Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Transkript

1 INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace elementárních funkcí a pravidla pro derivování, jste schopni derivovat libovolnou funkci Možná Vás napadne, zda je možno z derivované funkce nějakým způsobem získat původní funkci Opačnou operací k derivování je integrace (anglické tety používají termín antiderivace) V této kapitole se seznámíte s pojmem primitivní funkce Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci nazveme neurčitým integrálem Seznámíte se základními metodami integrace (substituční metoda a metoda per partes) V závěru se budeme věnovat způsobům integrace některých vybraných druhů funkcí Primitivní funkce a neurčitý integrál Cíle Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné Předpokládané znalosti Předpokládáme, že umíte dobře derivovat funkce jedné proměnné, že znáte tabulku derivací elementárních funkcí Předpokládá se i základní znalost pojmu diferenciál funkce Výklad V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Pro danou funkci f ( ) dovedeme nalézt její derivaci f ( ) = g( ) Věnujme se nyní opačné úloze Hledáme takovou funkci F( ), aby daná funkce f ( ) byla její derivací, tj aby platilo F ( ) = f( ) Tato funkce, pokud ovšem eistuje, se nejen v matematice hledá velmi často a jmenuje se primitivní funkce Postup hledání primitivní funkce se nazývá integrování (opačná operace k derivování) Příklad Pro funkci derivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opačná úloha F( ) = integrování f( ) =, protože platí F ( ) = = = f( ) - 9 -

2 Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice Říkáme, že funkce F( ) je v intervalu ( ab, ) primitivní funkcí k funkci f ( ), platí-li pro všechna ( ab, ) vztah F ( ) = f( ) Řešené úlohy Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervalu (,) Hledáme funkci F( ), jejíž derivace se na intervalu (,) rovná Je zřejmé, že to bude nějaký násobek funkce Po krátkém eperimentování zjistíme, že je to funkce F( ) =, neboť F ( ) = = = = f( ) Podle věty budou i funkce, které se liší konstantou, primitivní k dané funkci Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervalu (, ) Jelikož všechny úvahy v řešení příkladu platí pro libovolné reálné (, ), je řešením stejná funkce F( ) = Příklad Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intervalu (, ) n Podobnými úvahami dojdeme k tomu, že primitivní funkce má tvar n+ F( ) =, n n + pro všechna ) (,, protože Příklad 5 Najděte primitivní funkci k funkci n+ n ( n+ ) n = = = = n+ n+ F ( ) f( ) f( ) = v intervalu (0, ) Vidíme, že vztah uvedený v příkladu nelze použít pro n = Snažíme se najít funkci, jejíž derivací je f( ) = = Z přehledu derivací elementárních funkcí víme, - 0 -

3 že touto funkcí je funkce F( ) ln, neboť = [ ] Příklad 6 Najděte primitivní funkci k funkci Primitivní funkce a neurčitý integrál F ( ) = ln = = f( ) pro (0, ) f( ) = v intervalu (,0) Podobnými úvahami jako v předcházející části zjistíme, že primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) je funkce F( ) = ln = ln( ) Funkce F( ) = ln Avšak také funkce je primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) (0, ) F( ) = ln + 5 bude primitivní funkcí k dané funkci, neboť platí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protože derivace konstanty je rovna nule Je zřejmé, že tvrzení platí nejen pro konstantu 5, ale i pro libovolnou jinou konstantu C Věta Je-li F( ) primitivní funkce k funkci f ( ) v intervalu ( ab, ), pak také funkce F( ) + C, kde C je libovolná reálná konstanta, je primitivní funkcí k funkci f ( ) v intervalu ( ab), ( ab, ) ( ) ( ) ( ) Důkaz: Jelikož na intervalu platí [ F + C] = F = f dostaneme podle definice uvedené tvrzení Poznámka K dané funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstantou Definice Množina všech primitivních funkcí k funkci f ( ) na intervalu ( ab, ) se nazývá neurčitý integrál této funkce Píšeme: f ( d ) = F ( ) + C Poznámka - se nazývá integrační znak, - f ( ) je integrovaná funkce (integrand), - d je diferenciál integrační proměnné, - C je integrační konstanta - -

4 funkci Základní neurčité integrály Příklady 5 a 6 bychom mohli v souladu s definicí formulovat: Integrujte f( ) = na daném intervalu Zápis: d Výsledek, který jsme získali (množina všech primitivních funkcí F( ) = ln +C ), zapíšeme: d = ln + C Tento vztah platí pro všechna, pro něž jsou příslušné funkce ( a ln ) definovany, tj pro všechna 0 V takových případech často vynecháváme interval, ve kterém pracujeme Základní neurčité integrály Operace integrování (tj operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní Z tabulky derivací elementárních funkcí hned dostaneme tabulku neurčitých integrálů (tab ) O správnosti uvedených vztahů se podle definice snadno přesvědčíme derivováním Tabulka Tabulka základních integrálů [] 0d = C [] d = + C n+ n [] d = + C n + [] d = ln + C [5] sin d = cos + C [6] cos d = sin + C [7] d = tg + C cos [8] d = cotg + C sin [9] pro > 0, n pro 0 π pro (k+ ), k Z pro kπ, k Z d = arcsin + C pro (, ) [0] d = arctg + C + a [] a d = + C ln a pro a > 0, a - -

5 Základní neurčité integrály [] e d = e + C [] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [] = arctg + C a + a a d [5] = arcsin + C a a pro a > 0 [6] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a pro ( a,, a > 0 Poznámka Eistují rozsáhlé tabulky, ve kterých lze nalézt množství dalších neurčitých integrálů K výsledkům můžeme dospět použitím pravidel a metod integrace, které budou uvedeny v následující části Dnes však tyto tabulky ztrácejí význam, neboť jsou dostupné matematické programy, které zvládnou integraci složitých funkcí (např Derive, Maple, Mathematic Na Internetu lze nalézt řadu online kalkulátorů (např a další) Po zadání integrované funkce je nalezena primitivní funkce Neurčité integrály z dalších funkcí lze získat různými integračními metodami Z pravidel pro derivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst a z vlastnosti primitivní funkce okamžitě plyne: Věta Mají-li funkce f ( ) a g ( ) na intervalu ( ab, ) primitivní funkce, pak platí: ( f ( ) ± g ( )) d = f ( ) d ± g ( ) d cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst f ( d ) = f( ) + C Řešené úlohy (úpravou integrandu) Příklad Vypočtěte integrál + + d - -

6 Základní neurčité integrály d = d+ d + d = + + ln C + Příklad Vypočtěte integrál ( ) d = ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C + + C Příklad Vypočtěte integrál tg d sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos + Příklad Vypočtěte integrál cotg d ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin + (Použili jsme vztah [] z tabulky ) Příklad 5 Vypočtěte integrál e + d e + e + ( e + )( e e + ) d = d = ( e e + ) d = e e C e + e Při úpravě čitatele zlomku jsme použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) Příklad 6 Vypočtěte integrál d

7 d d d d = = = (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ) Základní neurčité integrály = d + arcsin = + C Použili jsme vztah [6] z tabulky + Poznámka I když všechny primitivní funkce k funkci f ( ) mají až na konstantu stejný tvar, může se stát, že při použití různých integračních metod dostaneme pokaždé trochu jiný výsledek V tomto případě je vždy možno převést jeden tvar výsledku na druhý Například první metodou dostaneme tg d = + C Jinou metodou nám vyjde cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, neboť + tg = + = = cos cos cos Oba výsledky Kontrolní otázky Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci Ke které funkci je funkce F( ) = (ln ) primitivní? Je funkce sin sin primitivní funkce k funkci Je funkce + primitivní funkce k funkci arctg? e? Uveďte některé z nich cos? 5 Lze při výpočtu následujícího integrálu použít naznačený postup? + ( + ) d = d + d 6 Platí e sin d = e d sin d? Úlohy k samostatnému řešení d) d b) d e) ( ) d + 8 d f) + d + d

8 ( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d e) d) 5 d + 9 b) d + + e) d b) ln d) sin + e d d cotg d f) d + d f) d arccos e) tg d f) cos + + d b) + d d) Výsledky úloh k samostatnému řešení + + d e) Základní neurčité integrály d sin cos cos d cos d + 7 d d + e d e + + ( + ) cotg C; b) C; + C ; d) C; e) b) f) d) + +C f) + arctg + C + sin + C; tg cotg + C; d) tg+ C arctg + C ; b) cos d d + + C ; ln ln cos + C ; e) cotg + C; arctg + C ; arctg + C ; + + arctg + C ; e) arcsin + C ; f) arcsin + C ln ln + C ; 6 + ; ln ( ) b) ln arccos C + + C ; d) cos + e + C ; e) ln cos + C ; - 6 -

9 Základní neurčité integrály ( ) f) ln e + +C 5 arcsin + C ; d) sin + arctg + C; b) ln0 7 + arctg + C ; e) tg + cotg+ C + arctg + C ; Kontrolní test Ke které funkci je funkce F( ) arctg ln( ) 6 6 = + + primitivní? + arctg +, b) arctg, + ( + ) arctg +, d) ( + ) ( + ) Ke které funkci je funkce F( ) = arcsin e e primitivní? e e e, b) e e + e e, e ( + e ) + e, d) e e Ke které funkci je funkce = primitivní? F( ) ( ), b) ( + ), ( ), d) ( + ) Vypočtěte neurčitý integrál + d , b) C, 6 7 C C, d) C - 7 -

10 Základní neurčité integrály 5 Vypočtěte neurčitý integrál ( ) d ( ) + ( ) + C, b) 6 ( ) ln + ( ) ln + C, + C, d) + + C ln ln ln ln 6 Vypočtěte neurčitý integrál + + d ln + C, b) 5 C 5 +, 5 ln + C, d) ln 6 + cos 7 Vypočtěte neurčitý integrál d + cos cotg + + C, b) + cotg + C, d) tg 8 Vypočtěte neurčitý integrál cotg d + C + tg + C, + + C cotg + C, b) tg + C, cotg + C, d) 9 Vypočtěte neurčitý integrál C 8 d + + +, b) 8ln + C, d) + C sin C, + C - 8 -

11 0 Vypočtěte neurčitý integrál d 5 + arccos + C, b) arcsin + C, + arcsin + C, d) arccos + C Základní neurčité integrály Výsledky testu b); ; b); ; 5 ; 6 ; 7 b); 8 ; 9 d); 0 Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly a znovu Shrnutí lekce V prvých dvou kapitolách jste se seznámili s pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál Operace integrování (tj operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní Tabulka obsahuje přehled základních integrálů Doporučujeme vytisknout si tuto tabulku, neboť bude využívána v dalších kapitolách při integraci složitějších funkcí Všechny příklady a cvičení v kapitole vyřešíme tak, že integrovanou funkci upravujeme, až dostaneme základní integrály uvedené v tabulce - 9 -