Riemannova hypotéza Martin Havlík 2. A Motivace: Motivace mého projektu je jednoduchá, pochopit matematiky označovaný nejtěžší a nejdůležitější problém současné matematiky. Cíle: Dokázání téhle hypotézy má zásadní vliv na rozložení prvočísel, dešifrovací algoritmy atd. Metoda: Prvočíselná věta Nejdřív, co to je prvočíslo? Prvočíslo je číslo, které je dělitelné samo sebou a jedničkou. Prvočísla postupně řídnou, pokud si zvolíme určitý seznam čísel např. 0 00, tak zjistíme, že prvočísel je 25 a od 30 400 už jen 6. Vymizí někdy prvočísla? Tuhle otázku si už položil Euklides a vymyslel, jednoduchý důkaz předpokládejme, že N je prvočíslo utvoříme ( 2 3 4 N) + takové číslo nelze dělit beze zbytku od do N vždy dostaneme, zbytek z toho plyne, buď je samo prvočíslem větší než N nebo jeho nejmenší vlastní dělitel je větší než N. Pro nejmenšího vlastního dělitele čísla platí, že je prvočíslo: např. N = 4, pak N = ( 2 3 4) + = 25 a tedy nejmenší vlastní dělitel čísla 25 je 5. Když bylo dokázáno, že je prvočísel nekonečně mnoho, tak se začalo uvažovat o tom, jak určit kolik existuje prvočísel menších než zadané číslo. Tabulka počtu prvočísel menších než zadaná hodnota: N Počet prvočísel menších než N? 000 68 000 000 78 498 000 000 000 50 847 534 000 000 000 000 37 607 92 08 000 000 000 000 000 29 844 570 422 669 000 000 000 000 000 000 24 739 954 287 740 860 Z tabulky lze vyčíst postupné řídnutí prvočísel, protože kdyby první řádek držel krok s posledním, tak by měl mít 68 000 000 000 000 000 prvočísel.
Důležitý pojem prvočíselné věty je také tzv. prvočíselná funkce Je funkce udávající počet prvočísel menších než zadané číslo n. Značení: π(n) Nyní z první tabulkou provedu trik, tak že vydělím první sloupec druhým a přidám logaritmus. N ln N N/ π(n) 000 6,9077 5,9524 000 000 3,855 2,7592 000 000 000 20,7232 9,6665 000 000 000 000 27,630 26,590 000 000 000 000 000 34,5378 33,6247 000 000 000 000 000 000 4,4465 40,4204 Z tabulky vyplívá, že hodnota N/ π(n) se přibližuje hodnotě ln N, tudíž platí čím větší je N, tím je mu v poměru blíž. Lze to napsat také N/ π(n) ~ ln N po upravení téhle formule dostanu tzv. prvočíselnou větu π(n)~ N ln N. Důsledky prvočíselné věty. Pravděpodobnost, že N je prvočíslo je přibližně rovna 2. N té prvočíslo je přibližně rovno N ln N. ln N.
Riemannova hypotéza Jeden z nejslavnějších problému současné matematiky pro svoji obtížnost byla zařazena mezi 7 nejdůležitějších nevyřešených úloh 3. Tisíciletí. Byla publikována německým matematikem Bernhardem Riemannem v článku s názvem ( O počtu prvočísel menších než daná hodnota )v roce 859. Je definována jako součet řady: ζ(s) = Kde s R a s > Hodnota funkce pro s > n s ζ(2) = n 2 = π2 6 Tohle je tzv. Basilejský problém který vyřešil až Leonard Euler (lze tady pozorovat zárodek zeta funkce) jde o řadu, která je konvergentní (což znamená, že má konečný součet pro všechna reálná s > ) Hodnota funkce pro s = Pro tuhle hodnotu dostáváme ζ() = n Dostaneme tzv. Harmonickou řadu, jejíž součet je roven Hodnota funkce s = o ζ(0) = n s = Riemann publikoval svoji tzv. Funkcionální rovnici Funkce má vlastnost, že hodnoty zeta funkce od bodu (kritický bod) odkazuje na hodnoty vpravo na zápornou reálnou část grafu. ζ(s) = 2 s π s sin πs 2 Γ( s)ζ( s) Γ- gama funkce
V oboru přirozených čísel platí: Γ (n) = (n )! Určení zeta funkce v bodě: s = ζ( ) = 2 π 2 sin π 2 Γ(2)ζ(2) ζ( ) = 2 určení zeta v bodě s = 2 ζ( 2) = 2 2 π 2 sin( π) Γ(3)ζ(3) ζ( 2) = 0 Graf zeta funkce: komplexní rovina Kritický bod () lze ho rozšířit na zápornou část reálné osy Hodnot na jednotlivém intervalu využiju na celém grafu
Kořeny zeta funkce: V záporných sudých číslech má zeta funkce kořen ζ( 2n) = 0 - tzv. triviální kořeny Riemann si položil otázku, jestli má i jiné kořeny odpověď je ano. V komplexním pásu mezi 0 existuje nekonečně mnoho kořenů, a jelikož není lehké spočítat, kde leží. Riemann vyslovil hypotézu: Všechny netriviální kořeny zeta funkce mají reálnou část rovnou ½. Výsledky: Když v roce 859 Bernhard Riemann publikoval článek s názvem o počtu prvočísel menších, než zadaná hodnota představil tam poprvé tak zvanou zeta funkci definovanou jako součet nekonečné řády s R a s > Definovanou pro ζ(s) = n s Největší význam Riemannova článku je jeho geniální odvození, tak zvané funkcionální rovnice ζ(s) = 2 s π s sin πs 2 Γ( s)ζ( s) Tahle rovnice je výjimečná, jelikož díky jí lze obejít kritický bod a rozšířit definiční obor funkce na záporná celá čísla s pro s < 0
Závěr: Studiem Riemannovy hypotézy jsem se snažil pochopit její tvrzení, které zní: Všechny netriviální nulové body zeta funkce mají reálnou část rovnou 2. Jejím studiem jsem zjistil, že existuje hodně složitá matematika, kterou je popsaná. Podle názoru mnoho matematiku není v současné matematice dostatečný prostředek pro podání důkazu téhle hypotézy. Prý podání tohoto důkazu je tak složité, že by se měl vymyslet nový matematický aparát. Zdroje: https://www.youtube.com/watch?v=9ia5b2bwytc kniha: Posedlost prvočísly od Johna Derbshire https://cs.wikipedia.org/wiki/riemannova_funkce_zeta Bakalářská práce: http://theses.cz/id/2vytq5/bc.pdf