Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
|
|
- Jana Marešová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40
2 Obsah 1 Vektory 2 Matice Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 2 / 40
3 Skaláry a vektory Vektory Veličiny popisující svět kolem nás lze rozdělit do dvou skupin: Skalární veličiny jediné číslo udávající jejich velikost - množství - vzdálenost - čas - hmotnost - teplota Vektorové veličiny více čísel v určeném pořadí - poloha částice v prostoru (3 souřadnice) - orientovaná síla (velikost a směr) - stav populace (počet a čas) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 3 / 40
4 Vektory Vektor Necht n N. Uspořádanou n-tici reálných čísel v 1, v 2,..., v n nazýváme (reálným) vektorem. v 1 v v = 2. Rn n...dimenze (rozměr) vektoru v v 1, v 2,..., v n...složky (souřadnice) vektoru v Vektory často (kvůli úspoře místa) zapisujeme do řádku, tj. v n v = (v 1, v 2,..., v n ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 4 / 40
5 Vektory Operace s vektory Sčítání vektorů definujeme po složkách, tj. pro v, w R n máme v + w = (v 1, v 2,..., v n ) + (w 1, w 2,..., w n ) = (v 1 + w 1, v 2 + w 2,..., v n + w n ) R n. Násobení vektoru v R n skalárem α R definujeme tak, že každou složku vektoru v vynásobíme skalárem α, tj. α v = α(v 1, v 2,..., v n ) = (αv 1, αv 2,..., αv n ) R n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 5 / 40
6 Vektory Vektor 0 = (0, 0,..., 0) nazýváme nulový vektor. Pro libovolné α R, v R n platí: v + 0 = v, α 0 = 0. Vektor v = 1 v nazýváme opačný vektor k vektoru v. Platí v + ( v) = v v = 0. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 6 / 40
7 Vektory Vektorový prostor Pro všechny vektory v, w R n a skaláry α, β R platí: (1) v + w = w + v, (2) α v = vα, (3) α( v + w) = α v + α w, (4) (α + β) v = α v + β v, (5) α(β v) = (αβ) v, (6) 1 v = v. Množinu všech n-rozměrných vektorů splňující operace (1)-(6), tj. sčítání vektorů a násobení vektoru skalárem, nazýváme n-rozměrný vektorový prostor. Značíme jej V n či jednoduše R n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 7 / 40
8 Vektory Vektorový prostor je uzavřen na operace sčítání vektorů a násobení vektoru reálným číslem. Je-li V n vektorový prostor, v, w V n, a, b R, pak v + w V n, a v V n, a v + b w V n. Vektory lze zobrazit jako orientované průvodiče bodů (v R 2, R 3 ): Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 8 / 40
9 Vektory Vektor lze zadat pomocí počátečního a koncového bodu (orientovaná úsečka z A do B): w = AB = B A Vektor je dán velikostí a směrem zelené šipky jsou různá umístění téhož vektoru w. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 9 / 40
10 Vektory Necht v 1, v 2,..., v m R n a α 1, α 2,..., α m R. Vektor w = α 1 v 1 + α 2 v α m v m = m α i v i i=1 nazýváme lineární kombinací vektorů v 1, v 2,..., v m. Příklad Vektor w = ( 1, 5, 4) je lineární kombinací vektorů u = (1, 2, 3) a v = ( 3, 1, 2). Skutečně: 2 u + v = 2 (1, 2, 3) + ( 3, 1, 2) = ( 1, 5, 4) = w Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 10 / 40
11 Vektory Lineární závislost a nezávislost vektorů Řekneme, že vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou lineárně závislé, jestliže platí alespoň jedna z podmínek: Jeden z vektorů je lineární kombinací ostatních. Existují čísla c 1, c 2,..., c m R taková, že alespoň jedno z nich je nenulové a platí m c i v i = c 1 v 1 + c 2 v c m v m = 0. i=1 V opačném případě řekneme, že vektory jsou lineárně nezávislé: m c i v i = c 1 v 1 + c 2 v c m v m = 0 c 1 = c 2 = = c n = 0 i=1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 11 / 40
12 Vektory Vektory v 1, v 2,..., v m R n jsou zcela jistě lineárně závislé, jestliže: Příklad je mezi nimi alespoň jeden nulový vektor jsou mezi nimi alespoň dva vektory stejné jeden z daných vektorů je násobkem jiného m > n Vektory u = (1, 2, 3), v = ( 3, 1, 2) a w = ( 1, 5, 4) jsou lineárně závislé. Skutečně: w = 2 u + v Případně: 2 u + v w = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 12 / 40
13 Vektory Příklad Vektory v 1 = (1, 1, 1), v 2 = (1, 1, 1) a v 3 = (1, 0, 1) jsou lineárně závislé. Skutečně: Leží v jedné rovině. v 2 = 2 v 3 v 1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 13 / 40
14 Vektory Necht u, v R n. Číslo u v = u 1 v 1 + u 2 v u m v m = m u i v i i=1 nazýváme skalární součin vektorů u, v. Dva vektory u a v jsou ortogonální (zobecnění pojmu kolmost) právě tehdy, když u v = 0. Příklad Určete, zda jsou vektory u = ( 3, 7, 2) a v = ( 1, 5, 4) ortogonální. Řešení: u v = 30 nejsou ortogonální Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 14 / 40
15 Vektory Báze vektorového prostoru Libovolnou n-tici ( v 1, v 2,..., v n ) lineárně nezávislých vektorů z vektorového prostoru V n nazýváme bází vektorového prostoru V n. Systém vektorů ( e 1, e 2,..., e n ) prostoru V n, kde e 1 = (1, 0, 0,..., 0), e 2 = (0, 1, 0,..., 0),. e n = (0, 0, 0,..., 1), nazýváme kanonickou bází prostoru V n. Necht ( v 1, v 2,..., v n ) je libovolná báze vektorového prostoru V n. Potom každý vektor v z prostoru V n je lineární kombinací vektorů z této báze, tj. existují čísla α 1, α 2,..., α n taková, že platí v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 15 / 40
16 Vektory Jestliže pro každý vektor báze platí v i v j = 0 pro i j, pak nazveme tuto bázi ortogonální. Jestliže je báze ortogonální a navíc v i v i = 1 pro i = 1, 2,..., n, pak nazveme tuto bázi ortonormální. Kanonická báze je ortogonální i ortonormální. Příklad Zjistěte, zda vektory u = (1, 1, 1), v = (0, 1, 1) a w = (0, 0, 1) tvoří bázi ( u, v, w) vektorového prostoru V 3. Řešení: Musí platit: a 1 u + a 2 v + a 3 w = 0 a 1 = a 2 = a 3 = 0 (lineární nezávislost) Tedy (a 1, a 1 + a 2, a 1 + a 2 + a 3 ) = (0, 0, 0) a 1 = a 2 = a 3 = 0 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 16 / 40
17 Matice Matice (Reálnou) maticí typu m n rozumíme obdélníkové číselné schéma a 11 a 12 a 1n a A = 21 a 22 a 2n......, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,..., m, j = 1,..., n, nazýváme prvky matice A. Matici A s prvky a ij značíme také A = (a ij ). Množinu všech matic typu m n značíme Mat m n (R). Hlavní diagonála matice typu m n je posloupnost prvků (a 11, a 22,..., a ii ), kde i = min{m, n}. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 17 / 40
18 Matice Typy matic Čtvercová matice řádu n je matice typu n n. Diagonální matice je čtvercová matice, která má všude nuly s výjimkou hlavní diagonály. Nulová matice O je matice, která má všechny prvky nulové. Jednotková matice I (nebo E) je matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všude jinde nuly. Schodovitá matice je matice mající pod hlavní diagonálou samé nuly (každý řádek začíná větším počtem nul než předešlý). A T = (a ji ) je transponovaná matice k matici A = (a ij ). Matice A T vznikne záměnou řádků a sloupců v matici A. Necht matice A a B mají stejný počet řádků. Blokově rozšířenou matici (A B) určíme tak, že prvky matic A a B napíšeme vedle sebe a dáme do jedné matice (A B). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 18 / 40
19 Matice Příklad Jsou dány matice ( ) 1 0 A =, B = 0 1 Matice A je - čtvercová řádu 2 - jednotková - schodovitá Matice B je schodovitá. Matice C - je čtvercová řádu 3 - není schodovitá ( ) , C = 0 1 3, D = Matice D je transponovaná k matici B, tedy B = D T a také D = B T. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 19 / 40
20 Sčítání a odčítání matic Matice Sčítání a odčítání matic stejných rozměrů definujeme po složkách, tj. pro A, B Mat m n (R) máme A ± B = (a ij ) ± (b ij ) = (a ij ± b ij ) Mat m n (R). Příklad = Příklad ( ) ( ) = nelze (matice mají různé rozměry) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 20 / 40
21 Matice Násobení matice skalárem Násobení matice A Mat m n (R) skalárem α R definujeme tak, že každou složku matice A vynásobíme skalárem α, tj. αa = α(a ij ) = (αa ij ) Mat m n (R). Příklad = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 21 / 40
22 Matice Násobení matic Necht matice A je typu m p a B je matice typu p n. Součinem matic A a B rozumíme matici C typu m n, pro jejíž prvky platí c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a ip b pj = p = a ik b kj, k=1 pro i = 1,..., m, j = 1,..., n. Píšeme C = AB Platí: A m p B p n = C m n Při násobení matic vznikne prvek c ij jako skalární součin i-tého řádku matice A a j-tého sloupce matice B. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 22 / 40
23 Matice Příklad K maticím A = a B = 0 4 určete C = AB a D = BA Řešení: C = = D = = nelze (nemají správné rozměry) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 23 / 40
24 Matice Příklad Jsou dány matice A = 1 3, B = Spočtěte 3A 2B, AB T, A T B. Řešení: 6 7 3A 2B = , AB T = , A T B = ( ) Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 24 / 40
25 Příklad Matice Společnost prodává 5 modelů počítačů A, B, C, D, E v prodejnách P 1, P 2, P 3. Velkoobchodní (V) a maloobchodní (M) ceny (v dolarech) a počty kusů každého typu počítače ve skladech jednotlivých obchodů jsou A B C D E P P P V M A B C D E Určete hodnotu skladovaného zboží v jednotlivých prodejnách. Řešení: = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 25 / 40
26 Matice Vlastnosti operací na maticích Pro všechny matice A, B Mat m n (R) a skaláry α, β R platí: (1) A + B = B + A, (2) αa = Aα, (3) α(a + B) = αa + αb, (4) (α + β)a = αa + βa, (5) α(βa) = (αβ)a, (6) 1A = A. Podobně jako vektory, tak i všechny matice typu m n tvoří vektorový prostor V dimenze m n s operacemi sčítání matic a násobení matice skalárem. Tyto operace splňují vlastnosti vektorového prostoru, což odpovídá právě operacím (1)-(6). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 26 / 40
27 Matice Necht A, B, C jsou matice vhodných rozměrů. Pak platí zákony asociativity a distributivity (AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC. Součin matic není komutativní, tj. AB BA a obecně tedy nelze zaměňovat pořadí násobení matic. Necht A Mat m n (R). Potom platí A I n = A a I m A = A. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 27 / 40
28 Matice Elementární řádkové úpravy Následující úpravy matice nazýváme elementární řádkové úpravy: výměna dvou řádků matice, vynásobení řádku matice nenulovým číslem, přičtení jednoho řádku matice k jinému řádku, vynechání nulového řádku matice. Řekneme, že matice A a B jsou ekvivalentní a píšeme A B, jestliže lze matici A převést konečným počtem výše uvedených operací na matici B. Každou matici lze konečným počtem elementárních řádkových úprav převést na schodovitý tvar. Tomuto postupu říkáme Gaussova eliminační metoda. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 28 / 40
29 Matice Převod matice na schodovitý tvar (1) V matici najdeme sloupec nejvíce vlevo s alespoň jedním nenulovým prvkem. (2) Zvolíme v tomto sloupci jeden z nenulových prvků (tzv. pivota) a přemístíme řádek, ve kterém se nachází, na pozici prvního řádku (pomocí výměny řádků). (3) Pomocí elementárních řádkových úprav vynulujeme prvky pod pivotem. Vznikne-li nulový řádek, vynecháme ho. (4) Kroky (1)-(3) opakujeme na podmatici, která vznikne z původní matice vynecháním řádku s pivotem. (5) Postup opakujeme, dokud není matice ve schodovitém tvaru. Kdykoliv během postupu můžeme některý řádek vynásobit, nebo vydělit vhodným číslem tak, abychom matici zjednodušili. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 29 / 40
30 Matice Příklad Převed te matici A = na schodovitý tvar. Řešení: A = I II II + III I + III Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 30 / 40
31 Matice Hodnost matice Necht A Mat m n (R). Hodností h(a) matice A rozumíme maximální počet lineárně nezávislých řádků v matici A. Příklad Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Hodnost matice ve schodovitém tvaru je rovna počtu jejích nenulových řádků. Matice transponovaná má stejnou hodnost jako matice původní. V předchozím příkladu jsme zjistili, že tedy h(a) = A = , Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 31 / 40
32 Příklad Matice Určete hodnost matice A = Řešení: h(a) = Převodem matice na schodovitý tvar lze zjistit lineární závislost/nezávislost vektorů: Naskládáme vektory do matice po řádcích (či po sloupcích). Jestliže hodnost matice = počet vektorů, pak jsou vektory lineárně nezávislé a můžou tvořit bázi. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 32 / 40
33 Matice Příklad Jsou dány vektory u = (1, 1, 1), v = ( 1, 8, 7), w = (5, 2, 3). Zjistěte, zda tvoří bázi vektorového prostoru R 3. Pokud ano, rozhodněte, zda se jedná o bázi ortogonální či ortonormální. Řešení: Vektory jsou lineárně nezávislé a tvoří ortogonální bázi, která není ortonormální ( u u 1). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 33 / 40
34 Matice Inverzní matice Necht A je čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A 1 řádu n taková, že platí A A 1 = I = A 1 A, nazýváme matici A 1 inverzní maticí k matici A. Necht A je čtvercová matice řádu n a h(a) = n (matice A má lineárně nezávislé řádky). Pak řekneme, že matice A je regulární. V opačném případě řekneme, že matice A je singulární. Ke čtvercové matici A existuje inverzní matice A 1 právě tehdy, když je matice A regulární. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 34 / 40
35 Výpočet inverzní matice Matice (1) Matici A blokově rozšíříme o jednotkovou matici stejné velikosti, čímž získáme blokově rozšířenou matici (A I). (2) Pomocí elementárních řádkových úprav převedeme matici A na schodovitý tvar (pracujeme s celými řádky rozšířené matice). (3) Stejným způsobem vynulujeme prvky nad pivoty (směrem zprava doleva) dokud nezískáme diagonální matici. (4) Každý řádek matice vydělíme diagonálním prvkem. (5) Tím jsme matici A převedli na matici I a matici I na matici A 1. Výsledná rozšířená matice je tedy (I A 1 ). Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 35 / 40
36 Matice Příklad Najděte inverzní matice k maticím A, B a C A = 3 4, B = 1 0 4, C = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 36 / 40
37 (B I) = Matice I + II, II + III /5 1/5 6/ /5 1/5 1/5 2 I + III /5 1/5 1/5 2 III + I, /5 2/5 2/5 II + I 6 III + II Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 37 / 40
38 Matice Tedy /5 1/5 4/ /5 1/5 6/ /5 1/5 1/ /5 1/5 4/ /15 1/15 6/ /5 1/5 1/5 1 3 = (I B 1 ) 4/5 1/5 4/5 B 1 = 11/15 1/15 6/15 = /5 1/5 1/ Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 38 / 40
39 Matice (C I) = I + II, II + III I + III Matice C není regulární (h(c) = 2), tedy k ní neexistuje inverzní matice. Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 39 / 40
40 Matice Příklad Najděte inverzní matici k maticím A = 2 2 1, B = Řešení: A 1 = , B 1 = Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 40 / 40
Vektory a matice. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Vektory a matice Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA VEKTORY, MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VíceUspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ). Čísla a 1, a 2,..., a n se nazývají složky vektoru
1 1. Lineární algebra 1.1. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Hodnost matice Aritmetické vektory Uspořádanou n-tici reálných čísel nazveme aritmetický vektor (vektor), ā = (a 1, a 2,..., a n ).
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra Operace s vektory a maticemi
Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceLineární algebra. Matice, operace s maticemi
Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceMatematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34
Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceMnožinu všech matic typu m n nad tělesem T budeme označovat M m n (T ), množinu všech čtvercových matic stupně n nad T pak M n (T ).
Matice Definice 4.1 Necht (T ; +, je číselné těleso, m, n N a dále necht a ij T pro všechny indexy i = 1, 2,..., m a j = 1, 2,..., n. Potom schéma a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n... = (a ij m n a m1
VíceSoustavy lineárních rovnic
Přednáška MATEMATIKA č 4 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel 973 442029 email:jirineubauer@unobcz 27 10 2010 Soustava lineárních rovnic Definice Soustava rovnic a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a
VíceDeterminanty. Obsah. Aplikovaná matematika I. Pierre Simon de Laplace. Definice determinantu. Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu.
Determinanty Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Determinanty Definice determinantu Sarrusovo a křížové pravidlo Laplaceův rozvoj Vlastnosti determinantu Výpočet determinantů 2 Inverzní
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceMatice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n
[1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem
Vícepříkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů, které jsem nestihl (na které jsem zapomněl) a(b u) = (ab) u, u + ( u) = 0 = ( u) + u.
Několik řešených příkladů do Matematiky Vektory V tomto textu je spočteno několik ukázkových příkladů které vám snad pomohou při řešení příkladů do cvičení. V textu se objeví i pár detailů které jsem nestihl
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
VíceVEKTOROVÝ PROSTOR. Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru.
VEKTOROVÝ PROSTOR Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání, odčítání vektorů a reálný násobek vektoru. Soubor n-složkových vektorů je libovolná skupina vektorů,
VíceHODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA HODNOST A DETERMINANT MATICE, INVERZNÍ MATICE Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceMatice. Přednáška MATEMATIKA č. 2. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.
Přednáška MATEMATIKA č. 2 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 13. 10. 2010 Uspořádané schéma vytvořené z m n reálných čísel, kde m, n N a 11 a 12 a
VíceVektorový prostor. d) Ke každému prvku u V n existuje tzv. opačný prvek u, pro který platí, že u + u = o (vektor u nazýváme opačný vektor k vektoru u)
Hodnost matice Vektorový prostor Vektorový prostor V n je množina všech n-složkových vektorů spolu s operacemi sčítání vektorů a reálný násobek vektoru, přičemž platí: a) V n je uzavřenou množinou vůči
VíceDrsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice
Drsná matematika I 5. přednáška Vektory a matice Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 3. 2007 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Vektory 3 Matice nad skaláry 4 Ekvivalentní úpravy matic
VíceČtvercové matice. Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců
Determinant matice Čtvercové matice Čtvercová matice je taková matice, jejíž počet řádků je roven počtu jejích sloupců Determinant je zobrazení, které přiřadí každé čtvercové matici A skalár (reálné číslo).
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Víceftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/
Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
Vícez textu Lineární algebra
2 Úvodní poznámky Petr Olšák Výcuc z textu Lineární algebra určeno pro promítání na přednášce Úvod do algebry http://www.olsak.net/linal.html ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/ http://math.feld.cvut.cz/skripta/ua/
VíceÚvodní informace Soustavy lineárních rovnic. 12. února 2018
Úvodní informace Soustavy lineárních rovnic Přednáška první 12. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace 2 Soustavy lineárních rovnic 3 Matice Frobeniova věta Úvodní informace Olga Majlingová : Na Okraji, místnost
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceDeterminant matice řádu 5 budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku nebo sloupce. Aby byl náš výpočet
Řešené příklady z lineární algebry - část 2 Příklad 2.: Určete determinant matice A: A = 4 4. Řešení: Determinant matice řádu budeme počítat opakovaným použitím rozvoje determinantu podle vybraného řádku
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceCílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi
2.2. Cíle Cílem této kapitoly je uvedení pojmu matice a jejich speciálních typů. Čtenář se seznámí se základními vlastnostmi matic a s operacemi s maticemi Předpokládané znalosti Předpokladem zvládnutí
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
VíceDeterminanty. Determinanty. Přednáška MATEMATIKA č. 3. Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 3 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 21. 10. 2010 Uvažujme neprázdnou množinu přirozených čísel M = {1, 2,..., n}. Z kombinatoriky
VíceEukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)
Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,
VícePoznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.
Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,
VíceHisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném rušení ) Muhammada ibn Músá al-chvárizmího (790? - 850?, Chiva, Bagdád),
1 LINEÁRNÍ ALGEBRA 1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci
Vícerozumíme obdélníkovou tabulku
Přednáška : Matice Matice poskytují velmi účinný způsob jak úsporně zapisovat mnoho lineárních problémů. Navíc je tento způsob velmi vhodný pro jejich zadání do počítačových programů, které dokáží tyto
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceP 1 = P 1 1 = P 1, P 1 2 =
1 Výpočet inverzní matice Věta 1 Necht P U elementární matice vzniklá el úpravou U Pak je P U regulární Důkaz: Protože elementární úprava U je invertovatelná, existuje el úprava U, která vrací změny U
VíceObsah. Lineární rovnice. Definice 7.9. a i x i = a 1 x a n x n = b,
Obsah Lineární rovnice Definice 77 Uvažujme číselné těleso T a prvky a 1,, a n, b T Úloha určit všechny n-tice (x 1,, x n ) T n, pro něž platí n a i x i = a 1 x 1 + + a n x n = b, i=1 se nazývá lineární
VíceALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA. 1. část - Lineární algebra. doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc.
ALGEBRA A TEORETICKÁ ARITMETIKA 1. část - Lineární algebra doc.rndr. Jarmila Novotná, CSc. doc.rndr. Milan Trch, CSc. Obsah 1 Aritmetické vektory 2 1.1 Základní pojmy............................ 2 1.2
VíceVektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,
Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),
VíceVĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
VĚTY Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. věta Nechť M = {x 1, x 2,..., x k } je množina vektorů z vektorového prostoru
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceGymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 14. Matice. Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D.
Gymnázium, Brno, třída Kapitána Jaroše 4 Závěrečná maturitní práce Matice Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno 20 Jakub Juránek Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně a
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního
VíceSoustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém
1 1.2. Soustavy lineárních rovnic Soustava lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic o n neznámých je systém a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2...
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceMatice. a m1 a m2... a mn
Matice Nechť (R, +, ) je okruh a nechť m, n jsou přirozená čísla Matice typu m/n nad okruhem (R, +, ) vznikne, když libovolných m n prvků z R naskládáme do obdélníkového schematu o m řádcích a n sloupcích
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceLineární algebra. Soustavy lineárních rovnic
Lineární algebra Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/28.0326
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceVEKTORY. Obrázek 1: Jediný vektor. Souřadnice vektoru jsou jeho průměty do souřadných os x a y u dvojrozměrného vektoru, AB = B A
VEKTORY Vektorem se rozumí množina všech orientovaných úseček, které mají stejnou velikost, směr a orientaci, což vidíme na obr. 1. Jedna konkrétní orientovaná úsečka se nazývá umístění vektoru na obr.
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
Více6.1 Vektorový prostor
6 Vektorový prostor, vektory Lineární závislost vektorů 6.1 Vektorový prostor Nechť je dán soubor nějakých prvků, v němž je dána jistá struktura vztahů mezi jednotlivými prvky nebo v němž jsou předepsána
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
Více2. ZÁKLADY MATICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY
2. ZÁKLADY MAICOVÉ ALGEGRY 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY V této kapitole se dozvíte: jak je definována reálná nebo komplexní matice a co rozumíme jejím typem; co jsou to prvky matice, co vyjadřují jejich indexy
VíceSlovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy
1 Lineární algebra Slovo ALGEBRA pochází z arabského al-jabr, což znamená nahrazení. Toto slovo se objevilo v názvu knihy islámského matematika Hisab al-džebr val-muqabala ( Věda o redukci a vzájemném
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceALGEBRA. Téma 1: Matice a determinanty
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava tel (553 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 1: Matice a determinanty 1 Přehled základních pojmů a tvrzení Základní pojmy Číselná
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více[1] Determinant. det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici
[1] Determinant je číslo jistým způsobem charakterizující čtvercovou matici det A = 0 pro singulární matici, det A 0 pro regulární matici používá se při řešení lineárních soustav... a v mnoha dalších aplikacích
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Víceprvního semestru oboru odborná informatika. Látka je rozložena do deseti kapitol, které jsou uspořádány v souladu se skripty [5]
1 ÚVOD Cílem mé práce je sestavit sbírku úloh z lineární algebry. Ta je určena především pro posluchače prvního semestru oboru odborná informatika. Látka je rozložena do deseti kapitol, které jsou uspořádány
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Báze vektorových prostorů, transformace souřadnic Michal Botur Přednáška
VíceSoustavy lineárních rovnic
Soustavy lineárních rovnic Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
VíceMatice. Martina Šimůnková. 9. března Katedra aplikované matematiky. Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března / 20
Matice Martina Šimůnková Katedra aplikované matematiky 9. března 28 Martina Šimůnková (KAP) Matice 9. března 28 1/ 2 Základní pojmy 1 Základní pojmy Matice, řád matice, prvky matice, řádky a sloupce matice
Více