Laplaceova transformace.
|
|
- Oldřich Dvořák
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lalaceova transformace - studijní text ro cvičení v ředmětu Matematika -. Studijní materiál byl řiraven racovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za odory grantu IG ČVUT č a v rámci rozvojového rojektu MŠMT. Obsah. Definice a základní vzorce. Zětná Lalaceova transformace, ředmět k racionální funkci 3. Lalaceova transformace imulsu 4. Zětná transformace obrazu imulsu 5. Obraz eriodické funkce 6. Řešení lineárních diferenciálních rovnic Lalaceova transformace.. Definice a základní vzorce Při řešení lineárních diferenciálních rovnic a jejich soustav s konstantními koeficienty můžeme oužít integrální transformace, které nahrazují oerace derivování a integrování násobením či dělením a vlastní řešení diferenciální rovnice je řevedeno na řešení soustavy lineárních rovnic. Jedna z nejčastěji oužívaných integrálních transformací je tzv. Lalaceova transformace. Přiomeneme nejrve definici a základní vlastnosti Lalaceovy trasformace, které ři řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav oužíváme. Definice Lalaceovy transformace. Je-li funkce f : 0, ) R, ak její Lalaceovou transformací rozumíme funkci F (), která je definována vztahem F () = 0 f(t)e t dt, kde je komlexní číslo. O funkci f(t) mluvíme jako o ředmětu, funkci F () nazýváme obrazem. Přiřazení f(t) F () nazýváme římou Lalaceovou transformací a budeme ji značit symbolem L {f(t)} = F (). Inverzní transformaci F () f(t) nazýváme zětnou Lalaceovou trasformací a budeme ji označovat symbolem f(t) = L {F ()}. Vztah mezi ředmětem a obrazem budeme někdy stručněji zaisovat omocí symbolu f(t) F () či F () f(t). Poznamenejme, že roměnná je sice komlexní, ale ři výočtu běžných obrazů očítáme odle stejných ravidel jaká jsme oužívali ři integrování a derivování reálných funkcí reálné roměnné. Při očítání obrazů můžeme ředokládat, že je reálná kladná roměnná. Uvedeme základní vlastnosti římé a zětné Lalaceovy transformace, které využíváme ři řešení diferenciálních rovnic.
2 Přehled základních vzorců: Linearita transformací. n n n L { a i f i (t)} = a i L {f i (t)}, L { a i F i ()} = i= i= i= Základní vztahy transformace. Označme L {f(t)} = F (). n a i L {F i ()}. i= Předmět Obraz f(t) F () f(t)e at F ( a) f(at) a F ( ) a f (t) F () f(0+) f (t) F () f(0+) f (0+) f (n) (t) n F () [ n f(0+) + n f (0+) f (n ) (0+) tf(t) F () t n f(t) ( ) n F (n) () t f(t) F (q)dq t 0 f(z)dz F () Obraz konvoluce. Konvolucí funkcí f(t) a g(t) nazýváme funkci (f g)(t) = (g f)(t) = t 0 f(t u)g(u) du = a označíme-li L {f(t)} = F () a L {g(t)} = G(), ak t 0 f(u)g(t u) du L {(f g)(t)} = L {(g f)(t)} = F ()G(). Tabulka některých obrazů. Předmět Obraz Předmět Obraz ω sin ωt t +ω +ω cos (ωt) t ω sinh ωt 3 t n n!, n N cosh ωt n+ e at a te at ( a) t sin ωt ω ω ω ( +ω ) ω ( +ω ) t cos ωt t e at e at ω sin (ωt) ( a) 3 ( a) +ω t n e at, n N n! ( a) n+ e at cos (ωt) ω ( a) +ω Řešené úlohy na římou Lalaceovu transformaci. Pomocí základních vztahů transformace a s využitím uvedených obrazů některých funkcí určete obraz F () k ředmětu f(t).
3 . f(t) = + 3te t 4t e 3t F () = + 3 (+) 4. (+3) 3 Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a =, a = 3 a vzorce, t, t 3.. f(t) = 3 sin t 5 cos t F () = = Použijeme linearitu a vzorce sin t, cos t f(t) = 3t sin t F () = Použijeme linearitu transformace a vzorce t, sin t f(t) = t + 3e t + cos t F () = Použijeme linearitu a vzorce t n n!, e t n+ +, cos t f(t) = 4e t + e 3t + sin t F () = Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a =, a = 3 a vzorce, sin t f(t) = (t + 5)e t + 3 cos t sin 3t F () = (+) Použijeme linearitu, vztah e t f(t) F ( + ) a vzorce, t, cos t sin 3t f(t) = t(sin t + 4 cos t) F () = ( ) = ( +4) Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorce sin t, cos t f(t) = (t + ) cos 3t F () = ( +9 ) + +9 = 9 + ( +9) +9 = ( +9) Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorec cos 3t , 9. f(t) = (3t + t )e t + (t + ) sin t ( ) F () = 6 + (+) 3 (+) = 6 + (+) 3 (+) ( +4) +4 Použijeme linearitu, vztahy e t f(t) F ( + ), tf(t) F () a vzorce, t, t 3, sin t f(t) = te 3t + (t 5) cos 3t F () = (+3) ( +9 ) 5 +9 = (+3) + 9 ( +9) 5 +9
4 Použijeme linearitu, vztahy e 3t f(t) F ( + 3), tf(t) F () a vzorce t, cos 3t +9.. f(t) = 3 sin 3t cos t Je f(t) = 3 (sin 4t + sin t), tedy ( ) F () = = Použijeme linearitu a vzorce sin 4t 4, sin t f(t) = e 3t cos 5t F () = (+3) (+3) +5 = Použijeme vztah e 3t f(t) F ( + 3) a vzorec cos 5t 3. f(t) = e t (3 cos 3t 4 sin 3t) F () = 3(+) (+) (+) +9 = Použijeme linearitu, vztah e t f(t) F ( + ) a vzorce cos 3t 4. f(t) = te 3t e t sin 3t + 4 F () = (+3) 6 (+) , sin 3t Použijeme linearitu, vzorce t, sin 3t 3 +9, a vztah f(t)e at F ( a), a =, a = f(t) = t sin 4t + (3te t ) F () = ( 4 +6 ) + 3 (+) lim t 0+ (3te t ) = ( +6) (+) Použijeme linearitu, vztahy tf(t) F (), f (t) (F () f(0+)) a vzorce sin 4t 4 +6, te t. (+) 6. f(t) = e 3t ( sin 3t) + t 0 e3u cos 3udu F () = +3 6 (+3) ( 3) +9 Použijeme linearitu, vztahy f(t)e at F ( a), a = 3, a = 3 a t 0 f(u)du F () a vzorce 3, sin 3t, cos 3t f(t) = tsinh t cos 3t + 5 ( ) Je f(t) = tsinh t cos 6t + 5, tedy F () = = ( 4) +36. Použijeme linearitu, vztah tf(t) F () a vzorce sinh t 4, a cos 3t f(t) = 4t sin t cos t + (e t cosh t 4) Je sin t cos t = sin t a cosh t = + cosh t, tudíž f(t) = t sin t + (e t + e t cosh t 4). Odtud lyne F () = ( +4 ) + ( + ( ) ( ) 4 4 ) lim t 0+ (et + e t cosh t 4) =
5 8 ( +4) + + ( ) 4. Použijeme linearitu, vztahy tf(t) F (), f (t) F () f(0+), e t f(t) F ( ) a vzorce sin t, cosh t +4 4,. 9. f(t) = e 3t cos (t + π ) + sin 3(t π) Je cos (t + π ) = cos t cos π sin t sin π = sin t a sin 3(t π) = sin 3t cos 3π + cos 3t sin 3π = sin 3t. Je f(t) = e 3t sin t sin 3t tedy F () = (+3) Použijeme linearitu, vztah e 3t f(t) F ( + 3) a vzorce sin ωt 0. f(t) = 5. t 4t3 t ω +ω, ω = 3, ω =. Je f(t) = 5e t ln 4te t ln 3, tudíž F () = 5 +ln 4 ( ln 3). Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a = ln, a = ln 3 a vzorce, t.. f(t) = t 0 ( + 4eu sinh 3u)du (3 t tsinh 5t) ( ) [ ( ) Je F () = ( ) 9 ln lim 5 t 0+ (3t tsinh 5t) = + ( 8) ln 3 0. ( 5) Použijeme linearitu, vztahy t 0 f(u)du F (), eat f(t) F ( a), a =, a = ln 3, f (t) F () f(0+), tf(t) F () a vzorce, sinh ωt ω, ω = 3, ω = 5. ω. f(t) = 6 sin t sinh 3t 4t 3 cos t cosh t Je f(t) = 3 sin t(e 3t e 3t ) 4t 3 cos t(e t + e t ), tedy 3 F () = ( 3) (+3) + 4 3! 4 ( ) + + (+) + = Použijeme linearitu, vztah e at f(t) F ( a), a = 3, a = 3, a, a = a vzorce t 3 3!, sin t, cos t f(t) = (e t sinh t + t 3 e t 6) + 3 t 0 (u4 u cos u) du [ Je F () = ( ) + 3! 6 ( ) ( ) 4 6 = +4 + lim t 0+ (et sinh t + t 3 e t 6) ( ) (4 ) ( +4). [ ( ) 4! Použijeme linearitu, vztahy f (t) (F () f(0+)), t 0 f(u)du F (), tf(t) F (), e at f(t) F ( a), a =, a = a vzorce t 3 6, t 4 4!, sinh t, cos t f(t) = 3 4 t 0 sinh (t u) cos udu ( ) F () = 3 4 = ( )( +) Použijeme linearitu, větu o obrazu konvoluce (f g)(t) F ()G() a vzorce, sinh t, cos t +. = +4.
6 5. f(t) = t 0 eu t (t u) sin 3u du Je f(t) = t 0 e (t u) (t u) sin 3u du = te t sin 3t a tedy F () = 3 (+) +9, když oužijeme vztah ro obraz konvoluce na funkce te t te t, sin 3t 3 (+) +9. a sin 3t a vzorce Neřešené úlohy na římou Lalaceovu transformaci. K dané funkci f(t) nalezněte obraz F (). f(t) F (). f(t) = 3t 5t + [F () = f(t) = e t 3e t + 5e t [F () = f(t) = te t + t e 3t [F () = (+) + (+3) 3 4. f(t) = 6te t + e t + t 3 e 4t [F () = 6 (+) + (+) + 6 (+4) 4 5. f(t) = sin t 3 cos t [F () = f(t) = 3 sin t + 4 cos t [F () = f(t) = 8t e t + 3 sin t [F () = (+) f(t) = t sin t [F () = 4 ( +4) 9. f(t) = t cos 5t [F () = 5 ( +5) 0. f(t) = e 3t sin t [F () = f(t) = e t cos t [F () = f(t) = (3t )e t [F () = (+) 3. f(t) = (3 + t) cos t [F () = ( +) 4. f(t) = ( t) sin 5t [F () = ( +5) 5. f(t) = te 3t sin t [F () = 4( 3) ( 6+3) 6. f(t) = (t 3)e t cos 4t [F () = ( +4+0) 7. f(t) = ( t)e 3t sin t [F () = 0+ ( 6+0) 8. f(t) = t sin t [F () = 6 ( +4) 3 9. f(t) = t cos 3t [F () = 3 54 ( +9) 3 0. f(t) = 4 sin 3t + te 3t cos t [F () = 7. f(t) = sin 3t cosh t cos 3t sinh t [F () =. f(t) = + e 3t cos t cos 3t [F () = + ( +36) ( ( 6+3) ) ( f(t) = (e t sinh t + t 4 e t cosh 3t) [F () = ( ) 5 ( 4. f(t) = (3 t sin t sinh t + 4) [F () = ( 5. f(t) = t 0 (4 6u cos 3u + 8 sin u cos u)du [F () = ) ) + ln ( (36 ) + 6 ( +36) f(t) = 4e t + 3e 3t + 5 sin t [F () = f(t) = ( + 3t)e t + 4 cos t sin t [F () = 3 ) (+) ( ) f(t) = sin t sin 3t [F () = 9. f(t) = ta t, a > 0 [F () =, a t = e t ln a ( ln ( a) ) 30. f(t) = 3 cos t [F () = ) 7
7 3. f(t) = 4 cos t cos 3t [F () = 4( +3) ( +)( +5) 3. f(t) = 6 sin 3t cos t [F () = 8( +8) ( +6)( +4) 40 ( +9)( +5) 33. f(t) = 5 sin 4t sin t [F () = 34. f(t) = 4e t sin 3t 7 [F () = (+)( +4+40) 35. f(t) = 3e t cos t [F () = 3( +3+7) (+)( ++7). Zětná Lalaceova transformace, ředmět k racionální funkci. Hledáme funkci f(t), ro kterou je F () f(t), (tedy L {f(t)} = F ()) a F () je racionální funkce. Poznamenejme, že z vlastností Lalaceovy transformace vylývá, že ve funkci F () je stueň čitatele alesoň o jednu menší než stueň jmenovatale. Pois algoritmu. Funkci F () rozložíme na součet arciálních zlomků a k jednotlivým sčítancům najdeme ředměty omocí vztahů a vzorců, které jsme uvedli v rvním odstavci. Zde se omezíme na nejjednodušší říady. Budeme uvažovat, že jmenovatel funkce F () má komlexní kořeny násobnosti nejvýše. Pro reálné kořeny není třeba nějaké omezení uvažovat. V rozkladu racionální funkce dostaneme jako jeho členy zlomky těchto tvarů: A a ro reálný jednoduchý kořen = a. A ( a) ro dvojnásobný reálný kořen = a. A ( a) n ro reálný kořen = a násobnosti n, n. A+B +ω ro ryze imaginarní dvojici jednoduchých kořenů = ±jω. A+B ( a) +ω ro dvojici jednoduchých komlexních kořenů = a ± jω, a 0. A+B [ +ω ro ryze imaginarní dvojici dvojnásobných kořenů = ±jω. A+B ro dvojici dvojnásobných komlexních kořenů = a ± jω, a 0. [( a) +ω Uvedeme základní vzorce, které budeme ři výočtu ředmětu oužívat. Přehled vzorců Je a R, b > 0 a ω > 0. F (). a. ( a) f(t) e at te at 3. ( a) 3 t e at 4. ( a), n N n (n )! tn e at 5. sin ωt +ω ω +ω ( a) +ω ( a) +ω cos ωt ( +ω ) ( +ω ) ω [( a) +ω [( a) +ω b b ω eat sin ωt e at (cos ωt + a ω sin ωt) (sin ωt ωt cos ωt) ω 3 t sin ωt ω 3 e at (sin ωt ωt cos ωt) e at (ω t sin ωt + a sin ωt aωt cos ωt) ω 3 b sinh bt cosh bt
8 Řešené úlohy na zětnou Lalaceovu transformaci. Určete ředmět f(t) k funkci F ().. F () = Rovnice = 0 má dva reálné kořeny = 3 a =. Je tedy F () = = A +3 + B +. Rovnici vynásobíme jmenovatelem a ro neurčité koeficienty A a B dostaneme rovnici + 3 = A( + ) + B( + 3). Dosadíme hodnoty kořenů = 3 a = a dostaneme: = 3 : 3 = A A = 3 ; = : = B B =. Je tedy F () = f(t) = 3 e 3t + e t, t 0. +, a tudíž Použijeme linearitu zětné transformace a vztah a eat ro a = a a = 3.. F () = Rovnice = 0 má kořeny = 0, = a 3 = 5 a tudíž je F () = (+)(+5) = A + B + + C +5 Rovnici vynásobíme jmenovatelem a ro neurčité koeficienty dostaneme rovnici: = A( + )( + 5) + B( + 5) + C( + ). Do rovnice ostuně dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = 0 : 4 = 7A A = 4 7 ; = : 4 = 6B B = 3 ; = 5 : 6 = 5C C = 6 5. Je tedy F () = a tudíž je f(t) = e t e 5t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztah a eat ro a = 0, a = a a = F () = 3 +5 (+)(+3) Jmenovatel má jednoduchý kořen = a dvojnásobný kořen = 3. Pro funkci F () dostaneme rozklad ve tvaru 3 +5 (+)(+3) = A + + B (+3) + C +3 Po vynásobení jmenovatelem dostaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) = A( + 3) + B( + ) + C( + )( + 3). Dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = : 8 = 4A A = ; = 3 : 3 = B B = 6. Hodnotu C určíme dosazením některé jiné hodnoty do rovnice ( ) a nebo orovnáním koeficientů u některé mocniny roměnné. Přiomeňme, že volíme nejvyšší nebo nejnižší mocniny. Ty obvykle mají jednodušší vyjádření. Zvolíme mocninu a dostaneme odmínku:
9 : 3 = A + C C = 3 A = 3 =. Je tedy F () = + 6 (+3) + +3 a tudíž f(t) = e t + e 3t ( 6t), t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy a eat ro a =, a = 3 a te 3t. (+3) 4. F () = Je = 4 a tudíž f(t) = 4 cos 4t sin 4t, t 0. 4 Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy sin 4t +6 cos 4t F () = 7 (+6)( +4) Pro funkci F () dostaneme rozklad na zlomky ve tvaru 7 (+6)( +4) = A +6 + B+C +4. Po vynásobnení jmenovatelem získáme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) 7 = A( + 4) + (B + C)( + 6). Po dosazení hodnoty = 6 do rovnice ( ) dostaneme = 6 : 9 = 40A A = Zbývající koeficienty určíme oět orovnáním vhodné mocniny roměnné v rovnici ( ). Postuně získáme: : 0 = A + B B = A = 9 40 ; 0 : 7 = 4A + 6C C = ( ) = Je tedy F () = 9 a tudíž f(t) = 9 40 e 6t cos t 0 sin t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy +6 e 6t a sin t, +4 cos t F () = Rovnice = 0 má komlexní kořeny. Lze tedy jmenovatele uravit na tvar = = ( + ) + 9 a tedy = 4(+) (+) (+) +9. Odtud lyne, že f(t) = e t (4 cos 3t sin 3t), t 0. Použijeme linearitu zětné transformace a vztahy F ( + ) f(t)e t 3 a cos 3t sin 3t
10 7. F () = + (+) 4 Je + (+) 4 tedy F () = = (+)+ (+) 4 = (+) 3 + (+) 4, Odtud lyne, že! + 3! (+) 3 6. (+) 4 f(t) = 3 t e t + 6 t3 e t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( + ) f(t)e t a vzorce 3 t a 6 4 t F () = 3 (+) (+)(+3) Nejrve rozložíme funkci F () na součet arciálních zlomků. Příslušný rozklad má tvar 3 (+) (+)(+3) = A + B (+) + + C + + D +3. Po vynásobení rovnosti jmenovatelem dostaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) 3 = A( + )( + 3) + B( + )( + )( + 3) + C( + ) ( + 3) + D( + ) ( + ). Dosadíme do této rovnice hodnoty kořenů jmenovatele a dostaneme: = : 8 = A A = 8; = : = C C = ; = 3 : 7 = D D = 7. Jestliže dosadíme do rovnice ( ) hodnotu = 0, získáme odmínku ro oslední z koeficientů. Je 0 = 3A + 6B + C + 4D B = 6 ( ) =. Je F () = 8 (+) 3 tudíž , f(t) = 8te t e t e t + 7 e 3t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( a) f(t)e at, a =, a =, a = 3 a vzorce t a. 9. F () = (+) Danou funkci rozložíme na arciální zlomky. Rozklad má tvar = A (+) + B + C (+) + a o vynásobení jmenovatelem dstaneme ro neurčité koeficienty rovnici ( ) = A( + ) + B + C( + ). Do této rovnice dosadíme hodnoty kořenů jmenovatele a ostuně dostaneme: = 0; = 4A A = 4 ; = ; = B B =. Dosadíme-li do rovnice ( ) některou jinou hodnotu, nař. =, dostaneme vztah = 9A + B + 3C C = 3 ( 9A B) = 3 ( ) = 4. Je tedy F () = 4 (+) 4 +,
11 tudíž f(t) = 4 te t 4 e t, t 0. Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( + ) e t f(t) a vzorce t. Úlohu můžeme řešit také jinak, jestliže oužijeme vztah Je (+) te t a tedy (+) F () t 0 f(u)du. t 0 ue u du = [ ue u 4 e u t 0 = te t 4 e t + 4, t 0., 0. F () = ( ) 3 Danou funkci nejrve vyjádříme jako součet arciálních zlomků. Zde můžeme rozklad získat jednoduchou úravou. Je ( ) 3 tudíž = ( 4+4)+4 4 ( ) 3 f(t) = e t ( + 4t + t ), t 0. = ( ) +4( )+4 ( ) 3 = + 4 ( ) + 4 ( ) 3, Použijeme linearitu zětné transformace, vztah F ( ) e t f(t) a vzorce, t, t. 3. F () = Polynom ve jmenovateli nemá reálné kořeny a roto danou funkci uravíme takto: = Je ak 5 ( ++)+9 = (+) 6 (+) +9 = + (+) +9 3 (+) +9. f(t) = e t (cos 3t sin 3t), t 0, jestliže oužijeme vztah F ( + ) e t f(t) a vzorce. F () = +3 ( +) + ( ) 3 První ze dvou zlomků rozdělíme na součet a získáme: +3 ( +) = + + Odtud lyne, že ( ) 3 +9 cos 3t, 3 sin 3t. +9 f(t) = sin t + 3 t 0 sin udu + t e t = sin t cos t + t e t, t 0. Použijeme linearitu transformace a vzorce + sin t, ( ) 3 t e t. Neřešené úlohy na zětnou Lalaceovu transformaci. Určete ředmět f(t) k racionální funkci F ().. F () = + [f(t) = e t e t, t 0. F () = [f(t) = (+3) 9 3 te 3t 9 e 3t, t 0 3. F () = [f(t) = ( ) (+) 3 tet 9 et + 9 e t, t 0 4. F () = [f(t) = t sin t, t 0 ( +) 5. F () = [f(t) = (+) 3 t e t, t 0 6. F () = [f(t) = e t sin t, t F () = 4 3 [f(t) = e t (4 cos t + +5 sin t), t 0
12 8. F () = [f(t) = cos t + 3 sin t, t 0 9. F () = [f(t) = e t (3 cos 3t + 3 sin 3t), t 0 0. F () = 3 5 [f(t) = e t (3 cos t 4 sin t), t F () = [f(t) = e t + 3 e t (cos t + 5 sin t), t F () = [f(t) = 3 (+) (+) t te t 3e t 4 e t, t 0 3. F () = +3 ( +4) [f(t) = 3 8 t cos t + 3 t sin t + 6 sin t, t 0 4. F () = [f(t) = 3 e t e t e 4t, t 0 5. F () = [f(t) = e 3t (4 cos t 7 sin t, t 0 6. F () = 3 6+ (+) 3 (+3) [f(t) = t e t 35 4 te t e t 47 8 e 3t, t 0 7. F () = 3+5 (+)(+3) [f(t) = 5 3 5e t e 3t, t F () = [f(t) = e t 4 5 e 5t, t 0 9. F () = [f(t) = e t (5 cos t sin t), t 0 0. F () = +3 (+) 3 [f(t) = ( t + t)e t, t 0. F () = +3 ( +) [f(t) = 3t + cos t 3 sin t, t 0. F () = 5 +0 ( +5) [f(t) = + e t (3 cos t + 7 sin t), t 0 t sin t + t cos t, t 0 4. F () = [f(t) = +4+3 e t e 3t, t 0 3. F () = + 4 (+4) [f(t) = 3. Lalaceova transformace imulsu. Při hledání obrazu funkce f(t), která je definována na omezeném intervalu nebo je dána několika vzorci na různých intervalech ze svého definičního oboru oužíváme ři výočtu římo vzorec ro obraz a nebo oužíváme tvrzení o obrazu osunuté funkce. Toto tvrzení se nazývá věta o translaci. Označíme symbolem (t) funkci jednotkový skok, která je definována ředisem 0, ro t < 0, (t) =, ro t 0 a jejíž růběh je znázorněn na obrázku. f(t) (t) f(t) (t a) (t b) t a b t Obr.. Jednotkový skok Obr.. Imuls Věta o translaci. Je-li f(t) F (), ak f(t a)(t a) e a F () ro a > 0. Ukážeme na říkladech výočet obrazu funkcí osaného tyu. Přiomeňme, že stále ředokládáme, že uvažované ředměty jsou definovány ouze ro nezáornou hodnotu argumentu.
13 Řešené říklady na obraz imulsu., 0 t,. f(t) = 0, t >. Podle definice je L {f(t)} = F () = 0 f(t)e t dt = 0.e t dt = [ e t 0 = ( e ). Pomocí věty o translaci a známých vzorců můžeme tento obraz nalézt omocí následujícího ostuu. Je f(t) =.[(t) (t ) ( e ), když oužijeme vzorec a vztah f(t )(t ) F ()e.. f(t) = t, 0 t 3, 0, t > 3. Podle definice je L {f(t)} = F () = 0 f(t)e t dt = 3 0 te t dt = 3 e 3 e 3, když oužijeme integraci er-artes. Pomocí věty o translaci a vzorce ro obraz t Je [ 3 t e t e t = 0 můžeme očítat takto. f(t) = t[(t) (t 3) = t(t) [(t 3) + 3(t 3) = t(t) (t 3)(t 3) 3(t 3). Odtud lyne, že F () = e 3 3 e 3, když oužijeme vzorce, t a vztah f(t 3)(t 3) F ()e 3. V dalších úlohách budeme hledat obraz imulsu omocí věty o translaci. Přímý výočet z definice využívá integračních metod, které byly robírany v ředchozím kursu matematiky. 3. f(t) = Je 0, 0 t, e t, < t, 0, t >. f(t) = e t [(t ) (t ) = e (t ) (t ) e (t ) (t ) = e e (t ) (t ) e e (t ) (t ). Podle věty o translaci je F () = (e e e e ) +, když oužijeme vzorec e t 4. f(t) = Je cos t, 0 t π,, t > π. +. f(t) = cos t[(t) (t π ) + (t π ). Nejrve uravíme výraz cos t(t π ) = cos [(t π ) + π (t π ) =
14 (t π ) ( cos (t π ) cos ( π ) sin (t π ) sin ( π )) = sin (t π )(t π ). Pro funkci f(t) máme celkové vyjádření f(t) = cos t(t) + sin (t π )(t π ) + (t π ). Použijeme větu o translaci a dostaneme obraz F () = e π + e π. Při výočtu jsme oužili vzorce cos t 5. f(t) = Je 0, 0 t π, sin t, π < t π, 0, t > π., sin t + +,. f(t) = sin t[(t π) (t π) = sin [(t π) + π(t π)+ sin [(t π) + π(t π) = sin (t π)(t π) + sin (t π)(t π). Odtud lyne, že F () = + (e π + e π ), když oužijeme větu o translaci a vzorec sin t f(t) = Je, 0 t π π 4, sin t, 4 < t π, 0, t > π. f(t) = (t) (t π 4 ) + sin t[(t π 4 ) (t π ) = (t) (t π 4 ) + sin [(t π 4 ) + π 4 (t π 4 ) sin [(t π ) + π (t π ) = (t) (t π 4 ) + cos (t π 4 )(t π 4 ) + sin (t π )(t π ). Odtud lyne, že obraz F () = ( e π 4 ) + +4 e π e π. Použijeme větu o translaci a vzorce, cos t 7. f(t) = t, 0 t, t, < t, 0, t >. Je f(t) = t[(t) (t ) + ( t)[(t ) (t ) =, sin t t(t) [(t ) + (t ) [(t ) (t ) + (t )(t ) = t(t) (t )(t ) + (t )(t ). Odtud lyne, že obraz F () = ( e + e ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec t. 8. f(t) = sin t, 0 t π, 0, t > π. Je f(t) = sin t[(t) (t π) = sin t(t) sin [(t π) + π(t π) = sin t(t) + sin (t π)(t π).
15 Odtud lyne, že F () = + ( + e π ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec sin t 9. f(t) = cos t, 0 t π, 0, t > π. Je f(t) = ( cos t)[(t) (t π) = +. (t) (t π) cos t(t) + cos [(t π) + π(t π) = (t) (t π) cos t(t) cos (t π)(t π). Odtud lyne, že F () = ( e π ) + ( + e π ), jestliže oužijeme větu o translaci a vzorec cos t +. Neřešené úlohy na obraz imulsu. Určete obraz F () k danému imulsu f(t).. f(t) =. f(t) = 3. f(t) = 4. f(t) = 5. f(t) = 6. f(t) = 7. f(t) = 8. f(t) = 9. f(t) =, 0 t, [F () = ( e ) 0, < t. 0, 0 t, [F () = (e e 3 ), < t 3, 0, t > 3. e t, 0 t, [F () = + ( e (+) ) 0, t >. t, 0 t, [F () = ( e ), t >. t, 0 t, [F () = ( e ) e 0, t >., 0 t [F () = ( e + e ), < t, 0, t >. t, 0 t, [F () = ( 3e + e 3 ) 3 t, < t 3, 0, t > 3. t, 0 t, [F () = ( e e + e 3 ), < t, 3 t, < t 3, 0, t > 3. sin t, 0 t π, [F () = + ( e π ) 0, t > π.
16 0. f(t) = t, 0 t, [F () = ( e + e 3 e 4 ) t, < t 3, t 4, 3 < t 4, 0, t > Zětná transformace obrazů imulsů. Při hledání ředmětu k funkcím, které obsahují výraz e a, a > 0, oužíváme větu o translaci, kterou interretujeme takto. Rozdělíme danou funkci na součet členů tvaru F ()e a, kde k funkci F () známe ředmět. Je-li f(t) F (), ak hledaný ředmět k funkci F ()e a je funkce f(t a)(t a), t 0. Výraz e a je ouze návěští, které nás uozorňuje na to, že v získaném ředmětu rovedeme osunutí. Ukážeme zůsob výočtu na říkladech. Řešené úlohy na zětnou transformaci funkcí s faktorem e a. Nalezněte ředmět f(t) k dané funkci F ().. F () = e + e 3 Je t a, tudíž ro ředmět k funkci F () dostaneme vyjádření f(t) = (t )(t ) + (t 3), t 0. Funkci f(t) lze také zasat 0, 0 t, f(t) = t, < t 3, t, t > 3.. F () = ( ) e Nejrve funkci ( ) rozložíme na součet částečných zlomků. Dostaneme (viz odst. ) ( ) = + a tedy f(t) = (t ) + e t (t ), t 0, jestliže oužijeme vzorce, et a větu o translaci (a = ). 0, 0 t, Funkci f(t) lze také zasat f(t) = (e t ), t >. 3. F () = e π ++ Obdobně jako v odstavci dostaneme: ++ = (+) (+) + (+) + e t (cos t sin t); ++ = (+) + e t sin t. Je tedy f(t) = e t (cos t sin t)(t) e (t π) sin (t π)(t π). Funkci f(t) lze také zasat e f(t) = t (cos t sin t), 0 t π, e t ( cos t ( e π ) sin t) + sin t, t > π.
17 4. F () = 3+ 6e π +4. Jestliže oužijeme vzorců +4 cos t, sin t dostaneme, že +4 f(t) = [3 cos t + sin t(t) 3 sin (t π)(t π). Funkci f(t) lze také zasat 3 cos t + sin t, 0 t π, f(t) = 3 cos t sin t, t > π. 5. F () = 3e +e +3+. Obdobně jako v odstavci rovedeme rozklad na arciální zlomky a dostaneme: +3+ = a (+)(+) = e t e t +3+ = (+)(+) = e t + e t. Odtud vylývá, že f(t) = (e t e t )(t) + 3(e (t ) e (t ) )(t ) + (4e (t ) e (t ) )(t ). Funkci f(t) lze také zasat vzorcem e t e t, 0 t, f(t) = ( + 3e )e t ( + 3e)e t, < t, ( + 3e + 4e 4 )e t ( + 3e + e )e t, t >. Neřešené úlohy na zětnou transformaci funkcí s faktorem e a. Nalezněte ředmět f(t) k obrazu F ().. F () = e [f(t) = (t )(t ), t 0 [ 0, 0 t, f(t) = t, t >.. F () = ( e e 3 ) [f(t) = t(t) (t )(t ) (t 3), t 0 t, 0 t, f(t) =, < t 3, 0, t > F () = + (e e ) [f(t) = e e (t ) (t ) e e (t ) (t ), t 0 0, 0 t, f(t) = e t, < t, 0, t >. 4. F () = +9 (3 3e π (3 + )e π 6 ) [f(t) = sin 3t(t) ( sin 3(t π 6 ) + cos 3(t π 6 )) (t π 6 ) sin 3(t π )(t π ), t 0 sin 3t, 0 t π f(t) = 6, π cos 3t, 6 < t π, 0, t > π.
18 5. F () = ( +)( +4) ( + e π ) [f(t) = ( 4 5 e t 0 cos t 0 sin t)(t)+ ( 4 5 e t+π [ f(t) = 0 cos (t π) e t 0 cos t 0 5 e t ( + e π ) 0 cos t 5 sin (t π))(t π), t 0 sin t, 0 t π, sin t, t > π. 5. Obraz eriodické funkce. Pomocí věty o translaci snadno odvodíme obraz eriodické funkce. K jeho určení otřebujeme vyočítat obraz imulsu, který danou eriodickou funkci vytváří. Je-li f T : R R funkce, která je nenulová ouze v intervalu 0, T ), ak je její eriodické rodloužení definováno vztahem k je celé číslo. Vztah lze řesat ve tvaru f(t + kt ) = f T (t), 0 t < T, f(t) = f T (t kt ), kt t < (k + )T, k je celé číslo. Periodické okračování funkce f(t) můžeme zasat jako součet osunutých imulsů f T, kdy rovádíme osun vždy o jednu eriodu. Je tedy f(t)(t) = f T (t kt )(t kt ), t 0. k=0 Odtud dostaneme omocí věty o translaci vyjádření obrazu F () = L {f(t)(t)} = F T ()e kt = k=0 F T () e T, kde F T () = L {f T (t)} je obraz imulsu f T (t). Použili jsme skutečnosti e kt = (e T ) k toho, že součet geometrické řady s kvocientem e T je roven, e T Obraz imulsu F T (t) očítáme buď odle definice ze vztahu a nebo z vyjádření F T () = L {f T (t)} = T 0 f(t)e t dt, kde oužijeme větu o translaci. f T (t) = f(t)[(t) (t T ), t 0, Řešené úlohy na obraz eriodické funkce. Určete obraz F () eriodické funkce f(t), která je vytvořena imulsem f T (t), 0 t < T a má eriodu T., 0 t,. f T (t) =, < t <. Je f T (t) = (t) (t ) + (t ), t 0. Odtud a z věty o translaci lyne F T () = ( e + e ),
19 tudíž F () = e + e ( e ) = ( e ) ( + e )( e ) = e ( + e ). Použili jsme vzorce ro obraz eriodické funkce, vztahu dané funkce je T =. a skutečnosti, že erioda. f T (t) = sin t, 0 t π, 0, π < t < π. Je f(t) = sin t[(t) (t π) = sin t(t) + sin (t π)(t π), tedy F T () = e π. Vzhledem k tomu, že erioda funkce f(t) je rovna T = π, je F () = + e π ( + )( e π ) = ( + )( e π ). Použili jsme vzorec ro obraz eriodické funkce a vztahy sin t f T (t) = t, 0 t, t, < t, 0, < t < 3. Je f T (t) = t[(t) (t ) + ( t)[(t ) (t ) = t(t) [(t ) + (t ) + [ + ( t)(t ) + (t )(t ) = t(t) (t ) + (t ) + (t )(t ). Odtud dostaneme obraz F T () = ( e + e ) a tedy obraz funkce f(t) je F () = e + e ( e 3. ) Použili jsme vzorce ro obraz eriodické funkce s eriodou T = 3 a vztah. Neřešené úlohy na obraz eriodické funkce. Určete obraz F () eriodické funkce f(t), která je vytvořena imulsem f T (t) a má eriodu T.. f T (t) =, 0 t, 0, < t <, T =. [F () = (+e ). f T (t) = sin t, 0 t < π, T = π [F () = +e π ( +)( e π ) 3. f T (t) = t, 0 t, t, < t 3, t 4, 3 < t < 4, T = 4. [F () = e +e 3 e 4 ( e 4 ) 4. f T (t) = t, 0 t <, T =. [F () = ( e )
20 6. Řešení lineárních diferenciálních rovnic. Lalaceovu tramsformaci můžeme oužít k řešení lineárních diferenciálních rovnic s konstatními koeficienty nebo jejich soustav. Pomocí vztahů mezi obrazem funkce a obrazem jejich derivací lze rovnici řevést na lineární rovnici nebo soustavu lineárních rovnic ro obraz či obrazy řešení. Obrazem řešení obvykle bývá racionální funkce. Jak se hledá ředmět k takové funkci jsme ukázali v odstavci. Obecně lze řešení zasat jako konvoluci ravé strany rovnice a ředmětu k racionální funkci. Budeme hledat řešení diferenciální rovnice ak ( ) x (n) (t) + a x (n ) (t) a n x(t) = f(t) v intervalu t 0, ), které vyhovuje očáteční odmínce Jestliže označíme ( ) x(0) = x, x (0) = x,..., x (n ) (0) = x n. L {x(t)} = X(), L {x (t)} = X() x, L {x (t)} = X() x x,..., L {x (n) (t)} = n X() n x... x n. Po dosazení do rovnice ( ) dostaneme rovnici ro obraz řešení ve tvaru ( n + a n a n )X() Q() = L {f(t)}, kde Q() je nějaký olynom stuně nejvýše (n ). Odtud dostaneme obraz řešení ve tvaru kde X() = Odtud lze vyjádřit řešení ve tvaru v(t) L {f(t)} Q() n + a n a n n + a n a n x(t) = f(t) v(t) + w(t), t 0, n + a n a n a w(t) Q() n + a n a n jsou ředměty k uvedeným racionálním funkcím. Je- li ředmět L {f(t)} = F () racionální funkcí dostaneme řešení jako ředmět k racionální funkci a není třeba využívat jeho vyjádření omocí konvoluce. Je ak x(t) = L { F () P () } + L { Q() P () }, kde P () = n + a n a n. Poznamenejme, že z rozboru ostuu vylývá, že rvní člen ve vzorci je řešením rovnice ( ) za nulových očátečních odmínek a druhý člen je řešením homogenní rovnice říslušné rovnici ( ), které vyhovuje očátečním odmínkám ( ). Stejným zůsobem můžeme řešit i rovnici tvaru ( ), která obsahuje ještě člen tvaru t 0 x(u)du. Zde oužijeme vztahu L { t 0 x(u)du} = X() a ro obraz řešení X() dostaneme analogické vyjádření.
21 Obdobně můžeme ostuovat ři řešení soustav diferenciálních rovnic, kde dostaneme soustavu lineárních rovnic ro obrazy řešení. Po jejím vyřešení hledáme řešení soustavy jako ředměty k funkcím výše osaného tvaru. Postu řešení jednotlivých úloh budeme ilustrovat na říkladech. Řešené úlohy na diferenciální rovnice. Nalezněte řešení dané rovnice v intervalu odmínkám.. x + x = 3, x(0) = 0. 0, ), které vyhovuje uvedeným očátečním Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X() 0 + X() = 3. Odtud vyočteme, že X() = 3 (+). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 3 ( + ) = 3 3 ( + ). x(t) = 3 ( e t ), t 0. Použili jsme vztah x (t) X() x(0) a vzorce, e t +.. x + 4x = sin t, x(0) = 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X()( + 4) 3 = +4. Odtud vyočteme, že X() = (+4)( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = ( + 4)( + 4) = x(t) = 3 0 e 4t 0 cos t + sin t, t 0. 5 Použili jsme vztah x (t) X() x(0) a vzorce sin t, cos t x x 6x =, x(0) =, x (0) = 0. +4, e 4t +4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X(). 0 (X() ) 6X() =.
22 Odtud vyočteme, že X() = + ( 3)(+). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = + ( 3)( + ) = x(t) = 5 ( 5 + e t + 8e 3t ), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce, eat a, a =, a = x 6x + 9x = 0, x(0) =, x (0) = 4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( X() + 4) 6(X() ) + 9X() = 0. Odtud vyočteme, že X() = Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = 6 ( 3) = ( 3) = x(t) = ( 0t)e 3t, t 0. ( 3) 0 ( 3). Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce e 3t 3, te3t. ( 3) 5. x + x + x = 0, x(0) =, x (0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( X() ) + (X() ) + X() = 0. Odtud vyočteme, že X() = Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = = + ( + ) ( + ) +. x(t) = e t (cos t + 3 sin t), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), e at f(t) F ( a), a = a vzorce cos t, sin t + +.
23 6. x 9x = t, x(0) = 0, x (0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( 9)X() =. Odtud vyočteme, že X() = + ( 3)(+3). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = x(t) = 7 ( 6 + 3t + 7e3t e 3t ), t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0) a vzorce, t, e at a, a = 3, a = x + 4x = cos t, x(0) = 0, x (0) = 4. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 4)X() 4 = +4. Odtud vyočteme, že X() = ( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Odtud lyne, že x(t) = (4 + t) sin t, t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0) x (0) a vzorce t sin t sin t ( +4), 8. x + t 0 x(τ) dτ =, x(0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a obrazem integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() =. Odtud vyočteme, že X() = + +. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Odtud lyne, že X() = x(t) = sin t + cos t, t 0. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), t 0 x(τ) dτ X() a vzorce, sin t, cos t + +.
24 9. x + x + t 0 x(τ) dτ = 3e t, x(0) =. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a obrazem integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + + )X() = 3 +. Odtud vyočteme, že X() = +5 (+)( ++). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků X() = Úravou dostaneme vyjádření X() = + 5 ( + )( + + ) = ( + ) + + ( + ) + + ( + ) +. Odtud lyne, že x(t) = 3e t + e t (5 cos t + sin t), t 0. Použili jsme vztahy vzorce e t +, sin t, cos t + 0. x x = f(t), x(0) =, kde f(t) = x (t) X() x(0), t 0 x(τ) dτ X(), e t f(t) F ( + ) a +. t, 0 t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = ( t)[(t) (t ) a ostuem z odstavce 3 dostaneme f(t) ( e ). Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici Odtud vyočteme, že ( )X() + = ( e ). X() = + ( ) + ( ) e. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavci. Funkce rozložíme na součet arciálních zlomků X() = ( + + ) e. Použijeme ostuů, které jsme robrali v úlohách v odstavcích a 4 a dostaneme ro řešení vzorec x(t) = (t )(t) + ( (t ) + e (t ) )(t ), t 0.
25 Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = t, 0 t, e t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, t, e t.. x + x = f(t), x(0) =, x (0) =, kde f(t) =, 0 t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ), tedy L f(t) = ( e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() + = ( e ). Dále vyočteme, že X() = + e ( +). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = ( + ) e. + x(t) = ( sin t)(t) ( cos (t ))(t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = sin t, 0 t, sin t(sin ) + cos t cos, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, sin t, cos t + +., 0 t,. x + 4x + 3x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = 0, t > 0. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ), tedy L f(t) = ( e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici X()( ) = ( e ). Dále vyočteme, že X() = e ( +4+3). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků X() = ( ) 3 ( + ) + ( e ). 6( + 3)
26 Odtud lyne, že ( x(t) = 3 e t + ) ( 6 e 3t (t) 3 e (t ) + ) 6 e 3(t ) (t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = 3 e t + 6 e 3t, 0 t, (e )e t + 6 ( e3 )e 3t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, eat a, a =, a = x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) =, 0 t,, < t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = (t) (t ) + (t ), tedy L f(t) = e +e, kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavcích 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() = e +e. Dále vyočteme, že X() = e +e ( +). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích 5, 6 a. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že X() = ( ) ( e + e ). + x(t) = ( cos t)(t) ( cos (t ))(t ) + ( cos (t ))(t ), t 0. Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = cos t, 0 t, + ( cos ) cos t + sin sin t, < t, cos t( cos cos ) (sin sin ) sin t, t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 8 a vzorce, sin t, cos t , 0 t, 4. x + x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = e t, t >. Poznamenejme, že f(t) = e t (t ) = e e (t ) (t ), tedy L f(t) = e e +, kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici
27 ( + + )X() = e e +. Dále vyočteme, že X() = e e (+)( ++). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = ( ) X() = e + ( + ) e. + x(t) = e ( e (t ) cos (t ))(t ), t 0. 0, 0 t, e e t (cos cos t + sin sin t), t >. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce cos t +, e t + a vztah f(t)e t F ( + ). 5. x + 4x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0, kde f(t) = t, 0 t, (t ), < t, 0, t >. Poznamenejme, že f(t) = t((t) (t )) + (t )((t ) (t )) = t(t) 4(t )(t ) + (t )(t ), tedy L f(t) = ( e + e ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci 3. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + 4)X() = ( e + e ). Dále vyočteme, že X() = ( e + e ) ( +4). Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že x(t) = X() = Řešení lze také zasat omocí vzorce x(t) = ( ) e + e. + 4 (t ) sin t (t) [(t ) sin (t ) (t )+ [(t ) sin (t ) (t ), t 0. t 4 sin t, 0 t, t + sin t( cos 4 ) sin cos t, < t, sin t( 4 + cos 4 cos 4) + ( 4 sin 4 sin ) cos t, t >.
28 Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), x (t) X() x(0) x (0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce, t, sin t, cos t x + 5x = f(t), x(0) =, kde f(t) = Poznamenejme, že 5 cos t, 0 t π, 0, t > π. f(t) = 5 cos t [(t) (t π ) = 5 cos t (t) + 5 cos (t π )(t π ), tedy L f(t) = 5 +4 ( + e π ), kde obraz k funkci f(t) získáme omocí věty o translaci. Postu jsme ukázali v úlohách v odstavci. Označme X() x(t) obraz řešení. Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( + )X() = 5 +4 ( + e π ). Dále vyočteme, že X() = 5 ( +4)(+) ( + e π ) + +. Předmět k funkci X() získáme ostuem osaným v odstavcích a 4. Funkci rozložíme na součet arciálních zlomků Odtud lyne, že x(t) = (cos t + sin t)(t) + Řešení lze také zasat omocí vzorce X() = + 4 ( ) e π. + x(t) = ( cos (t π ) + sin (t π ) e (t π )) (t π ), t 0. cos t + sin t, 0 t π, e π e t, t > π. Použili jsme vztahy x (t) X() x(0), větu o translaci z odstavce 3 a vzorce cos t, sin t +4 +4, e t +. Řešení rovnice se dá také vyjádřit jako konvoluce. Toto vyjádření můžeme oužít ve dvou říadech. Buď je funkce na ravé straně rovnice složitá ro hledání obrazu a nebo chceme vyjádřit řešení rovnice ro obecnou ravou stranu. Při výočtu konkrétního řešení ak zbývá vyočítat integrál, kterým je konvoluce zasaná. Využijeme vztahu L {F ()G()} = L {F ()} L {G())}. Dostaneme stejné vyjádření řešení, které získáme metodou variace konstant. Postu řešení úlohy budeme ilustrovat na říkladech. 7. x + 3x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0. Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření X() = F ()
29 Protože je je = + + (e t e t ), x(t) = f(t) (e t e t ) = t 0 f(u)(e t+u e t+u ) du, t x + 4x + 5x = f(t), x(0) =, x (0) = 0, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( )X() 4 = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření X() = F () Protože je a je = ( + ) + e t sin t = + ( + ) + + ( + ) + e t (cos t + sin t) x(t) = e t (cos t + sin t) + f(t) e t sin t = e t (cos t + sin t) + t 0 f(u)e (t u) sin (t u) du, t x + x + 0 t 0 x(u)du = f(t), x(0) =, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření Protože je X() = F () = + ( + ) + 9 ( + ) + 9 e t (cos 3t sin 3t), 3 je x(t) = e t (cos 3t 3 sin 3t) + f(t) e t (cos 3t sin 3t) 3 = e t (cos 3t 3 sin 3t) + t 0 f(u)e t+u (cos 3(t u) sin 3(t u))du, t 0. 3
30 0. x + 6x + 9 t 0 x(u)du = f(t), x(0) =, Označme X() x(t) obraz řešení a F () f(t). Jestliže využijeme linearitu transformace a vztah mezi obrazem funkce a její derivace a integrálu, tak ro obraz řešení dostaneme rovnici ( )X() = F () a odtud dostaneme ro řešení rovnice vyjádření Protože je je = X() = F () ( + 3) = ( + 3) e 3t ( 3t), x(t) = e 3t ( 3t) + f(t) (e 3t ( 3t)) = e 3t ( 3t) + t 0 f(u)(e 3(t u) ( 3(t u)))du, t 0. Neřešené úlohy na diferenciální rovnice. Nalezněte řešení rovnice, které vyhovuje uvedeným očátečním odmínkám.. x + 3x = 0, x(0) = 5; [x(t) = 5e 3t, t 0. x x + x = 0, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t cos t, t 0 3. x + 3x + x = 4e 3t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = e 3t 4e t + e t, t 0 4. x + x = sin t, x(0) = 0; [x(t) = 5 (e t cos t + sin t), t 0 5. x + 3x = e t, x(0) = 0, x (0) = ; [x(t) = (e 3t e t ), t 0 6. x + 4x = cos t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 3 (cos t cos t), t 0 7. x + x = t sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 5 (e t 0t cos t 5t sin t cos t + 4 sin t), t 0 8. x + x + x = sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = (te t + e t cos t), t 0 9. x x + x =, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = ( et (cos t sin t)), t 0 0. x + x = cos t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = t sin t cos t + sin t, t 0. x + 5x + 6 t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = 3e 3t e t, t 0. x + x + t 0 x(τ) dτ = sin t, x(0) = 0; [x(t) = (te t + sin t), t 0 3. x = x + y + e t, x(0) = 0, [x(t) = e t, t 0 y = x y + e t, y(0) = 0; [y(t) = e t, t x = y, x(0) =, [x(t) = e t (cos t sin t), t 0 y = x + y, y(0) = ; [y(t) = e t (cos t + 3 sin t), t 0 x = x + 3y, x(0) =, [x(t) = 9 6 et 3 4 te t 3 6 e t, t 0 y = x + y + e t, y(0) = ; [y(t) = 9 6 et + 4 te t 3 6 e t, t 0
31 6. x 4x = 4t, x(0) =, x (0) = 0; [x(t) = 4 (3et + e t 4t), t 0 7. x 4x = 4e t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = te t 4 et + 4 e t, t 0 8. x + x = t 3 + 6t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = t 3, t 0 9. x + x = sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 3 ( sin t sin t), t 0 0. x + x = cos t + sin t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = 6 ((3t + 4) sin t sin t), t 0. x + x = + e t, x(0) = 0, x (0) = 0; [x(t) = (4 + e t + sin t 5 cos t), t 0. x + 6x + 9 t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = ( 3t)e 3t, t 0 3. x + x + t 0 x(τ) dτ = 0, x(0) = ; [x(t) = e t cos t, t 0 8 4t, 0 t, 4. x x = f(t), x(0) = 3; f(t) = 0, t >. [x(t) = (t 3)(t) + (e (t ) t + 3)(t ), t 0 [x(t) = t 3, 0 t, x(t) = e (t ), t > 5. x + x = f(t), x(0) =, x (0) = ; t, 0 t π, f(t) = 0, t > π. [x(t) = (t cos t)(t) (t + sin t + π cos t)(t π), t 0 [x(t) = t + cos t, 0 t π, x(t) = cos t sin t π cos t, t > π, 0 t 6. x + 4x = f(t), x(0) =, x π (0) = 0; f(t) = 4,, t > π 4 [. x(t) = 4 (3 cos t + ), 0 t π 4, 4 ( + 3 cos t sin t), t > π 4. e 7. x + x = f(t), x(0) = 0, x (0) = ; f(t) = t, 0 t π, [ x(t) = 9t, 0 t, 8. x + 3x = f(t), x(0) = ; f(t) = 9. x x = f(t), x(0) = ; f(t) = 0, t > π. e t cos t, 0 t π, cos t + e π (cos t + sin t), t > π. 9, t >. [ e x(t) = 3t + 3t, 0 t, e 3t + 3 e 3 e 3t, t >. 5 sin t, 0 t π, 0, t > π. [ x(t) = 3e t cos t sin t, 0 t π, 3e t + e t π, t > π. sin t, 0 t π, 30. x + 9x = f(t), x(0) = 0, x (0) = 0; f(t) = 0, t > π. [ x(t) = 4 (3 sin t sin 3t), 0 t π, 0, t > π. 3. x + x + 0x = 0, x(0) = 0, x (0) = 6; [x(t) = e t sin 3t, t 0
32 3. x + x = 0, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t, t x + 3x + x = 0, x(0) =, x (0) = 0; [x(t) = e t e t, t x x = t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = e t + t, t x + x = 4e t, x(0) = 4, x (0) = 3; [x(t) = e t + cos t 5 sin t, t x + x = 3 sin t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = cos t + 3 sin t sin t, t x + 9x = 5 cos 3t, x(0) =, x (0) = ; [x(t) = cos 3t 3 sin 3t + 5 6t sin 3t, t x + x = t 3, x(0) = 0, x (0) = ; [x(t) = 6( e t ) + t 5t, t x + 6x + 9x = (t + )e t, x(0) = 5, x (0) = 8 ; [x(t) = 5e 3t + 5te 3t + 8 tet, t 0
12.1 Úvod. Poznámka : Příklad 12.1: Funkce f(t) = e t2 nemá Laplaceův obraz. Příklad 12.2: a) L{1} = 1 p, p > 0 ; b) L{ eat } = 1, [ZMA15-P73]
KAPITOLA 2: Lalaceova transformace [ZMA5-P73] 2. Úvod Lalaceovým obrazem funkce f(t) definované na, ) nazýváme funkci F () definovanou ředisem Definičním oborem funkce F F () = f(t) e t dt. je množina
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceLaplaceova transformace
Lalaceova transformace EO2 Přednáška 3 Pavel Máša ÚVODEM Víme, že Fourierova transformace díky řísným odmínkám existence neexistuje ro řadu běžných signálů dokonce i funkce sin musela být zatlumena Jak
Vícezadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, napájen do kotvy, indukčnost zanedbáme.
Teorie řízení 004 str. / 30 PŘÍKLAD zadání: Je dán stejnosměrný motor s konstantním magnetickým tokem, naájen do kotvy, indukčnost zanedbáme. E ce ω a) Odvoďte řenosovou funkci F(): F( ) ω( )/ u( ) b)
VíceGONIOMETRICKÉ ROVNICE -
1 GONIOMETRICKÉ ROVNICE - Pois zůsobu oužití: teorie k samostudiu (i- learning) ro 3. ročník střední školy technického zaměření, teorie ke konzultacím dálkového studia Vyracovala: Ivana Klozová Datum vyracování:
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceSoustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty
Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VíceNyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "
ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje
VíceCvičení z termomechaniky Cvičení 5.
Příklad V komresoru je kontinuálně stlačován objemový tok vzduchu *m 3.s- + o telotě 0 * C+ a tlaku 0, *MPa+ na tlak 0,7 *MPa+. Vyočtěte objemový tok vzduchu vystuujícího z komresoru, jeho telotu a říkon
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
VíceCVIČENÍ Z ELEKTRONIKY
Střední růmyslová škola elektrotechnická Pardubice CVIČENÍ Z ELEKRONIKY Harmonická analýza Příjmení : Česák Číslo úlohy : Jméno : Petr Datum zadání :.1.97 Školní rok : 1997/98 Datum odevzdání : 11.1.97
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).
Více9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y
9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
Více4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu
4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
Více1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a
. Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceSeparovatelné diferenciální rovnice
Matematika 2, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 8. 6. 2009) Separovatelné diferenciální rovnice. Řešte diferenciální rovnici s počáteční podmínkou x = e x t, x() = 0. 2. Řešte diferenciální rovnici
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
Více7.5.13 Rovnice paraboly
7.5.1 Rovnice arabol Předoklad: 751 Př. 1: Seiš všechn rovnice ro arabol a nakresli k nim odovídající obrázk. Na každém obrázku vznač vzdálenost. = = = = Pedagogická oznámka: Sesání arabol je důležité,
VíceTermodynamika ideálního plynu
Přednáška 5 Termodynamika ideálního lynu 5.1 Základní vztahy ro ideální lyn 5.1.1 nitřní energie ideálního lynu Alikujme nyní oznatky získané v ředchozím textu na nejjednodužší termodynamickou soustavu
Více9.4. Rovnice se speciální pravou stranou
Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta
VíceCyklické kódy. Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23
Cyklické kódy 5. řednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Cyklické kódy 1/23 Obsah 1 Cyklické kódy Generující olynom - kódování Kontrolní olynom - objevování chyb Alena Gollová, TIK Cyklické
VíceAlgebraické výrazy - řešené úlohy
Algebraické výrazy - řešené úlohy Úloha č. 1 Určete jeho hodnotu pro =. Určete, pro kterou hodnotu proměnné je výraz roven nule. Za proměnnou dosadíme: = a vypočteme hodnotu výrazu. Nejprve zapíšeme rovnost,
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceLineární diferenciální rovnice n tého řádu
Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VíceDynamické programování
ALG Dynamické rogramování Nejdelší rostoucí odoslounost Otimální ořadí násobení matic Nejdelší rostoucí odoslounost Z dané oslounosti vyberte co nejdelší rostoucí odoslounost. 5 4 9 5 8 6 7 Řešení: 4 5
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceElementární funkce. Polynomy
Elementární funkce 1 Elementární funkce Elementární funkce jsou níže uvedené funkce a jejich složenin : 1. Polnom.. Racionální funkce. 3. Mocninné funkce. 4. Eponenciální funkce. 5. Logaritmické funkce.
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceObvodové rovnice v časové oblasti a v operátorovém (i frekvenčním) tvaru
Obvodové rovnice v časové oblasti a v oerátorovém (i frekvenčním) tvaru EO Přednáška 5 Pavel Máša - 5. řednáška ÚVODEM V ředchozím semestru jsme se seznámili s obvodovými rovnicemi v SUS a HUS Jak se liší,
VíceV p-v diagramu je tento proces znázorněn hyperbolou spojující body obou stavů plynu, je to tzv. izoterma :
Jednoduché vratné děje ideálního lynu ) Děj izoter mický ( = ) Za ředokladu konstantní teloty se stavová rovnice ro zadané množství lynu změní na známý zákon Boylův-Mariottův, která říká, že součin tlaku
Více6. Lineární ODR n-tého řádu
6. Lineární ODR n-tého řádu A. Obecná homogenní LODRn V předcházející kapitole jsme diferenciální rovnici (libovolného řádu) nazvali lineární, je-li tato rovnice lineární vzhledem ke hledané funkci y a
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
VícePolynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...
Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................
Více4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy
4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s
VíceFAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL 7 NEURČITÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceÚvěr a úvěrové výpočty 1
Modely analýzy a syntézy lánů MAF/KIV) Přednáška 8 Úvěr a úvěrové výočty 1 1 Rovnice úvěru V minulých řednáškách byla ro stav dluhu oužívána rovnice 1), kde ředokládáme, že N > : d = a b + = k > N. d./
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
Více9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceM - Kvadratické rovnice
M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací
Vícesin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a
VíceIntegrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné V diferenciálním počtu jsme určovali derivaci funkce jedné proměnné a pomocí ní vyšetřovali řadu vlastností této funkce. Pro připomenutí: derivace má uplatnění tam,
Více8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
VíceÚvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav
Úvod do řešení lineárních rovnic a jejich soustav Rovnice je zápis rovnosti dvou výrazů, ve kterém máme najít neznámé číslo (neznámou). Po jeho dosazení do rovnice musí platit rovnost. Existuje-li takové
Vícekuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceSystémové struktury - základní formy spojování systémů
Systémové struktury - základní formy sojování systémů Základní informace Při řešení ať již analytických nebo syntetických úloh se zravidla setkáváme s komlikovanými systémovými strukturami. Tato lekce
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více