1.5.2 Mechanická práce II

Transkript

1 .5. Mechanická ráce II Předoklady: 50 Př. : Jakou minimální ráci vykonáš ři řemístění bedny o hmotnosti 50 k o odlaze o vzdálenost 5 m. Příklad sočítej dvakrát, jednou zanedbej třecí sílu mezi bednou a odlahou, odruhé očítej s koeficientem tření f = 0,5. m = 50k s = 5m f = 0,5 W =? W =? Použijeme klasický vzorec ro ráci W = s. V rvním říadě (ři zanedbání třecí síly) je síla nutná k řemístění bedny nulová (když není tření, stačí na řemístění libovolně malá síla). Ve druhém říadě, musíme ůsobit silou, která je stejně velká jako třecí síla, která brání v řesunu krabice. a) W = s = 0 5J = 0 J b) W = s dosadíme: = t = Nf = mf W = s = mfs W = s = mfs = ,5 5J = 50 J Pokud bychom zanedbali ůsobení třecí síly, k řesunutí krabice by nebylo nutné vykonat žádnou ráci. Pokud budeme třecí sílu uvažovat, k řesunutí krabice by bylo třeba vykonat ráci 50 J. Pedaoická oznámka: Značná část studentů se v bodě a) nedokáže smířit s tím, že by za sílu dosazovala nulu a tak za sílu dosadí většinou kolmou tlakovou sílu od odložky. Tato chyba je dobrým odrazovým můstkem k následující diskusi. Prvním čím se tuto chybu snažím vyvracet je orovnání výsledků obou bodů, kde ři šatném ostuu vychází v bodě a) větší ráce než v bodě b), což je zjevný nesmysl. Ještě se zastavíme u ředchozího říkladu. Na bednu neůsobí ouze naše síla, kterou ji řesunujeme, ůsobí na ni i další tři síly: ravitační, síla odložky a tření. Konají i tyto síly ři osunování bedny ráci? Platí ro ně vzorec W = s? Gravitační síla a síla odložky ráci zřejmě nekonají. Působí i na rovnoměrně se kutálející kuličku, ři jejímž ohybu se ráce nekoná. Třecí síla ráci zřejmě koná. Kdyby bedna už jela, tření by ji zastavilo, čímž by změnilo stav krabice a vykonalo by ráci. Tento druh ráce se trochu liší od ráce, kterou vykonává člověk ři osunutí bedny. Člověk se snažil změnu (řesun bedny) uskutečnit, zatímco tření změně brání. Ani ro jednu ze zmiňovaných sil vzorec W = s nelatí něco jsme zaomněli. Zatím jsme nijak nezohlednili fakt, že síla i osunutí jsou veličiny vektorové. Kromě velikosti mají i směr dolníme vzorec o úhel α (nebo jeho funkci), který oba vektory svírají (úhel oisuje vzájemnou olohu směrů dvou vektorů). Jakou z oniometrických funkcí oužijeme? cosα, rotože ro α = 90 (síla je kolmá na osunutí) se ráce nekoná (a latí cos90 = 0 ).

2 Mechanickou ráci koná těleso ři řesunu jiného tělesa o dráze s za ůsobení síly. Její velikost vyjadřuje vztah W = s cosα, kde α je úhel, který svírá síla se směrem osunutí. Pokud je ůsobící síla rovnoběžná se směrem osunutí, latí cosα = a člen cosα můžeme ve vzorci vynechat. Př. : Při řemístění bedny do vzdálenosti 30 m jsi vykonal ráci 00 J. Jakou silou jsi musel těleso tahat, jestliže síla, kterou jsi bednu táhl: a) měla směr osunutí tělesa, b) svírala s osunutím tělesa úhel o velikosti α = 30? s = 3m W = 00 J α = 0 α = 30 =? =? V obou říadech stačí vyjádřit ze vzorce sílu a dosadit do vzniklého vztahu. W = s cosα W = s cos α W 00 a) = N 70 N s cosα = 30 cos 0 = W 00 b) = N 80,8 N s cosα = 30 cos30 = Při řesouvání bedny jsme museli tahat silou 70 N (v říadě síly rovnoběžné se směrem osunutí) nebo 8 N (v říadě síly svírající s osunutím úhel α = 30 ). Př. 3: Letí na Tebe míč a Ty ho chytíš. Jaké je znaménko ráce, kterou konal během chytání míč? Jaké je znaménko ráce, kterou jsi konal Ty? Během chytání se míč ohybuje ještě směrem k nám. Míč ůsobí silou směrem k nám (ve směru svého ohybu) ráce konaná míčem je kladná. My ůsobíme na míč směrem od nás (roti ohybu míče) ráce konaná námi je záorná.

3 Př. 4: Stěhovák tlačí o vodorovné rovině bednu. Na bednu ůsobí tyto síly: stěhovák silou r ve směru ohybu, třecí síla t roti směru ohybu, ravitační síla svisle dolů a tlaková síla od odložky svisle nahoru. Jaké je znaménko ráce, kterou koná každá z těchto sil? r směr osunutí t 90 W = s cosα K vyřešení říkladu oužijeme obrázek. Práce se očítá omocí vzorce znaménko ráce tedy závisí na velikosti úhlu α. a) Síla rukou r síla ůsobí ve směru ohybu bedny α = 0 cosα = ráce konaná stěhovákem má kladné znaménko (je to rozumné, stěhovák zůsobuje ohyb, změnu a koná tedy kladnou ráci). b) Třecí síla t síla ůsobí roti směru ohybu bedny α = 80 cosα = ráce konaná třecí silou má záorné znaménko (je to rozumné, třecí síla se snaží zabránit změně, a tedy koná záornou ráci). c) Gravitační síla síla ůsobí kolmo na směr ohybu bedny α = 90 cosα = 0 ráce konaná ravitační silou je nulová. d) Síla odložky síla ůsobí kolmo na směr ohybu bedny α = 90 cosα = 0 ráce konaná silou odložky je nulová. W = s cosα není nejideálnějším vzorcem ro výočet ráce. Na Dodatek: Ani vzorec vysokoškolské úrovni se oužívá vzorec W = s, který omocí skalárního násobení (nám zatím neznámá oerace s vektory) umožňuje určit vykonanou ráci římo ze složek obou vektorů. Všechny vzorce, které jsme odvodili, jsou jenom důsledky vlastností této matematické oerace. Př. 5: Vozík s nákladem o celkové hmotnosti 50 k je třeba zvednout do výšky m. Urči ráci, kterou řitom vykonáme okud: a) vozík zvedneme kolmo vzhůru, b) vozík vyvezeme o nakloněné rovině o úhlu 0 a tření zanedbáme, c) vozík vyvezeme o nakloněné rovině o úhlu 0 a budeme uvažovat koeficient tření f = 0, 05. Ve všech bodech očekávej, že ůsobíme silou ve směru osunutí. a) vozík zvedneme kolmo vzhůru 3

4 Směr síly je rovnoběžný se směrem osunutí. W = s = h = mh = 50 0 J = 3000 J m b) vozík vyvezeme o nakloněné rovině o úhlu 0 a tření zanedbáme r d m = = = m = 50 0 sin 0 N = 53 N r Směr síly je rovnoběžný se směrem osunutí. W = s Síla, kterou musíme táhnout vozík nahoru, musí vyrovnat rovnoběžnou složku ravitační síly. h h Táhneme vozík o celé délce nakloněné roviny: = d = = m = 5,85 m d sin 0 W = s = 53 5,85J = 3000 J h Obecně: W = s = m = mh = 50 0 J = 3000 J c) vozík vyvezeme o nakloněné rovině o úhlu 0 a budeme uvažovat koeficient tření f = 0,05. r t d m = + = + f = m + m cosα f = r t k Směr síly je rovnoběžný se směrem osunutí. W = s Síla, kterou musíme táhnout vozík nahoru, musí vyrovnat rovnoběžnou složku ravitační síly a tření. = 50 0 sin cos 0 0,05 N = 584 N h h Táhneme vozík o celé délce nakloněné roviny: = d = = m = 5,85 m d sin 0 W = s = 584 5,85J = 343J h h h W = s = ( m + m cosα f ) = m + m cosα f = Obecně: cosα f = mh + mh = mh( + f cotα ) = 50 0 ( + 0,05cot 0 ) J = 34J 4

5 Pedaoická oznámka: Je takřka neuvěřitelné, jaké rocento žáků se v bodech b) a c) vůbec nezamyslí nad zadáním úlohy, choí se nabídnutého úhlu a tuě dosadí do vztahu W = s cosα. Kvůli tomu, je tento říklad velmi důležitý. Jeho druhou výhodou je nutnost ostuného výočtu, kdy si žáci naíšou vztah W = s, a ak zvlášť řeší velikosti síly a dráhy. Př. 6: Zoakuj ředchozí výočty obecně ro hmotnost m, výšku h, úhel α a koeficient tření f. Závisí ráce, kterou vykonáme ři zanedbání tření, na úhlu nakloněné roviny? Závisí ráce, kterou vykonáme, na úhlu nakloněné roviny, když tření uvažujeme? Obecný vztah jsme získali už ři řešení ředchozího říkladu. h cosα f W = s = ( m + m cosα f ) = mh + mh = mh( + f cotα ) Vztah oisuje všechny řešené říady: zvedáme kolmo vzhůru ( α = 90 ) cotα = 0 ( cot 90 ) ( 0) W = mh + f = mh + = mh, zvedáme o nakloněné rovině, tření zanedbáváme ( f = 0 ) ( cotα ) ( 0 cotα ) W = mh + f = mh + = mh nezáleží na úhlu nakloněné roviny, ráce, kterou vykonáme, je stejná, jako když vozík zvedneme svisle vzhůru, zvedáme o nakloněné rovině, tření uvažujeme W = mh + f cotα záleží na úhlu nakloněné roviny, ráce, kterou vykonáme, ( ) je tím větší, čím menší je úhel nakloněné roviny. Shrnutí: Pokud směr ůsobící síly není rovnoběžný se směrem osunutí, musíme ři výočtu ráce zohlednit úhel, který solu tyto směry svírají - W = s cosα. 5