2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

Transkript

1 . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke 3. Později budeme říkat že funkce má v bodě -3 limitu 3. Podobně čím více se hodnoty blíží k tím více se funkční hodnoty blíží ke (obr. 3 tab. (b)). Podobně i v bodě ve kterém funkce není definovaná budeme říkat že funkce má v bodě limitu. y 3-3 Obr. 3 y Tab. (a) y Tab. (b) V prvním případě je limita v bodě -3 rovna funkční hodnotě a budeme později říkat že je funkce v bodě -3 spojitá. Pokud se funkční hodnota v bodě nebude rovnat limitě v tomto bodě nebo funkční hodnota v bodě nebude eistovat jako v bodě budeme říkat že funkce v bodě není spojitá nebo také že je nespojitá. 7

2 .. Cíle Zavedení pojmu limity funkce je stěžejním pro další studium matematiky. Díky jemu se naučíme mimo jiné počítat s tzv. nevlastními prvky které budeme označovat + resp.. Definice... Množinu { R } (čísla). O ε ε ( ) = : < kde ( ) budeme nazývat okolím bodu Poznámky. Okolí bodu je tedy otevřený interval ( ε + ε).. Budeme někdy říkat že O( ) z definice... je ε - okolí bodu. Definice... Bod R je vnitřním bodem množiny M R jestliže eistuje okolí O( ) tak že platí: O ( ) M. Definice..3. Bod a R nazveme hromadným bodem množiny M R jestliže { } Oa ( ):( Oa ( ) M)\ a. 8

3 Poznámky. Množinu všech hromadných bodů množiny M označíme M.. Hromadný bod množiny M nemusí patřit do M. 3. Bod b M a zároveň b M se nazývá izolovaným bodem množiny M. Příklad. Hromadným bodem množiny M = 3 K R je bod = M = { }.. Hromadnými body otevřeného intervalu M=(ab) R jsou všechny body < a b > M =< a b >. Definice..4. Říkáme že funkce f ( ) má v hromadném bodě D f limitu a jestliže { } O( a) O( ): ( O( )\ ) D f( ) O( a). Píšeme y f lim f ( ) = a (obr. 33). a O(a) a f() a y=f() δ O( ) + δ Obr. 33 9

4 Poznámka Definici limity a funkce f( ) v D f můžeme napsat také ve tvaru: ε > δ > : < < δ f( ) a < ε pro D f (obr. 33). Příklad. Ukážeme že platí lim =. Platí = + = < ε pro < < δ když zvolíme δ = ε.. lim neeistuje viz obr. 34. y - Obr lim c= c pro c R. Platí f( ) c = c c = < ε pro všechna R a libovolné δ. 4. = = < < < když δ = ε. lim. Platí f( ) ε pro δ 3

5 Věta... Funkce f ( ) má v bodě nejvýše jednu limitu (lim f () = a lim f() = b) a= b). Důkaz (sporem): Předpokládejme a b. Pak eistují Oa ( ) a Ob ( ) taková že Oa ( ) Ob ( ) =. Podle předpokladu věty eistuje takové že f ( ) O( a) a zároveň f ( ) O( b) což je spor neboť Oa ( ) Ob ( ) =. Tento spor znamená že a= b. Věta... Nechť ( Df Dg) a lim f( ) = a lim g( ) = b. Pak platí: lim ( f ( ) + g( )) = a+ b lim ( f ( ) g( )) = a b f( ) a lim = pro b. g ( ) b Důkaz: Viz např. [3] str. 69 nebo [4] str Příklad Platí lim n n = kde n N. Důkaz provedeme matematickou indukcí. Pro n = vztah platí viz předchozí příklad 4. Předpokládejme platnost vztahu n n = Podle věty... dostaneme lim. lim n+ = lim ( n. ) = lim n. lim = n. = n+. 3

6 Věta..3. Nechť je funkce f ( g ( )) definována na množině M a nechť M Jestliže lim g ( ) = b lim f( y) = aa eistuje O ( ) tak že g ( ) y b. bpro O ( )\{ } pak platí lim f ( g ( )) = a. Důkaz: Z předpokladu lim f ( y) = a plyne že ke každému ε > eistuje δ > takové že y b pro < g ( ) b < δ platí f( g ( )) a < ε. Volíme-li ε = δ pak podle předpokladu g ( ) b ε. lim g ( ) = b eistuje k ε číslo δ takové že pro < δ platí < Složíme-li oba výsledky je věta dokázána. Příklad Platí lim 4 =. Dostaneme lim (4 ) = 4 lim y = a 4 4 y 4 pro < ) ( >. Definice..5. Říkáme že funkce f ( ) má v bodě D f limitu zprava resp. limitu zleva což píšeme lim f ( ) = a resp. lim f( ) = b jestliže má funkce f ( ) na množině + ( ) D f resp. na množině ( ) Df limitu a resp. limitu b. 3

7 Poznámka Zřejmě platí: lim f ( ) = a ( lim f( ) = a lim f( ) = a). + Příklad Pro funkci f( ) = platí lim = a lim = viz obr. 34. Funkce + f ( ) má v bodě limitu zprava i limitu zleva nemá však v bodě limitu. Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte: a) lim ( 3+ ) b) d) lim e) 3 + lim 3 + lim cos 8 c) lim ( + 5) 6 f) lim + k k sin( k + π ).. Vypočtěte lim f ( g ( )) a lim g( f( )) pro a) + f ( ) = g ( ) = + b) f ( ) = g( ) = + + c) f ( ) = g ( ) = + d) f ( ) = g ( ) = Nechť f ( ) = a g ( ) = cosπ. Vypočtěte: a) lim( f ( ) + g( )) b) lim( f ( ) g( )) c) lim( f ( ) g( )) d) f ( ) lim e) lim( f ( g ( )) f) lim( g( f( )). g ( ) Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) ; b) ; c) ; d) 7; e) ; f).. a) ; b) 6 9 b) -; c) ; d) ; e) ; f) ; c) 5 3 ; d) a) -3; 33