Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

Transkript

1 Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 16

2 Obsah 1 Integrace racionálních lomených funkcí 2 Integrace iracionálních funkcí 3 Integrace goniometrických funkcí Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 16

3 Integrace racionálních lomených funkcí Integrace racionálních lomených funkcí Každou racionální neryze lomenou funkci lze dělením převést na součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Každou racionální ryze lomenou funkci lze rozložit na součet parciálních zlomků. Stačí znát 4 typy integrálů z parciálních zlomků: A (1) ax + b dx, A (2) dx, n N, (ax + b) n Bx + C (3) ax 2 + bx + c dx, Bx + C (4) (ax 2 dx, n N, + bx + c) n kde A, B, C, a, b, c jsou reálná čísla a D = b 2 4ac < 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 16

4 Integrace racionálních lomených funkcí Typ (1) a (2) řešíme substitucí t = ax + b nebo užitím vzorců f (x) dx = ln f (x) + c f (x) a f (ax + b) dx = 1 F(ax + b) + c. a Příklad (1. typ) 3 2x 8 dx = 3 ln x 4 + c 2 Příklad (2. typ) 3 (2x 8) 3 dx = 3 4(2x 8) 2 + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 16

5 Integrace racionálních lomených funkcí Typ (3) řešíme převedením na součet: f (x) f (x) dx + D ax 2 dx (doplnění na čtverec arctg x) + bx + c Příklad (3. typ) 3x 6 x 2 + 2x + 5 dx = 3 2 ln(x 2 + 2x + 5) 9 2 arctg x c. 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 16

6 Integrace racionálních lomených funkcí Typ (3), kde ale D = b 2 4ac 0, řešíme rozkladem na parciální zlomky typu (1) a dointegrováním. použitím vzorce 1 x 2 A 2 dx = 1 2A ln x A x + A + c. Příklad 3 2x 2 12x + 10 dx = ln (x 3) 2 (x 3) + 2 = 3 8 ln x 5 x 1 + c. Typ (4) najdou zájemci ve skriptech. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 16

7 Příklad Integrace racionálních lomených funkcí Vypočítejte následující integrály z racionálních funkcí (parc. zlom.): (a) 1 x 3 +3x 2 +2x dx [ 1 2x + 1 2(x+2) 1 (b) 1 x 3 +x 2 +x dx (c) x 2 +3x+2 x 2 +x+2 dx (d) x 4 10x 3 +36x 2 46x+25 x 3 9x 2 +27x 27 Řešení: (a) 1 2 ln x(x+2) (x+1) 2 + c dx (b) 1 2 ln x 2 x 2 +x arctg 2x c (c) x + ln x 2 + x arctg 2x c (d) x 2 2 x 11 (x 3) 2 8 x 3 + c x+1 [ 1 x x+1 x 2 +x+1 [ ] 1 + 2x x 2 +x+2 [ ] x (x 3) 2 (x 3) 3 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 16 ] ]

8 Integrace iracionálních funkcí Integrace iracionálních funkcí Racionální lomenou funkci v proměnných α, β, γ,... budeme značit symbolem R(α, β, γ,... ). Tedy např. R(x, sin x) může zahrnovat funkce: x 2 2 sin 3 x sin 2, 2x + sin x, x sin x x 4 x 2 2 sin 3 x apod. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 16

9 Integrace iracionálních funkcí Je-li integrand typu R(x, n ax + b), n N, pak volíme t n = ax + b, ( t = n ax + b ). Tím dostaneme integrál z racionální lomené funkce. Příklad 2x 3 4x 1 dx = 4x 1 = t 3 x = t dx = 3t 2 dt dx = 3 4 t2 dt = 3 3 (4x 1) (4x 1) c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 16

10 Integrace iracionálních funkcí Je-li integrand typu R(x, n 1 x, n 2 x,..., n k x), n1,..., n k N, pak t s = x, ( t = s x ), kde s je nejmenším společným násobkem čísel n 1,..., n k. Tím dostaneme integrál z racionální lomené funkce. Příklad 5 x 3 x x dx = dx x = t 10 t = 10 x = 10t 9 dt = 5 5 x 6 x + c. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 16

11 Integrace iracionálních funkcí Goniometrická substituce Je-li integrand typu R(x, a 2 x 2 ), pak volíme substituci x = a sin t nebo x = a cos t. Je-li integrand typu R(x, x 2 a 2 ), pak volíme substituci x = a sin t nebo x = a cos t. Je-li integrand typu R(x, x 2 + a 2 ), pak volíme substituci x = a tg t nebo x = a cotg t. Příklad Spočtěte [ 2x 2 dx. arcsin x x ] 1 x 2 + c 1 x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 16

12 Příklad Integrace iracionálních funkcí Vypočítejte následující integrály z iracionálních funkcí: (a) 1 x x 4 dx (b) 1 x 1+ x dx [ x 4 = t 2 ] [ x = t 2 ] (c) 6 x+1 6 x x 5 dx [ x = t 12, parc. zlom. ] (d) [ 1 dx x = tg t, u = sin t, 1 dx = 1 x 2 +1 x 2 A 2 2A ln x A x+a Řešení: (a) arctg x c (b) x + 4 x 4 ln( x + 1) + c 6 (c) 6 x ln 12 x 12 x + c x+1 (d) 1 2 ln sin(arctg x)+1 + c sin(arctg x) 1 ] + c Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 16

13 Integrace goniometrických funkcí Integrace goniometrických funkcí Necht je integrand typu R(sin x, cos x). Je-li integrand lichá funkce vůči proměnné sin x, tj. platí-li R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak volíme substituci t = cos x. Je-li integrand lichá funkce vůči proměnné cos x, tj. platí-li R(sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak volíme substituci t = sin x. Není-li integrand lichá funkce vůči proměnným sin x nebo cos x, pak lze volit univerzální substituci t = tg x 2. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 16

14 Integrace goniometrických funkcí Příklad sin 2 x cos 5 x dx = t dt = sin x = cos xdx = 1 3 sin3 x 2 5 sin5 x sin7 x + c. Je-li integrand sudá funkce vůči proměnné sin x a cos x současně, tj. platí-li R( sin x, cos x) = R(sin x, cos x), pak lze volit substituci případně použít vzorce t = tg x, sin 2 x = 1 cos 2x 2 a cos 2 x = 1 + cos 2x. 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 16

15 Integrace goniometrických funkcí Univerzální substituce: t = tg x 2 Odvození: sin x = sin x 2 = 2t 1 t2, cos x = 1 + t2 1 + t 2, dx = t 2 dt t 1 + t 2 cos x 2 = t 2 sin x = sin 2 x 2 = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 t 1+t 1 1+t = 2t t 2 cos x = cos 2 x 2 = cos2 x 2 sin2 x 2 = 1 t2 = 1 t2 1+t 2 1+t 2 1+t 2 t = tg x 2 dt = 1 cos 2 x dx dx = dt 1+t 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 16

16 Integrace goniometrických funkcí Příklad Vypočítejte následující integrály z goniometrických funkcí: (a) sin 3 x dx (b) 8 sin 2 x cos 2 x dx (c) 1 4 sin x 7 cos x 7 dx Řešení: (a) 1 3 cos3 x cos x + c (b) x 1 4 sin 4x + c (c) 1 4 ln 4 tg x c [t = cos x] [ ] vzorce sin 2 x, cos 2 x [ ] t = tg x 2 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 16