12.1 Úvod. Poznámka : Příklad 12.1: Funkce f(t) = e t2 nemá Laplaceův obraz. Příklad 12.2: a) L{1} = 1 p, p > 0 ; b) L{ eat } = 1, [ZMA15-P73]

Transkript

1 KAPITOLA 2: Lalaceova transformace [ZMA5-P73] 2. Úvod Lalaceovým obrazem funkce f(t) definované na, ) nazýváme funkci F () definovanou ředisem Definičním oborem funkce F F () = f(t) e t dt. je množina všech, ro která výše uvedený integrál konverguje. f ředmět, F obraz Značení: Lf(t) = F (); Lf = F ; L : f(t) F (); f ˆ=F Budeme-li dále otřebovat funkci f ředefinujeme na (, ) nulou. definovanou na celém R (tedy ne ouze na, ) ), ak ji dodefinujeme nebo Příklad 2.: Funkce f(t) = e t2 nemá Lalaceův obraz. Příklad 2.2: a) L =, > ; b) L eat =, a > a (a R) ; c) Lcos t = 2, > ; Lsin t = + 2 +, > Řekneme, že funkce f je o částech sojitá na intervalu, ), jestliže latí: Je-li a, b, ), ak existují x <... < x n tak, že a, b = a, x x, x 2... x n, b = I I... I n, f je sojitá uvnitř každého I k a odovídající jednostranné limity funkce f v krajních bodech intervalů I k jsou konečné. Řekneme, že f :, ) R je funkce exonenciálního řádu, jestliže existují α, M R tak, že f(t) M e αt t, ). Číslo α nazýváme exonenciální řád funkce f. Exonenciální řád funkce není určen jednoznačně je-li α f exonenciálním řádem funkce f, je jím i každé α > α f. Jsou-li f, g funkce exonenciálních řádů α f, α g, ak f + g je funkce exonenciálního řádu maxα f, α g. Řekneme, že funkce f :, ) R je ředmět standardního tyu, jestliže je exonenciálního řádu a o částech sojitá. Píšeme f L.

2 Věta 2. : [ZMA5-P74] Je-li f ředmět standardního tyu exonenciálního řádu α, ak Lalaceův obraz F funkce f je definován ro každé > α a latí: a) F () M α > α, b) lim F () =. 2.2 Základní vlastnosti Věta 2.2 (linearita Lalaceovy transformace) : Nechť f, g L jsou exonenciálního řádu α. Pak ro každé a, b R latí Laf + bg = alf + blg Věta 2.3 (o derivaci obrazu) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F. Pak Lt f(t) = F () Důsledek 2.4 : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F. Pak Lt n f(t) = ( ) n F (n) () Příklad 2.3: Lt n = n! n+ ( > ) ro n N Věta 2.5 (o integraci obrazu) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F a existuje vlastní lim t + f(t) L = t F (q) dq f(t) t. Pak Věta 2.6 (o osunu v obrazu) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F, a R. Pak L e at f(t) = F ( a) ( > a + α). Věta 2.7 (o změně měřítka) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F, k >. Pak Lf(kt) = ( ) k F ( > kα). k Příklad 2.4: Lcos ωt = 2 + ω 2, Lsin ωt = ω 2 + ω 2 ( > ) ro ω >

3 [ZMA5-P75] 2.3 Zětná transformace Věta 2.8 : Nechť f, f 2 L, Lf = F, Lf 2 = F 2 a nechť F () = F 2 () na (, ) ro nějaké R. Pak f (t) = f 2 (t) s výjimkou nejvýše sočetně mnoha izolovaných bodů. Věta 2.9 : Nechť F je racionální funkce a nechť α je největší z reálných částí kořenů jejího jmenovatele. Pak existuje f L tak, že Lf(t) = F () ro > α rávě tehdy, když F je funkce ryze lomená a α α. Hledání ředmětu k funkci ryze lomené. rozklad na arciální zlomky 2. L = e at a (n )! tn e at L + D ( 2 + A + B) n ; A 2 < 4B : L ( a) n = ro n = kde a dostaneme oužijeme řeis + D 2 + A + B = + A 2 ( + A 2 )2 + (B A2 4 ) + = L a ( a) 2 + ω 2 + D + a ω a = A 2, + D 2 + A + B D A 2 ( + A 2 )2 + (B A2 4 ) = ω ( a) 2 + ω 2, ω = B A2 4, = e at( cos ωt + D + a ω ) sin ωt. ro n = 2 (jen seciální říady) L ( 2 + ω 2 ) 2 L ( 2 + ω 2 ) 2 = t sin ωt 2ω = 2ω sin ωt t cos ωt 3 2ω2 ro n obecné rekurentní vzorce (viz nař. skrita) Příklad 2.5: a) L ( 2) 2 = 2t e 2t e 2t + 3 e t ( + ) b) L = 2 e 2t cos 4t e 2t sin 4t

4 [ZMA5-P76] 2.4 Obraz derivace a integrálu Věta 2. (o obrazu derivace) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F a f(+) = lim t + f(t) R. Pak Lf (t) = F () f(+) ( > max, α ). Odtud Tedy Lf (t) = L(f (t)) = Lf (t) f (+) = (F () f(+)) f (+) = = 2 F () f(+) f (+) Lf (t) = L(f (t)) =... atd. Důsledek 2. : Nechť f (n) L je exonenciálního řádu α, Lf = F a existují konečné f (k) (+) ro k =,..., n. Pak Lf (n) (t) = n F () n f(+) n 2 f (+)... f (n 2) (+) f (n ) (+) ( > max, α ). Příklad 2.6: Lsin t = L( cos t) = 2 + ( ) = 2 + ( > ) Věta 2.2 (o obrazu integrálu) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F. Pak t L f(τ) dτ = F () ( > max, α). Příklad 2.7: t Lt = L dτ = L = 2 ( > ) Příklad 2.8: Najděte řešení Cauchyovy úlohy (tečky zde značí derivace):... x +4ẋ = 8; x(+) =, ẋ(+) = 2, ẍ(+) = 4. Příklad 2.9: Řešte integrodiferenciální rovnici: y + 4y + 4 t y(τ) dτ = 2 + 4t; y(+) =. Příklad 2.: Řešte soustavu diferenciálních rovnic: y = 2y y 2 y 2 = y + 2 e t y (+) =, y 2 (+) =.

5 2.5 Věta o translaci [ZMA5-P77] dále ředokládáme, že ro f L je D(f) = R ro t Heavisideova funkce: H(t) = ro t < zřejmě ro f : R R latí f(t) ro t a) f(t) H(t) = ro t < f(t c) ro t c b) f(t c) H(t c) = ro t < c ( jiná značení: (t) = H(t); c (t) = H(t c) ) Věta 2.3 (o translaci) : Nechť f L je exonenciálního řádu α, Lf = F, c. Potom latí Lf(t c) H(t c) = F () e c ( > α ). Pro g(t) = f(t c) máme z Věty 2.3: Lg(t) H(t c) = Lf(t c) H(t c) = Lf(t) e c = Lg(t + c) e c. konečný imuls... f L, f(t) = ro t > t, t > často: f(t) = g(t) ( H(t a) H(t b) ), kde g L je sojitá, a < b Příklad 2.: Lf ro f(t) = sin t ro t π 2, π) ro t π 2, π) na, ) Příklad 2.2: Řešte Cauchyovu úlohu y +y = f(t), y(+) = y (+) =, kde f(t) = t 2 2t + 3 na, 2) 2t 3 na 2, ) V další větě budeme říkat funkci f L eriodická funkce s eriodou T >, jestliže ro všechna t bude latit f(t + T ) = f(t). Věta 2.4 (obraz eriodické funkce) : Nechť f L je eriodická funkce s eriodou T. Pak f je exonenciálního řádu a ro F = Lf latí F () = Je-li v situaci z Věty 2.4 f T taková funkce, že f T (t) = T f(t) e t dt e T. f(t) ro t, T ) ro t, T ) ( tj. f(t) = f T (t kt ) ro t kt, (k + )T ), k N ) a F T = Lf T, ak F () = F T () e T.

6 [ZMA5-P78] Příklad 2.3: Lf ro funkci f(t) = sin t. 2.6 Konvoluce obecně: f(t τ) g(τ) dτ dále ro f, g L ( tj. ro funkce nulové na (, ) ): Konvolucí funkcí f, g L nazýváme funkci f g definivanou ředisem ( ) t f g (t) = f(t τ)g(τ) dτ. Vlastnosti: f g = g f f (g + g 2 ) = f g + f g 2 (c f) g = f (c g) = c (f g), c R (f g) h = f (g h) Příklad 2.4 a: Z definice: f g ro f(t) = (viz obrázek KONV ke stažení), t, 3), t, 3) a g(t) = 2, t 2, 3), t 2, 3) Věta 2.5 (o obrazu konvoluce) : Nechť f, g L jsou exoneciálního řádu α, Lf = F, Lg = G. Potom L ( f g ) (t) = F () G() Z věty 2.5 máme: L F () G() = ( f g ) (t). Příklad 2.4 b: Nalezení konvoluce funkcí z říkladu 2.4 a) omocí Lalaceovy transformace. Příklad 2.5: Rovnice s očáteční odmínkou: y 5 t cos(t τ)y(τ) dτ = 8 sin t, y(+) =. Příklad 2.6: L ( 2 + ω 2 omocí konvoluce )