Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce

Transkript

1 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce Michael Krbek. Definice a souvislost s prvočísl. Buď s C komplexní číslo takové, že Rs δ, δ >.Potompro<a definujemehurwitzovu ζ- funkci vztahem ζ(s, a) (an) s. () n Nekonečná řada je pro daná s i a absolutně konvergentní; tato skutečnost je zřejmá například vužitím integrálního kritéria konvergence dn (an) s n n d n (an) Rs d n (an) Rs a Rs <. Riemannova ζ-funkce je speciálním případem ζ-funkce Hurwitzov pro a, ζ(s)ζ(s,). Věta.Platí ζ(s) p Důkaz. Z definice máme ated p s,kdesoučinjepřesvšechnaprvočísla p. ζ(s) 2 s 3 s 4 s 5 s 2 sζ(s) 2 s 4 s 6 s 8 s s, odečtením druhého výrazu od prvního máme ( 2 s ) ζ(s) 3 s 5 s 7 s 9 s.

2 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce 2 Pro další prvočísla postupujeme obdobně, dostaneme ted nakonec... ( 5 ) ( 3 ) ( 2 ) ζ(s) s s s 7 s s 3 s, a protože obě stran rovnosti vžd konvergují, získáme dokazované tvrzení. (Konvergenci nekonečného součinu všetříme převodem na nekonečný součet pomocí funkce ln, konverguje-li absolutně nějaká posloupnost, konverguje absolutněijejílibovolnápodposloupnost.) 2. Analtické prodloužení. Definovali jsme ζ(s, a)pro Rs δ. Nní vužijeme metod analtického prodloužení k rozšíření definičního oboru. Analtická funkce na souvislé otevřené podmnožině U C je určena svými hodnotami v libovolném otevřeném okolí V U. Napřed odvodíme integrální vzorec pro ζ(a, s). Věta2.Pro Rs >δ, < a platí ζ(s, a)γ(s) x s e ax dx e x. (2) Důkaz. V důkazu vužijeme vlastností Γ-funkce, především integrální definice Γ(s) e x x s d x, kterárovněžplatípro Rs >δ.substitucí t(na)xmáme (an) s e t t s dt a ted součtem geometrické řad e (na)x x s dx ζ(s)γ(s) n e (na)x x s d x dostanemedokazovanétvrzení.

3 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce 3 Věta 3. Platí ζ(s, a) Γ( s) 2πi C ( z) s e az d z, (3) e z kde C je libovolná křivka, která ohraničuje oblast obsahující nezápornou osu xaneobsahujícípól z2πi n, n Z \ {}(viz.obrázek),vevýrazu ( z) s uvažujemehlavníhodnotuargumentu. 2π i C x Obrázek : Integrační křivka ve Větě 3 Důkaz. Integrační křivku můžeme zdeformovat podle Obrázku 2, čímž dostaneme(ǫ, ρ ) C ( z) s e az d z e z π π C C 2 ǫ C 3 ρ ρ iǫ s e i sϕ e aǫ(cos ϕisinϕ) d ϕ e ǫ(cos ϕisin ϕ) Dále je možno vužít vztahu Γ(s)Γ( s) pomocíněhožzískámedokazovanétvrzení. ǫ e iπ(s ) t s e at d t e t e i π(s ) t s e at d t e t 2isin πs π sin(πs), t s e at dt e t.

4 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce 4 2π i ǫ C C 2 x C 3 Obrázek 2: Deformace integrační křivk v důkazu Vět 3 Věta4.Funkci ζ(s, a)lzeanaltickrozšířitnac \ {}.Vbodě smá ζ(s, a) jednoduchý pól, platí Res ζ(s, a). s Důkaz. Integrál na pravé straně(3) dává analtickou funkci, můžeme ted analtickrozšířit ζ(s, a)navšechnhodnot skromě s.zdejejednoduchýpól,protožezdemájednoduchýpólγ( s).ostatnípólγ( s) v s{2,3,...}nehrajíroli,zdejetotiž ζ(s, a)jiždobředefinovánapomocí (). Dále platí lim s ζ(s, a) Γ( s) 2πi C e az d z e z Res e az ze z. ares s Γ( s),ztohodostanemeposledníčásttvrzení. 3. Hermiteův vzorec. Po dokázání pomocného tvrzení odvodíme tzv. Hermiteův vzorec, který přímo zapíše ζ(s, a) pro všechn hodnot s(kromě s).

5 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce 5 Lemma5.Nechť m, n Zjsouceláčísla, f(z)analtickáfunkce,omezená napásu m Rz n.pak n 2 f(m)f(m) f(n ) 2 f(n) m f(z)dz i f(ni ) f(n i ) f(mi)f(m i ) e 2π d. (4) Důkaz. Integrační křivku R vbereme podle Obrázku 3. Integrujme po ní (ρ )apomocíreziduovévětzískáme R f(z)dz e 2πi z m n ρ f(xiρ)dx e 2π(ρ i x) f(ni ) f(n i ) f(mi )f(m i) d e 2π n f(x iρ)dx n ( ) f(z) e 2π( ρ i x) 2πi Res, zj e 2πi z m přičemžvbodech man,kterýmiprocházíintegračníkřivka,jenutnovzítpolovinurezidua.druhýsčítanecjevlimitěnulový,třetíjeroven n f(z)dz, m vzhledem k analtičnosti f(z) je integrační křivka libovolná. Po spočtení reziduízískámedokazovanétvrzení. jm ρ R m n x Obrázek 3: Integrační křivk v důkazu Lemmatu 5

6 Riemannova a Hurwitzova ζ-funkce 6 Věta 6. Platí ζ(s, a) 2 a s a s s 2 (a 2 2 ) s 2 sin ( satg a) d. (5) e 2π Důkaz.Lemma5aplikujemena f(z)(az) s,kdeopětuvažujemehlavní hodnotuargumentu,dálevezmeme m, n.platí 2i [f(xi ) f(x i )] [ (ax) 2 2] ( ) s 2 sin satg. ax Všimněmesi,želimitalim x předchozíhovýrazujenula.celkemdostáváme f(n) f() (az) s d z 2 n zčehožpointegracizískámedokazovanétvrzení. (a 2 2 ) s 2 sin ( satg 2 a) d, e 2π