CVIČNÝ TEST 38. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 38 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro a b a b zjednodušte výraz ( a b a ) ( b a b ). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jedním z největších stromů v roce 014 byla v Čechách 64,1 metrů vysoká douglaska tisolistá, která roste na Jablonecku. Přírůstek tvoří každý rok asi 30 cm. max. body.1 Pokud by tento přírůstek byl rovnoměrný od počátku jejího růstu, jaké výšky dosahovala v roce 00?. O kolik cm nejméně by musel narůst rovnoměrný přírůstek douglasky, aby v roce 09 dosáhla nebo přerostla 83,7 m (současnou výšku amerického giganta, sekvojovce Generála Shermana)? VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB délky 5 jednotek. Dále je dána polopřímka AX, pro kterou platí, že konvexní úhel BAX má velikost 30. max. 4 body 3.1 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod C tak, aby obsah trojúhelníka ABC byl 6,5 jednotek čtverečných. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. 3. Určete konstrukčně na polopřímce AX bod S tak, aby přímka AB byla tečnou kružnice se středem v bodě S, s bodem dotyku v bodě B. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. Maturita z matematiky 06

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Jedna z tradic pití čaje v Jižní Americe je nalévat jej do misek vydlabaných z tykví (např. do kalebasy). Jedna taková miska byla vydlabána z půlky tykve tvaru koule o poloměru 9 cm. Prostor, kam se nalévá nejčastěji čaj Yerba maté, má tvar kulového vrchlíku. V nejhlubším místě je miska tlustá 5 cm. 4 Kolik ml čaje se do misky vejde, je-li naplněna až po okraj? Výsledek zaokrouhlete na celé ml. VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[ 1, ], L[ 1, ]. 5 Určete všechny body M[x; y] tak, aby těžnice t m v trojúhelníku KLM měla délku 5 a strana ML měla délku Určete, kolik řešení pro x N má rovnice 0,5 x + x + = 15 4 x VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce f: y = 4x 3 1 x. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.17.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic jsou body [0; 3], [ 3 4 ; 0], [ 1 ; 0]. 7. Asymptoty grafu funkce f jsou přímky a 1 : y = a a : x = Daná funkce je rostoucí. 7.4 Daná funkce není lichá. ANO NE Maturita z matematiky 06 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pravděpodobnost, že při hodu dvěma stejnými mincemi zároveň padne na obou panna, je vyšší, než že při hodu třemi stejnými mincemi zároveň padne na všech orel. 8 Která z možností AE určuje rozdíl těchto pravděpodobností? A) 0,5 B) 0,5 C) 0,083 D) 0, E) 0,15 body body 9 Která z možností AE udává součet všech kořenů rovnice x + 4x 3 = 0 pro x R? A) B) 4 10 C) 4 D) E) Přiřaďte každému číselnému výrazu ( ) jeho hodnotu (AF). 0, [ ( ) + ( )] + max. 4 body 10. [ 1 + ( 0,5 + 3)] ( 1) 3 + [ 5 ( 4)] 10.4 [ + 3] 5 A) B) 0,5 C) 0 D) 3 E) 6 F) 11 KONEC TESTU 4 Maturita z matematiky 06

5 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Pro a b a b zjednodušte výraz ( a b a ) ( b a b ). Využijeme např. vzorce M N = (M + N)(M N) pro rozklad na součin a výraz dle něj rozložíme. ( a b a b a b ) ( a b a + b a b ) = ( a + b b a ) ( a b b a ) = Řešení: 1 a b 1 b a 1 b + a = 1 a b VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE Jedním z největších stromů v roce 014 byla v Čechách 64,1 metrů vysoká douglaska tisolistá, která roste na Jablonecku. Přírůstek tvoří každý rok asi 30 cm. max. body.1 Pokud by tento přírůstek byl rovnoměrný od počátku jejího růstu, jaké výšky dosahovala v roce 00? Je-li přírůstek rovnoměrný, je růst douglasky tisolisté aritmetickou posloupností, přičemž přírůstek je diferencí této aritmetické posloupnosti. Proto platí: a 014 = 64,1 m, d = 30 cm = 0,3 m. Pro výpočet výšky v roce 00 použijeme vztah mezi dvěma členy aritmetické posloupnosti, tj. platí: a 00 = a (00 014) d = 64,1 m + (1) 0,3 = 60,5 m. V roce 00 měla douglaska výšku 60,5 m. Řešení: 60,5 m. O kolik cm nejméně by musel narůst rovnoměrný přírůstek douglasky, aby v roce 09 dosáhla nebo přerostla 83,7 m (současnou výšku amerického giganta, sekvojovce Generála Shermana)? Je-li přírůstek rovnoměrný, je růst douglasky tisolisté aritmetickou posloupností, přičemž přírůstek je diferencí této aritmetické posloupnosti. Proto platí: a 014 = 64,1 m, a 09 83,7 m. Pro výpočet přírůstku opět použijeme vztah mezi dvěma členy aritmetické posloupnosti, tj. platí: 83,7 m 64,1 m 83,7 m 64,1 m + (09 014) d d = 1,31 m = 131 cm Její přírůstek by musel narůst o 101 cm (= 131 cm 30 cm). Řešení: 101 cm Maturita z matematiky 06 5

6 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 3 Je dána úsečka AB délky 5 jednotek. Dále je dána polopřímka AX, pro kterou platí, že konvexní úhel BAX má velikost 30. max. 4 body 3.1 Určete konstrukčně na polopřímce AX bod C tak, aby obsah trojúhelníka ABC byl 6,5 jednotek čtverečných. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. Pro obsah trojúhelníku platí vztah: AB S = BC sin( BAX ). Dosadíme známé velikosti a určíme velikost úsečky AC. S 1,5 j 1,5 j AC = AC = AC = AC = 5 j = AB AB sin( BAX ) (5 j) sin 30,5 j Narýsujeme tedy kružnici k se středem v bodě A a poloměrem r = AB. Bod C je průsečík kružnice k a polopřímky AX. Řešení: 6 Maturita z matematiky 06

7 3. Určete konstrukčně na polopřímce AX bod S tak, aby přímka AB byla tečnou kružnice se středem v bodě S, s bodem dotyku v bodě B. Řešení konstrukcí proveďte přímo do záznamového listu. Aby byla úsečka AB tečnou a bod dotyku byl bod B, musí být poloměr takové kružnice v bodě B k úsečce AB kolmý. Vedeme tedy bodem B kolmici p kolmou k úsečce AB. Bod S je průsečíkem přímky p a polopřímky AX. Řešení: VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 4 Jedna z tradic pití čaje v Jižní Americe je nalévat jej do misek vydlabaných z tykví (např. do kalebasy). Jedna taková miska byla vydlabána z půlky tykve tvaru koule o poloměru 9 cm. Prostor, kam se nalévá nejčastěji čaj Yerba maté, má tvar kulového vrchlíku. V nejhlubším místě je miska tlustá 5 cm. 4 Kolik ml čaje se do misky vejde, je-li naplněna až po okraj? Výsledek zaokrouhlete na celé ml. Maturita z matematiky 06 7

8 Určujeme objem kulové úseče, jejíž hloubka h = 4 cm je rozdílem tloušťky v = 5 cm misky a poloměru r = 9 cm původní tykve. Poloměr této úseče je (protože tykev byla rozpůlena) roven r. Použijeme vzorec pro objem kulové úseče. V = πh (3r + h ) V = π (4 cm) [3 (9 cm) + (4 cm) ] = 54 cm 3 = 54 ml 6 6 Řešení: 54 ml VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 5 Jsou dány body K[ 1, ], L[ 1, ]. 5 Určete všechny body M[x; y] tak, aby těžnice t m v trojúhelníku KLM měla délku 5 a strana ML měla délku 41. K + L Určíme střed strany S KL = S KL [ 1 1 ; ]= [ 1; 0]. Musí platit, že S KL M = 5 a zároveň ML = 41. I. (x + 1) + y = 5 II. (x + 1) + (y + ) = 41 I. (x + 1) + y = 5 II. (x + 1) + (y + ) = 41 I. II. 0 + y (y + ) = y 4 = 16 y = 3 I. (x + 1) + 9 = 5 (x + 1) + 9 = 5 x + 1 = 4 x 1 = 5 x = 3 Jde o body M 1 [ 5; 3], M [3; 3]. Řešení: M 1 [ 5; 5], M [3; 3] 8 Maturita z matematiky 06

9 6 Určete, kolik řešení pro x N má rovnice 0,5 x + x + = 15 4 x Pro x N řešíme rovnici úpravou na tvar x. 0,5 x + x + = 15 4 x x + x + = 15 x + 0 x + 4 x = 15 x Nyní provedeme substituci, tj. zavedeme novou neznámou x = m > 0 m + 4m = 15 m m = 15m m 5m = 80 m = 16 Vrátíme se k původní neznámé. x = m x = 4 N Rovnice má jedno řešení. Řešení: jedno VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 Je dána funkce f: y = 4x 3 1 x. max. body 7 Rozhodněte o každém tvrzení (7.17.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 7.1 Průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic jsou body [0; 3], [ 3 4 ; 0], [ 1 ; 0]. 7. Asymptoty grafu funkce f jsou přímky a 1 : y = a a : x = Daná funkce je rostoucí. 7.4 Daná funkce není lichá. ANO NE Funkce f je lineárně lomená funkce. Upravíme její předpis na tzv. asymptotický tvar a z něj určíme její průběh. f: y = 4x 3 4 (x ) 3 1 = 1 x (x 1 = + 3 ) (x 1 ) = + x Protože funkce není definovaná pro x = 1, nemůže pro toto x mít průsečík s osou x. Tvrzení je nepravdivé. 7. Z asymptotického tvaru vidíme, že funkce má dvě asymptoty právě o uvedených rovnicích. Tvrzení je pravdivé. Maturita z matematiky 06 9

10 7.3 Z asymptotického tvaru vidíme, že předpis funkce je součtem a výrazu (pro zvyšující se hodnoty x 1 se výsledky Tvrzení je nepravdivé. 1 x 1, který je klesající 1 x 1 snižují, neboť 1 je klesající nepřímá úměrnost). x 7.4 Aby funkce byla lichá, muselo by pro každé x z jejího definičního oboru platit, že f( x) = f(x). Máme-li naopak ukázat, že lichá není, stačit rozporovat předchozí vztah v jediném případě, např. pro x =. f() = 4 3 = f( ) = 4( ) 3 = 11 f() 1 ( ) 5 Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 Pravděpodobnost, že při hodu dvěma stejnými mincemi zároveň padne na obou panna, je vyšší, než že při hodu třemi stejnými mincemi zároveň padne na všech orel. 8 Která z možností AE určuje rozdíl těchto pravděpodobností? A) 0,5 B) 0,5 C) 0,083 D) 0, E) 0,15 body Všech možností, které mohou nastat při hodu dvěma mincemi, je V' () = = 4. Na obou mincích padne panna v jediném případě, pravděpodobnost je tedy 0,5. Všech možností, které mohou nastat při hodu třemi mincemi, je V' 3 () = 3 = 8. Na třech mincích padne orel v jediném případě, pravděpodobnost je tedy 0,15. Rozdíl pravděpodobností je tedy 0,5 0,15 = 0,15. Správná je možnost E. Řešení: E 10 Maturita z matematiky 06

11 body 9 Která z možností AE udává součet všech kořenů rovnice x + 4x 3 = 0 pro x R? A) B) 4 10 C) 4 D) E) + 10 Podle Vietových vztahů je v normované rovnici součet kořenů, existují-li, roven číslu opačnému k lineár nímu koeficientu. Napřed musíme určit, že má rovnice řešení. Její diskriminant musí být nezáporný. D = 16 4 ( 3) = = 40 0 Rovnice je řešitelná, nyní ji tedy stačí normovat (vydělit kvadratickým koeficientem) a určit číslo opačné k vzniklému lineárnímu koeficientu. x + 4x 3 = 0 : x + x 3 = 0 Součet kořenů je roven. Správně je tedy možnost D. Řešení: D 10 Přiřaďte každému číselnému výrazu ( ) jeho hodnotu (AF). 0, [ ( ) + ( )] + max. 4 body 10. [ 1 + ( 0,5 + 3)] ( 1) 3 + [ 5 ( 4)] 10.4 [ + 3] 5 A) B) 0,5 C) 0 D) 3 E) 6 F) [ ( ) + ( 4 + 0,75 1 ] + = [ + ( 4 + 3)] + = [ 1] + = 1 + = 3 4 Řešení: D 10. [ 1 + ( 0,5 + 3)] 1 4 = [0,5 + ( 4 + 3)] 1 4 = [ 0,5] 1 4 = 0,5,5 = Řešení: A Maturita z matematiky 06 11

12 10.3 ( 1) 3 + [ 5 ( 4)] = 1 + [ 5 + 4] = = 0 Řešení: C 10.4 [ + 3] 5 = ( ) 5 = 6 Řešení: E KONEC TESTU 1 Maturita z matematiky 06

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 16 jsou otevřené. 3) Úlohy 710 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 017 výborně 1614 chvalitebně 1311 dobře 107 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů 1 1 a b.1 60,5 m cm 3.1 body 3. body 4 54 ml 5 M 1 [ 5; 3], M [3; 3] 6 jedno Maturita z matematiky 06 13

14 7 max. body 4 podúlohy b. 7.1 NE 3 podúlohy 1 b. podúlohy 0 b. 7. ANO 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 7.3 NE 7.4 ANO 8 E body 9 D body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b D 3 podúlohy 3 b. podúlohy b. 10. A 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b C 10.4 E 14 Maturita z matematiky 06

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 0 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. ) Úlohy 16 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 710 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka 017 výborně 1614 chvalitebně 1311 dobře 107 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů body 3. body Maturita z matematiky 06 15

16 7 max. body 4 podúlohy b podúlohy 1 b. podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b body 9 body 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. podúlohy b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 06