Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY

Transkript

1 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY Zadania : 1. Riešte rvnicu x + 3x + 6 = 3 x + 7x (3 dy). V nepriehľadnm vrecku je 10 červených guliek. Najmenej kľk ielych guliek musíme vlžiť d tht vrecka ay pravdepdnsť že náhdne vytiahnutá guľka ude červená la menšia ak 30 %? (3 dy) 3. Základne pravidelnéh zrezanéh ihlana ABCDEFGH sú štvrce s stranami 6 cm a 1 cm jeh plášť sa skladá z štyrch zhdných rvnramenných lichežníkv. Vypčítajte výšku tht zrezanéh ihlana ak viete že sah jeh plášťa sa rvná súčtu sahv základní. (4 dy) 4. V rvine sú dané dy A [ 0 ; 0] B [ 6 ; 0]. Nájdite a narysujte mnžinu všetkých takých dv C rviny že A B C sú vrchlmi trjuhlníka v ktrm AC = BC. (5 dv) 5a. V rvnramennm lichežníku ABCD má uhl DAB veľksť 60 a s tht uhla prechádza stredm S základne CD. Uhlpriečka AC má dĺžku 1 m. S presnsťu na milimetre vypčítajte vd lichežníka ABCD (5 dv) 5. Funkcia f : y = x 6x 40 vznikla súčinm lineárnej funkcie g a k nej inverznej funkcie g. Nájdite predpis funkcie g. (5 dv) 4 Štátny pedaggický ústav

2 Generálna skúška NKMS 004 Riešenia a hdntenie : 1. Riešte rvnicu x + 3x + 6 = 3 x + 7x (3 dy) Riešenie (1. krk) P umcnení idvch strán rvnice na druhú pstupne dstaneme 3 P pätvnm umcnení máme x + 3x + 6 = 9 6 x + 7x x + 7x + 11 (1) 6 x + 7x + 11 = 4x + 14 () x + 7x + 11 = x + 7. (3) 9x + 63x + 99 = 4x + 8x + 49 (4) 5x + 35x + 50 = 0 (5) x + 7x + 10 = 0. (6) Kreňmi rvnice (6) sú čísla x 1 = 5 x = teda riešením pôvdnej rvnice môže yť len niektré z nich. (. krk skúška správnsti) Rzhdnúť ktré z čísel x 1 = 5 x = je hľadaným riešením mžn jedným z nasledujúcich pstupv: Dsadením hdnôt x 1 x d pôvdnej rvnice x + 3x + 6 = 3 x + 7x + 11 zistíme že x = je a x 1 = 5 nie je jej riešením; Hľadané riešenie je t z čísel x 1 x pre ktré sú splnené tiet pdmienky: (a) x + 7x (teda x patrí d definičnéh ru pravej strany pôvdnej rvnice; ľavá strana pôvdnej rvnice je definvaná pre všetky x R ) () 3 x + 7x (pre tiet x je pôvdná rvnica ekvivalentná s rvnicu (1)) (c) x (pre hdnty x spĺňajúce pdmienky (a) a (c) sú rvnice (3) a (4) ekvivalentné). Dsadením čísel x 1 x d týcht pdmienk zistíme že len pre x = sú splnené všetky tri (čísl x = 5 spĺňa prvé dve ale nespĺňa tretiu). 1 Riešením rvnice je čísl. Pznámka. Mnžinu M 1 všetkých riešení nervnice z pdmienky (a) je M 1 = ; ; pdmienka () je splnená pre x M = M 1 pdmienka (c) pre ; 41 = ; ; 41 Štátny pedaggický ústav 5

3 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY x M 3 = ;. Prienikm týcht trch mnžín je M 1 M M3 = ; ; na tejt mnžine je teda rvnica (6) ekvivalentná s pôvdnu rvnicu. Hdntenie za rvnicu (6) 1 d z th za rvnicu (1) 05 du za výpčet kreňv rvnice (6) 05 du za preverenie že x = je riešením 05 du za preverenie že x 1 = 5 nie je riešením 05 du za dpveď 05 du 6 Štátny pedaggický ústav

4 Generálna skúška NKMS 004. V nepriehľadnm vrecku je 10 červených guliek. Najmenej kľk ielych guliek musíme vlžiť d tht vrecka ay pravdepdnsť že náhdne vytiahnutá guľka ude červená la menšia ak 30 %? (3 dy) Riešenie Nech x je pčet ielych guliek ptm pravdepdnsť že náhdne vytiahnutá guľka ude červená je P = 10. (1) 10 + x Pdľa zadania má platiť P < 0 3 teda hľadané x je riešením nervnice 10 < 03 ; () 10 + x pstupnými úpravami dstaneme 10 < x 7 < 03x (3) 70 x > = 33. (4) 3 Hľadané x je prirdzené čísl; najmenšie prirdzené čísl spĺňajúce nervnsť (3) je x = 4. D vrecka trea vlžiť aspň 4 ielych guliek. Pznámka. Rvnicu (3) mžn dstať aj tut úvahu: pmer pčtu červených guliek k pčtu ielych guliek musí yť menší ak 3 : 7 tj <. (5) x 7 Hdntenie za nervnicu ktrej riešením má yť čísl x (napr. () (5)) 15 du z th za vyjadrenie pravdepdnsti vytiahnutia červenej guľky (výraz (1)) 1 d za vyriešenie nervnice () 05 du za hdntu x = 4 získanú správnym pstupm 05 du za dpveď 05 du Štátny pedaggický ústav 7

5 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY Základne pravidelnéh zrezanéh ihlana ABCDEFGH sú štvrce s stranami 6 cm a 1 cm jeh plášť sa skladá z štyrch zhdných rvnramenných lichežníkv. Vypčítajte výšku tht zrezanéh ihlana ak viete že sah jeh plášťa sa rvná súčtu sahv základní. (4 dy) 8 Riešenie Riešenie I. Nech m je výška rvnramennéh lichežníka ABFE pdľa zadania má platiť m = (1) dtiaľ 36 m = 180 m = 5. Výšku v ihlana môžeme teraz nájsť jednu z nasledujúcich úvah: Rezm danéh ihlana rvinu ktrá je rvnežná s hranu AB ale BC a je klmá na základňu ABCD je rvnramenný lichežník ktrý má základne dĺžk a = 1 cm a = 6 cm a ramená dĺžky m = 5 cm. Hľadaná výška v ihlana je výšku tht lichežníka. Pdľa Pytagrvej vety platí 1 6 p dsadení v = 5 = 16 v = 4 cm. Štátny pedaggický ústav a v = m () Z Pytagrvej vety môžeme vypčítať dĺžku AE ramena lichežníka ABFE AB EF AE = + m 1 6 p dsadení AE = + 5 = 34 AE = 34 cm. Rvnramenný lichežník ACGE má základne dĺžk AC = 1 a EG = 6 (sú nimi uhlpriečky štvrca s stranu dĺžky 1 cm resp. 6 cm) a ramená dĺžky AE = CG = 5 cm. Hľadaná výška v ihlana je výšku tht lichežníka. Pdľa Pytagrvej vety platí AC EG v = AE (3) 1 6 p dsadení 34 v = = 16 v = 4 cm. Výška ihlana ABCDEFGH má veľksť v = 4 cm.

6 Generálna skúška NKMS 004 Riešenie II. Zvľme v priestre súradnicvú sústavu tak ay platil A [ 6 ; 6 ; 0] C [ 6 ; 6 ; 0] vrchly udú mať ptm súradnice B [ 6 ; 6 ; 0] D [ 6 ; 6 ; 0]. E [ 3 ; 3 ; v] F [ ; 3 ; v] G [ 3 ; 3 ; v] H [ 3 ; 3 ; v] zadania má platiť. Zvyšné 3. Označme m výšku rvnramennéh lichežníka BCGF pdľa m = (4) Čísl m je dĺžku úsečky GX kde d [ 6 ; 3 ; 0] X je priesečníkm priamky BC a priemetu priamky HG d rviny xy (v rvine xy má priamka BC rvnicu x = 6 a priemet priamky HG rvnicu y = 3 ) teda Dsadením (5) d (4) dstávame ( 3 6) + ( 3 3) + ( v 0) = 9 v m = GX = +. (5) 36 = 9 + v 180 = 9 + v 5 v = 4 (cm). Výška ihlana ABCDEFGH má veľksť v = 4 cm. Hdntenie za výpčet ale vyjadrenie veľksti m (napr. (1)) 1 d za vyjadrenie vzťahu medzi m a v (napr. () ale (3) ale (5)) 15 du za veľksť v nájdenú správnym spôsm 1 d za dpveď 05 du Štátny pedaggický ústav 9

7 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY V rvine sú dané dy A [ 0 ; 0] B [ 6 ; 0]. Nájdite a narysujte mnžinu všetkých takých dv C rviny že A B C sú vrchlmi trjuhlníka v ktrm AC = BC. (5 dv) Riešenie Bd C musí spĺňať dve pdmienky: Bdy A B C majú yť vrchlmi trjuhlníka pret d C nesmie ležať na priamke AB (tj. na si x ); Má platiť AC = BC tj. ( x 6) x + y = + y (1) dtiaľ pstupne dstávame ( x + 36 ) x + y = 4 + y 3x + 3y 48x = 0 x 6x y = 0 ( 8) + y = 16 Rvnica () je rvnicu kružnice s stredm [ 8 ; 0] x. () S a plmerm r = 4. Hľadanu mnžinu dv je teda kružnica k s stredm [ 8 ; 0] jej priesečníkv s su x (tj. ez dv [ 4 ; 0] a[ 1 ; 0] ). y S a plmerm r = 4 ez A B 4 S 1 x 10 Štátny pedaggický ústav

8 Generálna skúška NKMS 004 Hdntenie za rvnicu (1) 1 d za zistenie že rvnica () je rvnicu kružnice (uď v texte ale na rázku) 05 du za určenie súradníc stredu S kružnice k (uď v texte ale na rázku) 1 d za určenie plmeru r kružnice k (uď v texte ale na rázku) 1 d za knštatvanie ale vyznačenie faktu že žiadny prvk hľadanej mnžiny neleží na si x 1 d za správne narysvaný rázk (musia yť zrejmé súradnice stredu S veľksť plmeru r a na rázku musia yť vyznačené dy kružnice k ktré nepatria d hľadanej mnžiny) 05 du Štátny pedaggický ústav 11

9 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY a. V rvnramennm lichežníku ABCD má uhl DAB veľksť 60 a s tht uhla prechádza stredm S základne CD. Uhlpriečka AC má dĺžku 1 m. S presnsťu na milimetre vypčítajte vd lichežníka ABCD. (5 dv) Riešenie Označme x veľksť úsečky DS. Uhl ASD má veľksť 30 (uhly ASD a SAB sú striedavé a SAB = 30 ) pret trjuhlník ASD je rvnramenný. Platí teda AD = DS = SC = x. (1) Nech E je päta klmice z D na AB. Ptm AB = DC + AE = x + AE () pritm z pravuhléh trjuhlníka ADE (v ktrm DAE AE AD = AD cs 60 = = Dsadením (3) d () máme AB = 3x = 60 ) dstávame x. (3) teda vd O lichežníka ABCD je O = AB + BC + CD + DE = 3 x + x + x + x = 7x. (4) Pri výpčte neznámej dĺžky x môžeme pužiť niektrý z nasledujúcich pstupv: v trjuhlníku ACD s stranami 1 x x a uhlm 10 pri vrchle D pužijeme ksínusvú vetu p dsadení AC = CD + AD CD AD cs = 4x + x x x cs 10 = 7x dtiaľ x = 63 (cm). v trjuhlníku ACB s stranami 1 x 3 x a uhlm 60 pri vrchle B pužijeme ksínusvú vetu p dsadení AC = AB + BC AB BC cs = 9x + x 3x x cs 60 = 7x dtiaľ x = 63 (cm). v trjuhlníku ASD (kde AD = DS = x ADS = 10 ) vyjadríme AS pužitím ksínusvej vety 1 AS = AD + DS AD DS cs10 = x + x x x = 3x 1 Štátny pedaggický ústav

10 Generálna skúška NKMS 004 ptm pužijeme ksínusvú vetu v trjuhlníku ASC (s stranami 150 pri vrchle S) p dsadení AC = AS + CS AS CS cs = 3x + x 3x x = 7x dtiaľ x = 63 (cm). 3 x x 1 a uhlm Pdľa (4) má ptm hľadaný vd O veľksť O = 7x = 7 63 = = (m). Lichežník má vd m ( = 55 m 56 cm 8 mm). Pznámky. 1. Skutčnsť že uhl ASD má veľksť 30 sme mhli zistiť aj nasledvne: ADS = 180 BAD = 10 ptm ASD = 180 SAD ADS = = 30. x. Na dvdenie rvnsti AE = (pzri (3)) nie je ptrené pužitie trignmetrických funkcií; trjuhlník DAE je ttiž plvica z rvnstrannéh trjuhlníka. Hdntenie za zistenie skutčnsti že AD = DS 1 d za vyjadrenie dĺžky základne AB pmcu dĺžky úsečky DS 1 d za výpčet veľksti x dy z th za zápis ksínusvej vety v niektrm z trjuhlníkv ABC ACD ASD 1 d za výpčet vdu lichežníka s pžadvanu presnsťu 05 du za dpveď 05 du Štátny pedaggický ústav 13

11 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY Funkcia f : y = x 6x 40 vznikla súčinm lineárnej funkcie g a k nej inverznej funkcie g. Nájdite predpis funkcie g. (5 dv) Riešenie I. (1. krk) Nech ptm inverzná funkcia g má predpis Riešenie g ( x) = ax + (1) g ( x) = 1 x x. () a Pdľa zadania má platiť f ( x) = g( x) g ( ) tj. x ( ax + ) = x 6x 40 (3) a p úprave x + x = x 6x 40 (4) a a prvnaním keficientv kvadratických funkcií na ľavej a pravej strane rvnsti (4) dstaneme sústavu = 6 (5) a Pre neznámu dstaneme rvnicu a = 40. (6) 6 40 = 0 (7) pužitím niektréh z nasledujúcich pstupv: z rvnice (5) vyjadríme = 6 a dsadíme d rvnice (6) dstaneme a 40 = = = 6 a a ( 6 ) = 40 ( ) tj = 0. z rvnice (6) vyjadríme a = a dsadíme d (5) dstaneme = 6 tj = 0. z rvnice (5) vyjadríme a = a dsadíme d (6) dstaneme 6 6 = 40 tj = Štátny pedaggický ústav

12 Generálna skúška NKMS 004 Kreňmi rvnice (7) sú čísla 1 = 10 = 4. Dsadením 1 = 10 d ľuvľnej z rvníc (5) (6) dstávame zdpvedajúcu hdntu a 1 = 5 ; pdne dsadením = 4 dstávame zdpvedajúcu hdntu a = 0 4. (. krk skúška správnsti) Inverznu funkciu k funkcii y = 5x + 10 je funkcia y = 04 x 4 (a napak). Súčinm týcht funkcií dstaneme ( 04 4) ( 5 x + 10) = x 6x 40 x č je predpis funkcie f. Oidve uvedené funkcie sú teda hľadaným riešením. Funkcia g má predpis g ( x) = 5 x + 10 ale g ( x) = 04 x 4. Pznámka. Sústavu (6) (7) môžeme dstať aj nasledujúcu úvahu: Rvnsť (3) platí pre všetky x R teda aj pre x = 0 a x =. Dsadením x = 0 d (3) dstaneme rvnicu = 40 a ktrá je zrejme ekvivalentná s (6) dsadením x = d (3) dstaneme priam rvnicu (7). Riešenie II. (1. krk) Pdľa zadania platí teda každý kreň rvnice je uď kreňm rvnice ale rvnice Pritm funkcia g (a teda aj funkcia Rvnica (8) tj. 1 x f ( x) = g( x) g ( ) f ( x) = 0 (8) g ( x) = 0 (9) 1 g ( x) = 0. (10) g ) je lineárna teda (9) aj (10) majú práve 1 kreň. x 6x 40 = 0 má krene x 1 = 10 a x = 4 ; jeden z nich musí yť teda riešením rvnice (9) druhý rvnice (10). Predpkladajme najprv že g ( 10) = 0 g ( 4) = 0. (11) T znamená že graf funkcie g pretína x-vú s v de [ ; 0] v de [ 4 ; 0]. Pret graf funkcie g (ktrý je súmerný s grafm pretína y-vú s v de [ 0 ; 4]. Z th že graf lineárnej funkcie g sahuje dy [ 10 ; 0] a [ ; 4] 10 a graf funkcie g ju pretína g pdľa priamky y = x ) 0 vyplýva že jej predpis má tvar g ( x) = 04 x 4. (1) Key sme namiest (11) predpkladali musel y graf funkcie g sahvať dy [ ] g ( 4) = 0 g (10) = 0 (13) 4 ; 0 a [ 0 ; 10] pret jej predpis y l g ( x) = 5 x (14) Štátny pedaggický ústav 15

13 Generálna maturitná skúška z MATEMATIKY (. krk skúška správnsti) Funkcie s predpismi (1) a (13) sú navzájm inverzné a ich súčin je ( 04 4) ( 5 x + 10) = x 6x 40 x teda idve uvedené funkcie sú hľadaným riešením. Funkcia g má predpis g ( x) = 5 x + 10 ale g ( x) = 04 x 4. Hdntenie Riešenie I. za zápis predpisu funkcie g v tvare (1) 05 du za predpis inverznej funkcie g (vzťah ()) 1 d za zápis sústavy ktrej riešením sú neznáme keficienty a (napr. sústava (5) (6) ale (6) (7)) 1 d za vyriešenie získanej sústavy rvníc 1 d za skúšku správnsti 1 d za dpveď 05 du Pznámka. Pri riešení sústavy (5) (6) tretím z pstupv uvedených v riešení I (teda dsadením a = d rvnice (6)) y žiak mal skntrlvať že hdnte = 6 6 nezdpvedá žiadne riešenie sústavy (5) (6). Pdne y mal v prípade druhéh z uvedených pstupv riešenia sústavy (5) (6) skntrlvať že žiadne riešenie nezdpvedá hdnte = 0. Ak žiak tút kntrlu nevyknal ale našiel riešenia danej sústavy prideľte mu za jej vyriešenie 1 d (teda nestrhnite žiadne dy za tút chýajúcu úvahu). Riešenie II. za nájdenie predpisu jednej z funkcií g ( x) = 5 x + 10 g ( x) = 04 x 4 5 du z th za nájdenie jej priesečníka s su x 05 du za nájdenie jej priesečníka s su y 1 d za nájdenie predpisu druhej z funkcií g ( x) = 5 x + 10 g ( x) = 04 x 4 1 d za skúšku správnsti 1 d za dpveď 05 du 16 Štátny pedaggický ústav