VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ

VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA EKONOMICKÁ FAKULTA KATEDRA FINANCÍ Aplikace reálných opcí při ocenění výrobního podniku Real Opions Applicaion For Manufacuring Company Valuaion Suden: Bc. Kaeřina Korbélyiová Vedoucí diplomové práce: Ing. Miroslav Čulík, Ph.D. Osrava 2012

Prohlašuji, že jsem celou práci, včeně všech příloh, vypracovala samosaně. V Osravě 27. dubna 2012 Kaeřina Korbélyiová

Obsah 1 Úvod... 5 2 Popis meodologie reálných opcí... 6 2.1 Hisorie opcí... 6 2.1.1 Finanční opce... 7 2.1.2 Paramery charakerizující finanční opci... 8 2.1.3 Fakory ovlivňující cenu opce... 9 2.1.4 Klasifikace opcí... 10 2.2 Reálné opce... 15 2.2.1 Rozdíly mezi finančními a reálnými opcemi... 16 2.2.2 Fakory ovlivňující hodnou reálných opcí... 18 2.2.3 Klasifikace reálných opcí... 19 2.2.4 Popis a ocenění reálných opcí... 20 2.2.5 Vlasní kapiál firmy jako reálná call opce... 25 2.3 Modely oceňování opcí... 27 2.3.1 Diskéní modely... 27 2.3.2 Spojiý model oceňování opcí... 36 2.4 Posup při ocenění podniku pomocí opční meodologie... 37 2.4.1 Sanovení volných peněžních oků podniku... 37 2.4.2 Sanovení bezrizikové úrokové sazby... 38 2.4.3 Určení nákladů kapiálu firmy... 39 2.4.4 Určení podkladového akiva pro výpoče hodnoy VK firmy... 41 2.4.5 Určení realizační ceny pro výpoče hodnoy VK firmy... 41 2.4.6 Sanovení vniřní hodnoy opce... 41 2.4.7 Sanovení hodnoy vlasního kapiálu firmy... 42 2.4.8 Ocenění operaivní flexibiliy managemenu opcí amerického ypu... 43 2.4.9 Ocenění operaivní flexibiliy managemenu opcí evropského ypu... 45 3

3 Popis analyzovaného podniku... 47 4 Ocenění podniku a zhodnocení výsledků... 48 4.1 Sanovení vsupních paramerů... 48 4.1.1 Sanovení volných peněžních oků podniku... 49 4.1.2 Sanovení bezrizikové úrokové míry... 50 4.1.3 Určení nákladů kapiálu firmy... 51 4.1.4 Určení podkladového akiva... 53 4.1.5 Sanovení realizační ceny... 53 4.1.6 Sanovení vniřní hodnoy opce... 54 4.2 Sanovení hodnoy vlasního kapiálu... 55 4.2.1 Sanovení hodnoy vlasního kapiálu firmy pasivní sraegií... 56 4.2.2 Sanovení vlasního kapiálu firmy akivní sraegií... 57 4.2.3 Cilivosní analýza hodnoy VK určeného akivní sraegií... 57 4.3 Sanovení operaivní flexibiliy... 61 4.3.1 Ocenění operaivní flexibiliy opcí amerického ypu... 61 4.3.2 Ocenění operaivní flexibiliy opcí evropského ypu... 70 4.4 Zhodnocení výsledků... 76 5 Závěr... 79 Seznam použié lieraury... 80 Seznam zkraek... 82 Prohlášení o využií výsledků diplomové práce Seznam příloh Příloha 1 Příloha 2 Příloha 3 Příloha 4 4

1 ÚVOD Současná doba s sebou neusále přináší změny v ržních podmínkách a důsledkem oho vzniká řada nových rendů, keré ovlivňují podnikání. Vzniká ak lak na řízení podniků, keré je ve své podsaě jednou z nejvýznamnějších složek společnosi. Ve vysokém konkurenčním prosředí obsojí jen rychle se vyvíjející a flexibilní podniky respekující náročné požadavky na finanční řízení podniku v moderní době. Podniky se neusále poýkají s pořebou obměny porfolia produků. S ím souvisí nunos řízení nových invesičních projeků, keré vždy vsupují do prosředí nejisoy. V éo souvislosi vzniká selhání klasických meod hodnocení projeků, jelikož nezahrnují flexibiliu rozhodování do hodnoy reálných akiv a projeků. Aplikace reálných opcí předsavuje flexibilní přísup ve finančním rozhodování a řízení reálných akiv podniku a významně vsupuje do sraegického rozhodování. Reálné opce rozšiřují klasické výnosové meody pro podniky pohybující se ve vysoce flexibilním prosředí a na volailních rzích. Cílem diplomové práce je sanovení hodnoy vlasního kapiálu firmy Rudolf Jelínek, a.s. a sanovení operaivní flexibiliy kapaciy výroby prosřednicvím aplikace reálných opcí. První čás práce je zaměřena na základní charakerisiku meodologie reálných opcí. Je zde popsána hisorie opcí, paramery a modely oceňování opcí. Závěr éo kapioly je zaměřen na posup při ocenění podniku pomocí aplikace reálných opcí. Ve druhé čási je uveden sručný popis analyzovaného podniku Rudolf Jelínek, a.s. spolu se základní charakerisikou produkce firmy, jejích hospodářských výsledků a invesiční sraegie. Ve řeí prakické čási je aplikována opční meodologie za účelem sanovení hodnoy vlasního kapiálu firmy pomocí pasivní a akivní sraegie včeně cilivosní analýzy. Dále je provedeno ocenění operaivní flexibiliy opcí na bázi amerických a evropských opcí, přičemž u amerických opcí bude zpracována i cilivosní analýza. V závěru éo aplikační čási je uvedeno celkové zhodnocení a srovnání dosažených výsledků. 5

2 POPIS METODOLOGIE REÁLNÝCH OPCÍ Teoreické základy reálných opcí jsou odvozeny od finančních opcí. Finanční opce se zabývají oceněním práv souvisejících s ermínovanými obchody na finančních rzích. Reálné opce se zabývají oceněním invesičních projeků firmy či oceněním firmy samoné. 2.1 Hisorie opcí První zmínku o opčním obchodování lze zaznamena z doby před zhruba 2500 ley, kdy řecký maemaik a obchodník Thales z Miléu koupil opci na lisované olivy. Další zmínka je počáku 16. soleí, kdy Holandsko zasáhla ulipánová mánie. V é době se call opce používaly k zajišění zisku prodejců a pěsielé používali pu opce. Moderní deriváové obchody se začaly uváře ve Spojených sáech Amerických od poloviny 19. soleí, kdy vznikla Chicago Board of Trade (1848). Nicméně opce jako moderní finanční násroj vznikly po hospodářské krizi v roce 1929. Pravidla pro obchodování s nimi ukovil americký Zákon o invesicích v roce 1934. První sandardizované opční obchody byly uzavřeny v roce 1973, kdy vznikla Chicagská opční burza (Chicago Board od Opion Exchange), na keré se obchodovalo s call opcemi na kóované akcie. Po úspěchu Chicagské opční burzy byly brzy po celém svěě oevřeny další opční burzy. Obchodování s pu opcemi začalo v roce 1977, nedlouho poé, co byla uveřejněna práce Myrona Scholese a Fischera Blacka o oceňování evropských opcí na akcie (1973). Od finančních opcí jsou odvozeny opce reálné. Pojem reálné opce poprvé uvedl Sewar Myers ve svém článku v roce 1977 (uveřejněno v Journal of Financial Economics). Byly definovány reálné opce na rozšíření, odložení či opušění projeku na základě nových budoucích údajů. Hodnoa každé invesice byla považována za derivá vsupních kapiálových výdajů, vsupních příjmů, času nebo nejisoy. Sewar Myers ak namíá, že posuzování invesičních příležiosí pomocí radičních přísupů zanedbáhá hodnou volby, vyplývající z riskanních a nejisých invesičních projeků. K dalšímu rozvoji reálných opcí došlo v 90. leech 20. soleí. V éo době byly vyvořeny návody a meodologie pro jejich používání a reálné opce se začaly používa i v podnikové praxi velkých firem, zejména ěch, keré jsou závislé na komodiě, kerá je celosvěově obchodována na komodiních burzách. Prvními 6

odvěvími, kde se začala aplikova reálně opční sraegii, byly energeika a elekomunikace. V současné době je meodika reálných opcí aplikována v mnoha dalších oblasech jako např. výzkum a vývoj, bankovnicví či přírodní zdroje. 2.1.1 Finanční opce Finanční opce paří spolu s fuures, forwardy a swapy do skupiny finančních deriváů, edy odvozených finančních insrumenů. Jsou o insrumeny, jejichž cena je odvozena z hodnoy podkladového akiva. Opční konrak lze charakerizova jako smlouvu, kerá dává majieli právo proda nebo koupi nebo proda podkladové akivum v dohodnuém čase za dohodnuou cenu (realizační cena). Základními opcemi jsou pu opce a call opce. Jejich rozdíl spočívá v opčním právu, keré má kupující opce. V případě pu opce má právo proda podkladové akivum za realizační cenu, v případě call opce má právo je koupi. V konraku vysupují dva subjeky, a o prodávající (wrier) a kupující (holder). Hlavní rozdíl opcí oproi jiným finančním deriváům spočívá v om, že srana, kerá je ve volné pozici (holder), má možnos volby a v případě nepříznivého vývoje může od konraku odsoupi a vzdá se ak svého práva. Zráa ak bude pouze ve výši opční premie, kerou za opci kupující zaplail. Naopak prodávající je v ěsné pozici a má edy povinnos podkladové akivum v dohodnuém čase za realizační cenu proda či koupi. Podle oho, na jaký pohyb podkladového akiva kupující sází, lze rozlišova dvě pozice, a o dlouhou (long) a krákou (shor) pozici. U dlouhé pozice se sází na růs a u kráké na pokles ceny podkladového akiva. Podle momenu uplanění se opce rozlišují na evropské a americké. U evropských opcí je opce uplanielná pouze v momenu realizace, kdežo americkou opci je možné uplani kdykoliv do momenu realizace. Možnos volnějšího uplanění činí americkou opci lákavější, nicméně zpravidla aké dražší než je opce evropská. 7

2.1.2 Paramery charakerizující finanční opci Paramery charakerizující finanční opci jsou opční prémie (cena opce), vniřní hodnoa a časová hodnoa opce. a) Opční prémie (c) Opční prémie (éž cena deriváu nebo cena opce) předsavuje cenu, kerou za opci plaí kupující při uzavření konraku za získaná opční práva. V průběhu živonosi opce se jedná o cenu, za kerou je opci možné proda nebo koupi na sekundárních rzích, viz Dluhošová (2010). Cena finanční opce je vořena dvěma složkami, a o vniřní hodnoou a časovou hodnoou. b) Vniřní hodnoa opce (VH) Vniřní hodnoa spolu s časovou hodnoou voří cenu finanční opce. Vniřní hodnoa (nebo aké výplaní funkce) opce ukazuje na výhodnos okamžiého uplanění opce, neboť udává velikos výplay v momeně využií opce. V případě evropské opce je ímo okamžikem momen realizace. Velikos vniřní hodnoy opce závisí na vzahu mezi spoovou cenou podkladového akiva (S) a realizační cenou (X). Pokud je vniřní hodnoa rovna nule, majiel opci nevyužije. c) Časová hodnoa opce Časová hodnoa opce odráží zpeněžielnos opce i volailiu podkladového akiva. Jedná se o čásku, kerou je ochoen kupující zaplai za naději na o, že se během doby do splanosi opce vyvinou podmínky na rhu ak příznivě, že se uplanění opce sane příznivějším. Z oho dále plyne, že se zkracující se dobou do splanosi opce klesá i její časová hodnoa, neboť klesá pravděpodobnos oho, že se rh posune poziivním směrem (viz Obr. 2.1). Obr. 2.1: Časová hodnoa opce do doby splanosi Časová hodnoa opce Zdroj: Vlasní zpracování Doba do splanosi 8

Časovou hodnou opce edy neovlivňuje pohyb ceny podkladového akiva, ale klesající doba do splanosi opce. Cenu call opce lze vyjádři jako Cena call opce max( S X;0) časová hodnoa, (2.1) kde max( S X;0) vyjadřuje vniřní hodnou call opce, cenu pu opce lze vyjádři jako Cena pu opce max( X S;0) časová hodnoa (2.2) kde max( X S;0) vyjadřuje vniřní hodnou pu opce. 2.1.3 Fakory ovlivňující cenu opce Mezi fakory ovlivňující cenu opce paří cena podkladového akiva, volailia opce, realizační cena, doba splanosi a bezriziková úroková míra. a) Cena podkladového akiva (S) Podkladové akivum předsavuje akivum, ke kerému se opce vzahuje. Je o hlavní fakor ovlivňující cenu opce. Podkladovým akivem, může bý finanční akivum (např. burzovní index, cena akcie, úroková sazba, měnový kurz apod.) nebo nefinanční fakor (např. weaher derivá, energeický derivá apod.). Nefinanční fakory se vyskyují zejména u reálných opcí, viz. Dluhošová (2010). b) Volailia akiva (σ) Volailiou je vyjádřena rizikovos daného akiva. Volailia předsavuje frekvenci a velikos výkyvů v pohybu ceny podkladového akiva za dané období. Čím vyšší je volailia podkladového akiva, ím vyšší je cena opce. To plaí jak pro call opci, ak pro pu opci, proože se zvyšuje pravděpodobnos, že dojde k jejich využií. c) Realizační cena (X) Realizační cena je předem dohodnuá cena podkladového akiva, za kerou bude podkladové akivum v případě využií opce vypořádáno. U realizační ceny plaí, že čím nižší je realizační cena, ím dražší je call opce a naopak. Držiel call opce přiom preferuje nižší realizační cenu před vyšší, proože zde je vyšší pravděpodobnos dosažení zisku. 9

d) Doba splanosi (T) Doba splanosi určuje konec období, na kerý byl daný deriváový konrak uzavřen. Čím kraší je doba do splanosi, ím nižší je hodnoa call i pu opce z pohledu kupujícího a naopak čím je doba do splanosi delší, ím je i opce z pohledu kupujícího dražší. Tao přímá úměra mezi dobou do splanosi a hodnoou opce je o způsobena ím, že delší doba do splanosi dává více prosoru pro pohyb hodnoy podkladového akiva. e) Bezriziková úroková míra (r) Bezriziková úroková míra se odvozuje ze sáních cenných papírů (např. sání dluhopis). Čím je ao sazba vyšší, ím vyšší je i cena opce. Call opce je při předem domluvené ceně hodnonější v případě růsu bezrizikové úrokové míry, neboť rose současná hodnoa podkladového akiva. Zvyšující se bezriziková úroková míra naopak snižuje cenu pu opce. 2.1.4 Klasifikace opcí Základní dělení opcí je na call opci (kupní) a pu opci (prodejní). Call opce předsavuje právo na budoucí koupi podkladového akiva za předem dohodnuou cenu. S pu opcí je spojeno právo budoucího prodeje podkladového akiva za předem dohodnuou cenu. Vlasnicví opce dává kupující sraně právo opci využí či nikoliv. Too právo sojí kupující sranu opční prémii, kerou druhá srana vyinkasuje v podobě finanční odměny. Na call opci i pu opci je možno pohlíže ze dvou sran, a o z pohledu kupujícího a z pohledu prodávajícího. a) Call opce z pohledu kupujícího (long call) U ohoo opčního ypu má kupující právo koupi podkladové akivum v době splanosi opce za realizační cenu. Kupující call opce předpokládá růs ceny podkladového akiva. Funkce vniřní hodnoy má var VH T max( ST X;0), (2.3) kde VH T je vniřní hodnoa opce v časet, ST vyjadřuje hodnou podkladového akiva v čase T, X předsavuje realizační cenu, 10

funkce zisku má var Z T max( ST X c ; c ), (2.4) c c kde Z T je zisk v časet, c c je cena deriváu. Obr. 2.2: Call opce z pohledu kupujícího 0 1. 2. 3. Bod zvrau Zdroj: Dluhošová a kol. (2010) Pokud se hodnoa podkladového akiva bude v době uplanění opce nacháze v 1. Pásmu (viz Obr. 2.2), držiel opci nevyužije a vznikne mu zráa ve výši opční prémie ( c c ). Ve 2. pásmu je pravděpodobné, že bude opce uplaněna a ve 3. pásmu (za bodem zvrau) již kupující inkasuje ničím neohraničený zisk a plaí, že. S T X c c b) Call opce z pohledu prodávajícího (shor call) Prodávající je při prodeji v opačné pozici než kupující a je v ěsné pozici, udíž nemá možnos volby. V případě že kupující opci uplaní, je povinen proda podkladové akivum za realizační cenu. Očekává edy, že cena podkladového akiva nepřevýší realizační cenu a kupující svou opci neuplaní. V omo případě by prodávající měl zisk z opčního obchodu ve výši opční prémie. Jedná se o hru s nulovým součem, kdy zisk jedné srany se rovná zráě srany druhé. Funkce vniřní hodnoy prodávajícího je přesně opačná k funkci vniřní hodnoy kupujícího, neboť maemaicky plaí že max( a) min( a). Funkce vniřní hodnoy prodávajícího má pak var, 11

VH T funkce zisku má var Z T min( X ST ;0), (2.5) min( X ST c ; c ). (2.6) c c Obr. 2.3: Call opce z pohledu prodávajícího Bod zvrau 0 1. 2. 3. Zdroj: Dluhošová a kol. (2010) Nejvyšší zisk, kerého prodávající může dosáhnou je omezen výší opční prémie (viz Obr. 2.3) a vyšší pokles ceny nepřinese prodávajícímu věší výhodu. Maximální zráa ale není eoreicky omezená. Prodávající má jisý zisk pouze v 1. pásmu, proože kupující opci neuplanil. V 2. pásmu má zisk nejisý, proože kupující může, ale nemusí opci uplani. Ve 3. pásmu má prodávající ničím neomezenou zráu, proože ST X c ). ( c c) Pu opce z pohledu kupujícího (long pu) Kupující opce má právo proda podkladové akivum za realizační cenu v době splanosi opce. Kupec pu opce předpokládá pokles podkladového akiva, kerý musí bá akový, aby pokryl opční prémii a vyvořil prosor pro vznik zisku. Funkce vniřní hodnoy kupujícího má var VH T funkce zisku má var Z T max( X ST;0), (2.7) max( X ST c ; c ). (2.8) p p 12

Obr. 2.4: Pu opce z pohledu kupujícího Bod zvrau 0 1. 2. 3. Zdroj: Dluhošová a kol. (2010) Kupující opčního práva využije ehdy, když cena podkladového akiva bude nižší než realizační cena opce, edy ST X (viz Obr.2.4). Naopak opci neuplaní, pokud se bude cena podkladového akiva rovna realizační ceně nebo uo cenu převyšova, edy opční prémie. ST X. V akovémo případě kupující urží zráu pouze ve výši d) Pu opce z pohledu prodávajícího (shor pu) Pu opce z pohledu prodávajícího je zrcadlově obrácená pu opce z pohledu kupujícího. Prodávající, kerý pu opci prodává, se nachází v ěsné pozici. V případě uplanění opce kupujícím musí za realizační cenu v době expirace zakoupi podkladové akivum. Prodávající aké obdrží opční prémii. Funkce vniřní hodnoy kupujícího je VH T funkce zisku má var Z T min( ST X;0), (2.9) min( ST X c ; c ). (2.10) p p 13

Obr. 2.5: Pu opce z pohledu prodávajícího Bod zvrau 0 1. 2. 3. Zdroj: Dluhošová a kol (2010), vlasní zpracování cenu, edy Pokud nasane siuace, že hodnoa pokladového akiva převyšuje realizační ST X, pak prodávající dosahuje zisku ve výši opční prémie. Pokud cena podkladového akiva bude nižší, než realizační cena, edy ST X, pak kupující opci využije a prodávajícímu vznikne zráa, kerá je rovna realizační ceně snížené o opční prémii, viz Pavlá (1994). e) Nejvyšší zisky a nejvyšší zráy v daných pozicích Kupující a prodávající můžou zaujmou celkem čyři pozice, jak bylo uvedeno výše. V každé pozici je možno dosáhnou zisku nebo zráy. Tab. 2.1: Nejvyšší zisky a nejvyšší zráy v daných pozicích Pozice Nejvyšší zisk Nejvyšší zráa Koupě call opce neomezený ve výši opční prémie Prodej call opce ve výši opční prémie neomezená Koupě pu opce realizační cena opční prémie ve výši opční prémie Prodej pu opce ve výši opční prémie realizační cena opční prémie Zdroj: Dluhošová a kol. (2010), vlasní zpracování 14

2.2 Reálné opce Jak bylo popsáno již v úvodu éo kapioly, reálné opce jsou mladým finančním insrumenem a odvozují se z finančních opcí. Reálnými opcemi se rozumí flexibilní přísup při finančním rozhodování o reálných akivech podniku při jeho sraegickém rozhodování. Flexibiliou se rozumí, že se uvažuje s možnosí akivních manažerských rozhodnuí a zásahů v budoucnu, což radiční pasivní finanční sraegie neumožňují. Těmio akivními zásahy jsou opce, keré mají reálnou hodnou a je možno je pomocí opční meodologie oceni, viz Dluhošová a kol. (2010). Pro hodnou firmy a invesičního projeku plaí, že, (2.11) kde hodnoa flexibiliy předsavuje hodnou akivního zásahu firemního managemenu. Flexibiliu je edy možno definova jako schopnos firmy přizpůsobi se měnícím se vnějším podmínkám a obrái je v prospěch firmy. Reálnou opci edy můžeme definova jako právo (nikoli povinnos) na budoucí realizaci rozhodnuí, ýkající se reálných saků podniku. Mezi hlavní úlohy finančního řízení a rozhodování, u nichž lze uplani reálné opce edy paří především sanovení hodnoy firmy s možnosí flexibiliy a hodnocení invesičních projeků. První zmiňovanou možnosí aplikace reálně-opční meodiky je sanovení hodnoy firmy. Při určování hodnoy podniku se využívají radiční meody oceňování, a o výnosové meody, majekové meody, komparaivní meody a kombinované meody, kdy výnosové meody jsou založeny na sanovení hodnoy kapiálu jako současné hodnoy budoucích peněžních oků, majekové meody jsou založeny na om, že hodnoa kapiálu je odvozena z reprodukční ceny akiv a veškerého majeku, kerý je oceňován, v případě komparaivních meod se hodnoa kapiálu porovnává s hodnoou kapiálu jiných podniků s obdobnými nebo srovnaelnými vlasnosmi, 15

kombinované meody jsou založeny na om, že výsledné hodnoy kapiálu jsou získány jako vážený arimeický průměr hodno určených předchozími řemi meodami. Kromě ěcho radičních meod ocenění podniku se v poslední době začíná užíva pro oceňování i reálně-opčních meod. Tyo meody jsou edy novým prvkem používaným v oceňování. Reálně-opční meody v žádném případě nepopírají dosavadní meody oceňování, ale doplňují je. Druhou možnosí využií reálných opcí je hodnocení invesičních projeků. Klasické meody hodnocení invesičních projeků, jako je například meoda čisé současné hodnoy (NPV), určí hodnou projeku za předpokladu, že invesice bude realizována za dodržení původního (nejvhodnějšího) plánu. V prosředí, kde je vyšší volailia, může při hodnocení invesičních projeků dojí k podceňování a následnému zamíání projeků pro jejich nízkou či mírně zápornou hodnou NPV. Tyo projeky nicméně mohou v budoucnu bý velmi úspěšné. Opční přísup dovede eno nedosaek v někerých případech odsrani nebo zmírni a reálné opce ak lze považova za významnou doplňkovou meodu při hodnocení efekivnosi invesic. Invesiční projek je pomocí reálně-opční meody ohodnocován ak, že se do rozhodování o projeku zahrnuje hodnoa práva na provádění změn v průběhu živonosi dané invesice. Tao skuečnos edy umožňuje započía hodnou flexibiliy k radiční hodnoě NPV a ím se zvyšuje hodnoa celého projeku, edy. (2.12) 2.2.1 Rozdíly mezi finančními a reálnými opcemi Jak již bylo popsáno výše, reálné opce vychází z opcí finančních. I když je meodologie oceňování obdobná, exisují mezi finančními a reálnými opcemi rozdíly z hlediska ypu podkladových akiv, doby využií, ypu opce apod. Porovnání ěcho dvou ypů opcí je provedeno v Tab. 2.2. I přes určiou rozdílnos se finanční a reálné opce shodují v ěcho znacích flexibilia právo, nikoli povinnos učini určié rozhodnuí, riziko jedná se o nejisou invesici a arakivia využií opce závisí na vývoji podkladového akiva, 16

nenávranos po uskuečnění opčního práva se zbylá časová hodnoa opce zrácí a exisují zde zv. uopené náklady. Tab. 2.2: Rozdíly finančních a reálných opcí Vlasnos Finanční opce Reálná opce možnos ovlivni hodnou podkladového akiva a ím cenu opce sdílení opcí nelze, hodnoa podkladového akiva se vyváří na burze nelze, realizova může pouze její vlasník lze, uplaněním jednolivých opcí lze, může jí disponova a uplani kdokoliv skládání opcí věšinou jednoduché věšinou složené yp opcí věšinou evropské věšinou americké Zdroj: Dluhošová a kol. (2010) V případě reálných opcí je věšinou náročné sanovi dobu splanosi opce či jednoznačně vymezi její vlasnicví. Obecně ale lze říc, že doba splanosi reálných opcí je delší než doba splanosi finančních opcí. Finanční opce jsou věšinou opcemi evropskými a je možné je uplani pouze v momenu splanosi. Reálné opce jsou věšinou opcemi amerického ypu, jde o opce, keré mohou bý uplaněny kdykoliv během sanovené časové lhůy až do dne splanosi. Dalším rozdílem mezi finanční a reálnou opcí je možnos ovlivni hodnou podkladového akiva. U finančních opcí ao možnos neexisuje a ím ani nelze ovlivni cenu opce, neboť hodnoa podkladového akiva se vyváří na burze. U reálných opcí ao možnos exisuje, majiel reálné opce může snižova riziko nepříznivých výsledků a ím ovlivňova cenu opce. Další odlišnos mezi reálnými a finančními opcemi spočívá v obchodovaelnosi podkladového akiva. Finanční akiva jsou obchodována na rzích s úplnými informacemi a změny jejich cen můžeme neusále sledova. V případě reálných opcí se jedná o podkladová akiva zřídka obchodovaelná a s ím je aké spojena omezená likvidia. Odhad hodnoy podkladového akiva není ak přesný jako v případě finančních opcí. 17

2.2.2 Fakory ovlivňující hodnou reálných opcí I v případě reálných opcí je důležié definova základní fakory ovlivňující jejich hodnou. Těmio základními fakory jsou cena podkladového akiva, volailia podkladového akiva, bezriziková úroková míra, realizační cena a doba do splanosi opce. a) Cena podkladového akiva Cenu podkladového akiva je možno vyjádři jako současnou hodnou budoucích očekávaných peněžních oků plynoucích z projeku. Pokud oceňujeme vlasní kapiál společnosi, může bý podkladovým akivem ržní cena akiv. V případě reálných opcí má kupující možnos ovlivni hodnou podkladového akiva, jak již bylo zmíněno dříve, a o například uplaněním opce na zúžení, rozšíření či opušění projeku. Pokud rose hodnoa podkladového akiva, rose aké cena call opce a naopak klesá cena pu opce. b) Volailia podkladového akiva Volailia podkladového akiva udává, jak se mění ržní cena podkladového akiva. Je vyjádřením nejisoy očekávaných budoucích peněžních oků a udává se prosřednicvím rozpylu nebo směrodané odchylky. U finančních opcí lze volailiu urči z hisorických hodno cenných papírů. U reálných opcí je určení volailiy poněkud obížnější. Podkladová akiva reálných opcí, až na výjimky, nejsou běžně obchodovaelná, udíž není možné sanovi volailiu z hisorických hodno. Pouze v případě, kdy je hodnoa podniku závislá na cenách běžně obchodovaných surovin (např. ropa, elekřina apod.), je možno volailiu podkladového akiva urči z hisorických hodno dané komodiy. V souvislosi s volailiou obecně plaí, že podkladová akiva s vyšší volailiou mají cenu opce vyšší než podkladová akiva s nižší volailiou. c) Bezriziková úroková míra Bezriziková úroková míra je sejná jako v případě finančních opcí. Odvozuje se ze sáních cenných papírů (např. dlouhodobý sání dluhopis). S růsem éo sazby se mění i cena opce v závislosi na ypu opce. Call opce je při předem domluvené realizační ceně hodnonější v případě růsu bezrizikové úrokové míry, neboť rose současná hodnoa podkladového akiva. Zvyšující se bezriziková úroková míra naopak snižuje cenu pu opce. 18

d) Realizační cena Realizační cena předsavuje hodnou vynaložených výdajů pro call opci. V případě ocenění vlasního kapiálu společnosi je realizační cenou nominální hodnoa dluhu. Pokud oceňujeme rozšíření výroby, realizační cenu předsavují dodaečné výdaje na rozšíření výrobní kapaciy podniku. V případě zúžení výroby je realizační cenou příjem ze zrušené čási projeku. e) Doba do splanosi opce Doba do splanosi reálné opce předsavuje časový úsek, na kerý byl deriváový konrak uzavřen. Reálné opce jsou ve věšině případů opcemi americkými, edy mohou bý uplaněny kdykoliv v průběhu rvání opčního konraku až do dne jeho vypršení. Sejně jako v případě finančních opcí plaí, že čím kraší je doba do splanosi, ím nižší je hodnoa call i pu opce z pohledu kupujícího a čím je doba do splanosi delší, ím je i opce z pohledu kupujícího dražší. Tao přímá úměra mezi dobou do splanosi a hodnoou opce je o způsobena ím, že delší doba do splanosi dává více prosoru pro výsky zásadních změn, keré mohou nasa. Jedná se například o echnologický pokrok či změnu legislaivy. Na rozdíl od finančních opcí je doba živonosi projeku vždy jasně sanovena. 2.2.3 Klasifikace reálných opcí Reálné opce je možno klasifikova dle různých hledisek, a o a) podle sraegického zaměření se opce dělí na růsové, budoucí invesice, desinvesice, b) podle zásahu z hlediska finančního řízení se dělí na operační, finanční, c) operační opce lze děli podle objeku působení na vsupní volba dodavaelů, vsupních surovin a maeriálu, echnologické volba použiých echnologií, výsupní volba výrobků a jejich srukury, objem výroby vliv náhodné popávky a nabídky, 19

d) finanční opce lze dále děli na opce na určení srukury kapiálu zadluženos, opce na určení emise akcií. e) podle ypu akivního zásahu lze reálné opce rozliši na opce na rozšíření, opce na zúžení, opce na pozasavení apod., viz Dluhošová a kol. (2010). 2.2.4 Popis a ocenění reálných opcí Primárně lze reálné opce rozděli podle ypu možnosi, keré poskyují. Pak se jedná o opce na rozšíření projeku, opce na zúžení projeku, opce na opušění projeku, opce na odložení zahájení projeku a opce na dočasné přerušení výroby. a) Opce na rozšíření projeku (opion o expand) Teno yp opce dává managemenu právo na rozšíření původní velikosi projeku, pokud se podmínky vyvíjí příznivěji, než se původně předpokládalo. Projek je ako možno rozšíři o x % z původní velikosi projeku, ale je nuné na rozšíření vynaloži dodaečné invesiční výdaje. Jedná se věšinou o call opci amerického ypu a je vhodná pro odvěví s vysokou proměnlivosí cen a popávky. Podkladovým akivem je hodnoa peněžních oků z rozšířené čási projeku diskonované k okamžiku uplanění opce CF x. Realizační cenou éo opce jsou dodaečné invesiční výdaje spojené s rozšířením původního projeku I EXP. Doba do splanosi opce je doba, během keré může bý rozšíření uplaněno, zpravidla se jedná o dobu živonosi projeku. Volailia, předsavuje kolísání hodnoy budoucích CF plynoucích z projeku. Plaí, že cena opce se rovná NPV projek s opcí NPV projekbez opce. Funkce vniřní hodnoy je definována jako, VH max( x CF I EXP ;0). (2.13) Pokud bude hodnoa diskonovaných peněžních oků plynoucích z dodaečně rozšířené výrobní kapaciy převyšova vynaložené invesiční výdaje, pak vniřní hodnoa bude dosahova kladných hodno. V akovém případě bude opce využia a projek bude rozšířen. V opačném případě, kdy je vniřní hodnoa rovna nule, opce 20

uplaněna nebude a ak nedojde k dodaečnému rozšíření projeku. Rozhodování, zda opci uplani, či nikoliv, probíhá následovně: pokud VH 0, opce bude uplaněna a projek ak bude rozšířen, VH 0, opce nebude uplaněna a bude zachována původní velikos projeku. Základní paramery opce na rozšíření projeku jsou v Tab.2.3 porovnány s finanční opcí na akcii. Tab. 2.3: Srovnání finanční call opce na akcii s reálnou opcí na rozšíření výroby Název parameru Finanční call opce na akcii Reálná opce na rozšíření výroby Podkladové akivum S akuální ržní cena akcie CF současná hodnoa CF z rozšířené čási projeku Realizační cena X dohodnuá cena podkladového akiva I EXP invesiční výdaje na rozšíření Doba splanosi T doba rvání konraku T doba možnosi rozšíření výroby Bezriziková úroková sazba r bezriziková úroková sazba r bezriziková úroková sazba Volailia podkladového akiva volailia akcie A volailia hodnoy budoucích CF Vniřní hodnoa VH VH T max( ST X;0) VH VH max( x CF I Exp ;0) Cena opce c cena opce CF EXP hodnoa možnosi rozšíření Zdroj: Dluhošová a kol.(2010), vlasní zpracování b) Opce na zúžení projeku (Opion o conrac a projec) Teno yp opce umožňuje sníži kapaciu výroby o y % v případě, že se peněžní oky projeku nevyvíjí směrem, jak bylo původně předpokládáno. Ke snížení výrobní kapaciy dochází zrušením (rozprodáním) čási majeku a zúžením plánovaných výrobních kapaci vznikne firmě úspora nákladů či příjem z odprodaného majeku. Pokud je možné zúži výrobní kapaciy kdykoliv během doby rvání projeku, jedná se o pu opci amerického ypu. Podkladovým akivem je hodnoa peněžních oků z likvidované čási projeku diskonované k okamžiku uplanění opce CF y. Realizační cenou éo opce jsou uspořené invesiční výdaje spojené se zúžením původního projeku I CON. Doba do 21

splanosi opce je doba, během keré může bý zúžení uplaněno, zpravidla se jedná o dobu živonosi projeku. Plaí, že cena opce se rovná (2.14) Funkce vniřní hodnoy je definována jako, VH max( I y CF ;0). CON NPV projek s opcí NPV projekbez opce. Pokud bude hodnoa diskonovaných peněžních oků plynoucích ze zúžené výrobní kapaciy nižší než uspořené invesiční výdaje, pak vniřní hodnoa bude dosahova kladných hodno. V akovém případě bude opce využia a projek bude zúžen. V opačném případě, kdy je vniřní hodnoa rovna nule, opce uplaněna nebude a ak nedojde k zúžení projeku. Rozhodování, zda opci uplani, či nikoliv, probíhá následovně: pokud VH 0, opce bude uplaněna a projek bude zúžen, VH 0, opce nebude uplaněna a původní velikos projeku bude zachována. Základní paramery opce na zúžení projeku jsou v Tab.2.4 porovnány s finanční opcí na akcii. Tab. 2.4: Srovnání finanční pu opce na akcii a reálné opce na zúžení výroby Název parameru Finanční pu opce na akcii Reálná opce na zúžení výroby Podkladové akivum S akuální ržní cena akcie CF současná hodnoa CF ze zúžené čási projeku Realizační cena X dohodnuá cena podkladového akiva I CON uspořené invesiční výdaje Doba splanosi T doba rvání konraku T doba možnosi zúžení firmy Bezriziková úroková sazba RF bezriziková úroková sazba RF bezriziková úroková sazba Volailia podkladového akiva volailia akcie A volailia hodnoy budoucích CF Vniřní hodnoa VH VH T max( X ST;0) VH VH max( I y CF ;0) Cena opce c cena opce VF CON hodnoa možnosi zúžení Zdroj: Dluhošová a kol.(2010), vlasní zpracování CON 22

c) Opce na opušění projeku (Opion o abandon a projec) Teno yp opce dává managemenu možnos předčasně projek ukonči a akiva rozproda za zůsakovou cenu, v případě, že se siuace dlouhodobě vyvíjí velmi nepříznivě. Tao možnos edy zvyšuje hodnou projeku, neboť rozprodáním akiv lze minimalizova zráu spojenou s dalším fungováním daného projeku. Opě se jedná o pu opci amerického ypu. Podkladovým akivem je zůsaková hodnoa podniku, j. současná hodnoa peněžních oků z opušěného projeku diskonovaná k okamžiku uplanění opce CF. Realizační cenou éo opce je likvidační hodnoa projeku snížená o náklady, keré jsou spojeny s ukončením projeku. Jedná se edy o čisé příjmy z ukončeného projeku A ABAND, Doba do splanosi opce je doba, během keré může bý opušění uplaněno, zpravidla se jedná o dobu živonosi projeku. Plaí, že cena opce se rovná NPV projek s opcí NPV projekbez opce. Funkce vniřní hodnoy je definována jako, VH max( AABAND, CF ;0). (2.15) Pokud budou čisé příjmy z ukončeného projeku vyšší než hodnoa diskonovaných peněžních oků plynoucích z daného projeku, pak vniřní hodnoa bude dosahova kladných hodno. V akovém případě bude opce využia a projek bude opušěn. V opačném případě, kdy je vniřní hodnoa rovna nule, opce uplaněna nebude a ak nedojde k opušění projeku. Rozhodování, zda opci uplani, či nikoliv, probíhá následovně: pokud VH 0, opci bude uplaněna a projek bude opušěn, VH 0, opci nebude uplaněna a původní projek bude zachován. d) Opce na odložení zahájení projeku (Opion o wai) Teno yp opce dává managemenu možnos dočasně odloži zahájení projeku. Tao možnos odloži invesici na později, dává managemenu prosor na získávání dodaečných informací o budoucím vývoji základních proměnných, keré ovlivňují efekivnos projeku. Hodnoa proměnných je k okamžiku rozhodnuí známá, 23

ale nesabilní a managemen může počka do doby, než se dané proměnné usálí nebo dosanou na akovou úroveň, kdy bude zaručena ekonomická efekivnos realizace projeku. Takovouo vyčkávací opcí může bý spekulaivní nákup licencí či paenů, u nichž firma není zcela přesvědčena, že je v budoucnu využije. Opce na odložení zahájení projeku je zpravidla call opce amerického ypu. Přiom plaí, že cena opce se rovná NPV projek s opcí NPV projekbez opce. Funkce vniřní hodnoy je definována jako, 1 VH max CF0 I EXP,0; E( CF I EXP, ), (2.16) (1 r) kde CF0 IEXP, 0 značí hodnou projeku v případě okamžiého zahájení, 1 E( CF I (1 r) EXP, ) předsavuje hodnou projeku v případě odložení jeho zahájení. Rozhodování, zda opci uplani, či nikoliv, je možno zapsa následovně: 1 pokud E( CF I EXP, ) CF 0 I EXP, 0, opce bude uplaněna a zahájení projeku (1 r) bude odloženo, 1 E( CF (1 r) I EXP, ) CF I 0 EXP,0, opci nebude uplaněna a projek bude zahájen podle plánu. e) Opce na dočasné přerušení výroby (Opion o emporarily shu down) Teno yp opce dává managemeu možnos dočasně přeruši výrobu pokud ceny a příjmy klesnou pod úroveň, kerá pokryje variabilní náklady produkce v daném období. Pokud v dalším období vzrosou ceny a příjmy nad úroveň variabilních nákladů, lze výrobu obnovi. Zpravidla se jedná o call opci amerického ypu. Podkladovým akivem je současná hodnoa peněžních oků z daného období CF. Realizační cenou éo opce jsou variabilní náklady výroby daného období VC. Doba do splanosi opce je doba, během keré může bý pozasavení uplaněno, zpravidla se jedná o dobu živonosi projeku. Plaí, že cena opce se rovná NPV projek s opcí NPV projekbez opce. 24

Funkce vniřní hodnoy je definována jako VH max( CF VC ;0). (2.17) Pokud budou peněžní oky z daného projeku vyšší než hodnoa variabilních nákladů produkce, pak vniřní hodnoa bude dosahova kladných hodno. V akovém případě opce nebude využia a v projeku se bude pokračova. V opačném případě, kdy je vniřní hodnoa rovna nule, edy variabilní náklady produkce převyšují příjmy z projeku plynoucí, opce uplaněna bude a projek bude přerušen. Rozhodování, zda opci uplani, či nikoliv, lze zapsa následovně: pokud VH 0,opce nebude uplaněna a v projeku se bude pokračova, VH 0,opce bude uplaněna a původní projek bude dočasně přerušen. 2.2.5 Vlasní kapiál firmy jako reálná call opce Jednou z možnosí pro využií reálně-opční meodologie ve finančním řízení je sanovení hodnoy vlasního kapiálu firmy. Meodologie reálných opcí se od radičních meod oceňování liší ím, že bere v úvahu flexibiliu rozhodování managemenu a práva s ím spojená, jak již bylo zmíněno dříve. Pro celkovou hodnou firmy při reálně-opčním přísupu plaí vzah,. (2.18) Za hodnou flexibiliy se považuje hodnoa akivních zásahů managemenu a ao hodnoa se sanoví jako hodnoa opce. Aby bylo možné ohodnoi vliv manažerské flexibiliy na hodnou podniku, pak je nuné předpokláda, že hodnoa vlasního kapiálu je vyjádřena cenou call opce vlasníků na hodnou firmy a na firmu je pohlíženo jako na invesiční projek, kerý generuje určié peněžní oky, viz. Dluhošová a kol. (2010). Při aplikaci opční meodologie pro ocenění firmy jako americké call opce vycházíme z následujících podmínek: za podkladové akivum je považována akuální ržní hodnoa akiv firmy, realizační cenu voří hodnoa dluhu firmy, hodnoa firmy je rozdělena mezi akcionáře a věřiele. 25

Jesliže jsou akcionáři vlasníky call opce na akiva firmy, pak mají právo v době splanosi koupi firmu za realizační cenu, edy za hodnou dluhu. K uplanění opce dojde pouze v případě, že ržní hodnoa akiv bude vyšší než hodnoa dluhu, pak vlasníci vyplaí věřielům dluh. Při sanovení hodnoy podniku se edy vychází z funkce vniřní hodnoy, kde podkladovým akivem je hodnoa akiv firmy a realizační cena předsavuje hodnou dluhu, edy VH max( A D ;0). (2.19) Zohlednění flexibiliy reálných opcí při ocenění podniku zvyšuje jeho hodnou, proože možnos volby a akivní zásahy, keré mohou bý provedeny v budoucnu, mají aké určiou hodnou. Z oho vyplývá, že u radičních meod oceňování může docháze k podhodnocení skuečné hodnoy firmy a rovněž ke snížení možnosí a rozsahu porfolia invesičních příležiosí. V následující abulce (Tab. 2.5) jsou uvedeny paramery charakerizující reálnou call opci v případě ocenění vlasního kapiálu firmy. Pro srovnání jsou uvedeny i paramery charakerizující finanční call opci na akcii. Tab. 2.5: Srovnání finanční call opce na akcii s reálnou opcí na hodnou vlasního kapiálu Název parameru Finanční call opce na akcii Reálná opce hodnoy vlasního kapiálu Podkladové akivum S akuální ržní cena akcie A akuální ržní hodnoa akiv Realizační cena X dohodnuá cena podkladového akiva D nominální hodnoa dluhu Doba splanosi T doba rvání konraku T doba rvání firmy Bezriziková úroková sazba Volailia podkladového akiva RF bezriziková úroková sazba RF bezriziková úroková sazba volailia akcie A Volailia akiv Vniřní hodnoa VH VH T max( ST X;0) VH VH max( A D ;0) Cena opce c cena opce V E hodnoa vlasního kapiálu Zdroj: Dluhošová a kol. (2010), vlasní zpracování 26

2.3 Modely oceňování opcí Pro sanovení hodnoy reálných opcí lze využí sejných meod, keré jsou aplikovány v případě finančních opcí, a o analyické meody a numerické meody. Mezi meody analyické se řadí Black-Scholesův model. Jedná se o spojiý model oceňování opcí a hlavním předpokladem ohoo modelu je spojiý vývoj ceny podkladového akiva v čase a je využíván pouze pro oceňování opcí evropského ypu. Mezi meody numerické se řadí diskréní modely. Hlavním předpokladem diskréních modelů je, že cena podkladového akiva se vyvíjí diskréním způsobem a yo meody lze využí pro ocenění jak opcí evropského ypu, ak i ypu amerického. Do éo skupiny modelů se řadí binomický či rinomický model. 2.3.1 Diskéní modely Mezi diskréní modely je řazen model binomický a rinomický. a) Binomický model oceňování opcí Binomický model je diskréní (nespojiý) model vycházející z předpokladu, že se cena podkladového akiva mění pouze v diskréních okamžicích a ao období jsou vždy sejná. To znamená, že při aplikaci ohoo modelu se mohou z jednoho výchozího savu následně vyskynou pouze dvě siuace a o růs nebo pokles ceny podkladového akiva. Binomický model je jednoduchým a přiom důležiým násrojem pro zjišění eoreické hodnoy opcí různých ypů (pu opce i call opce). Při aplikaci binomického modelu je vycházeno z následujících předpokladů: rh je efekivní, neexisuje možnos arbiráže (nelze dosáhnou bezrizikového zisku), neexisuje omezení na kráký prodej, exisuje jedna bezriziková sazba pro zapůjčování a vypůjčování, jsou zanedbány ransakční náklady, daně a poplaky z obchodování, jsou zanedbána jakákoliv časová zpoždění, nevyplácí se dividendy, cena podkladového akiva se vyvíjí podle geomerického Brownova procesu. 27

Ke sanovení ceny opce se využívají v zásadě dva přísupy, a o replikační sraegie, hedgingová sraegie. Replikační sraegie Při replikační sraegii je vyvořeno porfolio z podkladového akiva S a bezrizikového akiva B (běžný úče) ak, aby při každém náhodném savu, kerý může nasa, byla replikována hodnoa deriváu. Podsaou sraegie edy je vyvoři akové porfolio z rizikového a bezrizikového akiva ak, aby se při jakémkoliv vývoji hodnoa porfolia rovnala hodnoě deriváu. Binomický model se ak může sanovi pro jedno a pro více období. Binomický model pro jedno období V případě binomického modelu pro jedno období se předpokládá, že se jedná o opci s dobou rvání pouze po jedno období. Je známa současná hodnoa podkladového akiva, a se změní pouze jednou a na konci daného období bude hodnoa podkladového akiva nabýva jednu ze dvou možných hodno, viz. Obr. 2.6. Obr. 2.6: Předpokládaný vývoj hodnoy podkladového akiva pro jedno období u S u d S u S d S d d S d Zdroj: Vlasní zpracování Hodnoa porfolia na začáku v čase je následující, a S B C c, (2.20) na konci daného diskréního časového období d může cena podkladového akiva nabýva pouze jednu ze dvou různých hodno, a o S u d při růsu ceny a S d d při poklesu ceny. V případě, že cena podkladového akiva rose, hodnoa porfolia na konci období v čase d bude vypada ako, 28

u u d a Sd B ( 1r) C c, (2.21) d při poklesu ceny podkladového akiva bude porfolio vypada ako, d d d a Sd B ( 1r) C c, (2.22) d kde S je cena podkladového akiva v čase, a je množsví podkladového akiva, B je hodnoa bezrizikového akiva v čase, Cc je hodnoa deriváu v čase, r je hodnoa bezrizikové sazby, u ( d ) jsou indexy pro růs (pokles) ceny podkladového akiva, Cc u je cena opce v případě růsu ceny podkladového akiva a C d c d je cena d opce v případě poklesu ceny podkladového akiva. Dále předpokládáme, že cena opce se v době její splanosi rovná vniřní hodnoě, což lze vyjádři pro call opci v případě růsu ceny podkladového akiva následovně, Cc u u u VH d max( S d X;0) d, (2.23) a v případě poklesu ceny podkladového akiva, Cc d d d VH d max( S d X;0) d, (2.24) kde VH je vniřní hodnoa call opce a symbolem X je označena realizační cena. K získání obecného vzahu pro výpoče ceny opce je zapořebí nejprve vyjádři z rovnice (2.21) a (2.22) neznámé a, B a následně je dosadi do rovnice 2.20, edy Cc (1 r) d C c u d (1 r) u S d d S S d Sd d d C c d d S u d (1 r) u d Sd S d d S. (2.25) Hranaé závorky vyjadřují rizikově neurální pravděpodobnosi růsu a poklesu ceny podkladového akiva. První hranaou závorkou je vyjádřena rizikově neurální u pravděpodobnos růsu ( p ˆ ) a druhou hranaou závorkou vyjádřena rizikově d neurální pravděpodobnos poklesu ( p ˆ ) ceny podkladového akiva. Cenu opce lze edy zapsa zjednodušeně jako Cc Cc (1 r) d C c u d ( pˆ u ) C c d d ( pˆ d ), (2.26) d ( 1r) E C c, (2.27) d 29

u d kde ( p ˆ ) je rizikově neurální pravděpodobnos růsu, ( p ˆ ) je rizikově neurální pravděpodobnos poklesu a E C c je rizikově neurální sřední hodnoa ceny opce. d Cenu opce lze aké vyjádři na bázi rizikově neurální pravděpodobnosi jako současnou hodnou sřední hodnoy opce v následujícím období, viz Zmeškal (2004). u d V případě, že S d Su u a S d Su d, pak d d u (1 r) S S d (1 r) d pˆ. (2.28) S u S d u d Jedním z předpokladů pro aplikaci binomického modelu byla nemožnos arbiráže. Je edy pořeba urči, jakých hodno mohou nabýva paramery bezriziková sazba ( r ), index růsu (u ) a poklesu ( d ), aby byla podmínka nemožnosi arbiráže splněna. Obecně ao podmínka znamená, že pokud má opce kladnou hodnou na začáku období, pak i sřední hodnoa opce na konci daného období musí bý kladná, edy Cc 0 0 E Cc d. (2.29) u Pokud plaí, že Cc 0 a zároveň C c 0 C 0 c, pak ze vzorce 2.26 d d u vyplývá, že p ˆ 0 a edy podle vzorce (2.28). ( 1 r) d d. Obdobně pokud plaí, že u d d Cc 0 a zároveň C c 0 C 0 c, pak ze vzorce (2.26) vyplývá, že ( p ˆ ) 0 a d d d edy podle vzorce (2.28) ( 1 r) d u. Obecně lze edy nemožnos arbiráže zapsa jako, d d ( 1r) u. (2.30) Pomocí binomického modelu lze, na rozdíl od Black-Scholesova modelu, sanovi hodnou i americké opce. V případě oceňování americké opce, kerá může bý uplaněna kdykoliv během své živonosi, je nezbyné upravi vzah pro výpoče ceny opce, a o C max VH ;(1 r) d ( C c u d pˆ u C c u d pˆ d. (2.31) 30

Binomický model pro více období Binomický model pro více období funguje na sejném principu jako předchozí model. Hlavní rozdíl je v om, že doba do splanosi opce je n období a živonos opce je rozdělena na věší poče diskréních okamžiků, jak je znázorněno v Obr. 2.7. Obr. 2.7: Předpokládaný vývoj ceny podkladového akiva pro více období Zdroj: Vlasní zpracování Na základě vzorce (2.27) se cena call opce evropského ypu Cc 0 rovná současné hodnoě (PV ) sřední hodnoy (E) náhodné vniřní hodnoy (PV ) opce v době zralosi (T ) viz Zmeškal (2004), edy Cc0 PV E VH T. (2.32) Pokud r je bezriziková sazba za jedno období, j značí poče vzrůsů ceny za dobu T, j je pravděpodobnos savu j a n je poče diskréních inervalů, pak n T n Cc 1 r j STj X 0 max( ;0), (2.33) n j0 což lze zapsa deailněji, edy n T n j n j j n j Cc 1 r Ko( j, n) p (1 p) max( S0 u d X;0), (2.34) 0 n j0 kde Ko( j, n) je j -á kombinace z n prvků, p je pravděpodobnos růsu ceny v jednom období, u je index růsu v jenom období a d je index poklesu za jedno období, j n j max( S 0 u d X;0) vyjadřuje hodnou call opce v době její realizace, pokud 31

hodnoa podkladového akiva v n obdobích j -krá vzrosla o u a ( n j) -krá poklesla o d. Pokud je předpokládán spojiý výnos v rizikově neurálním prosředí, kdy plaí že se sřední hodnoa ceny podkladového akiva rovná ceně podkladového akiva při bezrizikovém výnosu a T d, pak n S e rd p S u ( 1 p) S d, (2.35) neboli e r d p u ( 1 p) d. (2.36) Dále se uvažuje, že rozpyl proporcionální změny ceny podkladového akiva se rovná 2 d, a edy p u 2 2 2 p u (1 p) d d 2 ( 1 p) d. (2.37) Poslední podmínkou binomického modelu je, že u d 1. (2.38) Řešením rovnic (2.36) a (2.37) lze získa formulaci pro rizikově neurální pravděpodobnos p a index růsu u, edy rd u e d pˆ, (2.39) u d u d e, (2.40) a vyjádřením indexu poklesu d ze vzorce (2.38), edy 1 u d d pˆ e. (2.41) d e 1 32

Hedgingová sraegie Při použií hedgingové sraegie pro sanovení hodnoy evropské opce je vyvořeno porfolio z podkladového akiva a opce ak, aby byl jeho výnos bezrizikový, viz Zmeškal (2004). Hodnoa porfolia na začáku v čase je následující, h S C c, (2.42) hodnoa porfolia na konci období v čase u d při růsu ceny, u h Sd C c, (2.43) d hodnoa porfolia na konci období v čase d d při poklesu ceny, d h Sd C c, (2.44) d kde h je množsví podkladových akiv (zajišťovací poměr) a v čase. je hodnoa porfolia Zajišťovací poměr h je akové množsví podkladového akiva, při kerém bude na konci daného období hodnoa hedgingového porfolia sejná, edy u u d d h Sd Cd h Sd Cd, (2.45) následně lze vyjádři zajišťovací poměr, C h S u d u d d C d S d d dc ds. (2.46) Porfolio z podkladového akiva a opce je vyvořeno podle Zmeškala (2004) ak, aby jeho výnos byl bezrizikový. To znamená, že hodnoa porfolia při vzesupu ceny se musí rovna čásce dosažené invesováním původního nákladu na porfolio, pak edy plaí, že d u h S C r h S d C c c u d 1, (2.47) a při poklesu ceny, d d h S C r h S d C c c d d 1, (2.48) 33

nyní je možné vyjádři cenu opce, C C c c h S h S u h S d d r u d C c 1, (2.49) d h S d d r d d C c 1. (2.50) b) Trinomický model Trinomický model je velmi podobný modelu binomickému. Jedná se aké o diskréní model vycházející z předpokladu, že se cena podkladového akiva mění pouze v diskréních okamžicích a ao období jsou vždy sejná. Jediný rozdíl oproi binomickému modelu kví v om, že při aplikaci ohoo modelu se mohou z jednoho výchozího savu následně vyskynou ři siuace a o růs, pokles či zachování původní hodnoy podkladového akiva. Obr. 2.8: Trinomický srom pro ři období Zdroj: Vlasní zpracování Vyjádření indexu růsu ( u ), poklesu ( d ) a zachování původní hodnoy ( m ) je následující, viz Čulík (2011): d u e 2, (2.50) d d e 2, (2.51) m 1. (2.52) 34

Vývoj podkladového akiva v případě růsu ( S u d ( S m d) původní hodnoy je následující: ), poklesu ( S d d) a zachování u S d S u, (2.53) d S d S d, (2.54) m S d S m. (2.55) Vzah pro výpoče rizikově neurálních pravděpodobnosí pro případ růsu ( pˆ u ), poklesu ( pˆ d ) či zachování původní hodnoy jsou podle Čulíka (2011) určeny dle následujících vzahů: pˆ u e e d r 2 d 2 e e d 2 d 2 2, (2.56) pˆ d e e d 2 d 2 e e d r 2 d 2 2, (2.57) pˆ m u d 1 ( pˆ pˆ ), (2.58) kde r je bezriziková sazba, vyjadřuje volailiu peněžních oků a d je časové období. Vniřní hodnou reálné opce za rizika a flexibiliy lze podle Čulíka (2011) vyjádři jako, VH (max A D ;0), (2.59) kde A vyjadřuje ržní hodnou akiv, D je nominální hodnoa dluhu. Cenu americké opce lze podle Čulíka (2011) sanovi ze vzahu: u u m m d d d V max ( pˆ V d pˆ V d pˆ V d) (1 r) ; VH. (2.60) 35

2.3.2 Spojiý model oceňování opcí V případě spojiého modelu oceňování opcí je hlavním předpokladem spojiá změna hodnoy podkladového akiva v čase. To znamená, že časový úsek je rozdělen na nekonečně mnoho nekonečně malých (j. jejich délka se blíží nule) úseků, ve kerých dochází ke změně hodnoy podkladového akiva. Tuo skupinu modelů zasupuje především Black-Scholesův model. a) Black-Scholesův model Black-Scholesův model oceňování opcí poskyuje možnos analyického řešení pro sanovení ceny opcí evropského ypu. Model je posaven na mnoha eoreických předpokladech zjednodušujících skuečnos a jedná se o relaivně složiou konsrukci, přeso se sal nejvíce prakicky využívaným modelem pro oceňování opcí. Oceňování podle základního Black-Scholesova modelu (j. podkladovým akivem je akcie bez výplay dividend) vychází z ěcho předpokladů: čas je spojiý, kapiálové rhy jsou ideální, neexisují ransakční náklady a daně všechna akiva jsou nekonečně dělielná cena podkladového akiva se vyvíjí podle geomerického Brownova pohybu s logarimickými cenami, neexisuje možnos arbiráže ceny jsou nezávislé na očekávaných výnosech, oceňuj se pouze opce evropského ypu, bezriziková sazba je konsanní, volailia je konsanní, neuvažuje se s výplaou dividend. Cena evropské call opce se při splnění daných předpokladů určí jako: C c S 0 N( d1 d2 rd ) e X N( ), (2.61) cena evropské pu opce se při splnění daných předpokladů určí jako: C p r d e X N d ) S N( ), (2.62) ( 2 0 d1 přičemž paramery d1 a d 2 se určí podle vzahu: 36