Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
|
|
- Vlastimil Dostál
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta
2 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné řady Taylorovy řady Fourierovy řady Táto otázka je vyracovaná hlavne odľa skrít rof. Kalendu, takže je možné že niektoré vety (nar. od rof. Pultra) budú mať iné znenie. Hlavne časť o Fourierových funkciách vyzerá byť rednášaná odlišne (menej obecne)... ;-( 3.1 Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence andree (Bodová/stejnoměrná konvergence oslounosti funkcí) Řekneme, že oslounost funkcí f n konverguje bodově k funkci f na množině M (značíme f n f), jestliže ro každé x M latí lim n f n (x) = f(x), tj. jestliže x M ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : f n (x) f(x) < ε Řekneme, že oslounost f n konverguje stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme f n f), jestliže ε > 0 n 0 N n N, n n 0 x M : f n (x) f(x) < ε Řekneme že oslounost funkcí je stejnoměrně konvergentní na M, jestliže konverguje k nějaké funkci na M. {f n } konverguje lokálně stejnoměrně k funkci f na množině M (značíme f n loc f na M), jestliže ro každé x M existuje ε > 0 takové, že f n f na M (x ε, x + ε). Věta (Kritérium stejnoměrné konvergence) Nechť M je (nerázdná) množina, f funkce definovaná na M a {f n } oslounost funkcí definovaných na M. Pak f n f, rávě když: lim su{ f n(x) f(x) ; x M} = 0, n tj. existuje n 0 N takové, že ro n n 0 je su{ f n (x) f(x) ; x M} definováno (a konečné) a tato oslounost má limitu 0. Věta (Bolzano-Cauchyho odmínka ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina, {f n } oslounost funkcí definovaných na M. Pak oslounost f n je stejnoměrně konvergentní na M, rávě když: ε > 0 n 0 N m, n N, m n 0, n n 0 x M : f n (x) f m (x) < ε 2
3 Věta (O záměně limit, Moore-Osgoodova) Nechť a, b R, a < b, f je funkce definovaná na (a, b) a {f n } oslounost funkcí definovaných na (a, b). Dále nechť f n f na (a, b) a ro každé n N existuje vlastní lim x a+ f n (x) = c n. Pak existují vlastní limity lim n c n a lim x a+ f(x) a latí: lim c n = lim f(x) n x a+ Analogicky v bodě b zleva... Jiný záis je, že latí: lim lim f n(x) = lim lim f n(x) x a+ x a+ n n a navíc jsou tyto limity vlastní, okud ro každé n N existuje vlastní limita lim x a+ f n (x) a oslounost f n je stejnoměrně konvergentní na (a, b) ro nějaké b > a. Tato věta latí i ro oboustranné limity. Věta (Sojitost limitní funkce) Nechť I R je interval, f funkce definovaná na I a {f n } oslounost funkcí definovaných na I. Jestliže f n je sojitá na I ro každé n N a f n loc f na I, ak f je sojitá na I. Věta (Záměna limity a derivace) Nechť a, b R, a < b a {f n } je oslounost funkcí definovaných na intervalu (a, b), které mají v každém bodě (a, b) vlastní derivaci. Nechť dále latí: 1. Existuje takové x 0 (a, b), že oslounost {f n (x 0 )} je konvergentní 2. Poslounost {f n} je stejnoměrně konvergentní na (a, b) Pak oslounost {f n } je stejnoměrně konvergentní na (a, b), a označíme-li f její limitu, ak funkce f má v každém bodě x (a, b) vlastní derivaci a latí f (x) = lim n f n(x). (Bodová/stejnoměrná konvergence řady funkcí) Řekneme, že řada u n konverguje bodově na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je bodově konvergentní na M, tj, ro každé x M konverguje řada u n(x). Součtem řady u n nazveme funkci S(x) = u n (x) = lim n s n (x), x M, okud řada konverguje bodově na M. Řekneme, že řada u n konverguje stejnoměrně na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je stejnoměrně konvergentní na M. Je-li navíc M R, řekneme, že řada u n konverguje lokálně stejnoměrně na množině M, okud oslounost jejich částečných součtů je lokálně stejnoměrně konvergentní. 3
4 Věta (Nutná odmínka stejnoměrné konvergence řady) Nechť řada u n konverguje stejnoměrně na množině M. Pak u n 0 na M. Věta (Srovnávací kritérium ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina a {u n }, {v n } dvě oslounosti funkcí definovaných na M, ro které latí u n (x) v n (x) ro všechna x M. Jestliže řada v n konverguje stejnoměrně na M, ak i řada u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Weierstrassovo kritérium) Nechť M je (nerázdná) množina, {u n } oslounost funkcí definovaných na M a c n konvergentní řada reálných čísel. Pokud ro každé x M latí u n (x) c n, ak řada u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Leibnizovo kritérium ro stejnoměrnou konvergenci) Nechť M je (nerázdná) množina, {u n } oslounost funkcí definovaných na M slňujících obě odmínky: 1. Pro všechna x M a n N je u n (x) u n+1 (x) 0 2. u n 0 na M Pak řada ( 1)n u n konverguje stejnoměrně na M. Věta (Dirichletovo a Abelovo kritérium) Nechť M je (nerázdná) množina a {u n }, {v n } dvě oslounosti funkcí definovaných na M, řičemž ro každé x M a každé n N latí v n (x) v n+1 (x) 0. Nechť navíc latí alesoň jedna z odmínek: 1. (Abelovo) Řada u n konverguje stejnoměrně na M, ro každé evné x je oslounost hodnot funkcí {v n (x)} monotónní (klidně ro každé x jinak) a existuje K R takové, že n N x M : v n (x) < K (tj. {v n } je stejnoměrně omezená na M). 2. (Dirichletovo) Existuje K R takové, že ro všechna x M a n N je u 1 (x) + + u n (x) K (tj. oslounost část. součtů { n i=1 u n(x)} je stejnoměrně omezená na M) a dále v n 0 na M (konverguje stejnoměrně k nulové funkci). Pak řada u n v n konverguje stejnoměrně na M. (Pozn. autora: Dále latí i věty ekvivalentní větám o záměně limit ři oslounostech... ) 3.2 Mocninné řady Nechť a R a {c n } je oslounost reálných čísel. Nekonečnou řadu funkcí tvaru c n(x a) n nazýváme mocninnou řadou o středu a. 4
5 c n(x a) n je mocninná řada o středu a. Jejím oloměrem konvergence rozumíme číslo R = su{r 0, + ) ; c n r n konverguje}, je-li uvedená množina shora omezená. Není-li shora omezená, klademe R = +. Věta c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. 1. Je-li x a < R, ak řada c n(x a) n konverguje absolutně; Je-li x a > R, ak řada c n(x a) n diverguje. 2. Je-li r (0, R), ak řada c n(x a) n konverguje stejnoměrně na množině B(a, r) = {x R; x a r} = a r, a + r. 3. Řada c n(x a) n konverguje lokálně stejnoměrně na množině B(a, R) = {x R; x a < R}. Body 2. a 3. jsou vlastně ekvivalentní. Je-li R =, ak řada konverguje lokálně stejnoměrně na celém R. Množině B(a, R), kde R je oloměr konvergence mocninné řady c n(x a) n, se říká kruh konvergence. Věta (Výočet oloměru konvergence) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. 1. Jestliže L = lim su n n c n, ak { 1 R =, L > 0, L +, L = 0 c 2. Týž vzoreček latí, je-li L = lim su n+1 n c n První bod lyne z Cauchyova odmocninového kritéria konvergence řady, druhý z D Alembertova odílového kritéria. Stejné tvrzení latí i ro limity daných výrazů v říadě, že existují. Věta (... jen omocná ro následující) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R její oloměr konvergence. Pak i mocninné řady n.c n(x a) n 1 a c n (x n+1 a)n+1 mají oloměr konvergence R. Věta (Derivace a integrace mocninné řady) c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R > 0 její oloměr konvergence. Definujme funkci f(x) = c n(x a) n, x B(a, R). Pak latí: 1. Funkce f je sojitá na B(a, R). 2. Funkce f má v každém bodě x B(a, R) vlastní derivaci a latí f (x) = n c n(x a) n Funkce F (x) = c n (x n+1 a)n+1 je rimitivní funkcí k f na B(a, R). 5
6 3.3 Taylorovy řady Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů. Pak řadu f (n) (a) (x a) n n! nazýváme Taylorovou řadou funkce f o středu a v bodě x. Nechť funkce f má v bodě a derivace všech řádů a x R. Pak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a, rávě když lim n (f(x) T a n(x)) = 0. Věta Nechť x > a a funkce f má v každém bodě intervalu a, x derivace všech řádů. Jestliže latí odmínka existuje C R takové, že ro každé t (a, x) a každé n N je f (n) (t) C, ak funkce f je v bodě x součtem své Taylorovy řady o středu a. Analogicky ro říad x < a. Věta c n(x a) n je mocninná řada o středu a a R > 0 její oloměr konvergence. Definujme funkci f(x) = c n(x a) n, x B(a, R). Pak řada c n (x a) n je Taylorovou řadou funkce f o středu a, tj. ro každé n N {0} latí c n = f (n) (a) n!. Význam Taylorových řad: aroximace funkcí říklady (Taylorovy řady elementárních funkcí): x R : ex x = k=0 1 k! xk x R : sin x = k=0 ( 1) k 1 (2k 1)! x2k 1... zjednodušení důkazů říklad (Důkaz binomické věty): Rozvineme funkci f(x) = (1 + x) α v okolí nuly. Indukcí lze ověřit, že f (k) (x) = α(α 1) (α k + 1) (1 + x) α k. Taylorova řada funkce f(x) = (1 + x) α konverguje na ( 1, 1) a je rovna hodnotě (1 + x) α : (1 + x) α = k=0 a to dává binomickou větu. α(α 1) (α k + 1) x k = k! k=0 ( ) α x k k 6
7 3.4 Fourierovy řady Obecné Fourierovy řady Nechť {ϕ n } je oslounost komlexních funkcí na a, b, z nichž žádná není konstantně nulová. Řekneme, že tato oslounost tvoří ortogonální (krátce OG) systém na a, b, jestliže ro každá dvě různá m, n N latí: Pokud navíc a a ϕ m ϕ n = 0 ϕ n 2 = 1 ro všechna n N, říkáme, že jde o ortonormální systém. Příklady OG systémů: Systém tvořený funkcemi ex 2kπix, k Z je OG na intervalu a, a + ro každé a R Systém tvořený funkcemi 1, cos 2kπx, sin 2kπx, k N je OG na intervalu a, a + ro každé a R Věta Nechť {ϕ n } je oslounost komlexních funkcí na a, b, {a n } je oslounost komlexních čísel. Jestliže f(x) = a n ϕ n (x), x a, b, a uvedená řada konverguje stejnoměrně na a, b, ak ro každé n N latí a n = fϕ a n ϕ a n. 2 (o částech sojitá funkce) Řekneme, že funkce f je o částech sojitá na a, b, jestliže existuje D = {x i } N j=0 dělení intervalu a, b takové, že ro každé j {1,..., N} je funkce f sojitá na intervalu (x j 1, x j ) a v krajních bodech tohoto intervalu má vlastní jednostranné limity. 7
8 Nechť {ϕ n } je OG systém na a, b a funkce f je o částech sojitá na a, b. Pro n N oložme a a n = fϕ n ϕ a n. 2 Tato čísla nazýváme Fourierovými koeficienty funkce f vzhledem k OG systému {ϕ n } na a, b a řadu a n ϕ n nazýváme Fourierovou řadou f vzhledem k OG systému {ϕ n } na a, b Trigonometriké Fourierovy řady (o částech sojitá eriodická funkce) Buď funkce f eriodická s eriodou > 0. Řekneme, že je o částech sojitá, je-li o částech sojitá na intervalu 0,. Nechť f je -eriodická funkce a a, b R. 1. Pak f je očástech sojitá na a, a +, rávě když je o částech sojitá na b, b a+ a f = + f, okud alesoň jeden z těchto integrálů existuje. b Nechť funkce f je -eriodická o částech sojitá funkce. Jejími trigonometrickými Fourierovými koeficienty rozumíme čísla a n = 2 0 b n = 2 f(x) cos 2πnx dx, n N {0} 0 f(x) sin 2πnx dx, n N Trigonometrickou Fourierovou řadou funkce f ak rozumíme řadu a ( a n cos 2πnx + b n sin 2πnx ) 8
9 (Besselova nerovnost) Besselova nerovnost ro trigonometrické Fourierovy řady má tvar a ( a n 2 + b n 2 ) 2 f 2. Podobná nerovnost latí i ro obecné Fourierovy řady. (Riemann-Lebesgue) důsledkem této nerovnosti je fakt, že lim a n = lim b n = 0. Věta (Persevalova rovnost) Pro trigonometrické Fourierovy řady latí v Besselově nerovnosti rovnost. Pro funkce s eriodou 2π otom latí: 1 π f 2 = a π π 2 ( a n 2 + b n 2 ) (jedna z variant záisu) 0 Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce taková, že všechny její trigonometrické Fourierovy koeficienty jsou nulové. Pak f(x) = 0 ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. Věta (Symetrie funkce a Trigonometrické Fourierovy koeficienty) Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce, a n, n N {0} a b n, n N, její trigonometrické Fourierovy koeficienty. Pak latí 1. Pro všechna n N {0} je a n = 0, rávě když f( x) = f(x) ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. 2. Pro všechna n N je b n = 0, rávě když f( x) = f(x) ro všechna x 0, s výjimkou konečně mnoha bodů. Nechť f je -eriodická o částech sojitá funkce. Řekneme, že f je o částech hladká, jestliže f je o částech sojitá. Věta (O konvergenci Fourierových řad) Nechť f je o částech hladká -eriodická funkce. Pak latí: 1. Trigonometrická Fourierova řada funkce f konverguje bodově na R a její součet v bodě x R je 1 2 (lim t x f(t) + lim t x+ f(t)) 2. Je-li f navíc sojitá na intervalu (a, b), ak její trigonometrická Fourierova řada konverguje lokálně stejnoměrně na (a, b) a její součet je f(x) ro každé x (a, b). 3. Je-li navíc sojitá na R, ak její trigonometrická Fourierova řada konverguje stejnoměrně na R a její součet je f(x) ro každé x R. 9
17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
LEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Matematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Zobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
12.1 Úvod. Poznámka : Příklad 12.1: Funkce f(t) = e t2 nemá Laplaceův obraz. Příklad 12.2: a) L{1} = 1 p, p > 0 ; b) L{ eat } = 1, [ZMA15-P73]
KAPITOLA 2: Lalaceova transformace [ZMA5-P73] 2. Úvod Lalaceovým obrazem funkce f(t) definované na, ) nazýváme funkci F () definovanou ředisem Definičním oborem funkce F F () = f(t) e t dt. je množina
Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
Přednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady
Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte
Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
16 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 16: Fourierovy řady 1 16 Fourierovy řady 16.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
Nekonečné číselné řady. January 21, 2015
Nekonečné číselné řady January 2, 205 IMA 205 Příklad 0 = 0 + 0 +... + 0 +... =? n= IMA 205 Příklad n= n 2 + n = 2 + 6 + 2 +... + n 2 +... =? + n s = 2 s 2 = 2 3... s 3 = 3 4 IMA 205 Příklad (pokr.) =
Limita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
MA2, M2. Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady. c 2009, analyza.kma.zcu.cz
1 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady 2 Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
Definice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce
1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá
19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Komplexní analýza. Fourierovy řady. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Fourierovy řady Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVU v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Fourierovy řady 1 / 20 Úvod Často se setkáváme s periodickými
Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Přednáška 6, 7. listopadu 2014
Přednáška 6, 7. listopadu 204 Část 3: nekonečné řady Základní definice. Nekonečná řada, krátce řada, je posloupnost reálných čísel (a n ) R uvedená v zápisu a n = a + a 2 + a 3 +..., spolu s metodou přiřazující
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Tomáš Salač Ú UK, FF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( Ú UK, FF UK ) 9. Vícerozměrná integrace LS 2017/18 1 / 29 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných
Kapitola 1. Funkční posloupnosti a řady
1 2 Kapitola 1 Funkční posloupnosti a řady Definice 1.1(funkční posloupnost) Funkční posloupnost( = posloupnost funkcí) je zobrazení, které každému přirozenému číslu n N přiřazuje právějednufunkci f n
IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Uzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika študenti MFF 15. augusta 2008 1 Vážený študent/čitateľ, toto je zbierka vypracovaných otázok pre bakalárske skúšky Informatikov. Otázky boli vypracované
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Nevšiml jsem si. Jedinou větší výjimkou byly Taylorovy
(verze 12. května 2015)
Pár informací o nekonečných řadách (doplňkový text k předmětu Matematická analýza 3) Pavel Řehák (verze 12. května 2015) 2 Několik slov na úvod Tento text tvoří doplněk k části předmětu Matematická analýza
Kapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
Použití derivací. V této části budou uvedena některá použití derivací. LEKCE08-PRU. Použití derivací. l Hospital
V této části budou uvedena některá použití derivací. a derivace a derivace -zbytek L HOSPITALOVO PRAVIDLO POČÍTÁNÍ LIMIT Tvrzení je uvedeno pro jednostrannou limitu zprava. Samozřejmě obdobné tvrzení platí
Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
Funkcionální řady. January 13, 2016
Funkcionální řady January 13, 216 f 1 + f 2 + f 3 +... + f n +... = f n posloupnost částečných součtů funkcionální řada konverguje na množine M konverguje posloupnost jeho částečných součtů na množine
Definice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
INTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
Diferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
Derivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
Matematika 3. Úloha 1. Úloha 2. Úloha 3
Matematika 3 Úloha 1 Co lze říci o funkci imaginární část komplexního čísla která každému komplexnímu číslu q přiřazuje číslo Im(q)? a. Je to funkce mnohoznačná. b. Je to reálná funkce komplexní proměnné.
PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
K oddílu I.1 základní pojmy, normy, normované prostory
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2015/2016 PŘÍKLADY KE KAPITOLE I K oddílu I1 základní pojmy, normy, normované prostory Příklad 1 Necht X je reálný vektorový prostor a : X
VII. Limita a spojitost funkce
VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná
3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí
10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.
1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle
Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál
VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
MKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
Matematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Riemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Teorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
sin(x) x lim. pomocí mocninné řady pro funkci sin(x) se středem x 0 = 0. Víme, že ( ) k=0 e x2 dx.
Použití mocniných řad Nejprve si ukážeme dvě jednoduchá použití Taylorových řad. Příklad Spočtěte následující limitu: ( ) sin(x) lim. x x ( ) Najdeme lim sin(x) x x pomocí mocninné řady pro funkci sin(x)
9. cvičení z Matematické analýzy 2
9. cvičení z Matematické analýzy 7. listopadu -. prosince 7 9. Určete Fourierovu řadu periodického rozšíření funkce ft = t na, a její součet. Definice: Necht f je -periodická funkce, která je integrabilní
Funkce. Limita a spojitost
Funkce. Limita a spojitost skriptum J. Neustupa text Funkce (úvod) na této web stránce III.2 Fce - základní pojmy 1. Definice, def. obor D(f), obor hodnot H(f), graf 2. Fce složená, omezená, 3. Fce sudá,
Matematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
+ n( 1)n+1 (x 7) n, poloměr konvergence 6. 3.Poloměr konvergence je vždy +. a) f(x) = x n. (x 7) n, h(x) = 7 + 7(n+1)( 1) n. ( 1)n
VÝSLEDKY I. TAYLORŮV POLYNOM. a + b + 4 4 c + 0 d e + + 4 f + + 4 g + 70 4 h 4 4. a b c d - e log a f 0 g h i j k - 4. a 7 b 4. a AK absolutně konverguje b D diverguje c D d AK e D f AK g AK II. MOCNINNÉ
Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je
74 Příloha A Funkce Γ(z) Úvod Jednou z nejdůležitějších funkcí, které se v matematice a jejích aplikacích používají je nesporně funkce Γ(z). Její důležitost se vyrovná exponenciální funkci i funkcím goniometrickým.
1. Matematická analýza definice (MP leden 2010)
1. Matematická analýza definice (MP leden 2010) Základní pojmy a definice 1. Definujte metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, hraniční bod množiny. Metrickýprostor jedvojice(m, d),kde M jemnožinabodů
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech f(x) = (sin x) x2 + 3 cos x
Příkad Nalezněte definiční obor funkce f(x) = ln arcsin + x x Určete definiční obor funkce f(x) = (cos x) cosh x + 3x a nalezněte rovnici tečen ke grafu této funkce v bodech [;?] a Určete definiční obor
Posloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
0.1 Úvod do matematické analýzy
Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Pojem funkce Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady... 2 1.2 Základnívlastnostiřad... 3
VII. Číselné řady Obsah 1 Základní pojmy a vlastnosti 2 1.1 Význačnéřady...... 2 1.2 Základnívlastnostiřad..... 3 2 Řady s nezápornými členy 3 2.1 Kritériakonvergenceadivergence...... 3 3 Řady absolutně
1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
Matematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální