CVIČNÝ TEST 40. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 40 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jsou dána tři kladná, dle velikosti vzestupně seřazená čísla, která tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jejich součet je o 10 větší, než je velikost prostředního z čísel. 2 Určete prostřední z čísel. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dán výraz s proměnnou x R {0; 2} a parametrem a R x 2 : 2 x. x + ax 3x 3.1 Určete všechny hodnoty parametru a, pro který není výraz definován. 3.2 Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby hodnota výrazu byla rovna 1. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Dva kamarádi mají sousedící oplocené pozemky pravoúhelníkových tvarů, přičemž jednu stranu svých pozemků mají stejně dlouhou se společným oplocením. Jeden soused má výměru pozemku o 720 m 2 větší a 152 m dlouhé oplocení. Druhý soused má pozemek čtvercový. 4 Kolik metrů má délka společné strany obou pozemků, je-li výměra obou pozemků maximálně 1500 m 2? 5 Pro kolik přirozených čísel x je výraz 3x 10 2 x definován? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 2 Maturita z matematiky 07

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Těleso vznikne ze sítě zakreslené do mřížky, kterou tvoří čtvercová pole o obsahu 1 dm 2. 6 Kolik litrů čítá objem tělesa? (Výsledek zaokrouhlete na celé litry.) VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC. Bod T je těžiště trojúhelníku ABC, bod S je středem kružnice opsané trojúhelníku ABC a bod O je průsečík výšek (otrocentrum). 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Bod S má stejnou vzdálenost od všech vrcholů trojúhelníku ABC. 7.2 Bod O leží na přímce, v níž leží některá ze stran trojúhelníku ABC. 7.3 Body O, S a T leží na stejné přímce. 7.4 Vzdálenost bodu T od bodu S je větší než bodu T od bodu O. ANO NE Maturita z matematiky 07 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Cukrář má k dispozici 6 různých druhů polev. Vyrobil 4 dortové korpusy dva kokosové, jeden kakaový a jeden piškotový. 2 body 8 Která z možností A E určuje, kolika různými způsoby může cukrář z jednoho korpusu a z jedné polevy vytvořit dort? A) 18 B) 24 C) 4! 6! D) ( 10 4 ) E) 10! VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro x π 4 + kπ; k Z je dán výraz 1 2sin 2 x. sinx + cosx 9 Která z možností A E určuje hodnotu výrazu, je-li cosx sinx = 2? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) body 4 Maturita z matematiky 07

5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dána přímka p: x + ay 4 = 0 a přímka q: (a 5)x 4y + a = 0. max. 4 body 10 Přiřaďte každé z hodnot parametru a ( ) vzájemnou polohu přímek p a q (A F) a = a = a = a = 4 A) Různoběžné kolmé. B) Různoběžné s průsečíkem [0, 2]. C) Různoběžné s průsečíkem [ 7 2, 5 2 ]. D) Různé a rovnoběžné s osou y. E) Různé a rovnoběžné s přímkou 2x + 2y + 3 = 0. F) Totožné. KONEC TESTU Maturita z matematiky 07 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Vypočtěte pro a 1; 3 hodnotu výrazu 4 + a 3 + a 3 ( 2). 1 bod Protože pro a 1; 3 je a 3 0, platí : a 3 = 3 a. 4 + a 3 + a 3 ( 2) = 4 a a = 1 1 = 1 Řešení: 1 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 2 Jsou dána tři kladná, dle velikosti vzestupně seřazená čísla, která tvoří po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Jejich součet je o 10 větší, než je velikost prostředního z čísel. 2 Určete prostřední z čísel. 1 bod Označíme čísla a d, a, a d, kde a je prostřední číslo a d je diference takové aritmetické posloupnosti. Vztah daný zadáním vyjádříme. (a d) + a + (a + d) = a a = a a = 10 a = 5 Prostřední z čísel je 5. Řešení: 5 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 Je dán výraz s proměnnou x R {0; 2} a parametrem a R x 2 : 2 x. x + ax 3x 3.1 Určete všechny hodnoty parametru a, pro který není výraz definován. Výraz pro přípustná x zjednodušíme. x 2 x + ax : 2 x = x 2 3x 3x x (1 + a) 2 x = a Nyní je evidentní, že pro a = 1 není výraz definován. Řešení: a = 1 6 Maturita z matematiky 07

7 3.2 Určete všechny hodnoty parametru a tak, aby hodnota výrazu byla rovna 1. Má-li být hodnota výrazu 1, musí platit: 3 = 1 (1 + a), a a 3 = 1 + a a = 4 Pro a = 4 má výraz hodnotu 1. Řešení: a = 4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 4 Dva kamarádi mají sousedící oplocené pozemky pravoúhelníkových tvarů, přičemž jednu stranu svých pozemků mají stejně dlouhou se společným oplocením. Jeden soused má výměru pozemku o 720 m 2 větší a 152 m dlouhé oplocení. Druhý soused má pozemek čtvercový. 4 Kolik metrů má délka společné strany obou pozemků, je-li výměra obou pozemků maximálně 1500 m 2? Předpokládejme, že obě zahrady mají tvar obdélníka, označme délky rozdílných stran a (větší pozemek) a b (menší pozemek). Protože druhý soused má zahradu čtvercovou, je délka společné strany b. Platí, že: b = ab 2a + 2b = 152 a = 76 b b 2 = (76 b)b 72 2b 2 76b + 72 = 0 b 2 38b = 0 (b 18)(b 20) Zjistili jsme, že b = 18, a = 58 nebo b = 20, a = 56. V prvním případě je výměra obou pozemků (18 m) (58 m) + (18 m) 2 = 1368 m 2, v druhém (20 m) (56 m) + (20 m) 2 = 1520 m 2. Řešením úlohy je tedy první možnost. Řešení: 18 metrů Maturita z matematiky 07 7

8 5 Pro kolik přirozených čísel x je výraz 3x 10 2 x definován? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Výraz je definován pro taková reálná x, která splňují podmínku: 3x 10 0 ^ 2 x 0 2 x x ( ; 2) x (2; 10 3 x 10 3 ; + ) 3x x + 3x x Pro x (2; 10 3 je výraz definován. V této množině leží jen jedno přirozené číslo číslo 3. Řešení: jedno VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Těleso vznikne ze sítě zakreslené do mřížky, kterou tvoří čtvercová pole o obsahu 1 dm 2. 6 Kolik litrů čítá objem tělesa? (Výsledek zaokrouhlete na celé litry.) Jedná se o kolmý pravidelný jehlan s podstavnou hranou a délky 2 dm. Velikost stěnové výšky v s = 3 dm. Z pravoúhlého trojúhelníka s přeponou rovnou délce v s, jehož jednu odvěsnu tvoří výška tělesa v a druhá má délku rovnu polovině délky podstavné hrany a, určíme velikost v. v = v s 2 ( a 2 ) 2 = (3 dm) 2 ( 2 dm 2 ) 2 = (8 dm2 ) = 2 2 dm Objem tělesa spočítáme jako jednu třetinu součinu výšky a obsahu podstavy. V = a2 v = (2 dm)2 (2 2 dm) = 3,77 dm 3 4 l 3 3 Jehlan má objem přibližně 4 l. Řešení: 4 litry 8 Maturita z matematiky 07

9 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC. Bod T je těžiště trojúhelníku ABC, bod S je středem kružnice opsané trojúhelníku ABC a bod O je průsečík výšek (otrocentrum). 7 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Bod S má stejnou vzdálenost od všech vrcholů trojúhelníku ABC. 7.2 Bod O leží na přímce, v níž leží některá ze stran trojúhelníku ABC. 7.3 Body O, S a T leží na stejné přímce. 7.4 Vzdálenost bodu T od bodu S je větší než bodu T od bodu O. ANO NE 7.1 Základní vlastností středu kružnice opsané je, že má od všech vrcholů trojúhelníku (nezávisle na tom, je-li pravoúhlý, či ne) stejnou vzdálenost. Tvrzení je pravdivé. 7.2 V pravoúhlém trojúhelníku splývá bod S se středem přepony, bod O s vrcholem, u něhož je vnitřní úhel pravý. Bod O tedy leží hned na dvou takových přímkách, neboť je krajním bodem odvěsen. Tvrzení je pravdivé. 7.3 Protože bod S je středem přepony a bod O vrcholem ležícím proti přeponě, leží oba body na příslušné těžnici vedené k přeponě. Na těžnici leží i bod T. Všechny body tedy leží na jedné přímce. Tvrzení je pravdivé. 7.4 Pro všechny těžnice v trojúhelníku platí, že těžiště leží ve dvou třetinách těžnice směrem od vrcholu trojúhelníka. Příslušný vrchol (v našem případě bod O) je tedy vzdálenější těžišti (bod T) než střed protější strany (bod S). Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, ANO, ANO, NE Maturita z matematiky 07 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Cukrář má k dispozici 6 různých druhů polev. Vyrobil 4 dortové korpusy dva kokosové, jeden kakaový a jeden piškotový. 2 body 8 Která z možností A E určuje, kolika různými způsoby může cukrář z jednoho korpusu a z jedné polevy vytvořit dort? A) 18 B) 24 C) 4! 6! D) ( 10 4 ) E) 10! Na každý druh korpusu připadá 6 různých polev. Protože druhý korpus kokosový nám skupinu variant kokosových dortů již neobohatí, půjde o 3 krát 6 možných druhů dortů, tj. 18. Správná je možnost A. Řešení: A VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Pro x π 4 + kπ; k Z je dán výraz 1 2sin 2 x. sinx + cosx 9 Která z možností A E určuje hodnotu výrazu, je-li cosx sinx = 2? A) 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) body Výraz pro přípustné hodnoty proměnných zjednodušíme využitím vztahu sin 2 x + cos 2 x = 1. 1 sin 2 x sinx + cosx = sin 2 x + cos 2 x 2sin 2 x = cos 2 x sin 2 x = (cosx sinx) (cosx sinx) = cosx sinx sinx + cosx sinx + cosx sinx + cosx Protože hledáme hodnotu výrazu, víme-li, že cosx sinx = 2, a protože výraz je zjednodušen právě na tento výraz, je hodnota celého výrazu rovna 2. Správně je tedy možnost D. Řešení: D 10 Maturita z matematiky 07

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Je dána přímka p: x + ay 4 = 0 a přímka q: (a 5)x 4y + a = 0. max. 4 body 10 Přiřaďte každé z hodnot parametru a ( ) vzájemnou polohu přímek p a q (A F) a = a = a = a = 4 A) Různoběžné kolmé. B) Různoběžné s průsečíkem [0, 2]. C) Různoběžné s průsečíkem [ 7 2, 5 2 ]. D) Různé a rovnoběžné s osou y. E) Různé a rovnoběžné s přímkou 2x + 2y + 3 = 0. F) Totožné p: x + y 2 = 0 q: 4x 4y 1 = 0 Z rovnice přímky p vyjádříme y a dosadíme do rovnice přímky q. y = 2 x 4x 4(2 x) 1 = 0 9 = 0 Přímky jsou rovnoběžné různé, ale jejich normálové vektory nejsou násobky vektoru (1, 0), který je normálovým vektorem osy y, nýbrž vektoru (2, 2), který je normálovým vektorem přímky 2x + 2y + 3 = 0. Jde o možnost E. Řešení: E 10.2 p: x + 3y 4 = 0 q: 2x 4y + 3 = 0 Z rovnice přímky p vyjádříme x a dosadíme do rovnice přímky q. x = 4 3y 2(4 3y) 4y + 3 = y = 0 y = 5 2 x = 7 2 Jde o různoběžné přímky procházející bodem [ 7 2, 5 2 ]. Jde o možnost C, neboť normálové vektory přímek (1, 3) a ( 2, 4) nejsou ortogonální. Řešení: C 10.3 p: x 5 3 y 4 = 0 q: ( 5 3 5)x 4y = 0 Normálové vektory jsou (1; 5 3 ) a ( 20 3 ; 4), poté, co jsme oba vektory ztrojnásobili a druhý vydělili čtyřmi, mají tvar (3, 5) a ( 5; 3). Jsou viditelně kolmé. Dosazením lze ověřit, že přímka p neprochází body [ 7 2, 5 2 ] a [0; 2], jde o možnost A. Řešení: A Maturita z matematiky 07 11

12 10.4 p: x + 4y 4 = 0 q: x 4y + 4 = 0 Vynásobíme-li rovnici přímky q číslem 1, vznikne rovnice přímky p. Přímky jsou totožné. Jedná se o možnost F. Řešení: F 12 Maturita z matematiky 07

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod a = 1 1 bod 3.2 a = 4 1 bod 4 18 metrů 5 Výraz je definován pro taková reálná x, která splňují podmínku: 3x 10 0 ^ 2 x 0 2 x x ( ; 2) x (2; 10 3 x 10 3 ; + ) 3x x + + 3x 10 2 x Pro x (2; 10 3 je výraz definován. V této množině leží jen jedno přirozené číslo číslo 3. Řešení: jedno 6 4 litry 7 4 podúlohy 2 b. 7.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 7.2 ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 ANO 7.4 NE Maturita z matematiky 07 13

14 8 A 2 body 9 D 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b E 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b C 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b A 10.4 F 14 Maturita z matematiky 07

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 5 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 bod 2 1 bod bod bod podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 07 15

16 8 2 body 9 2 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 07