ) zvláštní případ binomického rozdělení pro n=1 (viz. dále) P E(X) p 1/ D(X) p(1 p) 1 0,
82 Udává pravděpodobnost úspěchu v sérii n nezávislých pokusů, z nichž každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu п (např. jaká je pravděpodobnost, že v deseti hodech kostkou padne 3x šestka) pravděpodobnostní funkce střední hodnota n 10 x 3 3 x n x 10 3 P(x) p (1 p) 1/ 6 (1 1/ 6) 0,155 E(X) np 101/ 6 1,666 rozptyl 1 1 D(X) n p(1 p) ,
83 Příklady, kdy ho použít: Obecně: výběr s vracením (z malého osudí) nebo výběr bez vracením z velkého osudí Počet úspěchů v sérii n nezávislých pokusů, z nichž každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu p. Např. jaká je pravděpodobnost, že z 15 hodů kostkou padne pětkrát trojka.
84 V osudí jsou míčky bílé barvy a míčky černé barvy. Pravděpodobnost vytažení míčku bílé barvy je 1/7. Z osudí vytáhneme náhodně jeden míček, zapíšeme si jeho barvu a míček do osudí vrátíme! Poté taháme znovu, zapíšeme si opět barvu vytaženého míčku, a míček opět do osudí vrátíme atd. Celkem takto vytáhneme s vracením 4 míčky. Určete pravděpodobnost, že a) žádný, b) Jeden c) dva z těchto 4 míčků budou bílé barvy. Poté nalezněte obecný vzorec udávající pravděpodobnost, že při vytažení celkem n míčků s vracením jich x bude bílých, pokud pravděpodobnost vytažení bílého míčku v jednom tahu je p.
85 a) b) c)
86 d)
87 Pravděpodobnost, že se narodí chlapec je 0,515. Jaká je pravděpodobnost, že mezi 7 po sobě narozenými dětmi v porodnici budou: a) první 3 děvčata a další 4 chlapci b) právě 3 děvčata?
88 a) první 3 jsou děvčata a další 4 chlapci 3 x n x 7 3 P(x) p (1 p) 0, 485 (1 0, 485) 0,008 b) právě 3 děvčata n 7 x 3 3 x n x 7 3 P(x) p (1 p) 0, 485 (1 0, 485) 0, 281
89 Udává pravděpodobnost výskytu náhodného jevu v určitém časovém intervalu Mají ho například Veličiny, které představují výskyt x událostí v pevném časovém intervalu, přičemž události musejí nastávat nezávisle od okamžiku poslední události veličiny, které mají rozdělení binomické a zároveň počet pozorování velký (n>30) a п je malé (п<0,1) pravděpodobnostní funkce P( x) x x! e střední hodnota E(X) rozptyl D(X)
90 Poissonovo rozdělení mají např. následující 2 typy náhodných veličin: 1.) Veličiny, které mají rozdělení binomické a zároveň parametr n tohoto binomického rozdělení je velký (n>30) a parametr p tohoto binomického rozdělení je malý (p<0,1). Takováto binomická veličina má přibližně také Poissonovo rozdělení, přičemž pro parametr l tohoto Poissonova rozdělení platí = np. 2.) Veličiny, jež představují výskyt x událostí v pevném časovém (případně plošném, prostorovém) intervalu, pokud známe průměrný počet událostí l, které v tomto intervalu nastávají. Navíc události musejí nastávat nezávisle od okamžiku (případně místa výskytu) poslední události. P( x) x x! e E(X) D(X)
91 Při kontrole účetních dokladů v určitém velkém průmyslovém podniku auditor, že zkušenosti ví, že lze předpokládat formální chyby u 2 % účetních dokladů. Jestliže ze souboru účetních dokladů jich auditor vybere 100, jaká je pravděpodobnost, že a) mezi nimi budou právě 2 chybné? b) ani jeden chybný? c) maximálně dva chybné? Učebnice (2.6 / str. 102, neřešený)
92
93
94
95 Student ze zkušenosti ví, že v době od 15:00 do 19:00 obdrží v průměru 3 SMSky od svých kamarádů. Dnes měl v době od 16:00 do 18:00 rozbitý mobil. a.) Jaká je pravděpodobnost, že mu kamarádi během těchto dvou hodin neposlali žádnou SMS? b.) Jaká je střední hodnota a rozptyl počtu náhodné veličiny počet příchozích SMSek v době od 16:00 do 18:00? Modifikace příkladu z učebnice (2.7 / str. 103, neřešený)
96
97 Na povrchu skla se v průměru vyskytuje 5 kazů na metr čtvereční. Jaká je pravděpodobnost, že na skleněné desce o ploše 2 metry čtvereční bude přesně 7 kazů?
98 Pravděpodobnost, že na 2 m 2 bude přesně 7 kazů je 0,09.
99 máme-li soubor N jednotek, z nichž M má určitou vlastnost a ze souboru vybíráme bez vracení n jednotek ( x výběr s vracením binomické rozdělení) pravděpodobnostní funkce střední hodnota P ( x) M E(X) n N M x N M n x N n rozptyl M M N n D(X) n 1 N N N 1
100 V osudí je 30 míčků modrých a 20 červených. Náhodně vybereme 10 míčků. Jaká je pravděpodobnost, že mezi vybranými míčky bude právě 6 červených, jestliže: a) vybíráme s vracením b) vybíráme bez vracení?
101 a) vybíráme s vracením (-> binomické rozdělení) n x x nx P(x) p (1 p) 1 0,111 b) vybíráme bez vracení? (-> hypergeometrické rozdělení) Výběr bez vracení z malého (!!) osudí. V osudí je M prvků s danou vlastností a N M prvků bez této vlastnosti. Vybíráme celkem n objektů a ptáme se, jaká je pravděpodobnost, že prvků s danou vlastností jsme vybrali právě x. n = 10; N = 50; M = 20; x = 6 M N M x n x P(x) 0,103 N 50 n 10
102
103 Určitý typ součástek je dodáván v sériích po 100 kusech. Při přejímací kontrole je z každé série náhodně vybráno 10 výrobků. Série je přijata, jestliže mezi kontrolovanými výrobky je maximálně 1 zmetek. Jaká je pravděpodobnost, že série bude přijata, jestliže obsahuje 8 zmetků. Kontrola je přitom prováděna tak, že kontrolovaný výrobek je podroben destrukční zkoušce. Jedná se o příklad typu výběr bez vracení z malého osudí => hypergeometrické rozdělení
104
105
106 Příklady spojitých náhodných veličin: X = výška náhodně vybraného studenta, 100 cm < x < 220 cm; X = čas, který náhodně vybraný student stráví denně na facebooku, 0 x 24 hodin; X = doba, kterou musíme čekat na obsluhu u baru v El magicu X = maximální rychlost automobilu, kterou automobil dosáhne na dálnici Jednotlivé náhodné veličiny mají různá pravděpodobnostní rozdělení Jak popsat rozdělení pravděpodobnosti pro spojitou náhodnou veličinu?
107 Distribuční funkce F(x) Distribuční funkce F(x) udává pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné hodnotě x Hustota pravděpodobnosti f(x) b a f (x)dx P(a X b) F(b) F(a) Hustota pravděpodobnosti f(x) je taková funkce, že pro libovolné a < b platí:
108 Sumace byla u spojité NV zaměněna za integraci, pravděpodobnostní funkce za hustotu pravděpodobnosti Střední hodnota Rozptyl Kvantily (pouze pro spojité NV) 100p% kvantil pravd. rozdělení spojité NV je takové číslo xp pro které platí: p x p P(X x ) f (x)dx F(x ) p p
109 Normální rozdělení Normované normální rozdělení Logaritmicko normální rozdělení Chí-kvadrát Studentovo Fisherovo
110 významné rozdělení v teorii pravděpodobnosti a matematické statistiky, mnohé NV v ekonomii, technice a přírodních vědách mají přibližně normální rozdělení (zákon chyb) aproximují (nahrazují) se jím některá nespojitá rozdělení hustota pravděpodobnosti: střední hodnota: E(X ) f ( x) ( x) e 2p 2 x rozptyl: kvantily: 2 D( X ) x p u p
111 Příklady využití: tělesná výška, teplota, hmotnost chyby měření velikost chodidla
112
113 Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný muž bude mít výšku v rozmezí 170 až 185 cm? Předpokládejme přitom, že výška mužů má normální rozdělení s parametry: μ = 180 σ 2 =49 =>
114
115
116
117 Pro výpočet využijeme transformaci na normované normální rozdělení Takto transformovaná veličina se označuje jako U a má normální rozdělení s parametry μ = 0 a σ 2 =1. N(0;1) -> NORMOVANÉ NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ
118
119
120
121
122 Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná žena bude mít výšku v rozmezí 160 a 175 cm? Předpokládejme přitom, že výška žen má normální rozdělení s parametry μ = 170 a σ 2 = 36.
123
124
125 Náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry μ = 10 a σ 2 = 25. Určete následující pravděpodobnosti a kvantily: a) P(X < 5) b) P(8<X<12) c) P(X >18) d) P(X = 5) e) X 0,975 f) X 0,05
126 Bylo zjištěno, že pevnost v tahu určitého druhu výrobku má normální rozdělení se střední hodnotou 200 jednotek a směrodatnou odchylkou 40 jednotek. Každý výrobek je před expedicí testován a ty výrobky, jejichž pevnost v tahu je větší než 220 jednotek, jsou označovány za velmi kvalitní. Jaká je pravděpodobnost vyrobení velmi kvalitního výrobku?
127 Odchylka rozměru výrobku od požadované hodnoty má normální rozdělení se střední hodnotou 0 mm a se směrodatnou odchylkou 5mm. Jaká musí být šířka intervalu normy (symetrického kolem požadované hodnoty) pro velikost výrobku, aby rozměr výrobku nepřekročil interval s pravděpodobností 0,95?
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení ze 4ST201. Na případné faktické chyby v této prezentaci mě prosím upozorněte. Děkuji Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není v nich obsaženo
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
Vícetazatel 1 2 3 4 5 6 7 8 Průměr ve 15 250 18 745 21 645 25 754 28 455 32 254 21 675 35 500 Počet 110 125 100 175 200 215 200 55 respondentů Rozptyl ve
Příklady k procvičení k průběžnému testu: 1) Při zpracování studie o průměrné výši měsíčních příjmů v České republice jsme získali data celkem od 8 tazatelů. Každý z těchto pěti souborů dat obsahoval odlišný
VíceNáhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti
3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Vypočítejte: 8 3 10 9?? 29.11.2014 Tomáš Karel - 4ST201 2 n n! 8! 87654321 40320 k (n k)! k! (8 3)! 3! (5 4321) 321 1206 56 n n! 10! 109 8 7 6 5 4 3 2 1 10 k (n k)! k! (10 9)!
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceMATEMATICKÁ STATISTIKA. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci
MATEMATICKÁ STATISTIKA Dana Černá http://www.fp.tul.cz/kmd/ Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci Matematická statistika Matematická statistika se zabývá matematickým
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VíceUrčete zákon rozložení náhodné veličiny, která značí součet ok při hodu a) jednou kostkou, b) dvěma kostkami, c) třemi kostkami.
3.1. 3.2. Třikrát vystřelíme na cíl. Pravděpodobnost zásahu při každém výstřelu je p = 0,7. Určete: a) pravděpodobnostní funkci počtu zásahů při třech nezávislých výsledcích, b) distribuční funkci a její
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
VíceDiskrétní náhodná veličina. November 12, 2008
Diskrétní náhodná veličina November 12, 2008 (Náhodná veličina (náhodná proměnná)) Náhodná veličina (nebo též náhodná proměnná) je veličina X, jejíž hodnota je jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu.
VíceZáklady popisné statistiky
Základy popisné statistiky Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 26 Obsah 1 Základy statistického zpracování dat 2
VíceDiskrétní náhodná veličina
Lekce Diskrétní náhodná veličina Výsledek náhodného pokusu může být vyjádřen slovně to vede k zavedení pojmu náhodného jevu Výsledek náhodného pokusu můžeme někdy vyjádřit i číselně, což vede k pojmu náhodné
VícePraktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková
Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo
VíceNáhodné (statistické) chyby přímých měření
Náhodné (statistické) chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně
VíceČíselné charakteristiky
. Číselné charakteristiky statistických dat Průměrný statistik se během svého života ožení s 1,75 ženami, které se ho snaží vytáhnout večer do společnosti,5 x týdně, ale pouze s 50% úspěchem. W. F. Miksch
VícePřednáška. Diskrétní náhodná proměnná. Charakteristiky DNP. Základní rozdělení DNP
IV Přednáška Diskrétní náhodná proměnná Charakteristiky DNP Základní rozdělení DNP Diskrétní náhodná veličina Funkce definovaná na Ω, přiřazující každému elementárnímu jevu E prvky X(E) D R kde D je posloupnost
VíceStřední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
VíceE(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =
Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceZpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
Víceveličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.
Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího
Více4. cvičení 4ST201. Pravděpodobnost. Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina. Co je třeba znát z přednášek
cvičící 4. cvičení 4ST201 Obsah: Pravděpodobnost Náhodná veličina Vysoká škola ekonomická 1 Pravděpodobnost Co je třeba znát z přednášek 1. Náhodný jev, náhodný pokus 2. Jev nemožný, jev jistý 3. Klasická
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VíceInovace bakalářského studijního oboru Aplikovaná chemie
http://aplchem.upol.cz CZ.1.07/2.2.00/15.0247 Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Základy zpracování dat chemometrie, statistika Doporučenáliteratura
VíceMatematika III. 27. listopadu Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. listopadu 2017 Typy statistických znaků (proměnných) Typy proměnných: Kvalitativní proměnná (kategoriální, slovní,... ) Kvantitativní proměnná (numerická,
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VíceROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN
ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VíceCharakterizace rozdělení
Charakterizace rozdělení Momenty f(x) f(x) f(x) μ >μ 1 σ 1 σ >σ 1 g 1 g σ μ 1 μ x μ x x N K MK = x f( x) dx 1 M K = x N CK = ( x M ) f( x) dx ( xi M 1 C = 1 K 1) N i= 1 K i K N i= 1 K μ = E ( X ) = xf
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceÚloha č. 2 - Kvantil a typická hodnota. (bodově tříděná data): (intervalově tříděná data): Zadání úlohy: Zadání úlohy:
Úloha č. 1 - Kvantily a typická hodnota (bodově tříděná data): Určete typickou hodnotu, 40% a 80% kvantil. Tabulka hodnot: Varianta Četnost 0 4 1 14 2 17 3 37 4 20 5 14 6 7 7 11 8 20 Typická hodnota je
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceVybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
VícePojem a úkoly statistiky
Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby
Více7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice
7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
VíceMnohorozměrná statistická data
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistický znak, statistický soubor Jednotlivé objekty nebo subjekty, které jsou při statistickém
Více23. Matematická statistika
Projekt: Inovace oboru Mechatronik pro Zlínský kraj Registrační číslo: CZ.1.07/1.1.08/03.0009 23. Matematická statistika Statistika je věda, která se snaží zkoumat reálná data a s pomocí teorii pravděpodobnosti
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceStatistika pro geografy
Statistika pro geografy 2. Popisná statistika Mgr. David Fiedor 23. února 2015 Osnova 1 2 3 Pojmy - Bodové rozdělení četností Absolutní četnost Absolutní četností hodnoty x j znaku x rozumíme počet statistických
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceJAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová
JAK MODELOVAT VÝSLEDKY NÁH. POKUSŮ? Martina Litschmannová Opakování Základní pojmy z teorie pravděpodobnosti Co je to náhodný pokus? Děj, jehož výsledek není předem jednoznačně určen podmínkami, za nichž
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceIntuitivní pojem pravděpodobnosti
Pravděpodobnost Intuitivní pojem pravděpodobnosti Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceI. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VíceNáhodná veličina a její charakteristiky. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáte. Proto je proměnná, která
Náhodná veličina a její charakteristiky Náhodná veličina a její charakteristiky Představte si, že provádíte náhodný pokus, jehož výsledek jste schopni ohodnotit nějakým číslem. Před provedením pokusu jeho
VíceStatistika I (KMI/PSTAT)
Statistika I (KMI/PSTAT) Cvičení druhé aneb Kvantily, distribuční funkce Statistika I (KMI/PSTAT) 1 / 1 Co se dnes naučíme Po absolvování této hodiny byste měli být schopni: rozumět pojmu modus (modální
Vícep(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
VíceNáhodné chyby přímých měření
Náhodné chyby přímých měření Hodnoty náhodných chyb se nedají stanovit předem, ale na základě počtu pravděpodobnosti lze zjistit, která z možných naměřených hodnot je více a která je méně pravděpodobná.
VíceNÁHODNÉ VELIČINY JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN?
NÁHODNÉ VELIČINY GENEROVÁNÍ SPOJITÝCH A DISKRÉTNÍCH NÁHODNÝCH VELIČIN, VYUŽITÍ NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI, METODY TRANSFORMACE NÁHODNÝCH ČÍSEL NA HODNOTY NÁHODNÝCH VELIČIN. JAK SE NÁHODNÁ ČÍSLA PŘEVEDOU
VíceZákladní statistické charakteristiky
Základní statistické charakteristiky Základní statistické charakteristiky slouží pro vzájemné porovnávání statistických souborů charakteristiky = čísla, pomocí kterých porovnáváme Základní statistické
VíceP13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod.
P13: Statistické postupy vyhodnocování únavových zkoušek, aplikace normálního, Weibullova rozdělení, apod. Matematický přístup k výsledkům únavových zkoušek Náhodnost výsledků únavových zkoušek. Únavové
Více2. Friesl, M.: Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky. Internetový zdroj (viz odkaz).
1 Cvičení z předmětu KMA/PST1 Pro získání zápočtu je nutno mimo docházky (max. 3 absence) uspět minimálně ve dvou ze tří písemek, které budou v průběhu semestru napsány. Součástí třetí písemky bude též
Více22. Pravděpodobnost a statistika
22. Pravděpodobnost a statistika Pravděpodobnost náhodných jevů. Klasická pravděpodobnost. Statistický soubor, statistické jednotky, statistické znaky. Četnosti, jejich rozdělení a grafické znázornění.
VíceNáhodná proměnná. Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1. , x 2. ; x 2. spojité (<x 1
Náhodná proměnná Náhodná proměnná může mít rozdělení diskrétní (x 1, x 2,,x n ) spojité () Poznámky: 1. Fyzikální veličiny jsou zpravidla spojité, ale změřené hodnoty jsou diskrétní. 2. Pokud
Více8 Střední hodnota a rozptyl
Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení
Více(motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt)
Popisná státistiká (motto: Jestliže má jednotlivec rád čísla, pokládá se to za neurózu. Celá společnost se ale sklání před statistickými čísly. Alfred Paul Schmidt) 1. Příklad V pobočce banky za celý den
VíceMnohorozměrná statistická data
Mnohorozměrná statistická data Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra ekonometrie UO Brno) Mnohorozměrná
VícePopisná statistika. Statistika pro sociology
Popisná statistika Jitka Kühnová Statistika pro sociology 24. září 2014 Jitka Kühnová (GSTAT) Popisná statistika 24. září 2014 1 / 31 Outline 1 Základní pojmy 2 Typy statistických dat 3 Výběrové charakteristiky
VíceJevy a náhodná veličina
Jevy a náhodná veličina Výsledky některých jevů jsou vyjádřeny číselně -na hrací kostce padne číslo 1, 4, 6.., jiným jevům můžeme čísla přiřadit (stupeň školního vzdělání: ZŠ, SŠ, VŠ) Data jsme rozdělili
VícePopisná statistika kvantitativní veličiny
StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali
VíceCharakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VíceVýběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI. Ekonomická fakulta. Semestrální práce. Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření školní zadání
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Semestrální práce Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření školní zadání Skupina: 51 Vypracovaly: Pavlína Horná, Nikola Loumová, Petra Mikešová,
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodná veličina Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 12. února 2012 Statistika by Birom Základy teorie
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY
4. ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI DISKRÉTNÍ NÁHODNÉ VELIČINY Průvodce studiem V této kapitole se seznámíte se základními typy rozložení diskrétní náhodné veličiny. Vašim úkolem by neměla být
VíceÚVOD. Rozdělení slouží: K přesnému popisu pravděpodobnostního chování NV Střední hodnota, rozptyl, korelace atd.
ROZDĚLENÍ NV ÚVOD Velké skupiny náhodných pokusů vykazují stejné pravděpodobnostní chování Mince panna/orel Výška mužů/žen NV mohou být spojeny s určitým pravděpodobnostním rozdělení (již známe jeho hustotu
VíceVýrobní produkce divizí Ice Cream Po lo ha plane t Rozložený výse ový 3D graf Bublinový graf Histogram t s tn e ídy
Výrobní produkce divizí Ice Cream Polo ha planet Rozložený výsečový 3D graf Bublinový graf Ice Cream 1 15% Ice Cream 2 12% Ice Cream 3 18% Ice Cream 4 20% Statistika 40 30 20 Ice Cream 6 19% Ice Cream
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceTECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI
TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Ekonomická fakulta Semestrální práce Statistický rozbor dat z dotazníkového šetření Počet stran: 10 Datum odevzdání: 13. 5. 2016 Pavel Kubát Obsah Úvod... 3 1 Charakterizujte
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceMetodologie pro ISK II
Metodologie pro ISK II Všechny hodnoty z daného intervalu Zjišťujeme: Centrální míry Variabilitu Šikmost, špičatost Percentily (decily, kvantily ) Zobrazení: histogram MODUS je hodnota, která se v datech
VíceRovnoměrné rozdělení
Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
VíceStatistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012. Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2011/2012 Tutoriál č. 4: Exploratorní analýza Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Statistika věda o získávání znalostí z empirických dat empirická
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
VíceStatistika. zpracování statistického souboru
Statistika zpracování statistického souboru statistický soubor zkoumaná skupina znaky zkoumané informace 1 vyjádřen číslem a jednotkou = kvantitativní znak 2 není = kvalitativní znak statistická jednotka
VíceRenáta Bednárová STATISTIKA PRO EKONOMY
Renáta Bednárová STATISTIKA PRO EKONOMY ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY Statistika Statistický soubor Statistická jednotky Statistický znak STATISTIKA Vědní obor, který se zabývá hromadnými jevy Hromadné jevy
Více