I. kolo kategorie Z7

Transkript

1 58. ročník Matematické olympiády I. kolo kategorie Z7 Z7 I Na každou stěnu hrací kostky jsme napsali jiné prvočíslo menší než 0 tak, aby součty dvou čísel na protilehlých stěnách byly vždy stejné. Kostku jsme položili na první políčko plánu na obrázku největším číslem dolů. Potom jsme kostku převraceli naznačeným směrem po plánu. Při každém dotyku kostky s plánem jsme na odpovídající políčko napsali číslo, kterým se ho kostka dotkla. Kterým číslem se kostka dotkla zbarveného políčka, jestliže součet všech napsaných čísel byl největší možný? (Plán je tvořen čtverci, které jsou stejně velké jako stěny kostky.) Možnéřešení.Prvočíslamenšínež0jsou,3,5,7,,3,7a9.Znichjepotřeba vzíttřidvojicesestejnýmsoučtem,cožjsoudvojice(9,5),(7,7)a(3,).kostkajena plánpoloženačíslem9,takženavedlejšípolíčkosemůžeotisknoutjednozčísel7,7,3 nebo. Je možné diskutovat všechny možnosti vzhledem k umístnění zmiňovaných čtyř čísel na kostce, což je zbytečně pracné. Jednodušší je uvědomit si, na kterých políčkách se otiskují protilehlé stěny. Označme a číslo na stěně, kterou se kostka dotkne vybarveného políčka plánu. Pak zjistíme, že na prvních třech políčkách získáme následující čísla: 9 a 5 Označme b číslo na stěně, kterou se kostka dotkne následujícího políčka plánu. Číslo bmusíbýtrůznéod a,5,9,4 a.nynímůžemedoplnitvšechnapolíčkanaplánu:

2 9 a 5 b 5 a 9 4 b Můžemesivšimnout,žedvojice9,5senaplánuvyskytujedvakrátadvojice b,4 b jedenkrát. Součet těchto dvojic je vždy 4 a součet všech napsaných čísel je: 9+a+5+b+9+a+5+(4 b)=3 4+a=7+a. Součet tedy závisí jenom na čísle, jímž se kostka dotkne vybarveného políčka plánu. Toto číslobymělobýtnejvětšímožné.protožečíslo9jejižpoužito,musíjítočíslo7. Z7 I Naobrázkuječtvercovásíť,jejížčtvercemajístranudélkycm.Vsítijezakreslen obrazec vybarvený šedě. Libor má narýsovat přímku, která je rovnoběžná s přímkou M O a rozděluje šedý obrazec na dvě části o stejném obsahu. M O V jaké vzdálenosti od přímky M O povede Libor tuto rovnoběžku? Možné řešení. Obsah šedé plochy v horních dvou řádcích je (3 ) + =3(cm ), v prostředním řádku 4 + =5(cm )

3 a ve druhém řádku odspoda + (3 )=(cm ). Obsahceléhošedéhoobrazcetedyje3+5+=0(cm ). Zmíněnárovnoběžkamácelýobrazecrozdělitnadvěčástioobsahu0:=5(cm ). Šedou plochu v prostředním řádku přitom rozdělí na dva kosodélníky, horní z nich bude mítobsahcm,dolní3cm.posunutímjednétrojúhelníkovéčástidolníhokosodélníku získáme obdélník o stejném obsahu, jako měl kosodélník, viz obrázek. b cm M a O Známeobsah Stohotoobdélníkuijehodelšístranu a.délkajehokratšístranyje b=s: a=3:5=0,6(cm).liborpovederovnoběžkuvevzdálenosti+0,6=,6(cm) odpřímky MO. Z7 I 3 Turistéplánovalidlouhoutúrunatřidnystím,žekaždýdenujdoutřetinucelétrasy. Tododrželijenprvníden.Druhýdenušlipouzetřetinuzbylécestyatřetíden,unaveni, jen čtvrtinu zbytku. Posledních 4 km do cíle je dovezlo terénní auto. Jakdlouhámělabýtcelátúraakolikkilometrůturistéušliprvní,druhýatřetíden? Možnéřešení.Prvnídenturistéušli 3 cesty,docílejimtakzbyly 3 celkovédélky trasy. Druhýdenušli 3 zevčerejšíhozbytku,tj. 3 3 = 9 zcelécesty;docílezbyly 3 9 = 4 9 celé cesty. Podobně,třetídenušli 4 ze 4 9,tj. 9 zcelétrasy.docílejimpakchybělo = 3 zcelkovédélkyplánovanétrasy,cožbylopodlezadání4km.celátúrabylatedydlouhá 3 4=7(km). Odtud jednoduše dopočítáme, kolik kilometrů turisté ušli v jednotlivých dnech: prvnídentobylo 3 7=4(km), druhýden 9 7=6(km), třetíden 9 7=8(km). 3

4 Z7 I 4 PanHorákjeo3rokystaršínežjehoženaajejichprvorozenýsynjeo4rokystarší než jejich druhorozený. Všichni čtyři členové rodiny slaví narozeniny ve stejný den, nyní majídohromady8let.před5letybyločlenůmtétorodinydohromady6let.určidnešní stáří rodičů i obou dětí. Možnéřešení.Za5letmělorodiněočtyřechčlenechpřibýt4 5=0let,alepřibylo jen8 6=9let.Tomohlonastatjediněvpřípadě,žemladšísynnebylještěpřed5 letynasvětěadorodinnéhosoučtuletpřispěljen4lety(3 5+4=9).Mladšímusynovi jsoutedy4roky.jehostaršímubratrovijeo4rokyvíce,tj.8let. Rodičůmdohromadyje8 4 8=69.Je-limatce mlet,jeotci m+3letaplatí: m+m+3=69,tedy m=33. Matceje33let,otci36let,staršímusynovi8letamladšímu4roky. Z7 I 5 Zuzka napsala pětimístné číslo. Když připsala jedničku na konec tohoto čísla, dostala číslo, které je třikrát větší než číslo, které by získala, kdyby napsala jedničku před původní číslo. Které pětimístné číslo Zuzka napsala? Možné řešení. Pětimístné číslo napsané jako ab cde představuje hodnotu 0 000a b+00c+0d+e,kterouoznačíme x.kdyžnapíšemejedničkupředtotopětimístné číslo,tj.abcde,mámečísloo00000větší,tj.číslo x kdyžnapíšemejedničku zaneznáméčíslo,tj. abc de,dostávámečíslo0x+.podlezadáníplatí0x+=3 (x+00000),odkud7x=99999.číslonapravojeskutečnědělitelné7azuzkatudíž napsala x=99999:7=4857. Jinéřešení.Alternativnělzeúlohuřešitnásobením odzadu podlenásledujícího návodu: abcde 3 abcde Počítáme3 e=(),tj. e=7. abcd7 3 abcd7 Počítáme3 7=,sipamatujemedále,3 d+=()7,tj. d=5.podobnýmzpůsobem určíme postupně všechny číslice hledaného čísla. 4

5 Z7 I 6 Jedánobdélník ABCD.Bodem Avedemepřímku,kteráprotneúsečku CDvbodě Xtak,žeproobsahyvzniklýchútvarůplatí S AXD : S ABCX =:.Bodem Xvedeme přímku,kteráprotneúsečku ABvbodě Y tak,žeplatí S AXY : S Y BCX =:.Nakonec bodem Yvedemepřímku,kteráprotneúsečku XCvbodě Ztak,žeplatí S XY Z : S Y BCZ = =:. Vypočítejpoměrobsahů S AXD : S AXZY. Možnéřešení.Zezadáníplatí S XY Z : S Y BCZ =:.Pokudobsahtrojúhelníku XY Zoznačíme S,jeobsahčtyřúhelníku Y BCZrovenS,vizobrázek. D X Z C,5S S,5S S A Y B Dálejezadáno S AXY : S Y BCX =:azpředchozíhoplyne,žeobsahčtyřúhelníku Y BCXjeS+ S=3S.Obsahtrojúhelníku AXY tedymusíbýt3s:=,5s.zezadání takéznáme S AXD : S ABCX =:.Obsahčtyřúhelníku ABCXjeS+ S+,5S=4,5S. Obsahtrojúhelníku AXDjetedy4,5S:=,5S.Hledanýpoměr S AXD : S AXZY je,5s:(,5s+ S),tj.,5:,5.Porozšířeníčtyřmidostanemepoměr9:0. Poznámka.Úlohulzeřešittakétak,žesevzávislostinadélceúsečky AB určí délky DX, AY a XZ,vyjádříseobsahypožadovanýchútvarůapotéjejichpoměr: Označíme-li adélkuúsečky AB,paksezpožadavku S AXD : S ABCX =:snadno odvodí,že DX = 3 a.podobnězezbylýchdvourovnostívyplývá AY = 4 9 aa XZ = = 8 7 a.poměr S AXD: S AXZY jepotomroven DX BC Podosazeníaúpravěvychází9:0. : ( AY + XZ ) BC = DX AY + XZ. 5