SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n =

Transkript

1 SBÍRKA n PŘÍKLADŮ Z MATEMATIKY kde n = Mgr. Petr Říman Gymnázium Ostrava-Zábřeh, Volgogradská a červen 017

2

3 1. Vypočítejte: 1 0, ,75. Vypočítejte:. Vypočítejte: ( 4 4) ( + ) ( i) [ + 4i] : i + i 4. Řešte rovnici v oboru Z: x + 4 x 4 = 5 5. Určete největší reálné číslo x z množiny všech řešení nerovnice: x 5x Řešte rovnici s neznámou x v oboru Z: x 5 x + 1 = x Řešte soustavu rovnic v oboru R + x R + : xy = 1 x 0y = 9,5 8. Zjistěte, pro které hodnoty reálného parametru m má rovnice s neznámou x R právě jedno řešení: mx(x 1) mx(x + 1) = 1, Celý bazén by se naplnil prvním přívodem za hodiny, druhým přívodem za hodin. Nejprve byl napouštěn oběma přívody současně. Po 80 minutách došlo k poruše na druhém přívodu. Kolik minut bude trvat dopuštění celého bazénu pouze prvním přívodem? 10. Automobilka plnila dodávku vozů tak, že denně jich vyrobila stejný počet. Kdyby denně vyrobila o 8 vozů více, splnila by dodávku o 15 dnů dříve, než plánovala. Za kolik dní splní továrna objednávku? 11. Ze dvou stanic na železniční trati vzdálených 105 km vyjedou současně dva rychlíky. Jedou-li proti sobě, po 0 minutách jízdy se přiblíží na vzdálenost 5 km. Vyjedou-li stejným směrem, pak po 4 minutách jízdy bude jejich vzdálenost 81 km. Vypočítejte rozdíl rychlostí obou vlakových souprav. 1

4 1. Z 9 zaměstnanců podniku nepoužívá pro dojíždění do práce tramvaj lidí. Zaměstnanců, kteří používají při dojíždění pouze autobus, je třikrát více než těch, kteří používají pouze tramvaj. Těch, kteří používají při dojíždění oba dopravní prostředky, je o méně než těch, kteří nepoužívají žádný dopravní prostředek. Kolik zaměstnanců podniku dojíždí do práce autobusem? 1. Určete obor pravdivosti reálné výrokové formy a vytvořte kvantifikací pravdivý výrok: x + 4 = x 14. Určete, ve kterém bodě protíná souřadnou osu y tečna grafu kvadratické funkce f: y = x + x + 4 se směrnicí k = 7. a určete souřadnice obou jeho průsečíků se souřadný- 15. Načrtněte graf funkce f(x): y = 0(x 0) x 0 mi osami. 1. Řešte rovnici v oboru R: 4 x 5 = x Řešte rovnici v oboru R: log log log x 15 = Řešte rovnici v oboru R + : 5 log (4x + ) + log 4x + = 4 5 log (4x + ) Stanovte základní velikost orientovaného úhlu φ = 77π ve stupňové míře. 0. Najděte řešení rovnice v intervalu x 0 ; 90 (výsledek vyjádřete ve stupňové míře): sin x + cos x = 0 1. Na těleso působí dvě síly svírající úhel o velikosti 45. Výslednice sil má velikost 0 N a svírá s jednou z působících sil úhel o velikosti 15. Vypočítejte velikost této síly.. Z vrcholu pozorovatelny vysoké 0 m a vzdálené 40 m od břehu řeky se jeví šířka řeky pod zorným úhlem Vypočítejte šířku řeky.. V aritmetické posloupnosti platí: Určete 11. člen této posloupnosti. a 1 + a = a 5 a = 4

5 4. Vypočítejte: n=1 58 8n 5. Vypočítejte součet nekonečné geometrické řady s 1. členem a 1 = 7 a kvocientem q = Průměrný roční přírůstek populace živočišného druhu v dané lokalitě je 1,8 %. Za kolik let vzroste počet jedinců na,9 násobek původního počtu? 7. Kolika různými způsoby lze z devítičlenného výboru, ve kterém je mužů a ženy, vybrat čtyřčlennou delegaci, ve které budou právě muži? 8. Zmenšíme-li počet prvků o, zmenší se počet tříčlenných kombinací vybíraných z těchto prvků o 4. Vypočítejte původní počet prvků. 9. Řešte rovnici s neznámou n N: ( n + n + 1 ) + (n + n ) = n + n Řešte rovnici s neznámou x R: ( 0 n 1 x ) = n=1 x Najděte všechna reálná řešení rovnice: x x(58 + i) = 0( i). Zjednodušte: (n + 4)! (n + 1)! (n 1)! (n 4)! 0(n + 1)! (n 1)!. Určete, pro kterou hodnotu x R je třetí člen binomického rozvoje ( x 1 8 ) roven V neprůhledné krabici je pět hmatem neodlišitelných koulí, z nich jsou černé, dvě bílé. Určete v % pravděpodobnost, že při náhodném výběru dvou koulí budou vybrány koule různých barev. 5. Učitel zadal 5 žákům třídy vypracovat domácí úkol. 1 žáků vyřešilo úkol úspěšně, žáci neúspěšně a zbylí žáci na úkol zapomněli. Jaká je pravděpodobnost, že mezi dvěma náhodně vybranými žáky třídy bude alespoň jeden žák, který nevyřešil úspěšně úkol? (Výsledek vyjádřete v procentech.). Na úřadu získá práci v průměru 11 uchazečů ze 100. Jaká je pravděpodobnost, že z 18 uchazečů získají práci alespoň dva? Výsledek zaokrouhlete na celá procenta.

6 7. Tabulky uvádí četnosti stáří členů místního šachového klubu: věk četnost věk četnost Určete modus, medián a průměrný věk členů klubu. 8. Určete hodnotu parametru a R tak, aby vektory u = (1; 0; 1), v = ( 5; 10; a ) svíraly úhel o velikosti Určete hodnotu parametru a R tak, aby vektory u, v, w byly navzájem lineárně závislé: u = (0; 1; 4), v = ( ; 1; ), w = ( a ; 0; 50 a) Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV s vrcholy: A[; ; 4], B[ 1; 4; ], D[0; ; 5], V[; ; 11]. 41. Stanovte hodnotu reálného parametru m tak, aby přímka p: (4 m)x + (m + )y + 0,1m = 0 procházela průsečíkem přímek q 1 : x y + = 0, q : x + y + 5 = Vypočítejte vzdálenost mimoběžek: p = {[5 t; 1 + t; 15], t R}, q = {[ + s; s; 5 + 5s], s R} 4. Určete odchylku rovin: ρ: x y = 0, σ: x + z = Je dána kuželosečka: 10x + y + 0x y = 0. Vypočítejte její excentricitu. 45. Vypočítejte: lim x 15(x 4) x 4 4. Vypočítejte směrnici tečny grafu funkce f: y = 5tg x v bodě x 0 = π Z kartonu tvaru čtverce o rozměrech, x, metru vystřihneme ve všech rozích stejné čtverečky a složíme krabici. Určete, kolik centimetrů musí měřit strana vystřihnutých čtverečků, aby krabice měla maximální objem. 48. Vypočítejte: 4 0 (18 x x 1) dx. 49. Vypočítejte obsah rovinného útvaru omezeného křivkami: y = 1x, x y 1 = 0, y = 0 4

7 50. Vrcholy tětivového čtyřúhelníku rozdělují kružnici na oblouky s délkami v poměru 1:4::4. Vypočítejte odchylku jeho úhlopříček. 51. V pravoúhlém trojúhelníku s odvěsnou délky 45 cm má výška na přeponu délku cm. Vypočítejte délku jeho druhé odvěsny. 5. Vypočítejte velikost vnitřního úhlu u vrcholu A v trojúhelníku ABC s délkami stran a = 1 cm, b = 15 cm, c = 4 cm. 5. Obsah pláště pravidelného čtyřbokého jehlanu s obsahem podstavy 0 cm je 40 cm. Vypočítejte odchylku boční stěny od roviny podstavy. 54. Bod M je střed hrany AV pravidelného šestibokého jehlanu ABCDEFV, jehož podstavná hrana má délku a = cm, výška v = cm. Určete odchylku přímky BM od roviny ABC. 55. Je dána krychle ABCDEFGH s hranou a = 0 cm. Vypočítejte vzdálenost vrcholu H od přímky ASCG. 5. Je dán pravidelný šestiboký jehlan ABCDEFV s podstavnou hranou délky 40 cm. Určete jeho výšku, je-li odchylka rovin ABV, DEV Určete velikost úhlu mezi stranou rotačního kužele a jeho podstavou, jestliže se obsah pláště tělesa rovná dvojnásobku obsahu jeho podstavy. 58. Nádoba tvaru polokoule je zcela naplněna vodou. Nakloníme-li ji o úhel α = π, vyteče z ní 1 litrů vody. Kolik litrů vody v ní zůstane? 59. Kolik procent zemského povrchu leží mimo oblast tropického pásma (tj. severně a jižně od obou obratníků se zeměpisnou šířkou φ = 7 )? Zaokrouhlete na celá procenta. 0. Vypočítejte: 0e 0! + 0i ( 0 0 ) : (0 0) 0π 5