Teorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
|
|
- Kamila Konečná
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013.
2 Organiza ní záleºitosti P edná²ka se koná v 8 trojhodinových blocích, vºdy v úterý v 16:15 18:50 na Ústavu informatiky AV ƒr, v blízkosti stanice metra Ládví (Pod Vodárenskou v ºí 2, Praha 8, místnost 318). P edb ºn jsou plánovány tyto termíny konání: 12., 19. a 26. b ezna, 16., 23. a 30. dubna a 7. a 14. kv tna. Kurz p edpokládá základní znalost logiky a teorie mnoºin (zhruba v rozsahu kurz katedry logiky FF UK Teorie mnoºin I a Klasická logika I). Doporu ená literatura Adámek J.: Matematické struktury a kategorie. SNTL Goldblatt R.: Topoi: The Categorial Analysis of Logic (kap. 1-3 a 9). Revised edition, North-Holland Lawvere F. W., Rosebrugh R.: Sets for Mathematics. Cambridge University Press Mac Lane S.: Categories for the Working Mathematician (kap. 1-5). Second edition, Springer
3 Obsah 1 P íklady matematických struktur a kategorií Rela ní struktury Uspo ádání a monotonní zobrazení
4 Kapitola 1 P íklady matematických struktur a kategorií Teorii kategorií lze chápat jako abstraktní zobecn ní obecné teorie matematických struktur, zaloºené na pojmu zobrazení p ená²ejícího strukturu, neboli morsmu struktur. K dobrému pochopení pojm teorie kategorií a jejich motivací je proto t eba mít dostate nou zásobu p íklad matematických struktur, morsm mezi nimi a pojm, které lze pomocí morsm charakterizovat. Takovou zásobu vybudujeme v této kapitole. ƒlen ní této kapitoly na struktury rela ní, algebraické a topologické zhruba odpovídá Bourbakiho d lení základních matematických struktur v jeho strukturalistické p edstav architektury matematiky. Zvlá² jsou pojednány struktury, s nimiº se setkáváme v logice a základech matematiky, p estoºe formáln by je bylo moºno p i adit k n kterým z vý²e uvedených typ struktur. 1.1 Rela ní struktury Uspo ádání a monotonní zobrazení Denice Binární relace na mnoºin X je uspo ádáním (angl. order, ordering), je-li na X: reexivní, tj. ( x X)(x x), tranzitivní, tj. ( x, y, z X)(x y & y z x z), a antisymetrická, tj. ( x, y X)(x y & y x x = y). Mnoºinu X uspo ádanou relací zna íme (X, ). Dvojici (X, ) nazýváme uspo ádanou mnoºinou. P íklad P íklady uspo ádání (nap. reálných ísel podle velikosti, p irozených ísel d litelností apod.) jsou v²eobecn známé. D leºitou roli v dal²ím výkladu budou hrát dv nejjednodu²²í uspo ádané mnoºiny, totiº prázdná (s prázdným uspo ádáním) a jednoprvková (s jediným moºným uspo ádáním). Uspo ádaná mnoºina (X, ) je p íkladem matematické struktury. Matematickou strukturou se míní n jaká mnoºina (v tomto p ípad X) s n jakou strukturací (zde uspo ádáním ). Zna ení. Ozna íme-li uspo ádanou mnoºinu (X, ) jako A, tj. A = (X, ), pak její nosnou 3
5 mnoºinu X lze zna it jako A; tj. A = ( A, ). Je-li t eba zd raznit, ºe A je strukturou, a nikoli pouze mnoºinou, je moºno psát ji tu n ; tedy nap. A = (X, ), A = (A, ) i A = (Ȧ, ). Denice Jsou-li (X, ) a (Y, ) dv uspo ádané mnoºiny, pak zobrazení f : X Y (tj. Dom(f) = X a Rng(f) Y ) je monotonní (v i a ), pokud ( x, y X)(x y f(x) f(y)). Monotonní zobrazení jsou práv ta, která zachovávají strukturu, tj. v na²em p ípad zachovávají uspo ádání: kdykoli je dvojice vzor (x, y) X 2 v uspo ádání na X, je i dvojice jejich obraz (f(x), f(y)) Y 2 v uspo ádání na Y. íkáme proto, ºe monotonní zobrazení jsou morsmy uspo ádaných mnoºin. Fakt, ºe f je morsmem mezi uspo ádanými mnoºinami (X, ) a (Y, ), zapisujeme výrazem f : (X, ) (Y, ). Uspo ádanou mnoºinu (X, ) nazýváme doménou a uspo ádanou mnoºinu (Y, ) kodoménou morsmu f : (X, ) (Y, ). Doménu morsmu f zna íme dom f a kodoménu cod f. Poznámka. Pozor, kodoména morsmu f : (X, ) (Y, ) není totéº, co obor hodnot Rng(f) zobrazení f. Zatímco Rng(f) m ºe být vlastní ástí mnoºiny Y, kodoménou je celá uspo ádaná mnoºina (Y, ). Navíc Rng(f) je mnoºinou, kdeºto cod f je strukturou, v tomto p ípad tedy uspo ádanou mnoºinou (Y, ). Kodoména morsmu f : (X, ) (Y, ) není ur ena pouze samotným monotonním zobrazením f : X Y, a musí být specikována spolu s f, aby byl morsmus f : (X, ) (Y, ) ur en. Tytéº poznámky platí i pro doménu dom f, p estoºe její nosná mnoºina X (ale uº nikoli nutn celá struktura (X, )) je zobrazením f : X Y ur ena coby Dom(f). P íklad Zobrazení f : R R takové, ºe f(x) = 0 pro v²echna x R je monotonním zobrazením mezi uspo ádanými mnoºinami (R, ) a (R, ), stejn jako mezi (R, ) a (R, ) i mezi (R, ) a (N, ), kde je obvyklé uspo ádání reálných ísel ( i jeho restrikce na N) a uspo ádání k n mu inverzní. Aby bylo ur eno, o který morsmus uspo ádaných mnoºin jde, je nutno spolu s f specikovat uspo ádané mnoºiny, které jsou jeho doménou a kodoménou, nap.: f : (R, ) (N, ). V d sledku toho je nutno za morsmus uspo ádaných mnoºin nutno povaºovat trojici sestávající z uspo ádané mnoºiny (X, ), která je jeho doménou, dále uspo ádané mnoºiny (Y, ), která je jeho kodoménou, a monotonního zobrazení mezi t mito uspo ádanými mnoºinami. Tento morsmus bychom správn m li zna it jinak neº samotné zobrazení f (nebo, jak jsme vid li v p íkladu , totéº f m ºe být t etí sloºkou r zných morsm ). V praxi v²ak ozna ujeme morsmy uspo ádaných mnoºin asto stejn jako jejich podkladová monotonní zobrazení, a v p ípad pot eby dopl ujeme specikaci jejich domény a kodomény pomocí zápisu f : (X, ) (Y, ). Denice Morsmem mezi uspo ádanými mnoºinami (X, ) a (Y, ) je trojice f = (X, ), (Y, ), f, kde f je zobrazení z X do Y, které je monotonní v i a. Fakt, ºe f je f morsmem mezi (X, ) a (Y, ) zapisujeme výrazem f : (X, ) (Y, ) i (X, ) (Y, ). Je-li f : (X, ) (Y, ), nazýváme uspo ádanou mnoºinu (X, ) doménou f a uspo ádanou mnoºinu (Y, ) kodoménou f. Doménu a kodoménu morsmu f zna íme po ad dom f a cod f. P íklad Následující 3 morsmy budou hrát v dal²ím výkladu d leºitou roli: Identita f(x) = x je morsmem na kaºdé uspo ádané mnoºin A = (X, ); zna íme ji 1 A, pop. 1 (X, ) ; tj. 1 A : A A, resp. 1 (X, ) : (X, ) (X, ). (Pozor: morsmus, který je identickým zobrazením mezi r znými uspo ádanými mnoºinami s týmº nosi em, zde nemíníme a takto neozna ujeme.) 4
6 Prázdné zobrazení je morsmem z prázdné uspo ádané mnoºiny (, ) do libovolné uspo ádané mnoºiny A = (X, ). Budeme jej zna it 0 A : (, ) A. (Jednozna n ur ené) zobrazení z libovolné uspo ádané mnoºiny A do jednoprvkové uspo ádané mnoºiny je morsmus, který budeme zna it! A. Zna ení. Sloºení zobrazení f : X Y a g : Y Z, tj. zobrazení p i azující prvku x X prvek g(f(x)) Z, budeme zna it g f i krátce gf. (Pozor na po adí skládání v tomto zna ení!) Je tedy (gf)(x) = g(f(x)). Nehrozí-li nedorozum ní, závorky asto vynecháváme a místo f(x) pí²eme prost fx (p i skládání tedy gfx). Pozorování Je-li f monotonní zobrazení z (X, 1 ) do (Y, 2 ) a g monotonní zobrazení z (Y, 2 ) do (Z, 3 ), pak g f je monotonním zobrazením z (X, 1 ) do (Z, 3 ). Tento fakt motivuje denici skládání morsm uspo ádaných mnoºin. Pozorování zaru uje, ºe následující denice je korektní, tj. ºe sloºením morsm uspo ádaných mnoºin je op t morsmus. Denice Jsou-li f, g morsmy uspo ádaných mnoºin takové, ºe dom g = cod f (tj. f, g jsou navazující morsmy), pak jejich sloºením je morsmus gf daný sloºením monotonních zobrazení f a g, p i emº dom(gf) = dom f a cod(gf) = cod g. Poznámka. Není-li dom g = cod f, není sloºení morsm gf denováno (p estoºe sloºení monotonních zobrazení g a f mnoºinov teoreticky denováno je nap. m ºe být prázdné). Pozorování Skládání monotonních zobrazení, jakoº i morsm uspo ádaných mno- ºin, je asociativní. Pozorování Pro kaºdý morsmus f : A B uspo ádaných mnoºin platí: f 1 A = f = 1 B f. Pozorování a jsou d sledkem vlastností skládání jakýchkoli mnoºinových zobrazení. Budou tedy platit nejen pro monotonní zobrazení ( i morsmy) mezi uspo ádanými mnoºinami, ale pro jakákoli zobrazení zachovávající n jakou strukturu na mnoºinách, ili pro morsmy mezi jakýmkoli druhem matematických struktur. To motivuje denici kategorie, kterou formáln vyslovíme pozd ji; prozatím vysta íme s následující neformální denicí: Denice Kategorií budeme mínit n jakou t ídu objekt spole n s t ídou prvk zvaných morsmy, p i emº platí: kaºdý morsmus f má jednozna n ur ené objekty zvané doména a kodoména, navazující morsmy lze skládat (a výsledkem je op t morsmus s p íslu²nou doménou a kodoménou danou podle Denice ), skládání morsm je asociativní a ke kaºdému objektu a existuje morsmus zvaný identita na a, který se chová jako neutrální prvek v i skládání s kterýmkoli navazujícím morsmem. Objekty kategorie jsou v typickém p ípad matematické struktury n jakého druhu (nap íklad uspo ádané mnoºiny) a jejími morsmy jsou n jaká zobrazení mezi t mito objekty, která zachovávají jejich strukturu (v na²em p ípad monotonní zobrazení). V takovém p ípad je jediným netriviálním poºadavkem uzav enost tohoto druhu zobrazení na skládání; ostatní poºadavky (asociativita, skládání s identitou) jsou pak obvykle spln ny automaticky (nebo jde o zobrazení). 5
7 P íklad Antitonní zobrazení (tj. taková, ºe f(x) f(y) kdykoli x y) nespl ují podmínky na soubor morsm mezi uspo ádanými mnoºinami (p estoºe v jistém smyslu také p ená²ejí strukturu uspo ádání), nebo nejsou uzav ená na skládání. Uspo ádané mnoºiny s antitonními zobrazeními tedy netvo í kategorii. (Intuice, ºe antitonní zobrazení rovn º p ená²i strukturu uspo ádání, je dána tím, ºe jde o monotonní zobrazení do inverzn uspo ádané mnoºiny.) Poznámka. Mezi antitonní zobrazení navíc ani nepat í identita na více neº jednoprvkových uspo ádaných mnoºinách, nespl ují tedy ani podmínku existence identického morsmu na kaºdém objektu. (Protoºe identické zobrazení strukturu na mnoºin v bec nem ní, m lo by být prvkem jakéhokoli souboru zobrazení zachovávajících strukturu.) Tuto podmínku je v²ak u kategorií, jejichº t ídu morsm tvo í n jaká zobrazení mezi matematickými strukturami, moºno vºdy napravit um lým p idáním v²ech identit k souboru morsm, nebo to ostatní podmínky (zejména uzav enost morsm na skládání) nem ºe po²kodit. Na rozdíl od P íkladu pro antitonní zobrazení, Pozorování naopak zaru uje (spolu s Pozorováními a , která jsou v²ak pro zobrazení automatická), ºe monotonní zobrazení (coby morsmy) mezi uspo ádanými mnoºinami (coby objekty) kategorii tvo í. Tuto kategorii nazýváme kategorií uspo ádaných mnoºin a zna íme Pos (z anglického poset, jeº je zkratkou z partially ordered set.) Poznámka. Název kategorie by správn m l reektovat nejen zvolený soubor objekt, nýbrº i morsm. Správn j²í by tedy bylo nazývat kategorii Pos kategorie uspo ádaných mnoºin a monotonních zobrazení. Je v²ak b ºným zvykem nazývat kategorie p edev²ím podle t ídy objekt (t ebaºe je to nejednozna né) a t ídu morsm v názvu neuvád t. Asociativita skládání navazujících morsm umoº uje vynechávat závorky v zápisech jako h (g f) i (hg)f. Pohodlným zp sobem vyzna ení návaznosti morsm A f B a B g C je kombinace t chto zápis do jednoho diagramu A f B g C. Podobným zp sobem je moºno vyzna ovat domény a kodomény v t²ího po tu morsm, nap.: A f B h g C k D (1.1) ekneme, ºe takovýto diagram komutuje, pokud se v n m libovolné dv cesty, které vedou mezi týmiº objekty a aspo jedna z nich je tvo ena alespo dv ma ²ipkami, skládají na tentýº morsmus. P íklad Diagram (1.1) je komutativním tvercem, práv kdyº g f = k h. Komutativní diagramy jsou tak stru ným grackým zápisem konjunkce ady tvrzení o doménách a kodoménách v n m vyzna ených morsm a o rovnosti sloºených morsm podél jeho cest. (Pozd ji v n m r znými druhy ²ipek a jinými symboly budeme vyzna ovat i n které dal²í druhy tvrzení. Pojem komutativního diagramu lze v teorii kategorií dále precisikovat pomocí pojmu funktoru.) V teorii kategorií hledáme charakterizace vlastností struktur a morsm pomocí ²ipek a jejich skládání, bez odvolávek na prvky t chto struktur. Pokud totiº daný pojem dokáºeme charakterizovat výhradn pomocí pojm z denice kategorie, lze tuto charakterizaci vzít jako denici analogického pojmu v kaºdé kategorii. V ty dokazatelné výhradn pomocí p edpoklad uvedených v denici kategorie pak budou o tomto platit v libovolné kategorii, bez ohledu na to, které konkrétní objekty a morsmy ji tvo í. 6
8 P íklad Identita na A je v kategorii Pos prvkov denována jako zobrazení 1 A, které kaºdému prvku x A p i adí sebe sama: 1 A (x) = x. Lze ji v²ak v Pos charakterizovat také pomocí skládání morsm, jako ten jediný morsmus h: A A takový, ºe pro libovolné objekty B, C a libovolné morsmy f : B A, g : A C platí h f = f a g h = g. 7
Binární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
VíceAplikovaná matematika 1
Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS 2017-18 1 Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
VíceMatematická logika cvi ení 47
Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceMatematický model kamery v afinním prostoru
CENTER FOR MACHINE PERCEPTION CZECH TECHNICAL UNIVERSITY Matematický model kamery v afinním prostoru (Verze 1.0.1) Jan Šochman, Tomáš Pajdla sochmj1@cmp.felk.cvut.cz, pajdla@cmp.felk.cvut.cz CTU CMP 2002
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
Vícee²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody
e²ení systém lineárních rovnic pomocí s ítací, dosazovací a srovnávací metody V praxi se asto setkávame s p ípady, kdy je pot eba e²it více rovnic, takzvaný systém rovnic, obvykle s více jak jednou neznámou.
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
VíceČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ
ČÁST PÁTÁ POZEMKY V KATASTRU NEMOVITOSTÍ Pozemkem se podle 2 písm. a) katastrálního zákona rozumí část zemského povrchu, a to část taková, která je od sousedních částí zemského povrchu (sousedních pozemků)
VíceTeorie her. Klasikace. Pomocný text
Pomocný text Teorie her Milí e²itelé, první ty i úlohy kaºdé série spojuje jisté téma a vám bude poskytnut text, který vás tímto tématem mírn provede a pom ºe vám p i e²ení t chto úloh. Teorie her, jiº
Vícepokud A Rat(M), pak také A Rat(M).
Kone né automaty Pojem automat je historicky spojen s n jakou konstruktivní, algoritmickou procedurou rozhodující n jaký problém, i abstraktn ji e eno, rozhodující o tom, zda n jaký prvek pat í do dané
VíceSeriál: Management projektů 7. rámcového programu
Seriál: Management projektů 7. rámcového programu Část 4 Podpis Konsorciální smlouvy V předchozím čísle seriálu o Managementu projektů 7. rámcového programu pro výzkum, vývoj a demonstrace (7.RP) byl popsán
Vícee²ení 4. série Binární operace
e²ení 4. série Binární operace Úloha 4.1. V Hloup tínské jaderné elektrárn do²lo jednoho dne k úniku radioaktivního zá ení. Obyvatelé byli pro tento p ípad kvalitn vy²koleni v obran proti záke ným ásticím,
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceVzorové e²ení 4. série
Vzorové e²ení 4. série Úloha 4.1 Kouma koupil Œoumovi k Vánoc m Rubikovu kostku. Strana kostky m í 10 cm. Kdyº mu ji v²ak cht l zabalit do váno ního papíru, zjistil, ºe má k dispozici pouze tvercový papír
VíceP íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost
P íklady k prvnímu testu - Pravd podobnost 28. února 204 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu
VíceSeminá e. Ing. Michal Valenta PhD. Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem. 1-13
Seminá e Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem.
VíceNormalizace rela ního schématu
Normalizace rela ního schématu Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy
VíceStatistika pro geografy. Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY
Statistika pro geografy Rozd lení etností DEPARTMENT OF GEOGRAPHY Faculty of Science Palacký University Olomouc t. 17. listopadu 1192/12, 771 46 Olomouc Pojmy etnost = po et prvk se stejnou hodnotou statistického
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
Více1 Data. 2 Výsledky m ení velikostí. Statistika velikostí výtrus. Roman Ma ák
Statistika velikostí výtrus Roman Ma ák 6.2.216 1 Data Velikost výtrus (udávaná obvykle v µm) pat í u hub k významným ur ovacím znak m, mnohdy se dva druhy makromycet li²í dokonce pouze touto veli inou.
VíceKonceptuální modelování
Konceptuální modelování Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS
VíceOBECNĚ ZÁVAZNÁ VYHLÁŠKA
ÚŘAD MĚSTA ČESKÉ BUDĚJOVICE OBECNĚ ZÁVAZNÁ VYHLÁŠKA č. 4/2000 Změněna vyhláškou č. 13/2005 s účinností od 15.12.2005!!! Změněna vyhláškou č. 2/2006 s účinností od 2.5.2006!!! Změněna vyhláškou č. 12/2006
VícePříprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB
Variace 1 Příprava na 1. čtvrtletní písemku pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org
e²ení 1. série Úvodní gulá² autor: Kolektiv org Úloha 1.1. Bubla, Lib nka, Henry a Mat j hráli hru. Protoºe byli ty i, napsali si na tabuli ty i ty ky a jejich úkolem pak bylo vepsat mezi n t i znaménka
VícePreference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty
Preference v u ívání prost edk elektronické komunikace áky a studenty (dotazníkový pr zkum) Zuzana Pustinová Dne ní doba nabízí mnohé mo nosti, jak komunikovat, ani by se ú astníci hovoru nacházeli na
Vícese nazývá charakter grupy G. Dále budeme uvaºovat pouze kone né grupy G. Charaktery tvo í také grupu, s násobením denovaným
Charaktery a Diskrétní Fourierova transforace Nejd leºit j²í kvantový algorite je Diskrétní Fourierova transforace (DFT) D vody jsou dva: DFT je pro kvantové po íta e exponenciáln rychlej²í neº pro po
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Vícee²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a
e²ení 5. série Binární kódy autor: Vlá a Úloha 4.1. Na zah átí si dáme snadn j²í p íklad. Ur it zná² hru Myslím si íslo a to má vlastnost, je to velice podobné. Tedy mám binární lineární kód délky 5, který
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceBOZP - akcepta ní testy
BOZP - akcepta ní testy Kristýna Streitová Zadavatel: Ing. Ji í Chludil 13. prosince 2011 Obsah 1 Úvod 2 1.1 Popis test....................................... 2 2 Testy 3 2.1 ID - 1 P ihlá²ení do systému.............................
VíceTransak ní zpracování I
Transak ní zpracování I Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS
VíceVěc: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce s názvem: VÚ a ŠJ PŠOV, Nákup nového osmimístného vozidla
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA PŠOV PŠOV 1 Podbořany 441 01 Tel. ředit: 415 211 297, Mobil ředit.: 736 633 595, Tel. ústředna: 415 214 615, e - mail: a.sava@seznam.cz, Fax: 415 211529, www.vupsov.cz Věc:
VíceUºivatelská p íru ka Octopus
Uºivatelská p íru ka Octopus Jan Bojko 11. prosince 2014 Abstrakt Uºivatelská p íru ka k aplikaci Octopus. Obsah 1 Úvod 2 2 P ihlá²ení 2 3 Naviga ní menu 2 4 Práce s tabulkou 3 5 Editace 6 5.1 Nový záznam.............................
VíceObsah. Zpracoval Ctirad Novotný pro matmodel.cz.
Obsah 1 Viskoelasticita 2 1.1 Modely viskoelastického materiálu...................... 2 1.1.1 Maxwell v model............................ 4 1.1.2 Kelvin v model............................. 5 1.1.3 Maxwell
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE dle Pravidel, kterými se stanovují podmínky pro poskytování dotace na projekty PRV ČR na období 2007-2013, Opatření IV.1.2 Realizace místní rozvojové strategie Název veřejné zakázky
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
VíceSTANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006
STANOVISKO č. STAN/1/2006 ze dne 8. 2. 2006 Churning Churning je neetická praktika spočívající v nadměrném obchodování na účtu zákazníka obchodníka s cennými papíry. Negativní následek pro zákazníka spočívá
Více11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice
11 Soustavy rovnic a nerovnic, Determinanty a Matice (r zné typy soustav rovnic a nerovnic, matice druhy matic, operace s maticemi, hodnost matice, inverzní matice, Gaussova elimina ní metoda, determinanty
VíceDatabázové a informační systémy
Databázové a informační systémy 1. Teorie normálních forem Pojem normálních forem se používá ve spojitosti s dobře navrženými tabulkami. Správně vytvořené tabulky splňují 4 základní normální formy, které
VíceSTUDNY a jejich právní náležitosti.
STUDNY a jejich právní náležitosti. V současné době je toto téma velmi aktuální, a to na základě mediální kampaně, která však je, jako obvykle, silně poznamenána povrchními znalostmi a řadou nepřesností,
VíceAutorizovaným techniků se uděluje autorizace podle 5 a 6 autorizačního zákona v těchto oborech a specializacích:
Společné stanovisko Ministerstva pro místní rozvoj a České komory autorizovaných inženýrů a techniků činných ve výstavbě k rozsahu oprávnění autorizovaného technika pro výkon vybraných činností ve výstavbě
VícePost ehy a materiály k výuce celku Funkce
Post ehy a materiály k výuce celku Funkce 1) Grafy funkcí Je p edloºeno mnoºství výukových materiál v programu Graph - tvary graf základních i posunutých funkcí, jejich vzájemné polohy, Precizní zápis
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceVíceúčelová sportovní hala Modřice Odpovědi na dotazy k architektonické soutěži
Víceúčelová sportovní hala Modřice Odpovědi na dotazy k architektonické soutěži Dotaz č. 4: V podmínkách je uvedeno, cituji, "Pokud předloží soutěžní návrh jako účastník soutěže více fyzických osob ve
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceKvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz. Algebra Struktury s jednou operací
Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Algebra Struktury s jednou operací Teoretická informatika 2 Proč zavádíme algebru hledáme nástroj pro popis objektů reálného světa (zejména
VíceJevy, nezávislost, Bayesova v ta
Jevy, nezávislost, Bayesova v ta 17. b ezna 2015 Instrukce: Projd te si v²echny p íklady. Kaºdý p íklad se snaºte pochopit. Pak vymyslete a vy- e²te p íklad podobný. Tím se ujistíte, ºe p íkladu rozumíte.
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceVýzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina
VÝCHOVNÝ ÚSTAV A ŠKOLNÍ JÍDELNA NOVÁ ROLE Školní 9, Nová Role, PSČ: 362 25, Tel: 353 851 179 Dodavatel: Výzva pro předložení nabídek k veřejné zakázce malého rozsahu s názvem Výměna lina 1. Zadavatel Výchovný
Víceachovnice XXIV. ro ník BRKOS 2017/2018 e²ení 5. série
e²ení 5. série achovnice Úloha 5.1. Byla zima a nad ²achovnicí se za ínalo stmívat. Na v ºi se tvo ily rampouchy a král s královnou uº vymý²leli strategii pro dal²í den. emík zarºál, coº královi vnuklo
VíceZobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.
7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceUchazečům o veřejnou zakázku
MĚSTO KOPŘIVNICE MĚSTSKÝ ÚŘAD KOPŘIVNICE Oddělení soukromoprávní VÁŠ DOPIS ZN.: ZE DNE: Č. J.: SPIS. ZN.: VYŘIZUJE / ÚTVAR: Mgr. Irena Hanáková/OSP TELEFON: 556 879 749 E-MAIL: Irena.hanakova@koprivnice.cz
VíceOdůvodnění veřejné zakázky. Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby
Odůvodnění veřejné zakázky Veřejná zakázka Přemístění odbavení cestujících do nového terminálu Jana Kašpara výběr generálního dodavatele stavby Zadavatel: Právní forma: Sídlem: IČ / DIČ: zastoupen: EAST
VíceMěsto Jílové Mírové nám. 280
Město Jílové Mírové nám. 280 Odbor správy majetku a životního prostředí 407 01 Jílové Výzva k podání nabídky Poř. č. výzvy 1/2013 na plnění veřejné zakázky malého rozsahu na službu s názvem: Lesní práce
VícePŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ. Strana
PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ Strana Vyhledávání textu - přidržte klávesu Ctrl, kurzor umístěte na příslušný řádek a klikněte levým tlačítkem myši. 1. Právní předpisy upravující přijímací řízení ke studiu ve střední
VíceObec Nová Ves. Zm na. 1, kterou se m ní Územní plán Nová Ves
Obec Nová Ves. j.: V Nové Vsi dne Zm na. 1, kterou se m ní Územní plán Nová Ves Zastupitelstvo obce Nová Ves, p íslu né podle ustanovení 6 odst. 5 písm. c) zákona. 183/2006 Sb., o územním plánování a stavebním
VíceZADÁVACÍ DOKUMENTACE
ZADÁVACÍ DOKUMENTACE veřejné zakázky malého rozsahu DODÁVKA TRANSPORTNÍCH VENTILÁTORŮ zadávané mimo režim zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů (dále jen ZVZ ) Zadavatel:
VíceVÝZVA. Česká republika-ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy (dále jen zadavatel) se sídlem Karmelitská 7, 118 12 Praha 1, IČ 00022985.
VÝZVA k podání nabídky na veřejnou zakázku malého rozsahu na službu dle 12 odst. 3 a 18 odst. 3 zákona č. 137/2006 Sb., o veřejných zakázkách, ve znění pozdějších předpisů (dále jen zákon ), Směrnice MŠMT,
VíceStátní maturita 2010 Maturitní generálka 2010 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD10C0T01 e²ené p íklady
Státní maturita 00 Maturitní generálka 00 Matematika: didaktický test - základní úrove obtíºnosti MAGZD0C0T0 e²ené p íklady Autor e²ení: Jitka Vachtová 6. b ezna 0 http://www.vachtova.cz/ Obsah Úloha Úloha.
Víceízení Tvorba kritéria 2. prosince 2014
ízení. prosince 014 Spousta lidí má pocit, ºe by m la n co ídit. A n kdy to bývá pravda. Kdyº uº nás my²lenky na ízení napadají, m li bychom si poloºit následující t i otázky: ídit? Obrovskou zku²eností
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VíceVYKAZOVÁNÍ VÝSLEDKŮ VÝZKUMU A VÝVOJE
VYKAZOVÁNÍ VÝSLEDKŮ VÝZKUMU A VÝVOJE I. Úvodní informace Vedení fakulty upozorňuje akademické pracovníky a doktorandy na následující skutečnosti: V souvislosti s probíhající reformou výzkumu a vývoje v
VíceI. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb
I. Objemové tíhy, vlastní tíha a užitná zatížení pozemních staveb 1 VŠEOBECNĚ ČSN EN 1991-1-1 poskytuje pokyny pro stanovení objemové tíhy stavebních a skladovaných materiálů nebo výrobků, pro vlastní
VíceMETODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA
METODIKA PRO NÁVRH TEPELNÉHO ČERPADLA SYSTÉMU VZDUCH-VODA Získávání tepla ze vzduchu Tepelná čerpadla odebírající teplo ze vzduchu jsou označovaná jako vzduch-voda" případně vzduch-vzduch". Teplo obsažené
Vícee²ení 1. série Úvodní gulá²
e²ení. série Úvodní gulá² Úloha.. Gulá²gvhevmnjdfs!!, ozvalo se uº o n co hlasit ji hladové monstrum dychtící po Lib n in specialit. Henry! Ví² moc dob e, ºe ti nedám, dokud neuhodne², na co myslím! Malinko
VíceMateřská škola, základní škola a střední škola pro sluchově postižené 757 01 Valašské Meziříčí, Vsetínská 454
Mateřská škola, základní škola a střední škola pro sluchově postižené 757 01 Valašské Meziříčí, Vsetínská 454 Výzva pro předložení nabídek Zadavatel Mateřská škola, základní škola a střední škola pro sluchově
VíceOtevřené zadávací řízení na služby Bruntál
Zadavatel: Česká republika Ministerstvo zemědělství, Pozemkový úřad Bruntál Sídlem: Partyzánská 7, 792 01 Bruntál Evidenční číslo VZ: 60053859 Zastoupený: Ing. Václavem Stráníkem, ředitelem Pozemkového
VíceC) Pojem a znaky - nositelem územní samosprávy jsou územní samosprávné celky, kterými jsou v ČR
Správní právo dálkové studium VIII. Územní samospráva A) Historický vývoj na území ČR - po roce 1918 při vzniku ČSR zpočátku převzala předchozí uspořádání rakousko uherské - samosprávu představovaly obce,
VícePrezentace. Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009
Prezentace Ing. Petr V elák 6. b ezna 2009 1 OBSAH OBSAH Obsah 1 Úvodní slovo 3 2 P íprava prezentace 4 2.1 Jak prezentace ned lat........................ 4 2.1.1 Kontrast písma a pozadí...................
VícePosilování sociálního dialogu v místním a regionálním správním sektoru. Diskusní dokument
EPSU/CEMR seminář 11. prosince 2008, Bratislava 1) Co je sociální dialog? Je důležité vysvětlit, co znamená sociální dialog, protože tento termín se obvykle nepoužívá ve všech evropských zemích pro popis
VíceOdpovědnost správy sítě je vidět, že cíle popř. V koordinaci s klienty - jsou definovány a upřesněny v průběhu procesu.
ROZDÍLY V CÍLECH O co jde základy Pro úspěšné sítě jsou předpokladem jasné a jednoznačné cíle. Pouze z definice cílů vzniká možnost formy spolupráce, sdílení úloh, nebo např. věcné působnosti jednotlivých
VíceOvoce do škol Příručka pro žadatele
Ve smečkách 33, 110 00 Praha 1 tel.: 222 871 556 fax: 296 326 111 e-mail: info@szif.cz Ovoce do škol Příručka pro žadatele OBSAH 1. Základní informace 2. Schválení pro dodávání produktů 3. Stanovení limitu
VíceŘešení: Dejme tomu, že pan Alois to vezme popořadě od jara do zimy. Pro výběr fotky z jara má Alois dvanáct možností. Tady není co počítat.
KOMBINATORIKA ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Příklad 1 Pan Alois dostal od vedení NP Šumava za úkol vytvořit propagační poster se čtyřmi fotografiemi Šumavského národního parku, každou z jiného ročního období (viz obrázek).
VíceZ klady fuzzy modelov n Vil m Nov k Kniha seznamuje ten e se z klady fuzzy logiky a fuzzy regulace. Srozumitelnou formou s minim ln mi n roky na p edchoz matematick znalosti jsou vysv tleny z klady teorie
VíceČeská republika Ministerstvo práce a sociálních věcí Na Poříčním právu 1, 128 01 Praha 2. vyzývá
Česká republika Ministerstvo práce a sociálních věcí Na Poříčním právu 1, 128 01 Praha 2 v zájmu zajištění potřeb Ministerstva práce a sociálních věcí (dále jen MPSV) a v souladu s ustanovením 6 zákona
VíceMETODICKÝ POKYN NÁRODNÍHO ORGÁNU
Ministerstvo pro místní rozvoj METODICKÝ POKYN NÁRODNÍHO ORGÁNU Program přeshraniční spolupráce Cíl 3 Česká republika Svobodný stát Bavorsko 2007-2013 MP číslo: 2/Příručka pro české žadatele, 5. vydání
VíceObec Nová Ves I. Výzva k podání nabídky
Obec Nová Ves I Václavské náměstí 22, 280 02 Kolín --------------------------------------------------------------------------- Věc: Výběrové řízení Výzva k podání nabídky na zakázku malého rozsahu "OPRAVA
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Vícea m1 a m2 a mn zobrazení. Operaci násobení u matic budeme definovat jiným způsobem.
1 Matice Definice 1 Matice A typu (m, n) je zobrazení z kartézského součinu {1, 2,,m} {1, 2,,n} do množiny R Matici A obvykle zapisujeme takto: a 1n a 21 a 22 a 2n A =, a m1 a m2 a mn kde a ij R jsou její
VíceSoft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace
Soft Computing (SFC) 2014/2015 Demonstrace u ení sít RCE, Java aplikace Franti²ek N mec (xnemec61) xnemec61@stud.t.vutbr.cz 1 Úvod Úkolem tohoto projektu bylo vytvo it aplikaci, která bude demonstrovat
VíceUkázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz
Ukázka knihy z internetového knihkupectví www.kosmas.cz Mgr. Jitka Hůsková, Mgr. Petra Kašná OŠETŘOVATELSTVÍ OŠETŘOVATELSKÉ POSTUPY PRO ZDRAVOTNICKÉ ASISTENTY Pracovní sešit II/2. díl Recenze: Mgr. Taťána
Více