3.1.1 Přímka a její části

Transkript

1 3.1.1 Přímka a její části Předoklady: Pedagogická oznámka: Úvod do geometrie atří z hlediska výuky mezi nejroblematičtější části středoškolské matematiky. Několik rvních hodin obsahuje oakování ojmů a oznatků ze základní školy nebo souisy termínů. Pro studenty jsou takové hodiny velmi nudné a ve skutečnosti vůbec neotřebují omoc učitele, rotože tyto hodiny rakticky neobsahují látku, která vyžaduje nějaké ochoení. Proto jsem se rozhodl tyto hodiny zařadit jako nácvik samostudia. Studenti si tyto hodiny (kromě úvodního ovídání) řečtou sami, udělají si slovníček termínů, které si neamatují. Tento slovníček ak mohou oužívat jak ři hodinách tak ři ísemkách. Slovníčky si kontroluji. ruhou kontrolou domácího samostudia je hodina, která obsahuje řešení říkladů, které na robrané učivo navazují a ak následuje seciální ísemka. Geometrie ůvodně věda o měření země (geo + metrein) raktický význam u ozemků) vylešování + abstrakce (žádný bod ve skutečnosti neexistuje, nic nemůže mít stejné vlastnosti jako římka) ve starověku (díky Řekům) nejvýznamnější a nejrozvinutější část matematiky (i kvůli neúsěchům s druhou odmocninou u čísel). Výsadní ostavení ztratila až v 16. století. Nejzajímavější částí české středoškolské matematiky zůstává dodnes. kolem roku 300 ř. n.l.: uklides Základy rvní matematická učebnice v moderním smyslu slova, začíná u ostulátů (výroky ovažované za ravdivé) a z nich vyvozuje a dokazuje tvrzení (věty) Nebudeme to dělat o něm, ale všechno, co budeme robírat (i zbytek geometrie) vychází z ěti ostulátů: 1. Každé dva body mohou být sojeny římkou. 2. Každá úsečka může být nekonečně rodloužena v římku. 3. Je-li dána úsečka, můžeme nakreslit kružnici, která má čáru jako oloměr a jeden z krajních bodů jako střed. 4. Všechny ravé úhly jsou shodné. 5. odem, který neleží na dané římce, je možné s touto římkou vést rávě jednu rovnoběžku. odatek: Pátý ostulát je v uklidových Základech formulován jinak, ale bývá často nahrazován tímto ekvivalentním výrokem, který je jednodušší. va tisíce let se matematici snažili dokázat átý ostulát z ředchozích čtyř a nikomu se to neovedlo. nes víme, že dokázat jej z ředchozích tvrzení není možné. Jeho nahrazením totiž získáme jiné druhy geometrií. Pokud jej oužijeme získáme geometrii v klasické rovinné odobě. Velká část geometrických vět jsou jasná tvrzení známá z běžného života, často je obtížnější je dokázat. Proto začátek geometrie využijeme k nácviku samostudia. 1

2 Na následujících stránkách bude následovat řehled základních ojmů, oužívaných v geometrii. Většinou nevyžadují žádné ochoení, síš jde o to si zaamatovat, co který ojem znamená. Protože řada ojmů je buď notorický známá nebo je samoobjasňující, není třeba se učit všechny uvedené ojmy. Zkuste si nejdřív ojem řečíst a sami si ředstavit, co může znamenat a okud je Vaše ředstava srávná nemusíte se nic učit. Pokud se Vaše ředstava liší, stačí ji zkorigovat. od idealizace místa (nemá rozměr, nezabírá lochu), modelujeme jako růsečík dvou čar, značíme velkým ísmenem va body mohou rerezentovat stejné místo slývají, jsou totožné = = na obrázku latí také Přímka idealizace nekonečné čáry (nemá tloušťku), modelujeme jako čáru, značíme malým ísmenem Podobně jako body mohou i římky slývat: r q q = r, r Vztahy mezi geometrickými útvary zaisujeme omocí značek ro množinové oerace Platí: věma různými body rochází jediná římka. římku můžeme kromě jejího názvu zaisovat i omocí těchto dvou bodů = q 2

3 Př. 1: Zaiš omocí značek ro množinové oerace vztah mezi body, a římkou na obrázku. - bod leží na římce - bod neleží na římce Pokud bod leží na římce vzniká mezi ním a římkou vzájemný vztah ( mají něco solečného ) říkáme, že bod je incidentní s římkou (a římka je incidentní s bodem ). Př. 2: Najdi důvod roč nemůžeme výraz je incidentní nahradit výrazem leží na. Výraz leží na neoisuje vzájemný vztah, rotože římka nemůže ležet na bodu. Polořímka V od V rozděluje římku na dvě navzájem oačné olořímky a je jejich solečným očátkem. Ostatní body římky náleží ouze jedné ze vzniklých olořímek, jsou jejich vnitřními body. Polořímka s očátkem V a vnitřním bodem se značí V. Př. 3: Na obrázku vybarvi olořímku oačnou k olořímce V. V Úsečka V V ody na obrázku vytváření i další útvary, naříklad úsečku. Př. 4: efinuj úsečku jako množinu bodů s určitou vlastností. Úsečka je množina bodů římky, které leží mezi body a a těchto dvou bodů. Taková to definice je sice jasná z hlediska obyčejných lidí, ale není jasná z hlediska matematiky. Nevíme, co znamená leží mezi body. Proto je úsečka definována jako růnik (množina solečných rvků) dvou olořímek. Př. 5: efinuj úsečku jako růnik dvou olořímek. Úsečka je růnik olořímek V a V (íšeme = V V ) 3

4 nebo Úsečka je růnik olořímek a (íšeme = ) ruhá možnost je leší, nevyžaduje další bod V. ody a se nazývají krajní body úsečky. Ostatní body úsečky jsou vnitřní body a dohromady tvoří vnitřek úsečky (jak řekvaivé). Př. 6: Nakresli do obrázku body a římky tak, aby jejich olohy vyhovovaly následujícím záisům: ; ; = q ;, q od leží mimo římku na římce q (aby olořímka ležela na římce q) ody a leží na římce, bod v jejím růsečíku s římkou q. od leží na olořímce ) q Př. 7: Nakresli do obrázku body a římky tak, aby vše vyhovovalo následujícím záisům: ; ; F ; F = ; = ; > 0. udeme ostuně rocházet jednotlivé odmínky a zakreslovat možnou olohu bodů. body a leží uvnitř úsečky nebo na bodech a leží mimo úsečku, tedy na jednom nebo druhém kraji F ; F bod F leží nalevo od bodu nebo v něm F F = bod F musí ležet nalevo od bodu, aby olořímka F směřovala doleva, bod se nemůže shodovat s bodem, možnost, že by body i ležely nalevo od bodu je vyloučena rvní odmínkou, tedy leží naravo od bodu 4

5 F = okud mají dvě olořímky solečný rávě jeden bod, musí mít solečný očátek, body a jsou totožné F = > 0 úsečka není nulová, body a nejsou totožné F = élka élku úsečky (značíme ) určíme orovnáváním s úsečkou, která má jednotkovou délku. Př. 8: Urči délku úsečky na obrázku: 1 élka úsečky je 5. Píšeme = 5 élka úsečky ředstavuje vzdálenost bodů a. Pokud latí = a, můžeme jako a označit i celou úsečku. Pokud latí = je délka úsečky rovna nule, úsečka se nazývá nulová. Shodnost va útvary ovažujeme za shodné okud je můžeme ztotožnit řemístěním. Př. 9: Rozhodni, kdy jsou shodné dvě římky. Každé dvě římky jsou shodné. Stejně tak jsou shodné každé dvě olořímky. Př. 10: Rozhodni, kdy jsou shodné dvě úsečky. vě úsečky jsou shodné, když mají stejnou délku, íšeme =. 5

6 Je-li Je-li >, ak říkáme úsečka je větší než úsečka. <, ak říkáme úsečka je menší než úsečka. Úsečky je možné i sčítat a odčítat. Př. 11: Zaveď sčítání a odčítání úseček dolněním vět. Součtem úseček o délkách a, b je. a > b je. Rozdílem úseček o délkách a, b ( ) Součtem úseček o délkách a, b je každá úsečka o délce a + b. a > b je každá úsečka o délce a b. Rozdílem úseček o délkách a, b ( ) Př. 12: Jsou dány dvě úsečky a b a b. a = a, = b. Sestroj graficky úsečky a + b, a-b a a b a+b b Shrnutí: 6