Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague Kvazistatická simulace provozu harmonické převodovky PH 80-100 Ing. Vojtěch Dynybyl, Ph.D., Ing. Miroslav Španiel, CSc., Ing. David Šimek Ústav mechaniky Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze Technická 4 166 07 Praha 6 e-mail: simek@fsid.cvut.cz Key words: MKP, životnost Abstract Systematickým výzkumem harmonických převodovek se na Fakultě strojní ČVUT v Praze zabývá Ústav výrobních strojů a mechanismů již po více než dvacet let. Pro potřeby hodnocení provozních parametrů harmonické převodovky, jako jsou např. životnost pružného ložiska, životnost deformačního členu, celková účinnost, opotřebení ozubení a další, je nutné detailně znát silové poměry a namáhání v jednotlivých součástech. Pro potřeby optimalizace návrhu harmonické převodovky je důležitá znalost kritických míst s nebezpečím porušení vlivem vysokocyklové únavy. V minulosti již byla provedena řada analýz a vypracováno několik teorií, které lze s jistými zjednodušeními aplikovat i na případ harmonické převodovky. I přes tato zjednodušení brání nelineární povaha problému exaktnímu analytickému řešení rovnic pružnosti a pevnosti. S ohledem na předchozí skutečnosti byl formulován požadavek na tvorbu modelu harmonické převodovky, včetně vyladění jeho parametrů, pro simulaci provozu harmonické převodovky metodou konečných prvků. 202
1 Model převodovky PH 80-100 U harmonické převodovky kochází k tak značným přetvořením, jež se projevují změnou geometrie pružného členu, což má za následek změnu silových poměrů na tělese. Říkáme, že se jedná o geometrickou nelinearitu úlohy. Již při analýze soustavy je nutné brát v úvahu deformace pružného členu. Bylo tedy rozhodnuto celý výpočet provést metodou konečných prvků. Poměrně velké, a tudíž i nelineární, deformace pružného členu a současně značné rotace uzlů sítě kladou velké nároky na výpočetní MKP software. Nasazení MKP na úlohy tohoto charakteru je dnes netypické a již v počátku prací bylo jasné, že se nemusí podařit nalézt kýžený funkční model. Rovněž bylo jasné, že to bude znamenat omezení při jeho vývoji. Z těchto důvodů se může model zdát poněkud jednoduchý, ale je potřeba poznamenat, že jeho vývoji bylo věnováno přes dva roky. Úkolem je vytvořit model harmonické převodovky vhodný pro kvazistatickou simulaci jejího provozu. Nemá ale valného smyslu hovořit pouze o vlastním geometrickém modelu, protože tento je úzce svázán s příkazy řízení výpočtu a obráceně. Proto je nutné chápat model jako nedělitelný celek skládající se z geometrického modelu a řízení výpočtu. Poznamenejme ještě, že pod pojmem kvazistatická simulace se rozumí kinematická simulace bez zahrnutí dynamických účinků hmoty. 1.1 Geometrie těles modelu Pružný člen Charakteristickými vlastnostmi pružného členu je to, že tloušťka stěny je mnohem menší než rozměry celého pružného členu a že je rotačně symetrický. O vnějším zatížení pružného členu nelze učinit předpoklad symetrie. Z hlediska nauky o pružnosti a pevnosti materiálů se tedy jedná o válcovou rotační skořepinu. Pružný člen je modelován svou střední válcovou plochou se dnem. Ve válcové části skořepiny jsou meridiány přímkami površkami a rovnoběžky jsou kružnicemi. Je nutné mít na zřeteli, že se jedná vlastně o dvourozměrné těleso, protože plocha je dvourozměrná entita a nemá objem. Jelikož tloušťka stěny reálného pružného členu je v různých místech různá, byl model rozdělen na několik prstencových sekcí s různou tloušťkou stěny. Na modelu tělesa pružného členu je potřeba vytvořit model ozubení. Po mnoha úvahách a s ohledem na charakter již navrženého tělesa bylo nakonec rozhodnuto modelovat i ozubení jako dvourozměrné entity kolmo vetknuté do střední plochy vlastního tělesa modelu. Ozubení pružného členu je tedy modelováno plochami symetrie zubů sahajícími do stejné výše jako reálné ozubení a rovněž stejně dlouhými. Vyvstává otázka volby šířky zubu modelu ozubení. Za předpokladu, že zuby pružného členu jsou nejvíce namáhány na ohyb, se jeví jako efektivní taková šířka zubu, jež zajistí stejnou ohybovou tuhost modelu zubu jako jeho reálné předlohy. Tuhost reálného zubu ale není známa a je nutné ji stanovit výpočtem. Ekvivalentní tloušťka 203
zubu pružného členu byla zjištěna s pomocí MKP výpočtu na modelu rálného zubu. Geometrie modelu deformačního členu je tímto plně stanovena a nyní budeme pokračovat ve tvorbě modelu pružného členu definicí sítě elementů. Uzly sítě jsou uspořádány ve směru osových a příčných řezů, jedná se o tzv. mapované síťování. Pro tvorbu sítě byl použit kvadrilaterální element S4R. Jedná se o speciální skořepinový element. Tuhý člen Zásadní funkční částí tuhého členu je jeho ozubení. MKP model tuhého členu je vlastně modelem jeho ozubení. Je vytvořen s využitím tzv. tuhých ploch, které s ozubením reálného tuhého členu nemusejí být totožné. Z hlediska metody konečných prvků představuje ozubení tuhého členu jednostrannou kinematickou okrajovou podmínku. Tuhé plochy nejsou složeny ze sítě elementů, ale jedná se o čistě analytické vyjádření ploch vstupujících do definice výše zmíněné geometrické okrajové podmínky. Charakteristickou vlastností tuhých ploch je jejich absolutní tuhost. Protože reálné ozubení je vyrobeno v jistém stupni přesnosti, lze vůle v ozubení modelovat jako vlastnost povrchů zvanou penetrace. Při představě těles jako kontinuí se jedná o hloubku vzájemného průniku povrchů těles. V případě sítí elementů se jedná o hloubku průniku hraničních uzlů jedné sítě do sítě druhé. Funkcí tuhých ploch je geometricky vymezit prostor výskytu vrcholových uzlů zubů pružného členu a v případě vzájemného kontaktu tyto uzly vést po dané trajektorii a vyvozovat v uzlech reakční síly. Tuhé plochy nemají žádný stupeň volnosti a jsou tedy nepohyblivé. Jelikož však při kontaktu s pružným členem vyvozují reakční síly, jedná se z hlediska metody konečných prvků o globální okrajovou podmínkou. Hledání nejvhodnější geometrie tuhých ploch bylo věnováno hodně úsilí a času, protože se jedná o parametr naprosto zásadně ovlivňující konvergenci řešení. Kvalitativním kritériem modelu ozubení tuhého členu je míra přiblížení boční části tuhých ploch k trajektorii středu vrcholu zubu skutečného ozubení. Tato část tuhých ploch totiž vede vrcholové uzly modelu zubu pružného členu. Byla provedena detailní analýza kinematiky ozubení a navržena geometrie tuhých ploch, respektující skutečnou trajektorii středu vrcholu zubu pružného členu. Zub byl nahrazen mechanismem s 1 volnosti a dvěma posuvnými vazbami. Pro potřeby generování tuhých ploch, byl vytvořen softwarový nástroj. Disponuje objektovým geometrickým výpočetním jádrem schopným řešit nejzákladnější úlohy rovinné geometrie, jako je nalezení průsečíku, určení vzdálenosti a pod. Zejména díky tomu jej lze, po drobných modifikacích, využít ke generování tuhých ploch s v podstatě libovolným tvarem. Generátor Matematický model generátoru vychází přímo z geometrie jeho technického řešení. Jedná se o dvě dokonale tuhé válcové plochy umístěné excentricky a symetricky vzhledem k ose z. Ty jsou v kontaktu s prstencem modelujícím vnitřní kroužek pružného ložiska. Skořepinový model prstence vnitřního kroužku je totožný 204
se střední plochou skutečného vnitřního kroužku ložiska. Prstenec má v nezatíženém stavu také tvar válcové plochy. Nad jeho geometrií je vytvořena síť skořepinových elementů typu S4R. Postupným zvětšováním excentricity dochází k silovému působení tuhých válců na prstenec a jeho následné deformaci. Konečným tvarem deformovaného prstence je elipsa, nikoli ovál, jak by se mohlo zdát. Proces roztahování prstence byl v počátečních fázích tvorby modelu harmonické převodovky jako celku zahrnut do numerického výpočtu. Řešení na modelech s takto definovaným generátorem však velmi rychle divergovala. Hledal se zdroj potíží. Ukázalo se, že prstenec ztrácí stabilitu v místech, kde není nijak uložen, či podepřen. Bylo tedy rozhodnuto provést numerický výpočet tvaru deformovaného prstence separátně. Výsledný tvar prstence pak přenést do vlastního numerického výpočtu harmonické převodovky jako síť dokonale tuhých čtyřuzlových elementů typu R3D4 tuhý generátor. Pro potřeby ladění modelu byly vytvořeny tři rozměrové varianty tuhých generátorů. Pružné ložisko Excentr generátoru vyvolává deformaci pružného členu deformací pružného ložiska. Pružné ložisko tedy zajišťuje přenos deformace z excentru generátoru na pružný člen. V modelu harmonické převodovky musí být tento přenos také zajištěn, jinak by model nemohl fungovat. Funkce pružného ložiska je v modelu zajištěna podmínkou konstantní vzdálenosti bodů dvou soustředných kružnic. Větší z kružnic je definována jako množina linárních elementů ISL31 spojujících uzly pružného členu, ležící v deformační rovině vlnového generátoru. Menší z kružnic je tvořena výčtem uzlů generátoru ležících ve stejné rovině. Jelikož je kružnice definována na uzlech, na nichž je také definována síť elementů, je zajišteno, že posuvy uzlů kružnice jsou současně posuvy uzlů sítě elementů, což představuje požadovaný přenos deformace. Elementy typu ISL31 jsou určeny pro realizaci podmínky konstantní vzdálenosti dvou křivek. Obě křivky jsou navzájem svázány vytvořením tzv. slide line, což je právě implementace této podmínky softwarem ABAQUS. Vzdálenost bodů kružnic v deformovaném stavu je dána jejich vzdáleností ve stavu nezatíženém. Důležité z hlediska korespondence modelu s fyzikální realitou, je zavedení Coulombova tření v modelu ložiska. Odpovídá valivému tření ve skutečném pružném ložisku. Lze jej považovat za parametr, který je možné libovolně měnit. Pro potřeby vývoje a ladění modelu byl nastaven na hodnotu 0,0. 1.2 Řízení výpočtu Hlubším studiem se ukázalo, že vlastní numerickou simulaci je nutné rozdělit do několika etap, odpovídajících skutečným fázím zatěžování harmonické převodovky. Dvě základní fáze jsou simulace montáže harmonické převodovky a simulace jejího provozu. 205
Deformace pružného členu Tento krok odpovídá montáži harmonické převodovky. Volný pružný člen se zdeformuje a nasadí na ložisko vlnového generátoru. Pružný člen nemá žádný stupeň volnosti a není zatížen. Za tohoto stavu se postupně aktivuje podmínka konstantní vzdálenosti bodů kružnic modelujících pružné ložisko. Deformace pružného členu postupně narůstá až do konečného eliptického tvaru. Řešení konverguje rychle a bez problémů. Inicializace kontaktů v ozubeních Rovněž tento krok je součástí montáže. Tuhý člen se nasazuje na pružný člen s již vloženým vlnovým generátorem. Pružný člen je uvolněn a má jeden stupeň volnosti rotaci kolem osy x. Postupně se aktivují kontakty v ozubeních modelu pružného členu a modelu tuhého členu. Pružný člen se volně natáčí podle potřeby kontaktů.pro kontakty v ozubeních bylo z důvodu korespondence modelu s fyzikální realitou zavedeno tření a viskózní tlumení. Tření odpovídá skutečnému tření při vzájemném smýkání povrchů zubů. Tlumení odpovídá akumulaci energie v lokálních plastických zónách povrchů zubů a disipaci energie při následném oddělování těchto zón od zubu. Tlumení je funkcí relativní vzájemné rychlosti přibližování, či oddalování, povrchů kontaktních zubů. Tření je pro potřeby této fáze simulace zanedbáno. Na konci tohoto kroku je deformovaný pružný člen v plném záběru s ozubeným tuhým členem. Nyní je simulace montáže dokončena a stav modelu odpovídá smontované harmonické převodovce stojící v klidu. I zde řešení konverguje rychle a bez problémů. Přivedení zatěžujícího momentu Tato fáze těsně předchází rozběhu reálné převodovky. Na výstup převodovky je přiváděn postupně rostoucí kroutící moment až do velikosti provozního kroutícího momentu. Pružný člen má stále jeden stupeň volnosti, avšak velikost tření se zde mění na hodnotu odpovídající realitě. Konkrétní hodnota je volitelná dle potřeby. O konvergenci řešení v tomto kroku nelze učinit jednoznačný závěr. V průběhu testování modelu bylo vypozorováno, že když řešení této fáze simulace nekonverguje dostatečně rychle (cca. během deseti iterací), je téměř jisté, že ani simulace provozu v následujícím kroku nebude konvergovat. Vynucená rotace vlnového generátoru Tento krok odpovídá reálnému provozu. Jedinou změnou oproti předchozí etapě je vynucená rotace vlnového generátoru o jednu půlotáčku. Konvergence řešení a její rychlost je nejistá, závisí na zvolených parametrech modelu a použité geometrii tuhých ploch. Podle zkušeností získaných testováním modelu lze říci, že většina kombinací parametrů a ozubení nevede ke konvergujícímu řešení. 206
2 Závěr Pro ověření funkčnosti a kvality modelu bylo provedeno pět kontrolních výpočtů s různě volenými parametry. Převodové charakteristiky kotrolních úloh se velmi blíží ideálnímu teoretickému průběhu. Naproti tomu momentové charakteristiky, se naprosto vymykají očekávání. Byla rozpracována hypotéza, že rozpor mezi výsledky a očekáváním je způsoben disipací energie tlumením. Ale ani tímto způsobem se nepodařilo rozpor objasnit. Jako řešení navrhujeme přejít od kvazistatické k dynamické simulaci. Lze očekávat, že dynamické účinky hmoty by mohly mít vliv podobný jak viskóznímu tlumení v kontaktech ozubení, tak i numerické stabilizaci výpočtu. Výsledků výpočtů by v budoucnu bylo možné využít k hlubšímu zkoumání napjatosti a deformace zubu a zubové mezery pružného členu, což by bylo jistě přínosné z 207
hlediska studia mezních stavů pružného členu harmonické převodovky. 208