Dodatkové příklady k předmětu Termika a Molekulová Fyzika. Dr. Petr Jizba. II. princip termodamický a jeho aplikace

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dodatkové příklady k předmětu Termika a Molekulová Fyzika. Dr. Petr Jizba. II. princip termodamický a jeho aplikace"

Lenka Musilová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Dodatkové říklady k ředmětu Termika a Molekulová Fyika Dr Petr Jiba II rinci termodamický a jeho alikace Pfaffovy formy a exaktní diferenciály Příklad 1: Určete která následujících 1-forem je exaktním direnciálem: b) c) d) e) 3x + 2)y dx + xx + 1) dy y tan x dx + x tan y dy y 2 ln x + 1) dx + 2xy ln x dy y 2 ln x + 1) dy + 2xy ln x dx x x 2 + y 2 dy y x 2 + y 2 dx Příklad 2: Dokažte že 1-forma ω 2 x 2 dy y 2 + xy) dx není exaktní diferenciál) ale dg xy 2 ) 1 ω 2 již je Příklad 3: Příklad 4: cyklická relace ro arciální derivace) Dokažte že mei libovolnými třemi ávislými roměnnými x y latí vtah:dokažte že 1-forma ω 2 y1 + x x 2 ) dx + xx + 1) dy není exaktním diferenciálem Naleněte diferenciální rovnici kterou funkce gx) musí slňovat aby dφ gx)ω 2 byl exaktním diferenciálem Presvěčte se že gx) e x je řešením této rovnice a určete tvar funkce φx y) ) y x ) x y ) x y 1 Předchoí rovnost latí vždy když není některá derivací nulová Hint: M uže se vám hodit fakt že ) x y řiadě že vtah oužijete dokažte jej ) 1 y x Příklad 5: Jedna možných stavových rovnic ro neideální lyn Dietericiho rovnice) má tvar R ex α ) R

2 kde α je konstanta a R je lynová konstanta Sočtěte výray ) ) ) a ukažte že jejich součin je oravdu 1 Příklad 6: Dokažte že ) Termodynamické otenciály a Maxwellovy vtahy S ) S a ) O srávnosti výsledku se také řesvěčte oužitím Maxwellova magického čtverce Příklad 7a: S oužitím Maxwellových vtah u dokažte že 2 ) F 2 ) G C 2 C 2 Zde F je Helmholtova volná energie a G je Gibbsova volná energie Gibbs uv otenciál) Příklad 7b: S oužitím Maxwellových vtah u dokažte že ) ) F/) G/) U 2 a H 2 Zde U je vnitřní energie F je Helmholtova volná energie H je entalie a G je Gibbsova volná energie Příklad 8: Pro jistý termodynamický systém se exerimentálně jistilo že jeho Gibbsova volná energie má následující funkční ávislost latí ro 1 mol): [ ] α G ) R ln R) 5/2 α a R jsou konstanty) Dokažte že C 5 2 R Hint: M uže se vám hodit fakt že S ) G Termodynamika nechemických systém u + an der Waals uv lyn Příklad 9: an der Waals uv lyn je osán stavovou rovnicí ro 1 mol) R b a 2

3 kde a a b jsou konstanty limitě limita ideálního lynu) má vnitřní energie U tvar U C lus neodstatná konstanta) Naleněte exlicitní tvar ro U ) Hint: M uže se vám hodit relace: ) Příklad 10: Dokažte že ro an der Waals uv lyn C neávisí na Jakou odmínku musí slňovat aby tento výsledek latil i v jiných chemických systémech? Hint: M uže se vám hodit relace a fakt že výra ) ) C U má být roven nule ) Příklad 11: Určete obecněný Mayer uv vtah ro 1 mol Wan der Waalsova lynu Hint: M uže se vám hodit vtah odvoený na cvičení [ ) ] ) U C C + a cyklická relace ro arciální derivace vi říklad 4) ) ) Příklad 12: Určete druhý a třetí viriálový koeficient ro Wan der Waals uv lyn Příklad 13: Termodynamika klasického aramagnetického systému je dána stavovými roměnnými M vektor magnetiace) H vektor intenity magnetického ole) a Stavová rovnice je dána Curieovým ákonem ři telotách K a malých H ) M C H kde C je Curieova konstanta Předokládejte že vnitřní energie U M H a infinitesimální měna ráce kterou systém vykoná na svém okolí ři infiniteimální měně dh je δw M dh následujících výraech dolňte chybějící informace δq? ) dm +? ) dh ds? ) dm +? ) dh SM H)? Příklad 14: Pro magnetické materiály magnetika) le I rinci termodynamický formulovat ve tvaru ds du H dm ro jednoduchost neuvažujeme říadnou mechanickou ráci) Zde H je vektor intenity magnetického ole a M je vektor magnetiace Dokažte že ) ) Mi S H i H H k k i

4 Hint: K odvoení se vám m uže hodit magnetický termodynamický otenciál: Ψ U S H M Příklad 15: Uvažujte ředchoí říklad a ředokládejte že jak M tak i H mají oue -tovou složku nenulovou takovém říadě H dm HdM kde M M a H H Pro secifický ty magnetické soli se exerimentálně jistila následující ávislost MH ) M 0 [1 ex α H )] α je materiálová konstanta) Dokažte že výší-li se iotermicky H H 0 0 do H 1 H 1 je takové ole ři němž M dosáhne hodnoty 3 4 M 0) otom se entroie soli sníží o hodnotu M 0 3 ln 4) 4α Příklad 16: Uvažujte oět aramagnetikum kde M a H mají oue nenulové -tové složky Dokažte že ro teelnou kaacitu C H ři konstantním H a ro teelnou kaacitu C M ři konstantním M latí: C M M C H M + [ H M ] ) M H Použijte dále I ákon termodynamický; dsm ) dum ) HM )dm a odmínku integrability ro entroii solu s Curieovým ákonem a ukažte že M 0 Tato relace je římočarou analogií obdobného tvrení ro ideální lyn tj U neávisí na ) Použijte tyto výsledky k tomu aby jste dokáali obecněný Mayer uv vtah C H C M CH2 2 M 2 C C je Curieova constanta) šimněte si že řadu výsledk u které jsme obdrželi ro chemické systemy le v magnetikách často ískat formální áměnou H a M Příklad 17: Diskutujte ředchoí výsledky ro dielektrika tj určete C E C P Pro dielektrika I rinci termodynamický má tvar: ds du EdP E je intenita el ole a P je olariace) Stavová rovnice Curie uv ákon) má tvar: P CE/ C je Curieova konstanta) Příklad 18: Z exerimentu je námo že jestliže je ryžový roužek adiabaticky natažen jeho telota se výší Jestliže se ryžový roužek natáhne iotermicky výší se jeho entroie sníži a nebo ustane neměněná? b) Jestliže se ryžový roužek natáhne adiabaticky výší se jeho vnitřní energie sníži a nebo ustane neměněná? Pokuste se interretovat ískaná chování Hint: M uže se vám hodit že ro ryž latí δw kxdx okud natahováni je ve směru osy x konstanta k se naýva koeficient elasticity) Příadné Maxwellovy relace se dají odvodit analogickým usobem jako v chemických systémech

5 III rinci termodamický a jeho alikace Příklad 19: Dokažte že koeficient iobarické rotažnosti β a koeficient iochorické roínavosti γ jsou rovny nule ři 0 Diskutujte tyto výsledky Hint: Pro β se se vám mohou hodit vtahy latné ro 1 mol) C a Maxwell uv vtah ) Podobně ro γ C se vám mohou hodit vtahy latné ro 1 mol) a Maxwell uv vtah ) Příklad 20: Dokažte že Curieho ákon ro magnetika nelatí ři 0 Hint: C tvrdí že ro homogenní iotroní magnetika je suscetibilita χ C/ C je Curieho constanta) Dokážte nař že χ/) B 0 0

Podobné dokumenty

Dodatkové příklady k předmětu Termika a Molekulová Fyzika. Dr. Petr Jizba. II. princip termodamický a jeho aplikace

Dodatkové příklady k předmětu Termika a Molekulová Fyzika. Dr. Petr Jizba. II. princip termodamický a jeho aplikace Dodatkové říklady k ředmětu Termika a Molekulová Fyika Dr Petr Jiba II rinci termodamický a jeho alikace Pfaffovy formy a exaktní diferenciály Příklad 1: Určete která následujících 1-forem je exaktním