Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině
|
|
- Jakub Dostál
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Analytická geometrie kvadratických útvarů v rovině V následujícím textu se budeme postupně zabývat kružnicí, elipsou, hyperbolou a parabolou, které souhrnně označujeme jako kuželosečky. Současně budeme studovat vzájemnou polohu těchto kvadratických útvarů s přímkami. Kružnice Kružnice k se středem S = [m; n] a poloměrem r (r > ) je dána rovnicí: (x m) + (y n) = r Tento vztah se dá lehce odvodit ze vzdálenosti dvou bodů v rovině. Má-li kružnice střed v počátku soustavy souřadné Oxy, rovnice se zjednoduší na tvar: x + y = r (neboť S = [; ]) Pozn. Tyto rovnice zveme středové rovnice kružnice. Rovnice kružnice se dá vyjádřit i v tzv. obecném tvaru: x + y + ax + by + c =, kde a, b, c R (a aspoň jedno je nenulové). Leží-li bod X 1 = [x 1 ; y 1 ] uvnitř kružnice k = (S[m; n], r), pak pro jeho souřadnice platí: (x 1 m) + (y 1 n) < r Leží-li bod X = [x ; y ] vně kružnice k = (S[m; n], r), pak pro jeho souřadnice platí: (x m) + (y n) > r Přímku, která má s kružnicí právě jeden společný bod, zveme tečnou kružnice. Každým bodem, který leží vně kružnice, lze vést právě dvě tečny k dané kružnici. Bodem, který leží na kružnici, lze vést právě jednu tečnu ke kružnici, přičemž tento bod je společným bodem tečny a kružnice. Bodem, který leží uvnitř kružnice, nelze vést tečnu ke kružnici. Pro tečnu ke kružnici platí: 1) Kružnice a tečna mají jeden společný bod, zveme jej bod dotyku a značíme T = [x ; y ]. ) Vzdálenost tečny od středu kružnice je rovna poloměru kružnice r. ) Rovnice tečny ke kružnici s bodem dotyku T = [x ; y ] má tvar: x x y y pro kružnici se středem S = [; ] r x m x m y n y n pro kružnici se středem S = [m; n] r Přímku, která má s kružnicí dva společné body, zveme sečnou kružnice. Tyto body nazýváme průsečíky přímky a kružnice. Přímku, která nemá s kružnicí společný bod, zveme nesečnou kružnice.
2 Př. 1. Zjistěte, zda níže uvedená rovnice je rovnicí kružnice. a) x + y + x = Řešení: Tuto obecnou rovnici musíme upravit na středový tvar. x + x + y = K oběma stranám rovnice přičteme 1. x + x y = 1 Nyní použijeme vzorec (x + 1) = x + x + 1. (x + 1) + y = 1 Dostali jsme středový tvar rovnice kružnice se středem S = [ 1; ] a poloměrem r = 1. b) x + y + x y + 15 = Nejdřív si to pěkně seřadíme. x + x + y y = 15 Přičteme, co je třeba, abychom mohli použít vzorec a ab b a b. (x + x + 1) + (y y +,5) = ,5 Pravou stranu sbalíme do čtverců, i když výsledek už je zřejmý. x 1 y 1,5 11, 75 Tato rovnice nemůže být rovnicí kružnice, neboť r = 11, 75 a to nejde. Př.. Napište rovnici kružnice k, která prochází body A = [5; 1], B = [; 6], C = [4; ]. Řešení: Každá kružnice je jednoznačně určena třemi svými body. Ty ovšem nesmí ležet na jedné přímce (pakliže nechceme chápat přímku jako kružnici s nekonečným poloměrem). Nejdříve se tedy musíme přesvědčit, že dané tři body neleží na jedné přímce. Označme přímku p = AB. Její směrový vektor bude vektor u = B A = ( 5; 5). Normálový vektor přímky p pak bude např. vektor n = (1; 1). Dostáváme obecnou rovnici: x + y + c =. Konstantu c získáme po dosazení některého z bodů A, B. Pak c = 6. Obecná rovnice přímky p má tedy tvar: x + y 6 = (viz AG ). Nyní do této rovnice dosadíme souřadnice bodu C. 4 6, tj. bod C neleží na přímce AB a tudíž body A, B, C určují kružnici. OK. Pozn. Tak mě napadá, mohli jsme použít i jednodušší postup, tedy určit vektory B A, C B a ukázat, že nejsou rovnoběžné. No nic, zkuste sami. Mají-li body A, B, C ležet na kružnici k, musí jejich souřadnice vyhovovat obecné rovnici kružnice x + y + ax + by + c =. Tak je tam všechny postupně dosadíme. A = [5; 1] a + b + c = 5a + b + c = 6 B = [; 6] a + 6b + c = 6b + c = 6 C = [4; -] a b + c = 4a b + c =
3 Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: 5a + b + c = 6 6b + c = 6 c = 6 6b Tento výraz dosadíme za c do 1. a. rovnice. 4a b + c = 5a + b 6 6b = 6 4a b 6 6b = 5a 5b = 1 4a 8b = 16 a =, b =, c = 4 Dostáváme dvě rovnice o dvou neznámých, které hravě vyřešíme. Rovnice kružnice v obecném tvaru je x + y y 4 =. Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar (viz př. 1), dostaneme rovnici x + (y 1) = 5. Střed kružnice S má souřadnice [; 1], r = 5. Př.. Určete vzájemnou polohu přímky p a kružnice k. a) p: 4x y = k: x + y = 5. Řešení: Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy jejich rovnic. Postupujeme tak, že z rovnice přímky vyjádříme libovolnou neznámou a dosadíme ji do rovnice kružnice (nelze použít sčítací metodu). 4x y = 4x = y + x y 5 Dosadíme do rovnice kružnice. 4 y 5 4 y 5 9 y y 5 y y y 16 / 16 5y 1y / : 5
4 5y 4y y 5y 4 y 1 = Ze vztahu x y 5 dopočítáme x 1 = y = 5 7 Dopočítáme x =. 5 Přímka p je sečnou kružnice k. Průsečíky P 1, P přímky s kružnicí mají souřadnice P 1 = [5; ], 7 4 P = ; 5 5. b) p: x y + 1 = k: x + y = 5. Postupujeme analogicky. x y +1 = y = x + 1 Dosadíme do rovnice kružnice. x + (x + 1) = 5 x + x + x = x + x = D = Soustava rovnic nemá řešení, přímka p je nesečnou kružnice k. Př. 4. V rovnici 4x y c = určete číslo c tak, aby tato rovnice byla rovnicí tečny ke kružnici x + y =. Řešení: Má-li být přímka tečnou kružnice, musí mít soustava jejich rovnic jediné řešení. Postupujeme stejně jako u příkladu. 4x y c = c y x Dosadíme do rovnice kružnice. c x x A upravujeme. c x 4x cx 4 x 8cx c 8 Toto je kvadratická rovnice o neznámé x R. Vypíšeme si její koeficienty: a ; b 8c; c c 8. D = 8c 4 c 8 64c 8c 8 16c 64 Kvadratická rovnice má jeden kořen právě tehdy, když D =. 16c 64 A jsme opět u kvadratické rovnice, tentokrát s neznámou c R c c Př. 5. Bodem A = [ 1; ] veďte tečnu ke kružnici x + y 4x + y =. Řešení: Nejdříve je třeba se přesvědčit, že bod A neleží uvnitř kružnice. Z takového bodu bychom tečnu ke kružnici sestrojili jen stěží.
5 x + y 4x + y = Obecnou rovnici převedeme na středovou. x 4x + y + y = x 4x y + y +1 = 5 (x ) + (y + 1) = 5 S = [; 1], r = 5 Člověk nemusí být génius, aby pochopil, že bod A rozhodně uvnitř této kružnice neleží. Ale pro klid duše to ještě ověříme. Má-li ležet bod A = [ 1; ] vně kružnice se středem S[; 1] a poloměrem r = 5, pak musí platit: ( 1 ) + ( ( 1)) > 5. A to jistě platí, levá strana rovnice = 15. Podle tvrzení v úvodu pojednání o kružnici bude mít hledaná tečna rovnici: x x y 1 y 1 5, kde bod T[x ; y ] je společným bodem této tečny a dané kružnice (bodem dotyku). Tečna má procházet bodem A, proto souřadnice tohoto bodu musejí vyhovovat rovnici tečny. Tak je tam šoupneme (za x a y). 1 1 y 1 5 y 1 5 x A upravíme. 1 x Nyní z této rovnice vyjádříme například y. 1x 4 y 5 y 4x Jak už zde bylo několikrát vyřčeno, bod dotyku leží na kružnici. Jeho souřadnice tudíž musejí vyhovovat rovnici kružnice. Tak je tam šoupneme a pak hned dosadíme (x ) + (y + 1) = 5 x 4x x 4x 5 To tedy bude humus! x 4x 4 16x x 5 To tedy je humus! x 4x x x 6x 456x x 49x 5 Ani se to nebudu snažit krátit. D y 4x. D Diskriminant musel vyjít kladný, tečny budou logicky dvě x 1, Pro obě souřadnice x dopočítáme y. 6 15
6 ) x y 4 = = ) x y 4 = = 15 Tečny označíme t 1 a t. Aby nás z jejich rovnic rázem neklepla Pepka, vyčíslíme souřadnice bodů dotyku na tři desetinná místa. T 1 = [,141; 1,] T = [1,74;,6] Tečny budou mít tedy tyto rovnice: t 1 : x,141 y 1 1, 1 5 x,141 y 1, 5,141x,8, y, 5,141x,y,5 t : x 1,74 y 1,6 1 5 x,96 y 1,6 5,96x 1,85,6y,6 5,96x,6 y 5,184 Pro názornost přikládám ještě obrázek. Pro potřeby MatMat I bylo nutné vyjádřit rovnice obou přímek ve směrnicovém tvaru (viz AG ).
7 Př. 6. Vypočtěte obsah vybarveného obrazce na obrázku vpravo. Řešení: Toto je další úloha z planimetrie, kterou je výhodné řešit metodami analytické geometrie. Za tímto účelem je nejdřív nutné zavést do obrázku souřadnicový systém. Např. tak, že za počátek kss zvolíme levý dolní roh obrázku. Vybarvený obrazec sestává z jednoho čtverce (o straně a) a čtyř shodných kruhových úsečí. Jeho obsah S tedy spočítáme takto: S = a + 4S ú b Nejdříve určíme stranu čtverce a. Kružnicové oblouky k 1 a k se protínají v bodě [x; ]. Ta druhá souřadnice je z obrázku sice ihned zřejmá, ale my si ji stejně ještě ověříme výpočtem. Určíme-li neznámou x, nebude už pak problém dopočítat stranu čtverce a. k 1 : x 6 y 6 6 k : x 6 y 6 x 6 6 y 6 y y 6 6 Dosadíme do 1. rovnice. y y 1y 6 y = OK, hypotéza potvrzena. Dosadíme. x x 6 7 x 6 Ten leží mimo obrázek. 1 x 6 To je naše x.
8 Je-li 6 x, pak b = 6 1 čtverce o straně a, tedy a čtverce je tedy roven , 6. Přitom b je polovinou úhlopříčky b a b 1. Obsah b. Odtud plyne a mm. Zbývá dořešit obsah kruhových úsečí arc sin r S ú. Poloměr r = 6, zbývá dopočítat příslušný středový úhel φ. Z obrázku sice přímo vyplývá φ =, my si však tento úhel pro jistotu spočítáme. 6 ; ; 6 Úhel spočítáme jako úhel dvou vektorů u a v. u = 6 6; 6 ; v = 6; 6 6 ; u1v1 u v cos = u v Teď už můžeme konečně spočítat obsah čtyř kruhových úsečí. r 4S ú 4 arc sin r sin 169, 9 mm. 6 S = a + 4S ú = 114,5 mm. Obsah vybarveného obrazce je 114,5 mm. =.
9 Elipsa Elipsa je množina všech bodů v rovině, které mají od dvou daných bodů E, F konstantní součet vzdáleností roven a, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy. Zkráceně: Elipsa = {X ; EX + FX = a}; kde symbolem značíme rovinu. Zvláštním případem elipsy je kružnice, pro kterou platí E = F. Body E, F zveme ohniska elipsy. Vzdálenost těchto bodů se značí e; číslo e se zve excentricita neboli výstřednost elipsy. Čím je výstřednost elipsy menší, tím více se tvar elipsy podobá kružnici (pro kružnici platí: e = ). Číslo b je velikost vedlejší poloosy elipsy, střed úsečky EF bod S zveme střed elipsy. Body A,B jsou hlavní vrcholy elipsy, body C,D jsou vedlejší vrcholy elipsy (viz obr.). Pro čísla a, b, e platí vztah: a = b + e. Přitom a b (rovnost nastane u kružnice). Elipsa se středem S = [; ], jejíž hlavní osa je totožná s osou x má rovnici: x y 1 b a kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy elipsy. Tento případ je vyobrazen na obrázku nahoře. Elipsa se středem S = [; ], jejíž hlavní osa je totožná s osou y má rovnici: x y 1 a b kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy elipsy. Tento případ je vyobrazen na obrázku vpravo. Tyto rovnice spolu s následujícími dvěma rovnicemi zveme osové rovnice elipsy.
10 Elipsa se středem S = [m; n], jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x má rovnici: x m y n 1, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy a b elipsy. Elipsa se středem S = [m; n], jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou y má rovnici: x m y n b elipsy. a 1, kde a je velikost hlavní poloosy elipsy, b velikost vedlejší poloosy Př. 7. Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed S = [1; ], ohnisko E = [ 4; ] a velikost vedlejší poloosy b = 4. Řešení: Abychom mohli napsat osovou rovnici elipsy, potřebujeme zjistit velikost hlavní poloosy elipsy a. Tu určíme ze vztahu a = b + e. Velikost vedlejší poloosy b známe, ale jak zjistíme výstřednost elipsy e? Bod S je střed úsečky EF. Všechny tři body S, E, F leží ve stejné výšce (jedná se o elipsu naležato ), proto se vzdálenost bodů SE = e určí velice snadno jako vzdálenost čísel 1 a 4 na číselné ose. Excentricita e = 5. a = b + e a = x 1 y a = 41 Elipsa má rovnici 1. Př. 8. Zjistěte všechny parametry elipsy 9x + 16y + 6x y 9 =. Řešení: Obecnou rovnici musíme upravit na osový tvar. Z obecné rovnice totiž vyčteme úplné prd. Vlastně ještě ani není jasné, jedná-li se skutečně o elipsu nebo o nějaký nesmysl (viz př. 1b). Postupujeme analogicky jako u kružnice v příkladu 1. Nejdřív vše správně seřadíme. 9x + 6x + 16y y = 9 Vytkneme před závorky. 9(x + 4x) + 16(y y) = 9 K oběma stranám přičteme, co je třeba. Použijeme vzorce (a ± b). 9(x + 4x + 4) + 16(y y + 1) = (x + ) + 16(y 1) = 144 Vydělíme číslem 144 a zkrátíme. x y Z osové rovnice elipsy ihned plyne: a = 4, b =, S = [ ; 1], elipsa je naležato. Ze vztahu a = b + e dopočítáme výstřednost e 7. Jelikož hlavní osa elipsy a je rovnoběžná s osou x, budou mít ohniska elipsy E, F stejnou y ovou souřadnici jako střed S. E = [x 1 ; 1], F = [x ; 1].
11 X ové souřadnice ohnisek E, F elipsy určíme snadno, stačí si uvědomit, že obě ohniska mají od středu elipsy S = [ ; 1] vzdálenost rovnu e 7. Ohniska elipsy E = 7; 1, F = 7;1. Problematikou vzájemné polohy přímky a elipsy se až na jeden příklad zabývat nebudeme. Situace je totiž analogická jako v případě přímky a kružnice. Př. 9. Bodem M = [; ] veďte všechny tečny k elipse dané rovnicí 5x + 9y = 45. Řešení: Budeme postupovat stejně jako u příkladu 5 a přitom doufat, že tentokrát se to nijak nezvrhne. V první řadě je třeba se opět přesvědčit, že bod M neleží uvnitř elipsy. Osová rovnice elipsy má tvar: x y Pro všechny body X = [x; y], které neleží uvnitř elipsy, musí platit: x y Do této nerovnice dosadíme souřadnice bodu M Na levé straně dostáváme hodnotu a to je více než 1, takže bod M 5 leží vně elipsy a lze jím vést právě tečny k elipse. Pozn. Kdyby nám levá strana rovnice vyšla rovna 1, bod M by byl bodem elipsy. Příklad by se tak zjednodušil, neboť bod M by byl zároveň i bodem dotyku tečny k elipse. Takto budeme muset bod dotyku nejprve najít. Škoda. Tečna k elipse má rovnici: t: 5xx + 9yy = 45; kde T = [x ; y ] je bodem dotyku přímky s elipsou. Bod M = [; ] t, takže jeho souřadnice musejí vyhovovat rovnici tečny. Dosadíme tedy souřadnice bodu M za x a y do rovnice tečny a získáme rovnici: 5 7y = 45 y = Bod dotyku T leží na elipse, to znamená, že jeho souřadnice musí vyhovovat i rovnici elipsy. Dosadíme je tedy do rovnice elipsy a dostaneme: 5 x x = 45 5 = x = 4 x = ± 5 5 Dostali jsme body dotyku T 1, T ; T 1 = [ ; ], T = [; ]. Jejich souřadnice dosadíme do rovnice tečny a získáme obecné rovnice tečen t 1 a t vedených z bodu M k naší elipse.
12 a) T 1 t 1 : 5 x 9 y x 15y = 45 t 1 : x + y + 9 = 5 b) T t : 5 x 9 y 45 1x 15y = 45 t : x y 9 =
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].
Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)
VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.
Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].
Konzultace č. 6: Rovnice kružnice, poloha přímky a kružnice Literatura: Matematika pro gymnázia: Analytická geometrie, kap. 5.1 a 5. Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ a studijní obory SOU. část, kap. 6.1
X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii
Parametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Michal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky
Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr
ANALYTICKÁ GEOMETRIE HYPERBOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
17 Kuželosečky a přímky
17 Kuželosečky a přímky 17.1 Poznámka: Polára bodu M ke kuželosečce Nechť X = [x 0,y 0 ] je bod. Zavedeme následující úpravy: x x 0 x y y 0 y xy (x 0 y + xy 0 )/ x (x 0 + x)/ y (y 0 + y)/ (x m) (x 0 m)(x
1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem
Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed
Michal Zamboj. December 23, 2016
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj December 3, 06 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které
Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK p: a x b y c 0 q: a x b y c 0 ROVNOBĚŽNÉ PŘÍMKY (RŮZNÉ) nemají žádný společný bod, můžeme určit jejich vzdálenost, jejich odchylka je 0. Normálové
May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková
Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK
M - Analytická geometrie pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE Tento dokument
Analytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
Gymnázium, Brno, Elgartova 3
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma: Analytická geometrie
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod
10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod 10.1. Kružnice opsaná obdélníku ABCD, kde A[2, 3], C[8, 3], má rovnici a) x 2 10x + y 2 + 7 = 0, b) (x 3) 2 + (y 3) 2 = 36, c) x 2 + 10x + y 2 18 = 0, d) (x 10)
Důkazy vybraných geometrických konstrukcí
Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie
Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII
37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK
M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl
M - Příprava na 12. zápočtový test
M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky
Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice
Funkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
7.5.3 Hledání kružnic II
753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou
CVIČNÝ TEST 22. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15
CVIČNÝ TEST 22 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Kontroloři Státní zemědělské a potravinářské inspekce
ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu
Cyklografie. Cyklický průmět bodu
Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie
Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V
ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic
Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních
Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3
3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů
KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
14. přednáška. Přímka
14 přednáška Přímka Začneme vyjádřením přímky v prostoru Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje Přímka v prostoru je určena bodem A= [ a1
Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,
5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu
(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné
Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz
1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině
Matematika I, část I. Rovnici (1) nazýváme vektorovou rovnicí roviny ABC. Rovina ABC prochází bodem A a říkáme, že má zaměření u, v. X=A+r.u+s.
3.4. Výklad Předpokládejme, že v prostoru E 3 jsou dány body A, B, C neležící na jedné přímce. Těmito body prochází jediná rovina, kterou označíme ABC. Určíme vektory u = B - A, v = C - A, které jsou zřejmě
Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.
5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie A 1. Středy stran AC, BC označme postupně, N. Střed kružnice vepsané trojúhelníku KLC označme I. Úvodem poznamenejme, že body K, L
Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,
Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží
Extrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného
Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose
Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně
19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =
Kuželoseč ky. 1.1 Elipsa
Kuželoseč ky 1.1 Elipsa Definice: Elipsa je množina všech bodů v 2, které mají od dvou pevných (různých) bodů v 2, zvaných ohniska (značíme F 1, F 2 ), stálý součet vzdáleností rovný 2a, který je větší
Goniometrické rovnice
Goniometrické rovnice Funkce Existují čtyři goniometrické funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Výraz číslo, ze kterého je daná funkce v obecném tvaru je to x se nazývá argument. Argument může u
Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová
Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....
1.13 Klasifikace kvadrik
5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11
7 Analytická geometrie v rovině
7 Analytická geometrie v rovině Myslím, tedy jsem (René Descartes) 71 Úsečka V kapitole 51 jsme zavedli pojem souřadnice v rovině pro potřeby konstrukce grafů funkcí Pomocí souřadnic lze ovšem popisovat
Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.
1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil
4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr
Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:
753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů
Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,
Funkce pro učební obory
Variace 1 Funkce pro učební obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice
KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06
Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Úloha 1 1. a = s : 45 = 9.10180 45 = 9.101+179 45 = 9.10.10179
1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Analytická geometrie (AG)
Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie
Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R
Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice
Funkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Funkce - pro třídu 1EB
Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému
1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)
Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z
+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Úlohy krajského kola kategorie A
64. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dán trojúhelník ABC s tupým úhlem při vrcholu C. Osa o 1 úsečky AC protíná stranu AB v bodě K, osa o 2 úsečky BC protíná stranu AB
Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost
Kuželosečky Kružnice Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost (poloměr r).?! Co získáme, když v definici výraz stejnou nahradíme stejnou nebo
ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky
Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK
FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos
Variace. Kvadratická funkce
Variace 1 Kvadratická funkce Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Kvadratická funkce Kvadratická
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice
7.5.1 Středová a obecná rovnice kružnice Předpoklady: kružnice, 505, 7103, 730 Pedagogická poznámka: Pro tuto hodinu (a mnoho dalších hodin v kapitole o kuželosečkách) je rozhodující, aby studenti uměli
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ
VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ
O rovnicích s parametry
O rovnicích s parametry 3. kapitola. Kvadratické rovnice In: Jiří Váňa (author): O rovnicích s parametry. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1964. pp. 45 [63]. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/403496 Terms
CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4
19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY
3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ
11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..
1. Přímka a její části
. Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v
JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU
Trendy ve vzdělávání 015 JAK NA HYPERBOLU S GEOGEBROU KRIEG Jaroslav, CZ Resumé Článek ukazuje, jak pomocí GeoGebry snadno řešit úlohy, které vedou na konstrukci hyperboly, případně jak lehce zkonstruovat
Lineární funkce, rovnice a nerovnice
Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je
b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm
b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.
Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,
Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v
Diferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
Parabola a přímka
755 Parabola a přímka Předpoklad: 755, 756, 75, 75, 753 Pedagogická poznámka: Na probrání celého obsahu je třeba tak jeden a půl vučovací hodin Pokud tolik času nemáte, je potřeba buď rchle proběhnout