volného prostoru na vedení 3 volného prostoru na vedení předchozí kapitole jsme se zabývali šířením elektromagnetických vln ve volném prostoru. lna se šířila od svého zdroje (vysílací antény) do okolí. lněním jsme tak mohli vyplnit libovolně velký prostor (v ideálním případě). Šíření vlny volným prostorem s výhodou využijeme pro distribuci televizního signálu či pokrytí území signálem mobilních služeb. Chceme-li však signál doručit do jediného místa (např. z výstupu přijímací antény na vstup televizního přijímače), je lépe využít přenosové vedení. Nejčastěji používaným přenosovým vedením je koaxiální kabel (obr. 3.). koaxiálním kabelu je elektromagnetické pole "uvězněno" v dielektriku mezi vnějším vodičem a vodičem vnitřním. lna se šíří ve směru osy tohoto vedení Obr. 3. Koaxiální vedení. řevzato z http://en.wikipedia.org/wiki/coaxial_cable Budeme předpokládat, že námi studované koaxiální vedení sestává z dokonale elektricky vodivého vnitřního a vnějšího vodiče. Konstantní vzdálenosti mezi vnitřním a vnějším vodičem je dosaženo díky bezeztrátové homogenní dielektrické výplni s permitivitou a permeabilitou. edení je napájeno harmonickým proudem. řipojíme-li správně zdroj na vstup vedení a zátěž na výstup vedení, poteče stejný proud po vnitřním vodiči ve směru z, a stejný proud se bude vracet po vnitřní straně vnějšího vodiče ve směru -z. eškerá energie, kterou generátor dodá do vedení, se spotřebuje v zátěži a nic se neodrazí zpět. Na obr. 3.2 jsou znázorněny siločáry elektrického a magnetického pole v příčném průřezu vedení. Díky vysoké elektrické vodivosti vnitřního a vnějšího vodiče je intenzita elektrického pole k povrchu vodičů kolmá (složka tečná k povrchům musí být nulová). Ampérova zákona celkového proudu vyplývá, že siločáry magnetického pole mají tvar soustředných kružnic se středem v ose koaxiálního vedení. Siločáry magnetického pole jsou tedy kolmé k siločárám pole elektrického. Magnetické i elektrické siločáry jsou současně kolmé ke směru šíření. odél koaxiálního vedení se tedy šíří příčně (transverzálně) elektromagnetická vlna (TEM). ři práci s přenosovým vedením je snadnější používat namísto vektorových intenzit pole E [/m] a H [A/m] skalární napětí [] a proud [A]. ři přechodu od vektorových ke skalárním veličinám vyjádříme velikost intenzity elektrického pole z Gaussova zákona D. ds (3.) S - -
volného prostoru na vedení Symbol značí podélnou hustotu náboje ve středním vodiči [C/m] a je velmi krátký úsek zkoumaného vedení [m]. ravá strana (3.) tedy vyjadřuje celkový náboj na tomto úseku vodiče. Obklopíme-li úsek vodiče válcovou plochou o poloměru r, musí touto plochou S = 2r prostupovat elektrický indukční tok, který je dán právě tímto nábojem E2 r (3.2) ři odvození (3.2) jsme předpokládali, že velikost elektrické indukce E na válcové ploše je konstantní. Symbol značí permitivitu dielektrika mezi vnitřním a vnějším vodičem. Obr. 3.2 Rozložení pole v příčném průřezu koaxiálního vedení. e vztahu (3.2) můžeme vyjádřit velikost intenzity radiálního elektrického pole E r 2 r (3.3) Napětí mezi vnitřním a vnějším vodičem následně získáme postupným sčítáním elementárních napětí du = E(r) dr v radiálním směru b E a r. b dr ln 2 a (3.4) kde a je poloměr vnitřního vodiče a b poloměr vodiče vnějšího. Dále můžeme ze (3.3) vyjádřit a dosadit do (3.4) Err 2 Tím přecházíme od intenzity elektrického pole k napětí. b Err ln (3.5) a ztah mezi intenzitou magnetického pole a proudem je dán Ampérovým zákonem celkového proudu H.dl d dt (3.6) l ntegrovat budeme po libovolné kružnici, která leží v příčné rovině a má střed v ose vodiče. zhledem ke kruhové symetrii vedení bude velikost magnetické intenzity na této kružnici konstantní. - 2 -
volného prostoru na vedení Elektrický indukční tok plochou kružnice je nulový, neboť vektor této plochy S (směřuje do z) a vektor elektrické indukce D (směřuje do r) jsou vzájemně kolmé. zhledem k výše uvedeným skutečnostem přejde vztah (3.6) na tvar 2 rh (3.7) avedeme-li charakteristickou impedanci vedení jako podíl napětí a proudu v určitém místě vedení, dojdeme na základě (3.5) a (3.7) ke vztahu E b ln (3.8) 2 H a Dosadíme-li za podíl intenzit elektrického a magnetického pole vlnovou impedanci TEM vlny v bezeztrátovém dielektriku, dostáváme se ke vztahu b ln (3.9) 2 a Díky výše uvedeným krokům jsme při analýze koaxiálního vedení přešli od vektoru intenzity elektrického pole E ke skalárnímu napětí mezi vodiči vedení a od vektoru intenzity magnetického pole H ke skalárnímu proudu vodiči. Místo popisování vedení permitivitou a permeabilitou dielektrika mezi vodiči můžeme vyjádřit parametry vedení kapacitou a indukčností na jeden metr délky. Na základě výše uvedených parametrů lze vytvořit náhradní obvod vedení, tvořený obvodovými prvky se soustředěnými parametry, a vedení analyzovat pomocí postupů, známých z teorie obvodů. Na této myšlence je založena klasická teorie vedení. 3. Klasická teorie vedení ro lepší představu uvažme klasickou dvoulinku jako představitele homogenních dvouvodičových vedení. Není pochyb o tom, že každý vodič dvojlinky bude mít svou indukčnost L a svůj odpor R. Dále je zřejmé, že mezi vodiči dvojlinky bude existovat vzájemná kapacita C. Bude-li dielektrikum mezi vodiči ztrátové, poteče jím příčný vodivý proud, což vyjádříme příčnou vodivostí G. Je jasné, že s růstem délky vedení se zvyšuje i jeho celkový odpor, indukčnost, kapacita, vodivost. Abychom se této délkové závislosti parametrů vedení zbavili, zavádíme indukčnost na jeden metr délky L [H.m - ], odpor na jeden metr délky R [.m - ], kapacitu na jeden metr délky C [F.m - ] a vodivost na jeden metr délky G [S.m - ]. Úbytek napětí na elementárním úseku vedení dz je dán podélnou impedancí na jeden metr délky tedy R j L (3.0) d dz (3.) Naproti tomu úbytek proudu na elementárním úseku vedení dz závisí na příčné admitanci na jeden metr délky tedy Y G j C (3.2) - 3 -
volného prostoru na vedení d Y dz (3.3) odělíme-li obě strany rovnic (3.) a (3.3) elementární délkou dz, dostaneme d dz (3.4a) d dz Y (3.4b) Nyní obě strany vztahu (3.4a) derivujeme podle z a do pravé strany dosadíme za d/dz pravou stranu (3.4b) d dz 2 2 Y (3.5a) Obdobně derivováním (4.4b) podle z a dosazením za d/dz z (3.4a) dostaneme ztahům (3.5) se říká telegrafní rovnice. d dz 2 2 Y (3.5b) Obr. 3.3 Náhradní schéma dvouvodičového vedení. Obecné řešení diferenciální rovnice pro napětí (3.5a) lze zapsat ve tvaru kde je tzv. konstanta šíření nebo součinitel přenosu. kde z A z Bexp z exp (3.6a) R j L G j C (3.7) Dosazením (3.6a) do (3.4b) a následnou integrací dospějeme k výsledku je tzv. charakteristická impedance vedení. ( z) Aexp z Bexp z (3.6b) R G jl j C (3.8) e vztahů (3.6) vidíme, že rozložení napětí ( z) a proudu ( z) je vyjádřeno obdobnými vztahy, jakými jsme popisovali rozložení intenzity elektrického a magnetického rovinné vlny ve směru šíření. Na základě této analogie můžeme přímo bez dalšího odvozování objasnit fyzikální význam vztahů (3.4): Člen exp( z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se ve směru osy z, tedy od zdroje k zátěži. Tuto vlnu nazveme vlnou přímou a budeme ji značit horním indexem : (z), (z). ntegrační konstanta A, resp. A/ 0, udává napětí, resp. proud, přímé vlny na počátku vedení z = 0. - 4 -
volného prostoru na vedení Člen exp( + z) představuje napětí, resp. proud vlny, šířící se proti směru osy z, tedy od zátěže ke zdroji. Tuto vlnu nazveme vlnou zpětnou nebo odraženou a budeme ji horním indexem : (z), (z). ntegrační konstanta B, resp. B/ 0, udává napětí, resp. proud, zpětné vlny na počátku vedení z = 0. technického hlediska je vhodnější vyjadřovat napětí a proud na vedení v závislosti na vzdálenosti od konce vedení. Napěťové a proudové poměry na vedení jsou totiž, jak se za chvíli dozvíme, podstatně ovlivňovány zakončovací impedancí k. roto si zaveďme substituci (viz obr. 3.4) a dosaďme ji do vztahů (3.6) zl (3.9) A exp l exp B exp l exp A exp l exp B exp l exp (3.20a) ( ) (3.20b) Obsahy hranatých závorek vyjadřují napětí nebo proud přímé nebo zpětné vlny, transformované z počátku na konec vedení. S využitím zavedeného způsobu zápisu můžeme tedy (3.20) přepsat do tvaru 0 exp 0 exp (3.2a) 0exp 0exp ( ) (3.2b) Na základě vztahů (3.20) a (3.2) můžeme udělat následující závěry: Celkové napětí ve vzdálenosti od konce vedení ( ) je dáno součtem napětí přímé vlny () a napětí vlny zpětné () na dané souřadnici. Celkový proud ve vzdálenosti od konce vedení ( ) je dán rozdílem proudu přímé vlny () a proudu vlny zpětné () na dané souřadnici. Napětí přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení ()je přímo úměrné proudu přímé vlny ve vzdálenosti od konce vedení; konstantou úměrnosti je charakteristická impedance (4.8). Totéž platí pro odraženou vlnu, (3.22a, b) oměr celkového napětí a celkového proudu není roven charakteristické impedanci 0 (3.23) nýbrž impedanci ( ), kterou bychom naměřili na vstupu našeho vedení, dlouhého a na konci zatíženého stále stejnou impedancí k. oměr napětí (záporně uvažovaného proudu ) odražené vlny k napětí (proudu) vlny přímé je nazýván činitelem odrazu proudu odražené vlny respektujeme záporným znaménkem skutečnost, že se při odrazu od zátěže mění fáze proudu o 80 o ; proto je také celkový proud rozdílem přímé a zpětné vlny. - 5 -
volného prostoru na vedení (3.24) yjádříme-li ve (3.24) jednotlivá napětí (proudy) pomocí napětí (proudů) na konci vedení (viz vztahy 3.2), dojdeme k výrazu 0 exp 2 (3.25) Činitele odrazu ve vzdálenosti od konce vedení () můžeme na základě (3.23) vyjádřit pomocí impedance v daném místě (); čitatele i jmenovatele dělíme proudem přímé vlny, čímž se dostáváme k činiteli odrazu, kterého můžeme osamostatnit na levé straně (3.26) e známého činitele odrazu v určitém místě vedení můžeme určit impedanci v tomto místě (3.27) ýsledky, jichž jsme dosáhli prostřednictvím klasické teorie vedení, budeme diskutovat v následujících kapitolách. Obr. 3.4 edení zakončené impedancí k. - 6 -