Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5

Transkript

1 Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v bodu =1; pro funkci (,)= cos Totální diferenciál v je dle definice d (h)= ()h + ()h Vypočteme parciální derivace = cos = sin Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu =1; ()= cos= 1 ( 1)=1 ()= sin= 1 0=0 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (h)= 1 h +0h = 1 h Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (h)= 1 +0=1 Řešení 1b Máme nalézt totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v bodu =2; 0 pro funkci (,)=ln( + ) Totální diferenciál v je dle definice d (h)= ()h + ()h 1

2 Vypočteme parciální derivace = 2 + = 2 + Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu =2; ()= += 2 +0 =4 4 = ()= += 2 +0 =0 4 =0 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (h)=1h +0h =h Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (h)=1+0= Řešení 1c Máme nalézt totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v bodu =1; 0 pro funkci (,)=arctg() Totální diferenciál v je dle definice d (h)= ()h + ()h Vypočteme parciální derivace = 1+ = 1+ Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu =1; 0 ()= = 1+0 =0 1 =0 ()= = 1+0 =1 1 =1 Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (h)=0h +1h =h Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (h)=0+1= Řešení 1d Máme nalézt totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v bodu =1; 1 pro funkci 1 (,)= + Totální diferenciál v je dle definice 2

3 d (h)= ()h + ()h Vypočteme parciální derivace = 1 2 ( + ) 2= ( + ) = 1 2 ( + ) 2= ( + ) Vypočteme hodnoty parciálních derivací v bodu =1; 1 ()= 1 1 (1 +( 1) ) = (1+1) = 1 2 = ()= 1 1 (1 +( 1) ) = (1+1) = 1 2 = Tyto parciální derivace dosadíme do totálního diferenciálu a dostáváme výsledek d (h)= h h = (h h ) Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál vyjádřit jako d (h)= ( ) 3

4 Příklad 2 Určete hodnotu směrové derivace v bodě 0,0 pro obecný vektor =(, ), =1 : a) (,)= + b) (,)= Řešení 2a Máme určit hodnotu směrové derivace v bodě 0,0 pro obecný vektor =(, ), =1 a funkci: (,)= + Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (0,0)+ (0,0) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =1 3 ( + ) 3 Nyní dosadíme souřadnice bodu =1 3 ( + ) 3 (0,0)=1 3 (0 +0 ) 3 0, (0,0)=1 3 (0 +0 ) 3 0, Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 0,0. Hodnotu směrové derivace tedy není možné tímto způsobem zjistit. Zkusíme tedy výpočet podle definice (+h ) +(+h ) (,)=lim h Konkrétně pro bod 0,0 dostáváme po úpravách výsledek + (0+h ) +(0+h ) 0 +0 h +h 0+0 (0,0)= lim =lim h h h + 0 h + = lim =lim =lim h h + = + 4

5 Řešení 2b Máme určit hodnotu směrové derivace v bodě 0,0 pro obecný vektor =(, ), =1 a funkci: (,)= Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (0,0)+ (0,0) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =1 2 pro 0, = 1 2 pro <0 =1 2 pro 0, = 1 2 pro <0 Nyní dosadíme souřadnice bodu (0,0)= , (0,0)= , Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 0,0. Hodnotu směrové derivace tedy není možné tímto způsobem zjistit. Zkusíme tedy výpočet podle definice (+h )(+h ) (,)=lim h Konkrétně pro bod 0,0 dostáváme po úpravách výsledek (0+h )(0+h ) 0 0 h h 0 h 0 (0,0)= lim =lim = lim h h h h = lim = lim h = 5

6 Příklad 3 Určete, zda funkce (,) v bodě ve směru vektoru roste či klesá a určete rychlost změny, je-li následující funkce: a) (,)=ln( +1), =1; 2, =(1; 1) 1 roste rychlostí 2 b) (,)= 2, =3; 4, =(1; 1) klesá rychlostí 10 2 c) (,)= , =2; 0, =(2; 3) klesá rychlostí Řešení 3a Máme určit, zda funkce (,) v bodě ve směru vektoru roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: (,)=ln( +1), =1; 2, =(1; 1) Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru. =(1; 1), =1 +( 1) = 1+1= 2 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. = 1 2 ; 1 2 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (1,2)+ (1,2) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně = 2 +1 = +1 Nyní dosadíme souřadnice bodu (1,2)= =4 3 6

7 (1,2)= =1 3 Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 1,2. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce. ()= = = = 1 2 Tato hodnota udává hledanou rychlost změny. Současně z toho, že je kladná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je rostoucí. Řešení 3b Máme určit, zda funkce (,) v bodě ve směru vektoru roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: (,)= 2, =3; 4, =(1; 1) Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru. =(1; 1), =1 +1 = 1+1= 2 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. = 1 2 ; 1 2 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (3,4)+ (3,4) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =2 = 4 Nyní dosadíme souřadnice bodu (3,4)=2 3=6 (3,4)= 4 4= 16 Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 3,4. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce. 7

8 ()= ( 16)= = 10 2 Tato hodnota udává hledanou rychlost změny. Současně z toho, že je záporná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je klesající. Řešení 3c Máme určit, zda funkce (,) v bodě ve směru vektoru roste či klesá a určit rychlost změny, je-li: (,)= 2+3 5, =2; 0, =(2; 3) +2 Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě vidíme, že velikost směrového vektoru není normovaná, upravíme ho tedy. Nejprve zjistíme velikost našeho směrového vektoru. =(2; 3), =2 +( 3) = 4+9= 13 Nyní z něj odvodíme směrový vektor stejného směru, ale normované velikosti. = 2 13 ; 3 13 Tento nový směrový vektor použijeme v dalším výpočtu. Výše uvedený vzorec pro směrovou derivaci v bodě se nám změní (změna označení vektoru) na ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (2; 0)+ (2; 0) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =2( +2) (2+3 5)1 ( +2) = ( +2) =3( +2) (2+3 5)( 1) ( +2) = ( +2) = Nyní dosadíme souřadnice bodu (2; 0)= 9 9 (2 0+2) = 4 = (2; 0)= (2 0+2) =11 = = 5+9 ( +2) 5+1 ( +2) Obě parciální derivace nejsou spojité v bodě 1,2. Hodnotu směrové derivace tedy zjistíme dosazením do vzorce. ()= = =

9 Tato hodnota tedy udává rychlost změny. Současně z toho, že je záporná, vidíme, že naše funkce v daném bodě při zadaném směru je klesající. 9

10 Příklad 4 Pro funkci (,) určete směr ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určete rychlost růstu: a) (,)=2 3+5, =1; 2 = 1 (4; 3),rychlost je 5 5 b) (,)=, =1; 1 = 1 5 (2; 1),rychlost je 5 c) (,)=arcsin(2+), = 1 2 ; = (2; 1),rychlost je Řešení 4a Máme pro funkci (,) určit směr ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu: (,)=2 3+5, =1; 2 Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (1; 2)+ (1; 2) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =4 = 3 Nyní dosadíme souřadnice bodu (1; 2)=4 1=4 (1; 2)= 3 Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci ()= 4+ ( 3)=4 3 Nyní je třeba najít =(, ), =1 tak, aby ()=4 3 bylo maximální. Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah Odtud postupně vyjádříme + =1 + =1 =1 =±1 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy. 10

11 ()=4 31 Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami 4 31 = ( 2 )= ( 2 )= ±6 =0 1 = 3 4 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 1 = = = = =± 4 5 Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku =±1 ± 4 5 =± =± 9 25 =±3 5 Pro i jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. ()=4 3 Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. Případ () Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: 11

12 = = = = += = = = = = + = Jasně vidíme, že druhý případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný směr je =, a rychlost růstu je 5. Řešení 4b Máme pro funkci (,) určit směr ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu: (,)=, =1; 1 Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= (1; 1)+ (1; 1) Vypočteme parciální derivace nejprve obecně =2 = Nyní dosadíme souřadnice bodu (1; 1)=2 1 () =2 (1; 1)= () = Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci ()= 2 + ( )=2 Nyní je třeba najít =(, ), =1 tak, aby ()=2 bylo maximální. Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah Odtud postupně vyjádříme + =1 + =1 =1 =±1 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy. ()=2 ±

13 Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami 2 1 = ( 2 )= ( )=0 2± 1 =0 2 1 ± = ± =0 1 = 1 2 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 1 = 1 4 1= = 5 4 = 4 5 =± 4 5 =±2 1 5 Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku =±1 ± 4 5 =±1 4 5 =± 1 5 Pro i jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. ()=2 = (2 ) Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. Případ

14 () Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: = = = = 3 Jasně vidíme, že druhý případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný směr je =2, a rychlost růstu je 5 = 5. Řešení 4c Máme pro funkci (,) určit směr ve kterém funkce v bodě nejvíce roste a určit rychlost růstu: (,)=arcsin(2+), = 1 2 ; 1 2 Pro počítání směrové derivace v bodě za předpokladu, že jsou parciální derivace v tomto bodě spojité a je dán směr =(, ), =1, platí: ()= () V našem konkrétním případě tedy ()= 1 2 ; ; 1 2 Vypočteme parciální derivace nejprve obecně = 2 1 (2+) = 1 1 (2+) Nyní dosadíme souřadnice bodu 1 2 ; 1 2 = 2 2 = = 2 = = = =

15 1 2 ; 1 2 = 1 1 = = 1 = = Dosadíme do vzorce pro směrovou derivaci 4 ()= = 2 3 (2 + ) Nyní je třeba najít =(, ), =1 tak, aby ()= (2 + ) bylo maximální. Podmínka normovanosti směrového vektoru vyjadřuje vztah Odtud postupně vyjádříme + =1 + =1 =1 = = 2 3 =±1 Dosadíme do naší funkce pro směrovou derivaci. Přitom máme dvě možnosti použití znaménka. Je třeba uvažovat oba případy. ()= ±1 Máme hledat největší růst neboli maximum. Budeme tedy hledat takové, že derivace této funkce je nulová. Tedy Tuto rovnici vyřešíme postupnými úpravami ±1 = ± ( 2 )=0 2± ( 2 )=0 2 1 =0 2 1 = =0 1 =± 1 2 Umocníme a oba případy zvažování různého znaménka se nám zase sejdou v jediný 1 = 1 4 1= =

16 = 4 5 =± 4 5 =±2 1 5 Nalezli jsme první složku směrového vektoru. Opět má dvě možnosti dané různými znaménky. Dosadíme a získáme druhou složku =±1 ± 4 5 =±1 4 5 =± 1 5 Pro i jsme získali po dvou hodnotách. Nalezli jsme tedy celkem čtyři možné kombinace. Vybereme dle zadání tu, pro kterou naše funkce více roste pomocí námi již výše odvozeného vztahu pro směrovou derivaci. ()= 2 3 (2 + ) Jednotlivé případy pro přehlednost uspořádáme do tabulky. Případ () Pro úplnost uvedeme výpočty pro jednotlivé případy zvlášť, neb v tabulce působí poněkud nepatřičně: =5 = = =3 = = = 3 = 2 = = 5 = = 2 Jasně vidíme, že první případ dává nejvyšší hodnotu, která současně udává rychlost růstu. Proto hledaný směr je =2, a rychlost růstu je 2. 16

17 Příklad 5 Určete všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslete je v daných bodech a) (,)=ln( + ),=1; 0 =2( ) ( + ), b) (,)= +,= 2; 3 = ( +), c) (,)=arctg(),=1; 1 2 = (1+ ), = 4 ( + ), = 2( +), = 1 (1+ ), ) =2( ( + ) 1 = 4( +) = 2 (1+ ) Poznámka Obecně lze v těchto případech (pracujeme v prostoru ) uvažovat čtyři typy parciální derivace druhého řádu. Jedná se o tyto situace: 1. poprvé derivujeme podle, podruhé derivujeme podle, tedy počítáme 2. poprvé derivujeme podle, podruhé derivujeme podle, tedy počítáme 3. poprvé derivujeme podle, podruhé derivujeme podle, tedy počítáme 4. poprvé derivujeme podle, podruhé derivujeme podle, tedy počítáme Protože pořadí parciálních derivací můžeme zaměňovat, je nutně druhý a třetí případ stejný dává stejný výsledek. Proto se v našich výpočtech omezíme na tři případy. Řešení 5a Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (,)=ln( + ), =1; 0 Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. = = + Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě. + ) 22 =2( ( + ) = ( + ) + ) 22 =0( ( + ) = ( + ) + ) 22 =2( ( + ) = ( + ) Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě (1;0)=2 (1 +0 ) =2(1+0) =2 1 = = 2 17 =2 ( + ) = 4 ( + ) =2 ( + ) (1;0)= (1 +0 ) = (1+0) = 0 1 =0 1 =0

18 (1;0)=2 (1 +0 ) =2(1+0) =2 1 =21 1 =2 Řešení 5b Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (,)= +, = 2; 3 Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. = = + = = Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě = + = + = + = + = = = + + = = ( +) = = = = 2 + = 2( +) = 4( +) Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě. ( 2; 3)= (( 2) +3) = (4+3) = 7 ( 2) 2 ( 2; 3)= 2 1 2(( 2) +3) = 2(4+3) = 2 7 = ( 2; 3)= 4(( 2) +3) = 4(4+3) = 4 7 Řešení 5c Máme určit všechny parciální derivace druhého řádu funkce v obecném bodě a vyčíslit je v daném bodě pro (,)=arctg(), =1; 1

19 Nejprve si připravíme parciální derivace prvního řádu v obecném bodě. = 1+() = 1+ = 1+() = 1+ Nyní dalším derivováním těchto derivací vypočteme parciální derivace druhého řádu v obecném bodě. ) 2 =0(1+ (1+ ) = 2 (1+ ) ) 2 =1(1+ (1+ ) = 1 (1+ ) ) 2 =0(1+ (1+ ) = 2 (1+ ) Nyní můžeme vyčíslit tyto parciální derivace v daném bodě. 2 1 ( 1) (1; 1)= (1+1 ( 1) ) =( 2) 1 ( 1) (1+1 1) = 2 2 =1 2 (1; 1)= 1 1 ( 1) (1+1 ( 1) ) = (1+1 1) = 2 =0 2 1 ( 1) (1; 1)= (1+1 ( 1) ) =( 2) 1 ( 1) (1+1 1) = 2 2 =1 2 19

20 Příklad 6 Najděte diferenciál druhého řádu d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro funkci: 2 = (+2+1) 2 2 a) (,)= +ln(+2+1), =0; 0 = 2 2 (+2+1) 2 2 = 4 2 (+2+1) 2 d (h)= 4 4 Řešení 6a Máme najít diferenciál druhého řádu d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro funkci (,)= +ln(+2+1), =0; 0 Diferenciál druhého řádu v je dle definice d (h)= ()h + ()h h + ()h Vypočteme první parciální derivace v obecném bodě = = Z prvních parciálních derivací vypočteme druhé parciální derivace v obecném bodě 1 =2 (+2+1) =2 2 (+2+1) 4 = (+2+1) Vypočteme hodnoty druhých parciálních derivací v bodu =0; (0;0)=2 0 ( ) =0 (0+0+1) = 1 = 1 (0;0)= ( ) =0 (0+0+1) = 1 = (0;0)= ( ) = (0+0+1) = 1 = 4 Tyto parciální derivace dosadíme do vzorce diferenciálu druhého řádu a dostáváme výsledek d (h)= h 2h h 4h Pomocí standardních proměnných můžeme tento diferenciál druhého řádu vyjádřit jako d (h)=