V p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :

Transkript

1 Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku a objemu lynu je konstantní : Nebo ro dva stavy lynu, očáteční a koncový : - diagramu je tento roces znázorněn hyerbolou sojující body obou stavů lynu, je to tzv. izoterma : Další informace o ději získáme rozborem.věty termodynamické a veličin v ní vystuujících. Při izotermickém ději se mění objem (nař. ři izotermické exanzi se zvětšuje), lyn tedy koná ráci. Podle úvah v minulé kaitole by řitom měla klesat kinetická energie molekul (řeměňuje se na ráci), měla by klesat i vnitřní energie lynu. Z odmínky o konstantní telotě ovšem lyne, že ři tomto ději se vnitřní energie lynu nemění : U 3 konst Diferenciál konstantní veličiny je samozřejmě nulový : a odle.věty termodynamiky musí latit : o znamená, že možný úbytek vnitřní energie ři ráci lynu je ihned (a během rocesu růběžně) dolňován dodávanou energií teelnou. Lze říci, že tak vlastně robíhá dokonalá řeměna teelné energie na ráci. Důležitou otázkou je ovšem realizace takového rocesu, ři kterém je do lynu dodáváno telo, aniž dochází ke zvýšení jeho teloty.

2 dnešní době si lze ředstavit automatizovaný, očítačem řízený systém jakýsi termostat, který by omocí telotních senzorů uvnitř lynu hlídal jeho telotu tak, že kdyby v důsledku exanze a ráce lynu začala telota klesat (tj. objevila by se neatrná diferenciální odchylka od ožadované hodnoty), zanulo by se ihned nějaké ohřívací těleso a do lynu by byla dodávána teelná energie, dokud by se telota nezvýšila Jak si však oradili vědci minulosti bez těchto moderních omůcek? Princiiálně stejný účinek jako elektronická regulace bude mít dokonalý teelný styk (bez ztrát, s nekonečně velikou teelnou vodivostí) sledovaného lynu se zdrojem teelné energie o konstantní telotě rovné ožadované telotě (tzv. ohřívač, teelný rezervoár). Účinek ohřívače lze dobře ochoit v souvislosti s dříve uvedeným oisem vratného děje jako sledu (skoro)rovnovážných stavů : ři změně takového stavu dojde k (nekonečně) malé změně stavových veličin zde k diferenciálnímu oklesu teloty lynu z ůvodní teloty, a roto z ohřívače bude řecházet telo do neatrně chladnějšího lynu, až se oět teloty vyrovnají a nastane další (skoro)rovnovážný stav se stejnou telotou a oněkud odle stavové rovnice odlišným tlakem a objemem. Děj samozřejmě okračuje dále : rotože lyn stále racuje, telota oět neatrně klesá, teelná energie řechází do lynu a telota se oět vyrovnává atd. takovém usořádání se tak ři ráci lynu automaticky dolňuje telo z teelného rezervoáru, aby nahradilo vykonanou ráci, a roto telota a vnitřní energie lynu zůstávají konstantní. říadě izotermické komrese, kdy se objem lynu zmenšuje, rotože je ístem v racovním válci stlačován, je rinci stabilizace teloty stejný, ouze telo a ráce mají oačná znaménka, a tedy oačný směr řechodu : ráce lynu je záorná konají ji vnější síly a tím by měla růst kinetická energie lynu, a tedy i vnitřní energie. by se tak nestalo, musí nyní teelná energie z lynu odcházet do okolí lyn tedy musí mít oět dokonalý teelný styk s teelným jímačem teloty, který bude odebírat telo (tzv. chladič). K teelnému toku do chladiče dochází nyní ři diferenciálním zvýšení teloty lynu jako důsledku ráce sil okolí a výsledkem je oět stabilizace teloty a vnitřní energie lynu.

3 Poznámka: eoreticky jsou chladič i ohřívač v rinciu stejné velké teelné rezervoáry, tj. relativně velká tělesa s velkým obsahem vnitřní energie, aby říjem či výdej tela nezůsobil změnu jejich teloty. echnické rovedení chladiče i ohřívače bude ovšem odlišné. yočítejme nyní konkrétně omocí.věty ráci vykonanou lynem a řijaté telo ři izotermickém ději z očátečního stavu (,, ) do konečného stavu (,, ) : Q Protože nedochází ke změně teloty, nelze oužít běžné vztahy ro telo dodané látce ři ohřevu, ale můžeme oužít vztah ro ráci : Q d Dosadíme za tlak ze stavové rovnice : dostaneme : Q d d ln můžeme zasat jednodušeji : d ln o Q ln ráce a telo ři izotermickém ději Při izotermické exanzi bude konečný objem větší, a tedy vykonaná ráce i řijaté telo jsou kladné : Q izotermická exanze Při izotermické komresi je tomu naoak : Q izotermická komrese 3

4 ) Děj izochorický ( = ) Za ředokladu konstantního objemu se nyní stavová rovnice ro dané množství lynu změní na Gay- Lussacův zákon o rozínavosti lynu : Nebo ro dva stavy lynu, očáteční a koncový : - diagramu je tento děj znázorněn římkou sojující body obou stavů, rovnoběžnou s osou tlaků je to tzv. izochora. Podmínku realizace tohoto děje konstantní objem lynu jednoduše zajistí evný neměnný objem nádoby, ve které je lyn umístěn. Konstantní objem lynu ovšem znamená jeho nulový řírůstek (diferenciál), a tedy znemožní ráci lynu : d Podle.věty ak latí : o znamená, že veškerá dodaná teelná energie se římo mění na řírůstek vnitřní energie, ohřev lynu je za těchto odmínek nejefektivnější, tj. na zvýšení teloty o jednotkový telotní rozdíl ( K) se sotřebuje 4

5 nejmenší množství tela. Jinak řečeno, molární teelná kaacita má nejmenší možnou hodnotu, a jestliže s její omocí vyjádříme dodané telo : d Dostaneme tím nový, dobře oužitelný vztah ro řírůstek (změnu) vnitřní energie, který se rovná tomuto telu : d změna vnitřní energie Jestliže ak tento výraz orovnáme se vztahem dříve odvozeným ro ideální lyn : 3 d Dostaneme konkrétní velikost ro molární teelnou kaacitu ři konstantním objemu : 3 ato hodnota latí ouze za odmínky latnosti dříve uvedeného Maxwellova rozdělení ro ideální jednoatomový lyn, kdy lze zanedbat řísěvek energie rotačního ohybu molekuly. Pro běžné dvouatomové molekuly (kyslík, dusík, vodík, ) ak latí : 5 složitější molekuly ak mají teelnou kaacitu ještě vyšší. Kdybychom chtěli vyočítat dodané telo a zvýšení vnitřní energie lynu ři nějakém izochorickém ději z očátečního stavu (,, ) do konečného stavu (,, ), rovedli bychom integraci tj. součet diferenciálních veličin : Q U d elkové dodané telo by se samozřejmě řevedlo na celkové zvýšení vnitřní energie, bez vykonání jakékoliv ráce. 3) Děj izobarický ( = ) Za ředokladu konstantního tlaku se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na Gay- Lussacův zákon o roztažnosti lynu : 5

6 Nebo ro dva stavy lynu, očáteční a koncový : - diagramu je tento děj oět znázorněn římkou sojující body obou stavů, rovnoběžnou s osou je to tzv. izobara. Podmínku realizace tohoto děje konstantní tlak lynu je možno zajistit oužitím válce s ístem, na který bychom zvenku (vnější síly) ůsobily konstantní silou (svislý íst by mohlo nař. zvenku zatěžovat závaží zvolené hmotnosti). likujeme dále na izobarický děj.větu termodynamiky, jejíž žádný člen nyní nebude nulový : Dodávaná teelná energie se tedy sotřebuje nejen na zvýšení vnitřní energie, ale i na konání ráce lynem - ohřev lynu je méně efektivní než za konstantního objemu, tj. na zvýšení teloty o jednotkový telotní rozdíl se sotřebuje větší množství tela, tedy molární teelná kaacita je větší : d Dosaďme tento výraz do.věty solu se známými vztahy ro ráci lynu a zvýšení vnitřní energie : d d d 6

7 K úravě druhého členu na ravé straně oužijeme stavovou rovnici : kterou diferencujeme, tj. vyočítáme diferenciál (řírůstek) ravé i levé strany : d d Dostaneme tak : d d d d Porovnáním obou stran tak vznikne vztah ro molární teelnou kaacitu ři konstantním tlaku : Mayerův vztah Pro jednoatomový lyn tedy bude latit : 5 3 ro dvouatomové molekuly : 7 5 Pro výočet dodaného tela, vykonané ráce a změny vnitřní energie ři nějakém izobarickém ději ze stavu (,, ) do stavu (,, ) bychom, jako v ředcházejících dějích, rovedli integraci elementárních veličin : d Q d U d současně ro ráci musí latit (využijeme stavovou rovnici) : d d 7

8 Stejný vztah bychom také dostali odle.věty odečtením rvních dvou výrazů ro telo a změnu vnitřní energie, nebo římým dosazením ze stavové rovnice do ředchozího výrazu ro ráci. Zatím jsme rozkoumali tři významné termodynamické děje a jsou to vlastně všechny možnosti, kdy může být jedna ze tří stavových veličin význačná konstantní. e dvou říadech jsme ak dostali zvláštní tvary.věty, ouze se dvěma členy ři izotermickém ději byl nulový řírůstek vnitřní energie a ři izochorickém ději byla nulová vykonaná ráce. Může nás tedy naadnout, že by mohla existovat možnost - nulového dodaného tela a takový termodynamický děj se ukázal být velmi důležitým. 4) Děj adiabatický ímto ojmem označujeme termodynamický děj, ři kterém není lynu dodávaná žádná teelná energie a samozřejmě žádné telo ani není odebíráno obecně říkáme, že je nulová výměna tela termodynamické soustavy s okolím. oho lze dosáhnout dokonalou teelnou izolací stěn, které obkloují lyn - jejich teelná vodivost tedy musí být nulová. (Povšimněte si, že to je rávě oačná odmínka, než byla u izotermického děje, kdy jsme ožadovali dokonalou teelnou rostunost stěn.).věta termodynamická má tedy v říadě adiabatického děje také jednoduchý tvar : Plyn nyní koná ráci ouze na úkor vnitřní energie, a můžeme roto tuto ráci jednoduše vyjádřit ouze omocí telotní změny lynu : d elková ráce vykonaná lynem ři nějakém adiabatickém ději z očátečního stavu (,, ) do konečného stavu (,, ) ak bude integrálem těchto elementárních rací : d 8

9 ýsledek této integrace je samozřejmě jednoduchý : ráce ři adiabatickém ději Při konání kladné ráce lynem, tj. zvětšování objemu, se jeho telota snižuje, tj. vnitřní energie klesá : adiabatická exanze ráce sil okolí ak zahřívá lyn, tedy zvyšuje jeho vnitřní energii : adiabatická komrese Při adiabatickém ději není zřejmě konstantní žádná ze stavových veličin mění se obecně tlak, telota i objem lynu a ři jejich výočtech tedy musíme oužívat obecný tvar stavové rovnice : Na dalších řádcích si však ukážeme, jak lze z této rovnice vyloučit libovolnou roměnnou a dostat zjednodušený tvar stavové rovnice vhodný ro dvourozměrné grafy, nař. ro - diagram. Naišme znovu.větu : d za ráci oužijme standardní výraz : d d Za telotu na ravé straně dosaďme ze stavové rovnice : vyočítejme její diferenciál (jako funkce dvou roměnných a ) : d d( ) d d Po vynásobení a řevedení na levou stranu máme : d d d Použijeme-li Mayerův vztah : ak dostáváme : 9

10 d d ovnici vydělíme molární kaacitou ři konstantním objemu a součinem. : d d Zavedeme ještě novou veličinu : Poissonova konstanta rozdělíme členy na obě strany : d d znikl tak seciální tvar diferenciální rovnice o dvou roměnných, které jsou searovány, tj. odděleny, každá na jedné straně rovnice. K vyřešení této rovnice stačí rovést její integraci omocí určitého integrálu v mezích od očátečního stavu lynu (,, ) do konečného stavu (,, ) : d d Primitivní funkce na obou stranách jsou stejného druhu : ln ln Dostaneme tedy : ln ln ln ln Po roznásobení a oužití znalostí o logaritmech : ln ln ln ln a o řevedení členů : ln ln ln ln a o sdružení logaritmů: ] ln [ ] ln [

11 ovnost logaritmů znamená ovšem také rovnost funkcí : nebo obecněji - neboť očáteční i koncový stav byly libovolné : Poissonova rovnice Dostali jsme tak obecnou rovnici adiabaty. Protože Poissonova konstanta je větší než, je křivka adiabaty v - diagramu strmější než izoterma. Dosazením ze stavové rovnice lze získat další varianty rovnice adiabaty ro jiné dvě roměnné : Poznámka: diabatickému ději se bude také blížit rychle robíhající děj v teelně neizolované termodynamické soustavě (lynu), rotože telo nestačí řecházet do lynu. Čím je tedy roces rychlejší, tím více se řibližuje adiabatickému ději (ale tím více se odchyluje od kvazistacionárnosti, tedy také od vratnosti a od latnosti stavové rovnice) (konec kaitoly) K. usňák, verze /5