POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie"

Transkript

1 POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. 1. Přehled teorie Komplexní čísla. Komplexní čísla jsou objekty tvaru α+iβ, kde α, β R. Množina všech komplexních čísel se značí C. Rovnost komplexních čísel: α + iβ = γ + iδ (α, β) = (γ, δ) (α=γ & β=δ). Komplexní číslo α + i0 ztotožňujeme s reálným číslem α. Komplexní číslo i není reálné, platí pro něj i = 1. Sčítání a násobení komplexních čísel podle běžných pravidel (komutativní, asociativní, distributivní zákon). Polynomy. Nechť n je celé číslo, n 1. Polynom n-tého stupně je funkce P tvaru (1) P (x) = a n x n + + a 1 x + a 0, x R (resp. x C) a k C jsou koeficienty, a n 0. Úmluva: v dalším jen a k R! algebraická rovnice... P (x) = 0. kořen polynomu P... řešení rovnice P (x) = 0. Pro malá n máme speciální názvosloví pro polynomy stupně n: n = 1... nulový n = 0... konstantní nenulový n = 1... lineární n =... kvadratický n =... kubický x + 1 = 0... žádné reálné řešení! Ale má komplexní řešení x = i, x = i!! Pozorování. Polynom můžeme zapsat různýmy způsoby (např. (x 1) a x x + 1 jsou dva zápisy téhož polynomu), ale zápis ve tvaru (1) je jednoznačný, koeficienty a i jsou tedy určeny polynomem P. Základní věta algebry. Každý nekonstantní polynom má v C kořen. Důkaz základní věty algebry stojí na hlubokých úvahách matematické analýzy. Násobnost kořenu. Řekneme, že z je k-násobný kořen polynomu P, jestliže existuje polynom Q tak, že P (x) = (x z) k Q(x), Q(z) 0. k... násobnost kořenu z polynomu P. Rozklad na kořenové, resp. ireducibilní činitele. Rozklad tvaru P (x) = a 0 (x z 1 )(x z )... (x z n ) nazveme rozklad P na kořenové činitele (nemusí existovat!). Uspořádané n-tici (z 1,..., z n ) pak říkáme seznam kořenů. Ten je určen jednoznačně až na permutace. V seznamu kořenů se každý k-násobný kořen opakuje právě k-krát. Uvažujme polynom x (x 1). Seznam kořenů je (0, 0, 1), množina všech kořenů je {0, 1}. Seznam kořenů zřejmě poskytuje úplnější informaci, lze z něj vyčíst i násobnost kořenů. Řekneme-li polynom má dva kořeny, je třeba se dohodnout, v jakém významu je to míněno, zda jde o délku seznamu kořenů, nebo počet prvků množiny kořenů. V tomto textu se dohodněme na druhém významu, tj. počet prvků množiny. Indukcí snadno dostaneme ze základní věty algebry existenci rozkladu na komplexní kořenové činitele. V reálném oboru je situace složitější, tam dostaneme jen rozklad tvaru P = Q 1... Q m na tzv. ireducibilní činitele. Ireducibilní polynom. Řekneme, že polynom P je ireducibilní, jestliže neexistuje rozklad P = Q 1... Q m, v němž by všechny činitele měly stupeň menší než stupeň P. 1 Přednáška na krajském soustředění matematické olympiády, Sloup v Čechách,

2 Pozorování. Každý polynom stupně n 1 se dá rozložit na ireducibilní činitele. Věta. (a) Každý ireducibilní polynom na C je lineární. (b) Každý ireducibilní polynom na R je lineární nebo kvadratický. Je-li kvadratický, tj. ax + bx + c, pak má záporný diskriminant (tj. D = b 4ac). Důkaz se opírá o základní větu algebry. Důsledek. Každý polynom lichého stupně má v R kořen. Důkaz. Rozložíme-li P na ireducibilní činitele, stupeň n polynomu P je součtem stupňů těchto činitelů, tedy součtem jedniček a dvojek. Jelikož n je liché číslo, musí být mezi sčítanci jednička, P je dělitelný lineárním polynomem a tudíž má kořen. Viètovy vztahy. Důležitým pomocníkem při práci s polynomy jsou Viètovy vztahy mezi koeficienty a kořeny polynomu, rozložitelného na kořenové činitele. Stupeň polynomu může být jakýkoli, zde se pro jednoduchost omezíme na kvadratické a kubické polynomy. Vyjdeme z rozkladu kvadratického polynomu na kořenové činitele: ) ax + bx + c = a(x z 1 )(x z ) = a (x (z 1 + z )x + z 1 z, dostáváme Podobně pro kubický polynom dostáváme b = a(z 1 + z ), c = a z 1 z. ax + bx + cx + d = a(x z 1 )(x z )(x z ) b = a(z 1 + z + z ), c = a(z 1 z + z 1 z + z z ), d = a z 1 z z. Vzorce na řešení algebraických rovnic. Lineární a kvadratické rovnice se řeší pomocí známých vzorců. Rovnice kubické a rovnice čtvrtého stupně se také dají řešit pomocí vzorců (tzv. Cardanovy vzorce), ty jsou však natolik složité, že se jim snažíme vyhnout kdykoli to jde. Pro rovnice vyšších stupňů lze dokázat, že žádný obecný algoritmus, který by spočíval v konečném počtu aritmetických operací a odmocňování, neexistuje. Rozcvička. Nechť p, q R. Řešte soustavu rovnic (1) u + v = p, uv = q. Řešení. Použijeme Viétovy vztahy, podle nich (u, v) řeší soustavu (1), právě když (u, v) je seznam kořenů x + px + q. Řešení nalezneme podle vzorců na řešení kvadratické rovnice, tedy u = p + p 4q, v = p p 4q, Další řešení je (v, u) (v diskusi pozor na případ u = v), žádné jiné už není.. Návodné úlohy Zde vyřešíme tzv. návodné úlohy domácí části školního kola MO. Chceme řešit P (Q(x)) = 0, kde P, Q jsou kvadratické polynomy. Co to je? Nechť (f 1, f ) je seznam kořenů P. Potom P (Q(x)) = 0 Q(x) {f 1, f }.

3 Napišme Q ve tvaru Q(x) = ax + bx + c. Řešení hledáme ve tvaru x = s + y, kde s je x-ová souřadnice vrcholu paraboly f = Q(x), tj. s = b a. Po této substituci ay + c b 4a {f 1, f }, ay D 4a {f 1, f } { y {r1, r} := Tedy y {±r 1, ±r }, x {s ± r 1, s ± r }. Může se stát, že některé z čísel (jako násobek i). D 4a + fi a (D = b 4ac), D 4a + f1 a, D 4a + f a }. je záporné, pak lze příslušné r i najít jen v komplexním oboru Úloha (49. ročník MO, A-I-1). Nechť P je kvadratický trojčlen. Určete všechny kořeny rovnice P (x + 4x 7) = 0, víte-li, že je mezi nimi číslo 1 a aspoň jeden kořen je dvojnásobný. Řešení. Řešení hledáme ve tvaru s ± r 1, s ± r, kde s =. Má-li být jedno řešení 1, pak r 1 = a druhé řešení je 5. Pak jsou dvě možnosti: (a) Dvojnásobný je některý z kořenů 1, 5. Pak je dvojnásobný i druhý z nich, r 1 = r. Seznam kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 je pak (1, 5, 1, 5). (b) Dvojnásobný je kořen ± 0. Seznam kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 je pak (1, 5,, ). Poznámka. Řešení úlohy je třeba chápat takto: Pro pevnou dvojici polynomů P, Q existuje jen jeden seznam kořenů až na permutace. Zadání úlohy ale může vyhovovat více dvojic polynomů (P, Q) a proto je zapotřebí provést další diskusi rozdělením na případy (a), (b). Podobná situace nastává v následující úloze. Úloha (49. ročník MO, A-I-1). Nechť P, Q jsou kvadratické trojčleny. Určete čtvrtý kořen rovnice znáte-li její kořeny, 7, 1. P (Q(x)) = 0, Řešení. Řešení hledáme ve tvaru s ± r 1, s ± r, hledaný čtvrtý kořen označme z. Rozlišíme tři případy: (a) s = 1 (7 + 1) = 10. Potom = 10, z = 10 + = 4. (b) s = 1 ( + 1) = 9. Potom 7 = 9 +, z = 9 = 16. (c) s = 1 ( + 7) = 15. Potom 1 = , z = = 8. Úloha. Řešte rovnici P (x) = x 5 9x 4 + kx x 9 x + 0 = 0, víte-li, že tato rovnice má aspoň dva reálné kořeny, které se liší jen znaménkem. Kolik je za těchto předpokladů k? Řešení. Buď L polynom z lichých členů P a S polynom ze sudých členů P, tedy L(x) = x 5 + kx 9 x, S(x) = 9x4 x + 0 Nechť P (z) = P ( z) = 0. Potom z řeší i L(x) = 0 a S(x) = 0, protože S(x) = 1 (P (x) + P ( x)), L(x) = 1 (P (x) P ( x)). Rovnice S(x) = 0 má řešení x = 15 9, x = 4. Protože z R, je z = 4. Dosadíme do rovnice L(z) = 0 a dostaneme 0 = z(z 4 + kz 9 ) = z( k 9 ). Vynásobíme 4z, máme 0 = 4 + k, tedy 65 k =.

4 Víme, že polynom P je dělitelný kvadratickým polynomem x 4, dále pokusem zjistíme, že má kořen 1, odtud rozklad P (x) = x 5 9x x x 9 x + 0 = (x 4 )(x 9x + x 15) = (x 4 )(x 1)(x 8x + 15) = (x )(x + )(x 1)(x )(x 5) To je rozklad na kořenové činitele, seznam kořenů je tedy ( 4, 4, 1,, 5).. Rovnice třetího stupně Úloha. Kolik má rovnice P (x) = x px = 0 reálných řešení? Řešení. Protože stupeň je lichý, existuje aspoň jeden reálný kořen, označme jej z taktických důvodů t. Vydělme P kořenovým činitelem x t, najdeme rozklad Tedy Odtud P (x) = (x t)q(x), kde Q = (x + t) + r. x px = (x t)(x + tx + (t + r)) = x (t r)x t(t + r). p = t 1 r, 1 = t(t + r) (a) t je jediný a jednonásobný kořen P. Potom Q nemá žádný reálný kořen, tedy r > 0, t < 1 a p < 1. (b) Má-li P tři (různé) reálné kořeny, potom lze P rozložit v R na kořenové činitele. Buď (z 1, z, z ) seznam kořenů, pak z 1 + z + z = 0, tedy můžeme předpokládat t 0. Polynom Q má dva různé reálné kořeny, tedy r < 0, t > 1 a p > 1. (c) P má dvojnásobný kořen. Je-li t 0 dvojnásobný kořen, pak seznam kořenů je (t, t, 4t) a součin kořenů je, spor. Má-li tedy P dvojnásobný kořen, je to kořen záporný t, je to též dvojnásobný kořen Q a tudíž r = 0, t = 1 a p = 1. Skutečně, seznam kořenů rovnice x x = 0 je (, 1, 1). (d) P nemůže mít trojnásobný kořen, neboť bychom dostali spor jako v prvé části (b). Nyní můžeme úvahy obrátit. Např. je-li p > 1, nemůže nastat žádný z případů (a), (b), (d), tudíž nastane (b) a P má tři reálné kořeny. Závěr. Rovnice x px má: p < 1... jeden jednonásobný reálný kořen. p > 1... tři (různé) reálné kořeny. p = 1... seznam kořenů (, 1, 1). Obecná kubické rovnice. Význam předchozí úlohy tkví v tom, že každý kubický polynom P (x) = ax +bx +cx+d s nenulovým absolutním členem d lze vhodnou a snadno nalezitelnou substitucí převést na z pz. Vzorečky nevypadají vábivě (a nebudeme je zde uvádět), ale postup je zřejmý z následující úlohy. K dané kubické rovnici tedy neumíme snadno najít reálné kořeny, ale umíme odvodit, kolik jich bude. Pokud rovnice má dvojnásobný kořen, umíme jej najít (a tím najdeme i zbývající kořen). Pokud absolutní člen d je nulový, je situace ještě jednodušší, protože pak můžeme z polynomu vytknou činitel x, tj. P (x) = xq(x), kde Q je kvadratický. Úloha. Řešte rovnici x + x 8x 1 = 0. Řešení. Podle Viètových vztahů je součet kořenů číslo 1. Použijeme substituční metodu: po substituci x = y 1 bude součet kořenů 0, tedy Q(y) = P (y 1 ) = (y 1 ) + (y 1 ) 8(y 1 ) 1 = (y y + 1 y 1 7 ) + (y y ) + ( 8y + 8 ) ) 1 = y 5 y 50 7 = 15 7 (( y5 ) y5 4

5 Po další substituci z = y 5 se původní rovnice převádí na z z = 0 (máme obrovské štěstí: p = ). Zpětná substituce obnáší y = 5 z, x = y + 1. Dostáváme (z 1, z, z ) = (, 1, 1), (y 1, y, y ) = ( 10, 5, 5 ), (x 1, x, x ) = (,, ). Úloha. Dokažte, že pro x je x( x ). Řešení. x( x ) = (x x + ) = (x 1) (x + ). Úloha. Dokažte, že pro x 4 je x(6 6x x ) <. Řešení. Vhodnou substitucí převedeme na nerovnost z předchozí úlohy. Uvažujme P (x) = x +6x 6x. Pro Q(y) = P (y ) bude součet kořenů (koeficient u y ) 0 a tím se situace zjednoduší. Máme Q(y) = (y ) + 6(y ) 6(y ) = (y 6y + 1y 8) + (6y 4y + 4) + (6y 1) = y 6y + 4 = 4 y(6 y ). ) y(6 y ) = y ( y ( ( y ) ) = y. Položme z = y/, tedy y = z. Potom x > 4 = y = x + > = z = y/ > >, a tak y(6 y ) z( z ) 4. Tedy x(6 6x x ) P (x) = Q(y) = y(6 y ) <. 4. Rovnice čtvrtého stupně Úloha. Rozložte polynom P (x) = x 4 x na reálné ireducibilní činitele. Řešení. tedy y + y = (y + )(y 1), x 4 x = (x + )(x 1) = (x + )(x + 1)(x 1). Úloha. Rozložte polynom P (x) = x na reálné ireducibilní činitele. Řešení. Postup z předchozí úlohy nelze okopírovat, protože rovnice y + 1 = 0 nemá reálné kořeny. Ale x = (x + 1) x = (x x) (x + 1 x). Reciproká rovnice. Rovnici čtvrtého stupně P (x) = ax 4 + bx + cx + dx + e = 0, jež má seznam (komplexních) kořenů (z 1, z, z, z 4 ) takový, že z 1 z = z z 4 = 1, se říká reciproká rovnice. Název pochází z pozorování z řeší P (x) = 0 = 1/z řeší P (x) = 0. Dosazením do Viètových vztahů dostaneme b = a(z z z 4 +z 1 z z 4 +z 1 z z 4 +z 1 z z ) = a(z +z 1 +z 4 +z ) = d, e = a z 1 z z z 4 = a. Bez újmy na obecnosti předpokládejme a = 1. Úloha. Rozložte reciproký polynom na reálné kvadratické činitele. P (x) = x 4 + bx + cx + bx + 1 5

6 Řešení. Chceme x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + s)(x + vx + t). Položme u 1 = u, v 1 = v, u = vs, v = ut, f = uv. Tedy Porovnáním koeficientů vidíme Tedy dvojice (u 1, v 1 ), (u, v ) splňují x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ). u 1 + v 1 = u + v = b, u + v = b, u v u 1 v 1 = 1. uv = f. Tato soustava má dvě řešení lišící se jen permutací. Máme tedy dvě možnosti (a) (u, v) := (u 1, v 1 ) = (u, v ), tedy (b) (u, v) := (u 1, v 1 ) = (v, u ), tedy (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ) = (x + ux + u v )(x + vx + v u ). (x + u 1 x + u v 1 )(x + v 1 x + v u 1 ) = (x + ux + 1)(x + vx + 1). Nemáme záruku, že obě cesty povedou k rozkladu na reálné kvadratické polynomy, ale protože z věty o ireducibilních polynomech plyne existence nějakého rozkladu na kvadratické polynomy, aspoň jedna z cest musí vést k cíli. Případ (a). Porovnáním koeficientů u x, x dostaneme x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + u v )(x + vx + v u ). u v + uv + v u = c, u + v = b. Položme r = uv. Potom první rovnici vynásobíme r, druhou umocníme na druhou a celé přepíšeme: u + r + v = cr, u + r + v = b. Odečtením těchto rovnic dostaneme kvadratickou rovnici pro r: r ( + c)r + b = 0. Získáme-li řešení r, pro hledanou dvojici (u, v) dostaneme soustavu kterou již umíme řešit. u + v = b, uv = r, Případ (b). x 4 + bx + cx + bx + 1 = (x + ux + 1)(x + vx + 1). Porovnáním koeficientů u x, x dostaneme soustavu uv = c, kterou umíme řešit. Poznámka. Rozklad polynomu hledáme ve tvaru nebo u + v = b, x 4 + bx + cx + λbx + λ x 4 + bx + cx + λbx + λ = (x + ux λu v )(x + vx λv u ), x 4 + bx + cx + λbx + λ = (x + ux λ)(x + vx λ). Úloha. Nechť žebřík o délce l = 4 10 je opřen o bednu o rozměrech 1 1, o stěnu a o podlahu. Jak vysoko dosáhne? 6

7 Řešení. Bedna dělí délku žebříku na dva úseky. Označme si x výšku horního úseku. Potom výška dolního úseku je 1, horizontální průmět horního úseku je 1 a horizontální průmět dolního úseku je 1/x. Podle Pythagorovy věty je součet délek úseků Po umocnění na druhou neboli což je reciproká rovnice. Zkusíme rozložit Dostáváme soustavu Hledáme seznam řešení rovnice y y Rozložili jsme polynom na l = x x + 1. l = x x + 1 x + x + 1, x 4 + x + l + x + 1 = 0, x 4 + x + l + x + 1 = (x + ux + 1)(x + vx + 1). uv = ( l ) = 160 9, u + v =, y 1, = 1 ±, což je = 1 ± 1. x 4 + x + l + x + 1 = (x + 16 x + 1)(x 10 x + 1) První z nalezených kvadratických trojčlenů nemá reálné kořeny, druhý lze rozložit x 10 x + 1 = (x )(x 1 ). Použijeme-li větší kořen x =, dosáhneme do výšky x + 1 = 4. A. Řešte rovnice (a) x 4 5 x + 11 x = 0, (b) 16x 4 + 8x x + 1 = 0. B. Kolik kořenů má polynom 4x + 1x 9? 5. Cvičení C. Rozložte co nejvíc polynomů x n + 1, x n 1, na reálné ireducibilní činitele (aniž byste v odvození používali komplexní čísla). Příklady: x + 1 = x + 1. x 1 = (x + 1)(x 1). x + 1 = (x + 1)(x x + 1). x 1 = (x 1)(x + x + 1). x = (x + 1) x = (x + x + 1)(x x + 1). x 4 1 = (x + 1)(x 1) = (x + 1)(x + 1)(x 1). 7

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Věta o dělení polynomů se zbytkem

Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)

Více

)(x 2 + 3x + 4),

)(x 2 + 3x + 4), 3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem

Více

Pomocný text. Polynomy

Pomocný text. Polynomy Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

1 Polynomiální interpolace

1 Polynomiální interpolace Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,

Více

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.

z = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i. KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení

Více

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy...

Polynomy. Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1.1 Teorie Zavedení polynomů Operace s polynomy... Polynomy Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................

Více

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy

4C. Polynomy a racionální lomené funkce. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s odmocninami. Polynomy 4C. Polynomy a racionální lomené funkce Polynomy a racionální funkce mají zvláštní význam zejména v numerické a aplikované matematice. Patří mezi tzv. algebraické funkce, ke kterým patří také funkce s

Více

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30

Polynomy nad Z p Konstrukce faktorových okruhů modulo polynom. Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Počítání modulo polynom 3. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Počítání modulo polynom 1/30 Obsah 1 Polynomy nad Zp Okruh Zp[x] a věta o dělení se zbytkem 2 Kongruence modulo polynom,

Více

2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:

2. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy: Sbírka příkladů z polynomů pro předmět Cvičení z algebry I Dělení v okruzích polynomů 1. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy a) (x 5 + x 3 2x + 1) : ( x 3 + x + 1), b) (3x 3 + 10x 2 + 2x 3) : (5x 2 + 25x

Více

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice

M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.

Více

Těleso racionálních funkcí

Těleso racionálních funkcí Těleso racionálních funkcí Poznámka. V minulém semestru jsme libovolnému oboru integrity sestrojili podílové těleso. Pro libovolné těleso R je okruh polynomů R[x] oborem integrity, máme tedy podílové těleso

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,

Více

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala

Matematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.

Více

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí

Polynomy. Vlasnosti reálných čísel: Polynom v matematice můžeme chápat dvojím způsobem. 5. (komutativitaoperace )provšechnačísla a, b Rplatí Polynomy Vlasnosti reálných čísel: 1 (komutativitaoperace+)provšechnačísla a, b Rplatí, a+b=b+a 2 (asociativitaoperace+)provšechnačísla a, b, c Rplatí a+(b+c)=(a+b)+c, 3 (existencenulovéhoprvku)provšechnačísla

Více

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar

Příklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30

Generující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou

Více

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu.

[1] Definice 1: Polynom je komplexní funkce p : C C, pro kterou. pro všechna x C. Čísla a 0, a 1,..., a n nazýváme koeficienty polynomu. Polynomy Polynom je možno definovat dvěma způsoby: jako reálnou nebo komplexní funkci, jejichž hodnoty jsou dány jistým vzorcem, jako ten vzorec samotný. [1] První způsob zavedení polynomu BI-LIN, polynomy,

Více

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY

EUKLIDOVSKÉ PROSTORY EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,

Více

a a

a a 1.. Cíle V této kapitole se naučíme určovat zejména celočíselné kořeny některých polynomů. Výklad Při výpočtu hodnoty polynomu n k p( x) = ak x n-tého stupně n 1 v bodě x 0 C k = 0 musíme provést ( n 1)

Více

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011

Jan Kotůlek. verze 3 ze dne 25. února 2011 Integrace racionálních lomených funkcí Jan Kotůlek (kombinované studium, první soustředění) verze 3 ze dne 5. února 0 Abstrakt Tento článek je koncipován jako rozšířený zápis průběhu prvního soustředění

Více

1 Lineární prostory a podprostory

1 Lineární prostory a podprostory Lineární prostory a podprostory Přečtěte si: Učebnice AKLA, kapitola první, podkapitoly. až.4 včetně. Cvičení. Které z následujících množin jsou lineárními prostory s přirozenými definicemi operací?. C

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).

[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon). Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem

Více

4 Počítání modulo polynom

4 Počítání modulo polynom 8 4 Počítání modulo polynom Co se vyplatilo jendou, vyplatí se i podruhé. V této kapitole zavedeme polynomy nad Z p a ukážeme, že množina všech polynomů nad Z p tvoří komutativní okruh s jednotkou. Je-li

Více

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a

Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus. 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): f) M = { a Sbírka příkladů z okruhů a polynomů Algebra I Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus 1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, ): a) M = {a + i a R}, b) M = {a + i

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1 2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina

Více

Charakteristika tělesa

Charakteristika tělesa 16 6 Konečná tělesa V této kapitole budeme pod pojmem těleso mít na mysli vždy konečné komutativní těleso, tedy množinu s dvěma binárními operacemi (T, +, ), kde (T, +) je komutativní grupa s neutrálním

Více

M - Kvadratické rovnice

M - Kvadratické rovnice M - Kvadratické rovnice Určeno jako učební tet pro studenty denního i dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací

Více

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic

Matematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Lineární algebra : Báze a dimenze

Lineární algebra : Báze a dimenze Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22 Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

0.1 Úvod do lineární algebry

0.1 Úvod do lineární algebry Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání

Více

Základy aritmetiky a algebry II

Základy aritmetiky a algebry II Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický

Více

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti

V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení

Více

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy

8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy 24 8 Kořeny cyklických kódů, BCH-kódy Generující kořeny cyklických kódů Nechť K je cyklický kód délky n nad Z p s generujícím polynomem g(z). Chceme najít rozšíření T tělesa Z p, tedy nějaké těleso GF

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 TEORIE ČÍSEL 000/001 Cifrik, M-ZT Příklad ze zadávacích listů 10 101 Dokažte, že číslo 101 +10 je dělitelné číslem 51 Důkaz:

Více

Polynomy a racionální lomené funkce

Polynomy a racionální lomené funkce Polnom a racionální lomené funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Polnom Definice a základní pojm Násobnost kořene Počet kořenů Kvadratický polnom Rozklad na součin kořenových

Více

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory

ALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)

Více

6.1 Vektorový prostor

6.1 Vektorový prostor 6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}

[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R} Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální

Více

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ

SPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu

Více

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).

vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x). Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.

2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi. Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R

Více

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:

a počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí: Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se

Více

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost

kuncova/, 2x + 3 (x 2)(x + 5) = A x 2 + B Přenásobením této rovnice (x 2)(x + 5) dostaneme rovnost . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/, kytaristka@gmail.com Příklady Najděte primitivní funkce k následujícím funkcím na maimální možné podmnožině reálných čísel a tuto množinu určete.. f()

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Matematika I (KMI/5MAT1)

Matematika I (KMI/5MAT1) Přednáška první aneb Úvod do algebry (opakování ze SŠ a možná i ZŠ) Seznámení s předmětem Osnova přednášky seznámení s předmětem množiny pojem množiny operace s množinami číselné obory intervaly mocniny

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

Program SMP pro kombinované studium

Program SMP pro kombinované studium Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0

Více

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b =

ALGEBRA. 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = , b = ALGEBRA 1 Úkol na 13. 11. 2018 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel a a b. a) a = 204, b = 54, b) a = 353 623, b = 244 571. 2. Připomeňte si, že pro ε = cos 2π 3 + i sin

Více

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti

PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,

Více

Úvod do lineární algebry

Úvod do lineární algebry Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky

Více

1 Vektorové prostory.

1 Vektorové prostory. 1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace

Vektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi

Více

Aplikovaná numerická matematika - ANM

Aplikovaná numerická matematika - ANM Aplikovaná numerická matematika - ANM 3 Řešení soustav lineárních rovnic iterační metody doc Ing Róbert Lórencz, CSc České vysoké učení technické v Praze Fakulta informačních technologií Katedra počítačových

Více

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list

Obsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

Základy elementární teorie čísel

Základy elementární teorie čísel Základy elementární teorie čísel Jiří Velebil: X01DML 29. října 2010: Základy elementární teorie čísel 1/14 Definice Řekneme, že přirozené číslo a dělí přirozené číslo b (značíme a b), pokud existuje přirozené

Více

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,

Úlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2, Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se

Více

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)

Věta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6) 1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht

Více

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)

(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce

Více

Úlohy nejmenších čtverců

Úlohy nejmenších čtverců Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.

Více

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty

9.3. Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Nyní přejdeme k řešení úplné lineární rovnice druhého řádu. I v tomto případě si nejprve ujasníme, v jakém tvaru můžeme očekávat řešení, poté se zaměříme

Více

Kapitola 7: Integrál.

Kapitola 7: Integrál. Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci

Více

Funkce pro studijní obory

Funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Lineární algebra : Změna báze

Lineární algebra : Změna báze Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1 2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,...,

Více

1 Řešení soustav lineárních rovnic

1 Řešení soustav lineárních rovnic 1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A

Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A 1. V obdélníku ABCD o stranách AB = 9, BC = 8 leží vzájemně se dotýkající kružnice k 1 (S 1, r 1 ) a k 2 (S 2, r 2 ) tak,

Více

16. Goniometrické rovnice

16. Goniometrické rovnice @198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny

Více

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14

Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České

Více

Diferenciální rovnice 3

Diferenciální rovnice 3 Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty

Více

Klauzurní část školního kola kategorie A se koná

Klauzurní část školního kola kategorie A se koná 56. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie 1. rčete všechna reálná čísla s, pro něž má rovnice 4x 4 20x 3 + sx 2 + 22x 2 = 0 čtyři různé reálné kořeny, přičemž součin

Více

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27

BCH kódy. Alena Gollová, TIK BCH kódy 1/27 7. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK 1/27 Obsah 1 Binární Alena Gollová, TIK 2/27 Binární jsou cyklické kódy zadané svými generujícími kořeny. Díky šikovné volbě kořenů opravuje kód

Více

Symetrické a kvadratické formy

Symetrické a kvadratické formy Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso

Více

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice

Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Nerovnice v součinovém tvaru, kvadratické nerovnice Příklad: Pro která x R je součin x x 5 kladný? Řešení: Víme, že součin je kladný, mají-li oba činitelé stejné znaménko. Tedy aby platilo x x 5 0, musí

Více

10. Vektorové podprostory

10. Vektorové podprostory Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Definice. Bud V vektorový prostor nad polem P. Podmnožina U V se nazývá podprostor,

Více